(Network) Coding und Verbindungen zur Systemtheorie

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1 (Network) Coding und Verbindungen zur Systemtheorie Anna-Lena Horlemann-Trautmann Algorithmics Laboratory, EPFL, Schweiz 10. Februar 2016 Elgersburg Workshop

2 Klassische Codierungstheorie Einführung

3 Klassische Codierungstheorie Einführung Klassische Codierungstheorie: Source ( ) Receiver 1 / 1

4 Klassische Codierungstheorie Einführung Klassische Codierungstheorie: Source ( ) Receiver Was, wenn Fehler während der Übertragung passieren? = Können korrigiert werden, indem man Redundanz den Daten hinzufügt, Daten codiert. 1 / 1

5 Klassische Codierungstheorie Einführung Einfachstes Beispiel der Wiederholungs-Code: 2 / 1

6 Klassische Codierungstheorie Einführung Einfachstes Beispiel der Wiederholungs-Code: 2 / 1

7 Klassische Codierungstheorie Einführung Einfachstes Beispiel der Wiederholungs-Code: 2 / 1

8 Klassische Codierungstheorie Einführung Einfachstes Beispiel der Wiederholungs-Code: Da (000100) näher an (000000) als an (111111) ist, decodiert der Empfänger als (000000) und erhält so die Nachricht no. 2 / 1

9 Klassische Codierungstheorie Einführung Definition Ein Block-Code über F q der Länge n ist einfach eine Teilmenge von F n q. Die Elemente des Codes nennt man Codewörter. Ein linearer Code ist ein Untervektorraum von F n q. Kanal-Modell Sei c F n q ein über den Kanal gesendetes Codewort. Bei der Übertragung können additive Fehler vorkommen, dementsprechend ist das empfangen Wort r = c + e wobei e F n q der Fehlervektor ist. 3 / 1

10 Klassische Codierungstheorie Einführung Definition Die Metrik, mit der die Anzahl der Fehler gemessen wird, ist die Hamming-Metrik: d H (r, c) := {i r i c i } r, c F n q 4 / 1

11 Klassische Codierungstheorie Einführung Definition Die Metrik, mit der die Anzahl der Fehler gemessen wird, ist die Hamming-Metrik: d H (r, c) := {i r i c i } r, c F n q Die Minimal-Hammingdistanz eines Codes C ist definiert als d min (C) := min{d H (b, c) b, c C, b c}. 4 / 1

12 Klassische Codierungstheorie Einführung Definition Die Metrik, mit der die Anzahl der Fehler gemessen wird, ist die Hamming-Metrik: d H (r, c) := {i r i c i } r, c F n q Die Minimal-Hammingdistanz eines Codes C ist definiert als d min (C) := min{d H (b, c) b, c C, b c}. Der Empfänger decodiert das empfangene Wort zum nächsten Codeword bzgl. der Hamming-Metrik. Je größer die Minimaldistanz des Codes, desto mehr Fehler können korrigiert werden. 4 / 1

13 Klassische Codierungstheorie Einführung Definition Die Metrik, mit der die Anzahl der Fehler gemessen wird, ist die Hamming-Metrik: d H (r, c) := {i r i c i } r, c F n q Die Minimal-Hammingdistanz eines Codes C ist definiert als d min (C) := min{d H (b, c) b, c C, b c}. Der Empfänger decodiert das empfangene Wort zum nächsten Codeword bzgl. der Hamming-Metrik. Je größer die Minimaldistanz des Codes, desto mehr Fehler können korrigiert werden. Tradeoff: Je mehr Redundanz hinzugefügt wird, desto schlechter wird die Übertragungsrate. 4 / 1

14 Klassische Codierungstheorie Einführung Beispiel Über F 3 = {0, 1, 2} definieren wir den linearen Code C der Länge 4 und Dimension 2 mit der Generatormatrix ( ) G = Der Code hat 3 2 = 9 Codewörter und Minimal-Hammingdistanz 2. 5 / 1

15 Klassische Codierungstheorie Einführung Beispiel Über F 3 = {0, 1, 2} definieren wir den linearen Code C der Länge 4 und Dimension 2 mit der Generatormatrix ( ) G = Der Code hat 3 2 = 9 Codewörter und Minimal-Hammingdistanz 2. Äquivalent können wir C als Kern der Kontrollmatrix ( ) H = definieren (mit GH T = 0). 5 / 1

