14 Oberflächenintegrale und Integralsätze

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1 4 Oberflächenintegrale und Integralsätze Nachdem wir im vergangenen Kapitel gesehen haben, wie man das Volumen eines dreidimensionalen Körpers z.b. das Volumen einer Kugel) mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen kann, wenden wir uns nun den lächeninhalten gekrümmter lächen zu wie z.b. der Oberfläche einer Kugel), für die wir einen geeigneten Integralbegriff entwickeln. 4. lächen, Tangenten und Normalen Wir haben früher Kurven als Bilder von Intervallen bzgl. stetiger Abbildungen beschrieben. Ganz analog definieren wir nun lächenstücke als Bilder ebener Bereiche bzgl. geeigneter Abbildungen. efinition 4. Sei R 2 eine beschränkte offene Menge, und ihre Abschließung sei Jordan-messbar. Weiter sei : R 3 eine stetig differenzierbare unktion mit rang x, x 2 ) = 2 für alle x, x 2 ). 4.) ann heißt das Bild von unter, d.h. die Menge := { x, x 2 ) R 3 : x, x 2 ) } 4.2) ein lächenstück im R 3 und die Abbildung : heißt eine Parameterdarstellung des lächenstücks oder kurz eine läche. Genau wie bei Wegen und Kurven unterscheiden wir sorgfältig zwischen der Abbildung und ihrem Bild. Offenbar kann es für ein- und dasselbe lächenstück verschiedene Parametrisierungen geben. Wichtige Vereinbarung. Wir haben früher die ifferenzierbarkeit einer Abbildung : X R 3 nur für offene Mengen X R 2 erklärt. ie stetige ifferenzierbarkeit von : R 3 haben wir wie folgt zu verstehen: ie unktion läßt sich zu einer stetig differenzierbaren unktion : G R 3 auf eine offene Menge G fortsetzen. iese Menge G ist für die efinition des lächenstücks offenbar unerheblich. Wir möchten jedoch auch in den Randpunkten von die partiellen Ableitungen x und x2 bilden können und verlangen daher, dass sich auf eine offene Umgebung G von stetig differenzierbar fortsetzen läßt. ie Rangbedingung 4.) wird nur für Punkte aus gefordert; auf dem Rand = \ muss sie nicht erfüllt sein. Mit x, x 2 ) = x, x 2 ), 2 x, x 2 ), 3 x, x 2 ) ) T 272

2 lautet die Rangbedingung 4.) in allen Punkten von. rang = 2 4.3) Beispiel Kugeloberflche) Sei = 0, 2π) π/2, π/2) und r > 0. ann ist das Rechteck [0, 2π] [ π/2, π/2]. Sei weiter u, v) = r cos u cos v, r sin u cos v, r sin v) für u, v). ann ist stetig differenzierbar auf und sogar auf ganz R 2 ), und die unktionalmatrix r sin u cos v r cos u sin v u, v) = r cos u cos v r sin u sin v 0 r cos v hat für alle u, v) den Rang 2. as zugehörige lächenstück ist die Oberfläche einer Kugel um den Nullpunkt mit dem Radius r. Beispiel 2 unktionsgraphen) Sei f : R eine stetig differenzierbare unktion und : R 3, u, v) := u, v, fu, v) ) T. ann ist auch stetig differenzierbar auf, und die unktionalmatrix 0 0 f u von hat offenbar den Rang 2. as durch definierte lächenstück ist gerade der Graph von f. Mit = {u, v) R 2 : u 2 + v 2 } und fu, v) = uv erhält man beispielsweise eine Sattelfläche hyperbolisches Paraboloid). Beispiel 3 Ebenen) Seien a = a, a 2, a 3 ) T und b = b, b 2, b 3 ) T linear unabhängige Vektoren und sei x 0 R 3. Auf = [, ] [, ] hat die unktion u, v) = ua + vb + x 0 die unktionalmatrix a b a 2 b 2, a 3 b 3 die wegen der linearen Unabhängigkeit von a und b den Rang 2 hat. as zugehörige lächenstück ist ein Teil der durch a und b aufgespannten und durch x 0 verlaufenden Ebene. 273 f v

