Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
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- Lieselotte Möller
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1 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Oliver Ernst Professur Numerische Mathematik Wintersemester 2014/15
2 Inhalt I 1 Einleitung 1.1 Volterras Prinzip 1.2 Begriffe und theoretische Resultate 1.3 Lineare Differenzengleichungen 1.4 Matrixfunktionen 1.5 Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 1.6 Die Fälschungen des Han van Meegeren 1.7 Weitere Beispiele 2 Numerische Methoden für Anfangswertprobleme 2.1 Das Euler-Verfahren 2.2 Eine Sammlung von Beispielverfahren 2.3 Konvergenz, Konsistenz und Stabilität 2.4 Der Hauptsatz 2.5 Einschrittverfahren 2.6 Numerische Experimente 3 Lineare Mehrschrittverfahren 3.1 Begriffe 3.2 Die erste Dahlquist-Barriere Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/15 6 / 278
3 Inhalt II 3.3 Die Verfahren von Adams-Bashforth und Adams-Moulton 3.4 Prädiktor-Korrektor-Verfahren 3.5 Absolute Stabilität 3.6 BDF-Verfahren 4 Runge-Kutta-Verfahren 4.1 Konstruktion 4.2 Konsistenzordnung 4.3 Absolute Stabilität 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren 4.6 Kollokationsmethoden 5 Steife Differentialgleichungen 5.1 Was sind steife Differentialgleichungen? 5.2 Stabilitätsbegriffe 5.3 Ordnungssterne 5.4 Lineare MSV für steife Probleme 5.5 RKV für steife Probleme Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/15 7 / 278
4 Inhalt III 5.6 Nichtlineare Stabilitätstheorie Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/15 8 / 278
5 Inhalt 1 Einleitung 2 Numerische Methoden für Anfangswertprobleme 3 Lineare Mehrschrittverfahren 4 Runge-Kutta-Verfahren 5 Steife Differentialgleichungen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
6 Inhalt 1 Einleitung 2 Numerische Methoden für Anfangswertprobleme 3 Lineare Mehrschrittverfahren 4 Runge-Kutta-Verfahren 5 Steife Differentialgleichungen 5.1 Was sind steife Differentialgleichungen? 5.2 Stabilitätsbegriffe 5.3 Ordnungssterne 5.4 Lineare MSV für steife Probleme 5.5 RKV für steife Probleme 5.6 Nichtlineare Stabilitätstheorie Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
7 Was sind steife Differentialgleichungen? Es gibt keine zufriedenstellende Definition der Bauart eine DG heißt steif, wenn.... Wir beschreiben nun verschiedene Aspekte des Phänomens Steifheit einer DG an Beispielen. Beispiel 1. Die beiden AWPe 2 y 1 1 2sint 2 y `, yp0q, 1 2 2pcos t sin tq 3 (AWP 1 ) 2 y 1 1 2sint 2 y `, yp0q, pcos t sin tq 3 (AWP 2 ) besitzen dieselbe Lösung. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
8 Was sind steife Differentialgleichungen? 3 yptq expp tq 2 ` 2 sin t. cos t y y Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
9 Was sind steife Differentialgleichungen? Wir lösen beide Probleme für t Pr0, 10s mit der Matlab-Routine ode45 (die ein eingebettetes RKV, das Verfahren von Dormand-Prince, verwendet, bei dem zwei RKV der Ordnungen 4 bzw. 5 kombiniert werden), wobei wir eine relative Toleranz von 0.01 vorgeben. 3 System 1: 64 Schritte (ode45) 3 System 2: Schritte (ode45) y 2 y y 1 y Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