16 Klassische Codierungstheorie Einführung Hauptforschungsziele (Block-Codes): 1 Für einen gegebenen Raum F n q und Minimaldistanz, finde die besten Packungen bzgl. der Hamming-Metrik. = beste mögliche Übertragungsrate bei gleicher Fehlerkorrektur 2 Finde effiziente Decodieralgorithmen (möglicherweise zusammen mit Code-Konstruktionen). = schnellere Kommunikation 6 / 1

17 Klassische Codierungstheorie

18 Klassische Codierungstheorie Der komplette Vorgang: 7 / 1

19 Klassische Codierungstheorie Der komplette Vorgang: Manchmal können Decodierer und Retriever auch zusammengelegt werden. 7 / 1

20 Klassische Codierungstheorie Systeme: Input Output Encoder Nachricht Codewort Kanal Codewort empfangenes Wort Decodierer empfangenes Wort Codewort Retriever Codeword Nachricht 8 / 1

21 Klassische Codierungstheorie Systeme: Input Output Encoder Nachricht Codewort Kanal Codewort empfangenes Wort Decodierer empfangenes Wort Codewort Retriever Codeword Nachricht Diese Systeme sind alle diskret. Als Encoder wird oft eine lineare Abbildung von F k q nach F n q genommen. Der Retriever ist die inverse Abbildung vom Encoder und daher auch linear. Kanal ist stochastisches System (Fehler folgt Wahrscheinlichkeitsverteilung). 8 / 1

22 Klassische Codierungstheorie Systeme: Input Output Encoder Nachricht Codewort Kanal Codewort empfangenes Wort Decodierer empfangenes Wort Codewort Retriever Codeword Nachricht Diese Systeme sind alle diskret. Als Encoder wird oft eine lineare Abbildung von F k q nach F n q genommen. Der Retriever ist die inverse Abbildung vom Encoder und daher auch linear. Kanal ist stochastisches System (Fehler folgt Wahrscheinlichkeitsverteilung). = Interessant: Decodierer 8 / 1

23 Klassische Codierungstheorie Decodierer + Retriever: Nachricht =argmin{d H (mg, r) m F k q} =argmin{ mg r H m F k q} G F k n q Generatormatrix r F n q empfangenes Wort 9 / 1

24 Klassische Codierungstheorie Verschiedene Dekodieralgorithmen: Mit der Hilfe der Kontrollmatrix (bzw. Syndromen), z.b. Berlekamp-Massey-Algorithmus. Mit Polynom-Interpolation, z.b. Welch-Berlekamp- Algorithmus. Mit Belief-Propagation-Algorithmus / 1

25 Klassische Codierungstheorie Idee von Berlekamp-Massey-Algorithmus: Sei α F q Einheitswurzel und C F n q ein BCH-Code mit Kontrollmatrix 1 α α 2... α n 1 α 2 α 4... α 2n H =.. 1 α n k α 2(n k)... α n(n k) und sei r = c + e das empfangene Wort mit Berechne die Syndrome e = (0...0e i e i e it 0...0). (s 1, s 2,..., s n k ) = rh T = ch T + eh T = eh T. 11 / 1

26 Klassische Codierungstheorie Idee von Berlekamp-Massey-Algorithmus: ( ) 1 α α 2... α n H =. Definiere die Error-Locators X l := α i l Error-Locator-Polynom und das Λ(z) = t t Λ i z i := (z X l ). i=0 z=1 Mit Newton-Gleichungen bekommt man s i+t+1 + Λ 1 s i+t + + Λ t s i+1 = 0 für i = 1,..., n k t / 1

27 Klassische Codierungstheorie Berlekamp-Massey-Algorithmus: Finde Polynom Λ(x) = Λ i x i vom kleinsten Grad t, s.d. für i = 0,..., n k t. s i+t+1 + Λ 1 s i+t + + Λ t s i+1 = 0 Äquivalent: Finde das kürzeste linear rückgekoppelte Schieberegister, so dass der Output s 1, s 2,..., s n k ist. (Λ(D) ist Rückkopplungspolynom des Schieberegisters.) 13 / 1

28 Klassische Codierungstheorie Berlekamp-Massey-Algorithmus: Finde Polynom Λ(x) = Λ i x i vom kleinsten Grad t, s.d. für i = 0,..., n k t. s i+t+1 + Λ 1 s i+t + + Λ t s i+1 = 0 Äquivalent: Finde das kürzeste linear rückgekoppelte Schieberegister, so dass der Output s 1, s 2,..., s n k ist. (Λ(D) ist Rückkopplungspolynom des Schieberegisters.) = irreduzible Transferfunktion / minimale Realisierung 13 / 1