3 Sei : R 3 die Parametrisierung eines lächenstücks. Ist durch X = X, X 2 ) T : [a, b] ein stetig differenzierbarer Weg in gegeben, so ist Y : [a, b] R 3, Y t) = Xt) ) ein stetig differenzierbarer Weg, der komplett in verläuft. ür t 0 [a, b] wird die Richtung der Tangente an den Weg Y im Punkt Y t 0 ) = Xt 0 ) ) beschrieben durch den Vektor Kettenregel!) mit und Ẏ t 0 ) = u Xt0 ) ) Ẋ t 0 ) + v Xt0 ) ) Ẋ 2 t 0 ) 4.4) u Xt0 ) ) = Xt0 ) ) = Xt0 ) ), 2 Xt0 ) ), 3 Xt0 ) )) u u u u v Xt0 ) ) = Xt0 ) ) = Xt0 ) ), 2 Xt0 ) ), 3 Xt0 ) )). v v v v ie Rangbedingung 4.) besagt gerade, dass die beiden Vektoren u Xt0 ) ) und v Xt0 ) ) für alle Punkte Xt 0 ) linear unabhängig sind. Wir schreiben Xt 0 ) = u 0, v 0 ). Betrachten wir alle Wege X durch den Punkt u 0, v 0 ), so können in 4.4) die Ableitungen Ẋt 0 ) und Ẋ2t 0 ) beliebige Werte annehmen. ie beiden Vektoren u u 0, v 0 ) und v u 0, v 0 ) spannen also die komplette Tangentialebene an die läche im Punkt u 0, v 0 ) auf. Eine Beschreibung der Tangentialebene in Parameterform lautet daher { u 0, v 0 ) + λ u u 0, v 0 ) + µ v u 0, v 0 ) : λ, µ R}. 4.5) en Normalenvektor an die läche : R 3 im Punkt u, v) mit u, v) erklären wir durch das Vektorprodukt Nu, v) := uu, v) v u, v) u u, v) v u, v). 4.6) Man beachte, dass u u, v) v u, v) 0 ist, da beide Vektoren linear unabhängig sind.) Aus den Eigenschaften des Vektorprodukts wissen wir, dass der Vektor Nu, v) senkrecht auf u u, v) und v u, v) und damit auf der gesamten Tangentialebene 4.5)) steht. Außerdem hat er die Länge, so dass man auch vom Normaleneinheitsvektor spricht. Es stellt sich die rage, inwieweit die eingeführten Begriffe Tangential- und Normalenvektoren) von der Parametrisierung oder nur vom lächenstück abhängen. azu zunächst eine efinition. 274

4 efinition 4.2 a) Seien, E offen in R 2. Eine bijektive Abbildung ϕ : E heißt iffeomorphismus, wenn ϕ und die Umkehrabbildung ϕ stetig differenzierbar sind. b) Zwei Parameterdarstellungen : R 3 und G : E R 3 heißen äquivalent, wenn es einen iffeomorphismus ϕ : E gibt mit = G ϕ und det ϕ > 0 auf. Sind und G äquivalent, so sagt man auch, dass sie durch eine Parametertransformation ϕ auseinander hervorgehen. Es gilt nun: Bei äquivalenten Parametertransformationen bleiben die wesentlichen lächengrößen und lächeneigenschaften wie die Tangentialebenen und Normalenvektoren) unverändert. Anschaulich ist klar, dass jedes lächenstück in jedem Punkt genau einen Tangentialraum, aber zwei Normaleneinheitsvektoren nach oben und nach unten ) besitzt. Ist = G ϕ, so liefern und G den gleichen Normalenvektor, wenn det ϕ > 0, und sie liefern entgegengesetzte Normalenvektoren, wenn det ϕ < 0. In letzterem all sagt man auch, dass die Orientierung von gewechselt wird. Beispiel 4 Seien und wie in Beispiel Kugeloberfläche). ann ist und damit u u, v) = r sin u cos v, r cos u cos v, 0) T, v u, v) = r cos u sin v, r sin u sin v, r cos v) T, u u, v) v u, v) = r 2 cos u cos 2 v, r 2 sin u cos 2 v, r 2 sin v cos v), u u, v) v u, v) = r 2 cos v Nu, v) = cos u cos v, sin u cos v, sin v) für alle Punkte u, v) 0, 2π) π/2, π/2). Beispiel 5 Sind, f und wie in Beispiel 2 unktionsgraphen), so ist u =, 0, f u ) T, v = 0,, f ) T, v u v = f u, f v, ), u v = und damit schließlich Nu, v) = f u ) 2 + f v f u ) 2 + f u, f v, ). 275 ) 2 f ) v