10 Was sind steife Differentialgleichungen? Obwohl die exakte Lösung in beiden Fällen dieselbe ist, erfordert die Lösung von (AWP 2 ) etwa 200-mal mehr Aufwand als die von (AWP 1 ): AWP h min h max h? Schritte (AWP 1 ) 2.27e e e-1 64 (AWP 2 ) 5.98e e e Lösen wir die beiden Probleme mit der Matlab-Routine ode23tb (die die Trapezregel mit der Gear-Formel der Ordnung 2 kombiniert), so ergibt sich (relative Toleranz wie oben = 0.01): AWP h min h max h? Schritte (AWP 1 ) 2.13e e e-1 19 (AWP 2 ) 2.13e e e Beide Probleme werden ohne Schwierigkeiten gelöst. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
11 Was sind steife Differentialgleichungen? 3 System 1: 19 Schritte (ode23tb) 3 System 2: 20 Schritte (ode23tb) y 2 y y 1 y Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
12 Was sind steife Differentialgleichungen? Die Unterschiede zwischen den beiden AWPen werden sichtbar, wenn wir alle Lösungen der zugehörigen Systeme betrachten. Im ersten Fall ergibt sich 1 1 sin t y apple 1 expp tq ` apple 1 2 expp 3tq `, 1 cos t während im zweiten Fall y apple 1 expp tq 1 1 ` apple 1 2 expp 1000tq ` 998 sin t cos t die allgemeine Lösung ist. (Beide Systeme sind inhomogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten, wobei die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix im ersten Fall 1 1, 2 3 und im zweiten Fall 1 1, sind.) Die Lösungen der konkreten AWPe sind jeweils durch apple 1 2 und apple 2 0 (!) gegeben. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
13 Was sind steife Differentialgleichungen? In beiden Fällen ist die Lösung aus einem Gleichgewichtsanteil, nämlich rsin t, cos ts J, und einem transienten Anteil der Form expp 1 tqa 1 ` expp 2 tqa 2 zusammengesetzt. Die Unterschiede liegen in der Geschwindigkeit, mit der der transiente Teil (für t Ñ8) verschwindet. Obwohl in der exakten Lösung der AWPe gar nicht erkennbar ist, wie schnell der abklingende Anteil verschwindet (apple 2 0), bestimmt er die erforderliche Schrittweite. Würde man in (AWP 2 )dieabinyp0q r0, 1s J ändern, so würde apple 1 apple 2 0 folgen, d.h. der transiente Teil ist in der Lösung yptq rsin t, cos ts J vollständig unsichtbar. Selbst dann wäre ode45 nur mit extrem kleiner Schrittweite in der Lage, die Aufgabe zu lösen. Wir betrachten die Stabilitätsbereiche R A :Fürode45 kann man zeigen, dass R A X R r 3, 0s (Stabilitätsintervall). Will man für (AWP 1 )also h P R A (für alle Eigenwerte ) garantieren, genügt es, h 1 zu fordern (die durchschnittliche Schrittweite von h? resultiert aus der geforderten Genauigkeit!). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
14 Was sind steife Differentialgleichungen? Dagegen muss für (AWP 2 ) h gefordert werden, damit h P R A für alle folgt und es sind Stabilitätsprobleme, die zu der kleinen durchschnittlichen Schrittweite von h? führen. Das Verfahren ode23tb ist absolut stabil, so dass hier h für alle h 0 (in jedem der beiden Fälle (AWP 1 )und(awp 2 )) im Stabilitätsbereich liegt. Für y 1 Ay ` bptq heißt max P paq Re min P paq Re Steifigkeitsquotient des linearen DG-Systems. Ein lineares DG-System mit konstanten Koeffizienten heißt steif, wenn seine Eigenwerte alle negativen Realteil besitzen und sein Steifigkeitsquotient groß ist. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