29 Klassische Codierungstheorie Berlekamp-Massey-Algorithmus: Finde Polynom Λ(x) = Λ i x i vom kleinsten Grad t, s.d. für i = 0,..., n k t. s i+t+1 + Λ 1 s i+t + + Λ t s i+1 = 0 Äquivalent: Finde das kürzeste linear rückgekoppelte Schieberegister, so dass der Output s 1, s 2,..., s n k ist. (Λ(D) ist Rückkopplungspolynom des Schieberegisters.) = irreduzible Transferfunktion / minimale Realisierung Kann mit iterativem Algorithmus effizient berechnet werden (siehe Wikipedia o.ä.). 13 / 1

30 Klassische Codierungstheorie Berlekamp-Massey-Algorithmus: Finde Nullstellen i 1,..., i t von Λ(x) ( mod q 1). Mit Kenntnis der Fehlerpositionen i 1, i 2,..., i t können wir dann die Fehlerwerte e ij finden, indem wir das lineare Gleichungssystem α i 1 α 2i 1... α (n k)i 1 α i 2 α 2i 2... α (n k)i 2 (e i1,..., e it ). = (s 1,..., s n k ) α it α 2it... α (n k)it lösen. Dann e = (0...0e i e i e it 0...0) und c = r e. 14 / 1

31 Klassische Codierungstheorie Beispiel Sei α F 2 4 primitive Einheitswurzel mit α 4 = α + 1. Wir betrachten F 2 4 = F 2 [α] und den BCH-Code der Länge n = 11. Für ein empfangenes r berechnen wir die Syndromfolge (s 1, s 2,..., s 7 ) = (1, 1, 0, 1, 1, 0, 1). Der Berlekamp-Massey-Algorithmus ermittelt Λ(x) = x 2 + x + 1, d.h. das Schieberegister ist von der Form. 15 / 1

32 Klassische Codierungstheorie Beispiel fortgesetzt Wir faktorisieren Λ(x) = x 2 + x + 1 = (x α 5 )(x α 10 ). Also Fehler in Positionen i 2 = 5 10 und i 1 = / 1

33 Klassische Codierungstheorie Beispiel fortgesetzt Wir faktorisieren Λ(x) = x 2 + x + 1 = (x α 5 )(x α 10 ). Also Fehler in Positionen i 2 = 5 10 und i 1 = Wir lösen ( α 5 α (e 5, e 10 ) α 35 ) α 10 α α 70 = ( ) (e 5, e 10 ) = (1, 1). Also Fehlervektor e = ( ) und c = r e. 16 / 1

34 Einführung

35 Einführung Network Coding Das Multicast-Modell: Alle Empfänger sollen (gleichzeitig) die selben Daten erhalten. 17 / 1

36 Einführung Network Coding Das Multicast-Modell: Alle Empfänger sollen (gleichzeitig) die selben Daten erhalten. 17 / 1

37 Einführung Codieren ist besser als Weiterleiten Das Schmetterling-Netzwerk mit Weiterleiten: a a a a a R1 b b a b R2 R2 erhält a und b, aber R1 erhält nur a. = 2 Zeiteinheiten benötigt, um a, b an beide Empfänger zu senden. 18 / 1

38 Einführung Codieren ist besser als Weiterleiten Das Schmetterling-Netzwerk mit linearem Codieren: a a a a+b a+b R1 b b a+b b R2 Beide Empfänger können a, b rekonstruieren. = Nur 1 Zeiteinheit benötigt, um a, b an beide Empfänger zu senden. 18 / 1

39 Einführung Problem: Mit linearem Codieren pflanzen sich Fehler im Netzwerk fort! a b b +e c 19 / 1

40 Einführung Problem: Mit linearem Codieren pflanzen sich Fehler im Netzwerk fort! a b b +e c 19 / 1

41 Einführung Problem: Mit linearem Codieren pflanzen sich Fehler im Netzwerk fort! a b b +e c = Eine andere Metrik wird zum Dekodieren benötigt. 19 / 1

42 Einführung Definition Ein Rang-Metrik-Code ist definiert als eine Teilmenge von. Die Rang-Metrik ist definiert als F m n q d R (A, B) := Rang(A B), A, B F m n q. 20 / 1