5 Beispiel 6 Sei = E = {u, v) R 2 : u 2 + v 2 < }. ie Parametrisierungen : R 3, u, v) = u, v, uv) T und G : E R 3, Gu, v) = u, v, uv) T liefern das gleiche lächenstück. Wir bestimmen die Normalenvektoren im Punkt 0, 0) = G0, 0) = 0, 0, 0) T. Zunächst ist also u u, v) =, 0, v) T, v u, v) = 0,, u) T, u u, v) v u, v) = v, u, ) T und u 0, 0) v 0, 0) = 0, 0, ) T. Andererseits ist G u u, v) =, 0, v) T, G v u, v) = 0,, u) T und damit G u u, v) G v u, v) = v, u, ) T und G u 0, 0) G v 0, 0) = 0, 0, ) T. Bei Verwendung von erhalten wir also 0, 0, ) T als Normaleneinheitsvektor im Punkt 0, 0, 0) T an die Sattelfläche, und bei Verwendung von G den Vektor 0, 0, ) T. Man beachte, dass zwar und G durch den iffeomorphismus ) ) ϕ : E, 0 u u, v) T = u, v) T 0 v auseinander hervorgehen, dass aber det ϕ u, v) = det ) 0 = < 0 0 ist. Also sind und G nicht zueinander äquivalent. 4.2 lächenintegrale Wir wollen nun lächenintegrale definieren. Als Motivation gehen wir ähnlich vor wie bei der Herleitung der Substitutionsregel in Abschnitt 3.7. Sei : R 3 eine Parametrisierung eines lächenstückes, wobei wir der Einfachheit halber annehmen, dass ein achsenparalleles Rechteck in der uv-ebene ist. as Rechteck sei in Teilrechtecke Q,..., Q m zerlegt. Ihre Bilder Q ),..., Q m ) nennen wir Maschen. Aus diesen Maschen setzt sich das lächenstück zusammen. 276

6 v Q i v i u i u Q i ) Ist die Rechteckzerlegung von fein genug, so haben die Maschen nahezu die Gestalt eines Parallelogramms. Ist Q i ein Teilrechteck in mit den Seitenlängen u i und v i und ist u i, v i ) der linke untere Eckpunkt von Q i, so ist die Masche Q i ) ungefähr gleich dem Parallelogramm, das von den Vektoren u i + u i, v i ) u i, v i ) und u i, v i + v i ) u i, v i ) aufgespannt wird. iese Vektoren sind nach efinition der partiellen Ableitungen ungefähr gleich u u i, v i ) u i und v u i, v i ) v i. iese beiden Vektoren spannen ein Parallelogramm auf, dessen lächeninhalt gleich der Länge des Vektorprodukts dieser Vektoren ist, also gleich der Länge von σ i := u u i, v i ) v u i, v i ) ) u i v i. Man kann daher σ i als ungefähren lächeninhalt der Masche Q i ) ansehen und m m σ i = u u i, v i ) v u i, v i ) u i v i 4.7) i= i= als Näherung für den lächeninhalt des lächenstückes. Ist kein Rechteck, so schöpfen wir von innen durch rechteckzerlegte Bereiche aus. Lassen wir auf der rechten Seite von 4.7) die Zerlegung immer feiner werden, d.h. lassen wir max i { u i, v i } gegen 0 streben, so gelangen wir zum Integral u u, v) v u, v) du, v). Um sicherzustellen, dass dies tatsächlich dem lächeninhalt von entspricht, müssen wir noch ähnlich wie bei Kurven) garantieren, dass nicht Teile des lächenstücks mehrfach durchlaufen werden. efinition 4.3 ie Parameterdarstellung : R 3 und das durch sie definierte lächenstück heißen doppelpunktfrei, wenn auf eineindeutig ist. 277