15 Was sind steife Differentialgleichungen? Um die Problematik dieser gebräuchlichen Definition zu erläutern, betrachten wir ein weiteres AWP (mit derselben Lösung): y sint 2 y `, yp0q. (AWP pcos t sin tq 3 3 ) Die Matrix dieses Systems besitzt die Eigenwerte 1 1, und sein Steifigkeitsquotient beträgt 1000 (wie bei (AWP 2 )). Trotzdem hat ode45 keine ernsten Probleme: AWP h min h max h? Schritte (AWP 3 ) 1.19e e e-1 44 (ode45) (AWP 3 ) 1.25e e e-1 22 (ode23tb) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
16 Was sind steife Differentialgleichungen? Ob ein System steif ist oder nicht kann also nicht immer aus dem Steifigkeitsquotienten abgelesen werden. Auch Definitionen wie ein System ist steif, wenn max Re groß ist (etwa max Re "1) sind natürlich wenig hilfreich (die Variablentransformation t fiñ 0.001t macht aus (AWP 2 ) ein Problem, das dieselbe Steifigkeit besitzt, bei dem aber max Re 1 gilt). Pragmatische Definitionen für Steifigkeit sind: Ein System ist steif, wenn Stabilitätsanforderungen und nicht Genauigkeitsanforderungen die Größe der Schrittweite bestimmen. Ein System heißt steif, wenn gewisse Komponenten der Lösung sehr viel schneller abklingen als andere. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
17 Was sind steife Differentialgleichungen? Beispiel 2. Die Differentialgleichung y 1 ptq pyptq gptqq ` g 1 ptq ( ) besitzt die allgemeine Lösung yptq expp tq ` gptq ( P R). Wir wählen g als glatte Funktion, z.b. gptq arctan t und 10. Auchhier setzt sich die Lösung aus einem glatten (gptq = Gleichgewichtsanteil) und einem schnell abklingenden Teil ( expp tq = transienter Anteil) zusammen. Wir wählen die AB yp0q 0 und approximieren die exakte Lösung yptq arctan t für t Pr0, 5s mit dem expliziten Euler-Verfahren (R A tĥ Euler-Verfahren (R A Cztĥ : ĥ 1 1u). : ĥ ` 1 1u) und dem impliziten Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
18 Was sind steife Differentialgleichungen? Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
19 Was sind steife Differentialgleichungen? Explizit: 2 h= h= h= Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
20 Was sind steife Differentialgleichungen? Implizit: 2 h= h= h= Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
21 Inhalt 1 Einleitung 2 Numerische Methoden für Anfangswertprobleme 3 Lineare Mehrschrittverfahren 4 Runge-Kutta-Verfahren 5 Steife Differentialgleichungen 5.1 Was sind steife Differentialgleichungen? 5.2 Stabilitätsbegriffe 5.3 Ordnungssterne 5.4 Lineare MSV für steife Probleme 5.5 RKV für steife Probleme 5.6 Nichtlineare Stabilitätstheorie Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
22 Stabilitätsbegriffe Erinnerung. Ein numerisches Verfahren zur Lösung von heißt A-stabil, wenn folgendes gilt: y 1 f pt, yq, yp0q y 0, Wendet man das Verfahren auf ein lineares Problem y 1 Ay (t Pr0, 8q) anund liegen die Eigenwerte von A alle in der linken Halbebene t :Re 0u, dannsoll für die Näherungslösung stets lim nñ8 }y n } 0 gelten (die exakte Lösung erfüllt lim tñ8 }yptq} 0). In konkreten Fällen wird die äquivalente Bedingung R A Ötĥ :Reĥ 0u überprüft. Zur Definition des Stabilitätsbereichs R A vergleiche Abschnitt 5 für lineare Mehrschrittverfahren und Abschnitt 3 für RKV (oder allgemeine Einschrittverfahren). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