43 Einführung Definition Ein Rang-Metrik-Code ist definiert als eine Teilmenge von. Die Rang-Metrik ist definiert als F m n q d R (A, B) := Rang(A B), A, B F m n q. Die Minimal-Rangdistanz eines Codes C F m n q d min,r (C) := min{d R (A, B) A, B C, A B}. ist definiert als 20 / 1

44 Einführung Definition Ein Rang-Metrik-Code ist definiert als eine Teilmenge von. Die Rang-Metrik ist definiert als F m n q d R (A, B) := Rang(A B), A, B F m n q. Die Minimal-Rangdistanz eines Codes C F m n q d min,r (C) := min{d R (A, B) A, B C, A B}. ist definiert als Codewörter sind jetzt Matrizen, wobei jeder Zeilen-Vektor entlang einer ausgehenden Kante vom Sender geschickt wird. 20 / 1

45 Einführung Kanal-Modell (kohärentes Network Coding) Sei U F m n q ein Codewort, welches über den Kanal geschickt wurde. Ein empfangenes Wort ist von der Form R = AU + E wobei A F m m q die Linearkombinationen der inneren Knoten (von Sender und Empfänger gekannt) repräsentiert, und E F m n q die Fehlermatrix ist. 21 / 1

46 Einführung Kanal-Modell (kohärentes Network Coding) Sei U F m n q ein Codewort, welches über den Kanal geschickt wurde. Ein empfangenes Wort ist von der Form R = AU + E wobei A F m m q die Linearkombinationen der inneren Knoten (von Sender und Empfänger gekannt) repräsentiert, und E F m n q die Fehlermatrix ist. Der Empfänger dekodiert zum nächsten Codewort zu A 1 R bzgl. der Rang-Metrik. 21 / 1

47 Einführung Verbindung zu Block-Codes: Über F m q = F q m können wir Matrizen in F m n q in F n q m darstellen. So kann jeder Block-Code C F n q m Code erzeugen. als Vektoren einen Rang-Metrik- So können lineare Rang-Metrik-Codes definiert werden (erzeugt durch lineare Block-Codes). 22 / 1

48 Einführung Beispiel Sei F 2 2 = F 2 [α] mit α 2 + α + 1 = 0. Der lineare Block-Code mit Generatormatrix G = (1 α 1) ist C = {(0 0 0), (1 α 1), (α α + 1 α), (α α + 1)} F Als Rang-Metrik-Code C F erhalten wir {( ) ( ) ( C =,, mit Rang-Minimaldistanz 2. ) ( 1 1 1, )} 23 / 1

49 Einführung Hauptforschungsziele (kohärentes Network Coding): Für einen gegebenen Raum F m n q und Minimaldistanz des Codes, finde die beste Packung bzgl. der Rang-Metrik. = beste mögliche Übertragungsrate bei gleicher Fehlerkorrektur Finde effiziente Decodieralgorithmen (möglicherweise zusammen mit Code-Konstruktionen). = schnellere Kommunikation 24 / 1

50

51 Überblick Network Coding-Prozess: 25 / 1

52 Systeme: Input Output Encoder Nachricht Codewort Kanal Codeword empfangenes Wort Decodierer empfangenes Wort Codewort Retriever Codewort Nachricht Durch die Beziehung zu Block-Codes, können für Encoder und Retriever wieder linear Abbildungen verwendet werden. Viele Decodieralgorithmen sind ebenfalls analog zu denen in der Hamming-Metrik. Fehlermatrix (im Kanal) folgt Wahrscheinlichkeitsverteilung. 26 / 1

53 Decodierer + Retriever: Nachricht =argmin{d R (mg, ϕ 1 A (r)) m Fk q m} =argmin{ mg ϕ 1 A (r) R m F k q m} =argmin{ ϕ A (mg) r R m F k q m} G F k n q m Generatormatrix r F n q m empfangenes Wort ϕ A : F n q m Fn q m repräsentiert Linearkombinationen im Netzwerk (entspricht A : F m n q F m n q ) 27 / 1

54 Resultate aus der klassischen Codierungstheorie mit normalen Polynomen werden für die Rang-Metrik-Codes in Ring der linearisierten Polynome übertragen. Definition Ein linearisiertes Polynom in F q m[x] ist von der Form f(x) = d f i x qi. i=0 28 / 1

