Mechanik der Kontinua Guido Schmitz,

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1 Mechank der Kontnua Gudo Schmtz, Glechgewchtsbedngung für enen elastschen Körper En Körper befndet sch m mechanschen Glechgewcht (d.h. de Deformaton st stabl n der Zet), falls de resulterenden Kräfte auf edes Volumenelement verschwnden. De elastschen Kräfte, de über de Oberflächen auf en Volumenelement wrken, werden we berets dskutert durch den Spannungstensor dargestellt. Zusätzlch müssen wr noch Kräfte berückschtgen, de drekt auf das Volumen wrken, we etwa das Gravtatonfeld, das an de schwere Masse koppelt, oder en elektrsches Feld, das Kräfte ausübt, falls das Volumen ene absolute Ladung enthält oder enen Ladungsdpol darstellt. Wr fordern also für das Glechgewcht (als Bespel her Gravtatonskräfte mt Beschleungung g ): F elast k V + F k grav ds k + V ; { x, y, z} ρ g dv (4.3) Das Oberflächenntegral m ersten Term transformeren wr n en Volumenntegral (Satz von Gauss) x k dv + V k k V ρ g dv k + ρ g ; x V (4.33) xk Gl muß überall m Volumen des Körpers erfüllt sen. De Spannungen an den Außenflächen werden durch äußere Spannungen p aufgebracht. Also muss auf der Oberfläche gelten: ds p ds ; x V (4.33a ) k k Anmerkung zur Verwendung des Satz von Gauss: Se haben bsher desen Satz nur be Vektoren angewandt, her st aber en Tensor. Stufe. Jedoch stellt n Glechung 4.3 be festem enen enfachen Vektor dar, dessen Komponenten mt k ndzert werden. Der Satz von Gauss wrd also für ede Kraftrchtung getrennt angewendet. Für alle Fälle noch de anschaulche Deutung: Z.B Kraft n x-rchtung auf Volumenwürfel aufgrund ener mt x zunehmenden Normalspannung ergbt sch aus Dfferenz der Kraft an der lnken und rechten Fläche. Also F x ( xx ( x + x) xx ( x)) y z xx ( x) x y z ( Taylorentwcklung!) x Genauso de Überlegung für alle anderen Flächen des Volumens und Komponenten des Spannungstensors und der Satz von Gauss st bewesen (zumndest für enen Physker).

2 4.5.6 Verallgemenertes Hooksches Gesetz Nach der Defnton des Verzerrungs- und Spannungstensors, snd wr nun n der Lage de Egenschaften des Tensors der elastschen Modulen n Gl. 4.3 zu bestmmen. Da und von. Stufe, muss de lneare Abbldung kl von 4. Stufe sen. D.h. kl hätte m Extremfall 8 unabhängge Komponenten. Glücklcherwese läßt sch de große Zahl der Parameter auf Grund von Symmetreüberlegungen wetgehend reduzeren. Das werden wr m weteren studeren. Zunächst untersuchen wr allgemene Symmetren, de unabhängg vom betrachteten Materal gelten. Dazu ene energetsche Betrachtung (Wr hatten a schon bem Tensor der Polarserbarket gesehen, dass solche Betrachtungen geegnet snd um Symmetreegenschaften aufzudecken Abschntt 4.4.3): Thermodynamk der Deformaton Wr denken uns de Verzerrung enes Körpers kontnuerlch durch en zunehmendes Verschebungsfeld aufgebaut und ermtteln, de dabe aufzubrngende mechansche Arbet. Energeänderung mt klener Verschebung δu (Kraft auf das Volumenelement x Verschebung): δw, f δ u dv δ u dv x sehe Gl.(4.33) An deser Stelle benutzen wr den Gausschen Satz, um ene Art mehrdmensonale partelle Integraton auszuführen, nämlch Gauss u δuds ( δu ) dv u dv dv x δ + x V V V V x Brngen wr den letzten Term rechts auf de lnke Sete, so erhalten wr de Formel für partelle Integraton und damt: δu δw δuds dv x V, Für enen sehr großen Körper werden de elastschen Energen an der Oberfläche nur ene untergeordnete Rolle spelen. Wr vernachlässgen deshalb den ersten Term auf der rechten Sete. Im zweten Term ordnen wr de Summengleder so um, dass wr den Tensor n der Glechung erhalten: δ W,, δ δ u x dv dv Betrachten wr, we n der Elastztätstheore üblch, de Energe pro Volumen so fnden wr schleßlch enen sehr überschtlchen Ausdruck δw, w δ δw, δ u + x (4.35)