23 Stabilitätsbegriffe Abgeschwächte Stabilitätsbegriffe sind Ap q-stabil für Pp0, {2q ô R A Ötĥ : arg ĥ u, A 0 -stabil ô R A Öp 8, 0q, steif-stabil ô R A Ö R 1 p qyr 2 p, q für positive und,wobei R 1 p q : tĥ R 2 p, q : tĥ :Reĥ u und : Re ĥ 0, Im ĥ u. Außerdem heißt ein Einschrittverfahren L-stabil, wenn es A-stabil ist und zusätzlich gilt: Bei Anwendung auf die Testgleichung y 1 y, Re 0, resultiert eine Näherung y n`1 Rph qy n mit lim h Ñ 8 Rph q 0. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
24 Stabilitätsbegriffe A stabil A(α) stabil steif stabil Imag ζ Imag ζ Imag ζ γ Real ζ α Real ζ β Real ζ 0 α 0 0 γ Offensichtlich gilt (0 argp ` i q) L-stabil ñ A-stabil ñ steif-stabil ñ Ap q-stabil ñ A 0 -stabil. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
25 Stabilitätsbegriffe Die Trapezregel y n`1 y n ` 1 2 hpf n`1 ` f n q,d.h. Rpĥq p1`ĥ{2q{p1 ĥ{2q, ista-stabil, aber nicht L-stabil. Das implizite Euler-Verfahren y n`1 y n ` hf n`1,d.h.rpĥq 1{p1 ĥq, ist dagegen L-stabil. Wir illustrieren den Unterschied, indem wir mit beiden Verfahren die Lösung von (AWP 2 ) aus Abschnitt 1 approximieren. Um den transienten Anteil der Lösung besser sichtbar zu machen, werden die ABen yp0q r0, 0s J vorgeschrieben. Die exakte Lösung ist dann yptq expp tq ` expp 1000tq ` 998 sin t. cos t Die folgende Abbildung zeigt die zweite Komponente der (Näherungs)lösung für h 0.2. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
26 Stabilitätsbegriffe h=0.2 exakte Loesung Trapezregel implizites Euler Verfahren Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
27 Stabilitätsbegriffe Das Beispiel» fi» y fl y, yp0q 1 fi 0fl, mit der exakten Lösung» fi expp0.8tq sinp8tq`expp 50tq yptq expp0.1tq cosp8tq expp 50tq fl expp0.1tqpsinp8tq `cosp8tqq ` expp 50tq zeigt, dass L-stabile Verfahren nicht immer besser sind als A-stabile (die folgende Abbildung zeigt die erste Komponente der (Näherungs)lösung für h 0.04 und t Pr0, 1.5s). Beim impliziten Euler-Verfahren müsste man h wählen, um eine akzeptable Näherung zu erhalten (warum?). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
28 Stabilitätsbegriffe h= exakte Loesung Trapezregel implizites Euler Verfahren Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
29 Inhalt 1 Einleitung 2 Numerische Methoden für Anfangswertprobleme 3 Lineare Mehrschrittverfahren 4 Runge-Kutta-Verfahren 5 Steife Differentialgleichungen 5.1 Was sind steife Differentialgleichungen? 5.2 Stabilitätsbegriffe 5.3 Ordnungssterne 5.4 Lineare MSV für steife Probleme 5.5 RKV für steife Probleme 5.6 Nichtlineare Stabilitätstheorie Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
30 Ordnungssterne Wendet man ein Einschrittverfahren (ESV) auf die Testgleichung y 1 y an, so gilt y n`1 Rp hqy n. Dabei ist R ein Polynom (bei expliziten Verfahren) oder eine (gebrochen) rationale Funktion in ĥ h. Besitzt das ESV die Konsistenzordnung p, so ist Rpĥq exppĥq Opĥp`1 q pĥ Ñ 0q. Natürlicher Ansatz: Bestimme eine rationale Funktion R vom Typ pk, `q (k = Zählergrad, ` = Nennergrad), so dass der Exponent µ in Rpĥq exppĥq Opĥµ q maximal wird. Es zeigt sich, dass das Maximum µ k```1 durch die in Abschnitt 4 eingeführten Padé-Approximationen pk, `q exp realisiert wird. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
31 Ordnungssterne pk, `q exp p q für 0 k, ` 3: k, ` ` 1 1 1` ` ` 1 1` 2 3 ` ` ` 1 2 2` 1 3 1` 4 ` 1 4 2` ` ` ` ` ` 1 2 ` ` ` 3 5 ` 3 1` ` ` 2 5 ` ` ` ` 1 2 ` ` ` ` Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