7 efinition 4.4 Ist : R 3 eine doppelpunktfreie Parameterdarstellung eines lächenstückes, so ist der lächeninhalt von die Zahl I) = u u, v) v u, v) du, v). 4.8) as Integral in 4.8) schreibt man auch als dσ, wobei dσ symbolisch für u u, v) v u, v) du, v) steht und lächenelement heißt. efinition 4.4 wird wie folgt verallgemeinert: efinition 4.5 urch : R 3 sei ein lächenstück gegeben, und H : R sei stetig auf. ann heißt das Integral H u, v) ) u u, v) v u, v) du, v) =: H dσ 4.9) das lächenintegral von H über manchmal auch lächenintegral erster Art). Als Motivation kann man sich ein elektrostatisch geladenes lächenstück vorstellen, wobei die Ladungsdichte H in jedem Punkt von bekannt und die Gesamtladung gesucht ist. Man kann und muss) sich überlegen, dass die Integrale in 4.8) und 4.9) bei Parametertransformation und Orientierungswechsel invariant bleiben. Im alle der oppelpunktfreiheit ist die Schreibweise rechts in 4.9) völlig eindeutig, da je zwei zugehörige Parameterdarstellungen entweder äquivalent oder entgegengesetzt orientiert sind. Beispiel 7 Seien und wie in Beispiel Kugeloberfläche). Mit Beispiel 4 erhalten wir 2π π/2 I) = r 2 cos v du, v) = r 2 cos v dv du = 4πr 2 als lächeninhalt der Kugeloberfläche. 0 π/2 Beispiel 8 Sind, f und wie in Beispiel 2 unktionsgraphen), so ist I) = dσ = + f 2 u + fv 2 du, v) der lächeninhalt des unktionsgraphen. Vergleichen Sie dieses Resultat mit der entsprechenden ormel für die Kurvenlänge des Graphen einer unktion f : [a, b] R vgl. Beispiel 2 in Abschnitt.2). 278

8 efinition 4.6 urch : R 3 sei ein lächenstück gegeben, und H : R 3 sei ein stetiges Vektorfeld auf. ann heißt H d σ := H u, v) ) u u, v) v u, v) ) du, v) 4.0) das lächenintegral zweiter Art) von H über. er Punkt steht für das Skalarprodukt.) Schreiben wir u u, v) v u, v) = uu, v) v u, v) u u, v) v u, v) uu, v) v u, v) = Nu, v) u u, v) v u, v), so geht das Integral auf der rechten Seite von 4.0) über in H u, v) ) Nu, v) u u, v) v u, v) du, v), 4.) so dass man das Integral H d σ zweiter Art auch als das Integral H N dσ erster Art auffassen kann. lächenintegrale zweiter Art sind ebenfalls invariant bezüglich äquivalenter Parametertransformationen. Bei einem Orientierungswechsel ändern sie jedoch ihr Vorzeichen, da die Normalenvektoren ihre Richtung ändern. Zur Motivation der lächenintegrale zweiter Art stellen wir uns ein stationäres zeitunabhängiges) Geschwindigkeitsfeld V : R 3 R 3 einer strömenden lüssigkeit vor und fragen nach der lüssigkeitsmenge, die ein gegebenes lächenstück pro Zeiteinheit durchfließt. Sinnvollerweise soll orientiert sein, d.h. wir können uns etwa vorstellen, dass eine Unterseite und eine Oberseite hat und dass die Normalenvektoren in Richtung der Oberseite zeigen. Wie bei der Motivation zum lächeninhalt denken wir uns in Maschen unterteilt, die näherungsweise Parallelogrammform haben. Es sei σ i der lächenvektor eines solchen Parallelogramms i, d.h. σ i steht senkrecht auf i und zeigt in Normalenrichtung, und σ i ist gleich dem lächeninhalt von i. ann ist V x i ) σ i mit einem x i i ) das lüssigkeitsvolumen, das näherungsweise pro Zeiteinheit durch i fließt. Pro Zeiteinheit schiebt sich nämlich ein Parallelepiped mit dem Grundflächeninhalt σ i und der Höhe V x i ) cos ϕ vgl. die folgende Skizze), d.h. mit dem Volumen V x i ) σ i cos ϕ = V x i ) σ i durch i. In erster Näherung nehmen wir V als konstant auf i an.) 279