3 De elastsche Deformatonsarbet geht n de Free Energe n ähnlcher Wese en, we de allgemene mechansche Arbet pdv. Also für de Free Energe pro Volumen: f sdt + Genauso we der Druck auf en System berechnet werden kann durch p-df/dv T fnden wr für den Spannungstensor Da kl glt für den Tensor der elastschen Modulen f kl d f kl (4.36) D.h. der Tensor st symmetrsch gegen de Vertauschung von mt kl. Ausserdem wssen wr a schon, dass Verzerrungs- und Spannungstensor symmetrsch snd, so dass für wetere Glechungen gelten: kl kl kl Das snd nsgesamt 6 unabhängge Glechungen, folglch bleben unabhängge Parameter zur Beschrebung des allgemensten elastschen Materals Vogt-Notaton Um den Tensor 4. Stufe formal darzustellen, schrebt man gewöhnlch den Spannungs- und Verzerrungstensor als enen 9-komponentgen Vektor, so dass kl als ene 9x9 Matrx geschreben werden kann: T lk (4.37 ) (4.38) Ene Redukton deser 9x9 Matrx wrd errecht, wenn man de Redundanz der Informaton n den ncht-dagonalen Elementen von und berückschtgt. Da symmetrsch, snd de letzen dre Vektorzelen von Gl obsolet. De Matrx der elastschen Moduln wrd also formal als ene 6x6 Matrx geschreben. Zur Vermedung von zuvel Schrebarbet st es ferner üblch, de Indzees be n Paaren zusammenzufassen und dese n der folgenden Wese durch Enfachndzees zu ersetzen:

4 (4.39 ) (Vogt-Notaton). (Beachte den Faktor zwe vor den Komponenten des Verzerrungstensors n den letzten dre Vektorzelen von Gl Deser wrd sofort enschtg, wenn man auf Gl. 4.3 zurückgeht. 9 Summanden n eder Zele!) In der Lteratur werden de elastschen Konstanten ener Substanz n der Regel mt desen zwe Indzees angegeben. Dese müssen dann für Rechnungen n das 4er Schema übersetzt werden. Aus der Vogt-Notaton st de maxmale Zahl unabhängger Parameter offenschtlch. De 6x6 Matrx der st symmetrsch. Also 6 + (36-6)/ unabhängge Komponenten Kubsche Symmetre Wr zegen etzt am Bespel der kubschen Symmetre de wetere Redukton der Zahl unabhängger Parameter für den Tensor 4. Stufe, falls de Substanz weterer Punktsymmetren gehorcht. De kubsche Symmetre drücken wr aus durch ) 3 Spegelebenen, de senkrecht auf den Koordnatenachsen stehen und durch ) 4 verzählge Drehachsen parallel zu den Koordnatenachsen. Ene Spegelung überführt etwa de Vektorkomponenten x -x, y y, z z. Folglch muss gelten xyyz f xy yz Führt man de gleche Überlegung für alle anderen Spegelebenen und möglchen Kombnaton der Indzees aus, so stellt man fest, das alle Modulen mt ungerader Anzahl glecher Indzees verschwnden müssen. In der Matrx n Vogt-Notaton blebt also nur noch der obere lnke Quadrant und de Hauptdagonale unglech null. Ene Drehung von 9 um de z-achse z. B. drückt sch durch de Koordnatentransformaton x y, y -x, z z aus. Entsprechend für Drehungen um de beden anderen Achsen. Also xxxx yyyy zzzz, d.h. de Elemente auf der Hauptdagonalen m oberen lnken Quadranten snd alle unterenander glech. Analog xzxz yzyz xyxy 44, d.h. de Elemente auf der Hauptdagonalen m unteren rechten Quadranten snd alle unterenander glech und schleßlch xxzz yyzz xxyy, d.h. de Nchtdagonalelemente des oberen lnken Quadranten snd alle unterenander glech. Be enem kubschen Krstall reduzert sch also en Tensor 4. Stufe auf dre unabhängge Komponenten. De elastschen Egenschaften enes solchen Festkörpers werden defnert durch, und 44 xy f yz f xy yz kub ( 4.39 ) (Sehe auch de Zusammenstellung für andere Krstallsymmetren n der folgenden Abbldung.) 4

5 4.5. Isotrope Berechnen wr zum Verglech de Matrx der elastschen Modulen für en sotropes Materal. Wr wssen, dass de Free Energe kl,, k, l enen Skalar darstellt. Es gbt genau zwe Möglchketen aus dem symmetrschen Tensor Skalare (also Grössen, de be ener Koordnatentransformaton unverändert bleben) zu konstrueren, nämlch und, Also muss de Free Energe sch ausdrücken lassen durch f λ f f + + µ (4.4, mt zwe zunächst wllkürlchen Konstanten λ und µ. Dese können wr edoch lecht dentfzeren durch kl ( ) ( ) ) 5