32 Ordnungssterne Eine rationale Approximation Rp q an expp q heißt A-akzeptabel, wenn Rp q 1 für alle P C mit Re 0, A 0 -akzeptabel, wenn Rp q 1 für alle P R mit 0, L-akzeptabel, wenn R A-akzeptabel ist und Rp q Ñ0 für Ñ 8gilt. Satz 5.1 Es gilt 1. pk, kq exp ist A-akzeptabel (G. Birkhoff, R.S. Varga 1962). 2. pk, `q exp ist A 0 -akzeptabel für k ` (R.S. Varga 1961). 3. pk, `q exp ist L-akzeptabel für k Pt` 1,` 2u (B.L. Ehle, 1969). 4. pk, `q exp ist genau dann A-akzeptabel, wenn k Pt`, ` 1,` 2u (Ehle-Vermutung; G. Wanner, E. Hairer, S.P. Nørsett 1978). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
33 Ordnungssterne Der Beweis der vierten Aussage basiert auf der Theorie der Ordnungssterne. Ist Rp q eine rationale Funktion, so heißt S R : t P C : Rp q expp q u der zugehörige Ordnungsstern. SeiT R : CzS R sein Komplement. Vier Eigenschaften. (1) R ist genau dann eine Approximation der Ordnung p an die Exponentialfunktion (d.h. Rp q expp q Op p`1 q für Ñ 0), wenn Folgendes gilt: Für Ñ 0 besteht sowohl S R als auch T R aus genau p ` 1 Sektoren mit Winkel jeweils {pp`1q. Die Sektoren von S R und T R trennen sich. (p 5) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
34 Ordnungssterne (2) Der Rand von S R enthält genau zwei unbeschränkte Zweige. (3) Komponenten von S R,diek Sektoren enthalten, nennt man Finger der Ordnung k. Komponenten von T R,diek Sektoren enthalten, heißen duale Finger der Ordnung k. Es gilt: Jeder beschränkte Finger der Ordnung k enthält mindestens k Pole von R (Vielfachheiten mitzählen). Jeder beschränkte duale Finger der Ordnung k enthält mindestens k Nullstellen von R (Vielfachheiten mitzählen). (4) R ist genau dann A-akzeptabel, wenn S R keine Punkte der imaginären Achse enthält und R keine Pole in der linken Halbebene Re 0 besitzt. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
35 Ordnungssterne o: Pole, +: Nullstellen o: Pole, +: Nullstellen Ordnungssterne der Padé-Approximationen p2, 3q exp (links) und p1, 4q exp (rechts). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
36 Ordnungssterne o: Pole, +: Nullstellen o: Pole, +: Nullstellen Ordnungssterne der Padé-Approximation p0, 5q exp (links) und einer (nicht A-akzeptablen) p4, 5q-Approximation R der Ordnung 5 (rechts) (Rp q r ` ` 14 5s{r 5 ` ` ` 19 5s). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
37 Inhalt 1 Einleitung 2 Numerische Methoden für Anfangswertprobleme 3 Lineare Mehrschrittverfahren 4 Runge-Kutta-Verfahren 5 Steife Differentialgleichungen 5.1 Was sind steife Differentialgleichungen? 5.2 Stabilitätsbegriffe 5.3 Ordnungssterne 5.4 Lineare MSV für steife Probleme 5.5 RKV für steife Probleme 5.6 Nichtlineare Stabilitätstheorie Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
38 Lineare MSV für steife Probleme Satz 5.2 (Zweite Dahlquist-Barriere) Es gilt: Kein explizites lineares MSV ist A-stabil. Ein A-stabiles lineares MSV besitzt höchstens die Ordnung 2. Das A-stabile lineare MSV mit Konsistenzordnung 2 und kleinster Fehlerkonstante ist die Trapezregel. Satz 5.3 (C.W. Cryer, 1973) Es gilt: Kein explizites lineares MSV ist A 0 -stabil. Es gibt A 0 -stabile lineare MSV beliebig hoher Konsistenzordnung. Beispielsweise sind die Gear-Verfahren aus Abschnitt 6 alle A 0 -stabil. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