55 Resultate aus der klassischen Codierungstheorie mit normalen Polynomen werden für die Rang-Metrik-Codes in Ring der linearisierten Polynome übertragen. Definition Ein linearisiertes Polynom in F q m[x] ist von der Form f(x) = d f i x qi. i=0 Theorem Die linearisierten Polynome in F q m[x] bilden einen Ring mit der üblichen Polynomaddition und Komposition als zweiter Operation. 28 / 1

56 Theorem Linearisierte Polynome in F q m[x] sind F q -lineare Abbildungen. Die Nullstellen eines linearisierten Polynoms bilden einen F q -Vektorraum. Zu jeden F q -Vektorraum V F q m linearisiertes Polynom. ist β V (x β) ein 29 / 1

57 Theorem Linearisierte Polynome in F q m[x] sind F q -lineare Abbildungen. Die Nullstellen eines linearisierten Polynoms bilden einen F q -Vektorraum. Zu jeden F q -Vektorraum V F q m linearisiertes Polynom. Beispiel in F 3 2 = F 3 [α] ist β V (x β) ein Das linearisierte Polynom x 3 αx hat Nullstellen 0, α 2, 2α 2. Komposition: (x 3 αx) (αx 3 ) = α 3 x 9 α 2 x 3 Nicht kommutativ!! (αx 3 ) (x 3 αx) = αx 9 α 2 x 3 29 / 1

58 Theorem Linearisierte Polynome in F q m[x] sind F q -lineare Abbildungen. Die Nullstellen eines linearisierten Polynoms bilden einen F q -Vektorraum. Zu jeden F q -Vektorraum V F q m linearisiertes Polynom. Beispiel in F 3 2 = F 3 [α] ist β V (x β) ein Das linearisierte Polynom x 3 αx hat Nullstellen 0, α 2, 2α 2. Komposition: (x 3 αx) (αx 3 ) = α 3 x 9 α 2 x 3 (αx 3 ) (x 3 αx) = αx 9 α 2 x 3 Nicht kommutativ!! = Inverse Operation nennt man symbolische Divison. 29 / 1

59 Auf zum linearisierten Berlekamp-Massey-Algorithmus! 30 / 1

60 Lemma Wenn E F m n q Rang t hat, gibt es A F m t q, B F t n q mit E = AB. (Eindeutig bis auf GL t -Operation in Mitte.) 31 / 1

61 Lemma Wenn E F m n q Rang t hat, gibt es A F m t q, B F t n q mit E = AB. (Eindeutig bis auf GL t -Operation in Mitte.) Isomorph: e = ab mit e F n q m, a Ft q m Alle Elemente in a 1,..., a t Fq sind Nullstellen eines linearisierten Polynoms Λ(x) vom q-grad t. Λ(x) = t i=0 f ix qi nennt man Error-Span-Polynom. 31 / 1

62 Adaption von Berlekamp-Massey-Algorithmus: Repräsentiere den Gabidulin-Code C F m n q Block-Code in F n q m mit Kontrollmatrix als 1 α α 2... α n 1 α q α 2q... α nq H =.. 1 α qn k 1 α 2qn k 1... α nqn k 1. Repräsentiere die empfangene Matrix R = AU + E F m n q als r = ϕ A (c) + e F n qm, wobei Rang(E) = t. Berechne die Syndrome (s 1, s 2,..., s n k ) = rh T = eh T. 32 / 1

63 Adaption von Berlekamp-Massey-Algorithmus: Finde das linearisierte Polynom Λ(x) = Λ i x qi F q m[x] vom kleinsten Grad, s.d. Λ 0 s i+t + Λ 1 s q i+t 1 + Λ 2s q2 i+t Λ ts qt i = 0 für i = 0,..., n k t. 33 / 1

64 Adaption von Berlekamp-Massey-Algorithmus: Finde das linearisierte Polynom Λ(x) = Λ i x qi F q m[x] vom kleinsten Grad, s.d. Λ 0 s i+t + Λ 1 s q i+t 1 + Λ 2s q2 i+t Λ ts qt i = 0 für i = 0,..., n k t. Bestimmte eine Basis {a 1,..., a t } des Nullstellen-Raums von Λ(x). Löse das über F q expandierte Gleichungssystem (a 1,..., a t )B H T = (s }{{} 1,..., s n k ). E Decodiere zu U = A 1 (R E). 33 / 1