6 f λ ( + + ) f µ so dass sch de Matrx der elastschen Modulen für en sotropes System schrebt 33 + µ sotrop λ + µ λ λ λ λ + µ λ λ λ λ + µ µ µ µ (4.4) (Damt bewest sch auch unsere Behauptung zu Begnn der Ausführungen zur Elastztätstheore (Abschntt 4..3), dass zwe Parameter, etwa das Elastztätsmodul und de Querkontrakton ausrechen, um en sotropes Materal allgemen zu beschreben.) Der Verglech mt Gl lefert uns schleßlch de Isotropebedngung für en kubsches Materal. Falls zwschen den dre elastschen Konstanten enes solchen Materals de Bezehung 44 (4.4 ) erfüllt st, so st das Materal hnschtlch sener elastschen Egenschaften sotrop. Es treten dann kene Rchtungsabhänggketen be Stauchung und Dehnung oder be der Ausbretung von Schall mehr auf. (Tabelle: Al st en praktsch sotropes Materal, während Fe deutlch ansotrop st.) 4.5. Gesamtenerge enes elastschen Systems In unseren Betrachtungen zu den elastschen Egenschaften hatten wr sehr oft Gebrauch gemacht von der Gültgket des Superpostonsprnzps zufolge dessen sch de Verschebungsfelder zweer Kraftzentren (etwa zu große Ausschedungen n ener Matrx) enfach addtv überlagern zu enem Gesamt Verschebungsfeld. Da der Spannungstensor lnear mt dem Verzerrungstensor zusammenhängt glt deses Superpostonsprnzp auch für de Spannungen n enem elastschen System: ( x ) ( x ) ( ) ( ) ( x ) + ( x ) + ( ) ( x ) ( ) ( x ) 6

7 Deses Superpostonsprnzp glt edoch für de elastsche Energe enes Gesamtsystems, das sch aus zwe von enander getrennten Verzerrungen zusammensetze, ncht. Das sehen wr lecht en: W () () () () ( + ) kl( kl + kl ) kl kl () () kl + kl () () kl + kl () () kl (4.43) De beden ersten Summanden auf der rechten Sete entsprechen tatsächlch der Energe der beden Teldeformatonen () und (). Allerdngs trtt zur Gesamtenerge noch en drtter Term hnzu, der de Wechselwrkung zwchen () und () beschrebt. (Bespele n der Vorlesung: Druckabhänggket der Wasserstoffspecherung n metallscher Matrx, Selbstorgansaton der räumlchen Anordnung von Ausschedungen ener zweten Phase n sogenannten Superalloys) 4.6. Mkroskopsche Deutung der elastschen Konstanten Demonstratonsversuch n der Vorlesung: Änderung der Schwngfrequenz ener metallschen Stmmgabel. Be Erwärmung nmmt Frequenz ab. Da Masse unverändert, verrngert sch offenschtlch de Stefgket mt stegender Temperatur. Gegenversuch mt Stckstoffkühlung bestätgt dese Temperaturabhänggket. Ganz anders verhalten sch Elastomere (Gumms). Her nmmt de elastsche Spannung mt der Temperatur zu. Demonstraton: )drekte Messung der Länge enes Gumms unter Last, Gumm wrd be Erwärmung kürzer, ) Funktonstüchtger Gumm-Motor. De Gründe für das elastsche Verhalten schenen be Metall und Elastomer von verschedener Natur zu sen. Auch her weder zu Begnn enge thermodynamsche Überlegungen. De Innere Energe ändert sch we (. Hauptsatz) du d U d du T + TdS TdS ds d ( 4.45 ) De Interpretaton der letzten Glechung st de folgende: Offenschtlch gbt es zwe Enflüsse, de de rücktrebende Kraft be ener Deformaton hervorrufen. De Zunahme der Inneren Energe oder de Abnahme der Entrope mt der Deformaton. Entsprechend sprcht man be Metallen von domnerenden Energeelastztät, de mt stegender Temperatur abnmmt (de Bndungen zwschen den Atomen werden wecher, z.b. nehmen a auch de Abstände der Atome zu, Wärmeausdehnung) und be den Elastomeren von domnerender Entropeelastztät. Letztere sollte ene 7