39 Inhalt 1 Einleitung 2 Numerische Methoden für Anfangswertprobleme 3 Lineare Mehrschrittverfahren 4 Runge-Kutta-Verfahren 5 Steife Differentialgleichungen 5.1 Was sind steife Differentialgleichungen? 5.2 Stabilitätsbegriffe 5.3 Ordnungssterne 5.4 Lineare MSV für steife Probleme 5.5 RKV für steife Probleme 5.6 Nichtlineare Stabilitätstheorie Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
40 RKV für steife Probleme Entscheidend (vgl. Abschnitt 3) Rpĥq 1 ` ĥbj pi ĥaq 1 e detpi ĥpa ebt qq detpi ĥaq. Ordnung Typ von R Stabilität Gauß 2m pm, mq A-stabil Gauß-Radau 2m 1 pm 1,mq L-stabil Gauß-Lobatto 2m 2 pm 1,m 1q A-stabil Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
41 Inhalt 1 Einleitung 2 Numerische Methoden für Anfangswertprobleme 3 Lineare Mehrschrittverfahren 4 Runge-Kutta-Verfahren 5 Steife Differentialgleichungen 5.1 Was sind steife Differentialgleichungen? 5.2 Stabilitätsbegriffe 5.3 Ordnungssterne 5.4 Lineare MSV für steife Probleme 5.5 RKV für steife Probleme 5.6 Nichtlineare Stabilitätstheorie Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
42 Nichtlineare Stabilitätstheorie Alle bisher getroffenen Stabilitätsaussagen basieren auf der Untersuchung linearer Systeme mit konstanten Koeffizienten (lineare Stabilitätstheorie). Oft wird versucht, diese Aussagen mit folgender Argumentation zu verallgemeinern: Die Lösung y des AWPs y 1 f pt, yq, ypt 0 q y 0 kann durch die Lösung der linearen Variationsgleichung y 1 f pt, y ptqq ` f y pt, y ptqqry y ptqs ( ) approximiert werden. Lokal ist f y pt, y q nahezu zeitunabhängig, so dass ( ) näherungsweise die Form y 1 Ay ` gptq besitzt. Zwei Beispiele sollen zeigen, dass Skepsis gegenüber diesem frozen Jacobian argument angebracht ist. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
43 Nichtlineare Stabilitätstheorie Beispiel 1. y cos 2 p6tq`6sinp12tq 12 cos 2 p6tq`4.5sinp12tq 12 sin 2 p6tq`4.5sinp12tq 1 9sin 2 y. p6tq 6sinp12tq Die Systemmatrix Aptq besitzt die (t-unabhängigen!) Eigenwerte 1 1, Obwohl die Eigenwerte negativ sind, ist die allgemeine Lösung cosp6tq`2sinp6tq sinp6tq 2cosp6tq yptq apple 1 expp2tq ` apple 2 cosp6tq sinp6tq 2 expp 13tq 2sinp6tq`cosp6tq sicher nicht monoton fallend für t 0. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
44 Nichtlineare Stabilitätstheorie Beispiel 2. y 1 «1 2t t 2 2 t 3 1 2t y, t 1. ( ) Die Systemmatrix Aptq besitzt die Eigenwerte 1,2 p 1 2iq{p2tq, diefürt 1 negativen Realteil besitzen. Die allgemeine Lösung ist t 3{2 2t 3{2 log t yptq apple 1 1 ` apple 2 2 t1{2 t 1{2. p1 log tq Für apple 1 1, apple 2 0 ist }y} 2 2 t 3 ` 1 4 t streng monoton wachsend (für t 12 1{ ). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
45 Nichtlineare Stabilitätstheorie Definition 5.4 Das System y 1 f pt, yq heißt dissipativ in rt 0,t end s,wenn xf pt, yq f pt, ỹq, y ỹy 0 für alle t Prt 0,t end s und alle y, ỹ aus dem Definitionsbereich von f gilt. x, y bezeichnet ein (z.b. das Euklidische) Innenprodukt im R n. Satz 5.5 Ist das System y 1 f pt, yq dissipativ in rt 0,t end s,dannistesauchkontraktiv in rt 0,t end s. Bedeutet: Für je zwei Lösungen y, ỹ von y 1 f pt, yq mit Anfangsbedingungen ypt 0 q y 0, ỹpt 0 q ỹ 0, y 0 ỹ 0,gilt }ypt 2 q ỹpt 2 q} }ypt 1 q ỹpt 1 q} für alle t 1, t 2 mit t 0 t 1 t 2 t end. p} } : x, y 1{2 q Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