65 Beispiel Wir betrachten F 2 5 = F 2 [α] und haben die Syndromfolge (s 1, s 2, s 3, s 4 ) = (α 2 + 1, α 3 + 1, α 5 + 1, α 9 + 1). Der Berlekamp-Massey-Typ-Algorithmus ermittelt Λ(x) = x 4 + (α 2 + α + 1)x 2 + (α 2 + α)x. Dies entspricht keinem linear rückgekoppeltem Schieberegister, aber dem q-analogen eines solchen: 34 / 1

66 Beispiel fortgesetzt Die Nullstellen von Λ(x) = x 4 + (α 2 + α + 1)x 2 + (α 2 + α)x sind {0, 1, α, α + 1} = 1, α F2. Dann können wir (1, α)bh T = (α 2 + 1, α 3 + 1, α 5 + 1, α 9 + 1) über F 2 lösen, E = (1, α)b rekonstruieren und somit decodieren. 35 / 1

67 Zweites Beispiel: Welch-Berlekamp-Algorithmus 36 / 1

68 Welch-Berlekamp-Algorithmus (linearisiert): Betrachte einen Gabidulin-Code C F n q m mit Generatormatrix g 1 g 2... g n g q2 G = 1 g q g q2 n.. g qk 1 1 g qk gn qk 1 und das empfangene Wort r = (r 1, r 2,..., r n ) F n q m. Erstelle das linearisierte Lagrange-Polynom Λ(x), s.d. Λ(g i ) = r i und das linearisierte Annullatorpolynom Π(x), s.d. Π(g i ) = / 1

69 Welch-Berlekamp-Algorithmus (linearisiert): Erstelle Modul M (über dem Ring der linearisierten Polynome) mit der Zeilen-Basis [ Π(x) 0 Λ(x) x Finde minimale (reduzierte) Basis (b 1 b 2 ), (b 1 b 2 ) für M (bzgl. des (0, k 1)-gewichteten q-grads). ]. Dann ist b 1 1 b 2 die dekodierte Nachricht. 38 / 1

70 Welch-Berlekamp-Algorithmus (linearisiert): Erstelle Modul M (über dem Ring der linearisierten Polynome) mit der Zeilen-Basis [ Π(x) 0 Λ(x) x Finde minimale (reduzierte) Basis (b 1 b 2 ), (b 1 b 2 ) für M (bzgl. des (0, k 1)-gewichteten q-grads). ]. Dann ist b 1 1 b 2 die dekodierte Nachricht. = Modellierung in Moduln von minimalem Grad = minimale Zustandsdarstellung 38 / 1

71 Welch-Berlekamp-Algorithmus (linearisiert): Erstelle Modul M (über dem Ring der linearisierten Polynome) mit der Zeilen-Basis [ Π(x) 0 Λ(x) x Finde minimale (reduzierte) Basis (b 1 b 2 ), (b 1 b 2 ) für M (bzgl. des (0, k 1)-gewichteten q-grads). ]. Dann ist b 1 1 b 2 die dekodierte Nachricht. = Modellierung in Moduln von minimalem Grad = minimale Zustandsdarstellung = kann mit linearisiertem Euklid oder Gröbnerbasen berechnet werden 38 / 1

72 Zusammenfassung und Ausblick

73 Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung Einführung klassische Codierungstheorie (Hamming-Metrik) Einführung kohärentes Network Coding (Rang-Metrik) Beispiele von verschiedenen Systemen: Encoder, Kanal, Decodierer, Retriever Berlekamp-Massey-Decodieralgorithmus (klassisch und linearisiert) Welch-Berlekamp-Decodieralgorithmus (linearisiert) Häufige Technik: Minimale Zustandsdarstellung / Irreduzible Transferfunktion 39 / 1

74 Zusammenfassung und Ausblick Ausblick in andere Bereiche Belief-Propagation-Algorithmus (System mit Feedback, was stabilisiert werden soll) Faltungscodes (Encoder ist System mit Feedback) Physical Layer Coding / Gitter-Codierungstheorie (über R n oder C n mit Euklidischer Metrik) Coding über Fading Channels 40 / 1

75 Zusammenfassung und Ausblick Ausblick in andere Bereiche Belief-Propagation-Algorithmus (System mit Feedback, was stabilisiert werden soll) Faltungscodes (Encoder ist System mit Feedback) Physical Layer Coding / Gitter-Codierungstheorie (über R n oder C n mit Euklidischer Metrik) Coding über Fading Channels Danke für die Aufmerksamkeit! Fragen? Kommentare? 40 / 1