8 drekte Temperaturabhänggket zegen aufgrund des mt der Temperatur zunehmenden Enflusses der Entrope. De Energeelastztät kann man größtentels mt Hlfe enes Federmodells verstehen we n der nebenstehenden Abbldung für enen Ionenkrstall angedeutet. (Allerdngs müssen für ene exakte Beschrebung oft rchtungsabhängge Kräfte engeführt werden, während en enfaches Federmodell nur Zentralkräfte zwschen Atompaaren ergbt.) Im Folgenden betrachten wr etzt als en lehrreches Bespel de Entropeelastztät etwas genauer. Das gbt uns auch enen ersten Enblck n den strukturellen Aufbau der wchtgen Stoffklasse der Polymere und hre physkalsche Beschrebung Entropeelastztät Es gbt ene große Zahl polymerer Werkstoffe, de sch durch de Beschaffenhet der Monomere und der Länge der Polymerkette unterscheden. Angeschts des oft sehr komplzerten Aufbaus des enzelnen Polymer-Kette und der Velfalt verschedener Kettenstrukturen st es erstaunlch, dass Physker mt hren Methoden das Verhalten solcher Systeme verstehen können. De Extrakton der wesentlchen Egenschaften solcher Systeme und der Aufbau der daraus resulterenden Polymerphysk war ene der großen Lestungen der Physk n der zweten Hälfte des letzten Jahrhunderts. Polymere Festkörper lassen sch am ehesten verstehen als ene ungeordnete Verschlngung der Polymer-Ketten unterenander (Spaghett-Modell). De Wechselwrkung zwschen den Ketten st n der Regel sehr schwach, so dass de Ketten anenander abgleten können (Reptatonsmodelle). Deshalb krechen Polymere (etwa de bekannten Thermoplaste) sehr stark. Se zegen vskoelastsche Egenschaften, d.h. se stellen so etwas we en Mtteldng zwschen Festkörper und Flüssgketen dar. Um enen echten Festkörper zu erhalten, sogenannte Elastomere, werden de enzelnen Ketten chemsch mtenander verhakt (etwa durch Schwefelbrücken be der Vulkansaton. Wr dskuteren etzt das elastsche Verhalten enes Elastomers, das wr uns vorstellen we n der Skzze angedeutet als verhakten Polymerhaufen. De Länge der Kettenabschntte zwschen den Verhakungspunkten se überall glech (etwas künstlch, aber sonst müssten wr zusätzlch mtteln), d.h. wr haben N Monomerenheten der Länge a zwschen e zwe Verhakungen. Zwschen zwe Verhakungspunkten kann de Kette sehr vele verschedene Lagen (Konfguratonen) ennehmen. De Zahl der möglchen Konfguratonen hängt edoch vom räumlchen Abstand der bedenverhakungen ab. Das seht man durch ene Randomwalk- 8

9 Theore en. De zufällge Lage der Kette denken wr uns durch N zufällge Sprünge der Länge a entwckelt. Aus unseren Überlegungen zur Dffuson wssen wr, dass das mttlere Abstandsquadrat nach N Sprüngen gerade < R > Na beträgt und dass wr deses mt der Dffusonslänge Dt (R. Krchhem, Gl. 38) dentfzeren können. De Wahrschenlchket, das Ende enes Kettenabschntts m Volumenelement dvdxdydz zu fnden, wenn sen Anfang m Ursprung des Koordnatensystems legt (sehe Skzze), st also gegeben durch das Dffusonsprofl ener Punktquelle am Ursprung ( Gaussglocke ): 3 3r p( x, y, z) dv c( x, y, z) dv exp dv (4.46 ) 4πDt 4Dt De Wahrschenlchket st aber gerade proportonal zur Zahl der zufällg vertelten Konfguratonen, also st de Konfguratonsentrope enes Kettenabschntts S const + k ln p 3kr (4.47) 4Na (statstsche Intepretaton der Entrope nach Boltzmann, sehe auch Abletung der Mschungsentrope, R. Krchhem) De Gesamtentrope (Entrope st extensv) ergbt sch durch Summaton über alle Kettenabschntte m Enhetsvolumen 3k 3k s (4.48) r x + y + z 4Na 4Na Durch ene enachsge Dehnung werden etzt alle Abstände affn gedehnt. Dabe nehmen wr Volumenerhaltung an (gute Näherung für Gumm). De Deformaton der Abstände st so: x ' ( + ) x ; y ' y + Ensetzen n Gl lefert de Konfguratonsentrope n Abhänggket von der Dehnung 3k s( ) 4Na ( + ) x 3 / ; z ' + ( y + + 3k r ( ) + + 4Na + 3 nk ( + ) + (4.49) 4 + mt n Anzahl der freen Kettenabschntte m Enhetsvolumen. Damt berechnen wr de zur Deformaton benötgte Zugspannung z + z ) 9

10 s T nkt + ) + ( + ) 3nkT : E ( (4.5) (4.5) Wr sehen (Gl. 4.5), dass das Elastztätsmodul m Falle der Entropeelastztät proportonal zu T st, allerdngs st das elastsche Verhalten keneswegs mehr lnear, we de vollständge Glechung 4.5 zegt (sehe auch nebenstehende Abbldung).