46 Nichtlineare Stabilitätstheorie Ob ein System dissipativ (kontraktiv) ist, kann mit Hilfe logarithmischer Normen entschieden werden: Sei } } eine (von einer Vektornorm induzierte) Matrixnorm im R nˆn. Dann heißt }I n ` ha} 1 µpaq µ } } paq : lim hñ0` h pa P R nˆn q die zu } } gehörige logarithmische Norm. Ist} } } } p,soschreibtmanµ p p q für die zugehörige logarithmische Norm. Eigenschaften. (1) Die logarithmische Norm ist trotz ihres Namens keine Norm. (2) Wird } }von einem Innenprodukt x, y induziert, so gilt µpaq max }x } 1 xax, x y. (3) µ 2 paq p 1 2 pa ` AJ qq ( = Spektralradius). (4) Ist f pt, yq Aptqy, soist xf pt, yq f pt, ỹq, y ỹy xapy ỹq, y ỹy µpaq}y ỹ} 2. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
47 Nichtlineare Stabilitätstheorie Satz 5.6 Seien } } eine Norm im R n und ptq : R Ñ R eine stückweise stetige Funktion mit µpf y pt, yqq ptq für alle t Prt 0,t end s und alle y aus dem Definitionsbereich von f. Dann gilt für je zwei Lösungen y, ỹ von y 1 f pt, yq mit Anfangsbedingungen ypt 0 q y 0, ỹpt 0 q ỹ 0, y 0 ỹ 0, ˆª t2 }ypt 2 q ỹpt 2 q} exp psq ds }ypt 1 q ỹpt 1 q} t 1 für alle t 1, t 2 mit t 0 t 1 t 2 t end. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
48 Nichtlineare Stabilitätstheorie Beispiel. Für das System ( ) von Seite 271 gilt: f y pt, yq Aptq «1 2t t 2 2 t 3 1 2t. Es folgt µ 2 paptqq p 1 2 paptq`aptqj qq max ˇˇ 1 2t ` 1 t 3 und damit µ 2 paptqq 0 genau dann, wenn t Prt 1,t 2 s«r1.1, 1.8s mit t 1,2 p? 5 1q 1{2. ˇˇ( t 4 Das System ist daher in rt 1,t 2 s dissipativ (und kontraktiv). Folglich ist }yptq} 2 für jede Lösung y in rt 1,t 2 s monoton fallend. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
49 Nichtlineare Stabilitätstheorie y(t) / y(1) als Funktion von t 1 κ 1 =1, κ 2 =1.5 κ 1 =1, κ 2 =0.54 κ 1 =1, κ 2 = t_1 t_2 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
50 Nichtlineare Stabilitätstheorie Definition 5.7 Ein Runge-Kutta-Verfahren gegeben durch das Butcher-Tableau c A b J heißt algebraisch stabil, wenn die symmetrischen Matrizen B : diagp 1, 2,..., mq und M : BA ` A J B bb J beide positiv semidefinit sind. Satz 5.8 Seien y 1 f pt, yq ein dissipatives System und ty n u, tỹ n u, y 0 ỹ 0, Näherungslösungen, die aus der Anwendung eines Runge-Kutta-Verfahrens resultieren. Dann gilt: Ist das Verfahren algebraisch stabil, so sind die Näherungen kontraktiv, d.h. }y n`1 ỹ n`1 } }y n ỹ n } pn 0, 1,...q. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
51 Nichtlineare Stabilitätstheorie Beispiele. Die m-stufigen Gauß-Formeln (m Pt1, 2, 3u) aus Abschnitt 5 sind alle algebraisch stabil (hier ist M die Nullmatrix!). Die Gauß-Radau-Formel ist algebraisch stabil, denn: M , d.h. pmq t0, 1{8u. Die Trapez-Regel (aufgefasst als implizites zweistufiges RKV) ist nicht algebraisch stabil ( pm q t 1{2u). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) ODE Wintersemester 2014/ / 278
Eingebettete Runge Kutta Verfahren DOPRI5(4) Verfahren: FSAL Verfahren
Eingebettete Runge Kutta Verfahren DOPRI5(4) Verfahren: FSAL Verfahren 0 1 5 3 10 4 5 8 9 1 5 3 9 40 40 44 45 56 15 19372 6561 25360 2187 9017 1 3168 355 33 1 35 348 0 500 1113 35 500 p = 5 348 0 1113
14 Lineare Differenzengleichungen
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