9 V x i ) σ i ϕ i ließt die lüssigkeit aus der Seite von i heraus, in die der lächenvektor σ i zeigt, so ist V x i ) σ i 0 und andernfalls 0. as Vorzeichen von V x i ) σ i gibt also an, in welche Richtung i durchflossen wird. ie Summation der urchflüsse über alle Maschen V x i ) σ i i und der Übergang zu beliebig kleinen Maschenweiten führen zum lächenintegral 2. Art U = V x) d σ. ie Größe U gibt also das Gesamtvolumen an, das pro Zeiteinheit das lächenstück durchströmt, wobei die Anteile beider Strömungsrichtungen durch gegeneinander aufgerechnet sind. as Vorzeichen von U gibt an, an welcher Seite des lächenstücks mehr herausfließt: Ist U > 0, so strömt mehr lüssigkeit in Richtung der Normalenvektoren von, ist U < 0, so in entgegengesetzter Richtung. Man nennt U auch den luss von V durch. Beispiel 9 Seien und wieder wie in Beispiel Kugeloberfläche), und sei H : R 3 R 3 die identische Abbildung, d.h. Hx, y, z) = x, y, z). ann ist nach Beispiel 4 Nu, v) = cos u cos v, sin u cos v, sin v), und mit H u, v) ) = u, v) = r cos u cos v, r sin u cos v, r sin v) erhalten wir mit 4.) für das lächenintegral 2. Art H d σ = H N dσ = r dσ = r as lächenintegral dσ ist gleich dem lächeninhalt der Kugeloberfläche. Wir haben es in Beispiel 7 berechnet und erhalten damit H d σ = 4πr dσ.

10 4.3 ie ivergenz eines Vektorfeldes Unsere letzten Ziele in diesem Kapitel sind die Verallgemeinerung des Hauptsatzes der ifferential- und Integralrechnung b a f x) dx = fb) fa) = fx) b a und der ormel der partiellen Integration b a u x)vx) dx = b a ux)v x) dx + ux)vx) b a auf mehrdimensionale Integrale. Es stellt sich die rage, durch welche ifferentialoperatoren die Ableitungen f, u, v und wodurch die Randterme f b a und uv b a zu ersetzen sind. Unser erstes Ziel ist der Gaußsche Integralsatz im R 3. Seine anschauliche Bedeutung ist völlig einleuchtend: ie lüssigkeitsmenge, die durch die Oberfläche eines räumlichen Gebietes herausströmt, ist gleich der lüssigkeitsmenge, die die Quellen in diesem Gebiet hervorbringen. Wie kann man die lüssigkeitsmenge, die eine Quelle im Punkt x 0, y 0, z 0 ) R 3 hervorbringt, mathematisch beschreiben? Wir betrachten eine stationäre zeitunabhängige) Strömung einer inkompressiblen lüssigkeit d.h. mit konstanter ichte), die im Punkt x, y, z) R 3 die Geschwindigkeit V x, y, z) = V x, y, z), V 2 x, y, z), V 3 x, y, z) ) hat. Im Punkt x 0, y 0, z 0 ) heften wir einen kleinen achsenparallelen Quader Q mit den Seitenlängen x, y und z an. z x z y x 0, y 0, z 0 ) x y ann ist das lüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit in Richtung der positiven x- Achse durch die linke bzw. rechte Seitenwand des Quaders fließt, näherungsweise gleich V x 0, y 0, z 0 ) y z bzw. V x 0 + x, y 0, z 0 ) y z. 28

11 as Volumen, das pro Zeiteinheit aus dem Quader Q in der positiven x-richtung austritt, ist also etwa gleich V x 0 + x, y 0, z 0 ) V x 0, y 0, z 0 ) ) y z = V x 0 + x, y 0, z 0 ) V x 0, y 0, z 0 ) x V x x 0, y 0, z 0 ) x y z. x y z Wir stellen in ähnlicher Weise die Massenbilanz für den luß in positiver y- und z-richtung auf und erhalten als Endresultat, dass das lüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit aus Q austritt, ungefähr gleich V x x 0, y 0, z 0 ) + V 2 y x 0, y 0, z 0 ) + V 3 z x 0, y 0, z 0 ) ist. Mit der in Abschnitt 0.2 eingeführten ivergenz ) x y z 4.2) div )x) = n i= i x i x), x eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes =,..., n ) : R n können wir 4.2) schreiben als div V )x 0, y 0, z 0 ) x y z. ividieren wir diesen Wert durch das Volumen x y z von Q und ziehen wir Q auf den Punkt x 0, y 0, z 0 ) zusammen, so können wir div V )x 0, y 0, z 0 ) als Quellendichte der Strömung im Punkt x 0, y 0, z 0 ) interpretieren. Ist div V )x 0, y 0, z 0 ) > 0, so ist x 0, y 0, z 0 ) eine Quelle im eigentlichen Sinn ihr entströmt lüssigkeit). Im all div V )x 0, y 0, z 0 ) < 0 heißt x 0, y 0, z 0 ) auch eine Senke da in diesem Punkt lüssigkeit verschwindet). Einige Rechenregeln für die ivergenz Sei R n offen, und seien, G : R n und ϕ : R stetig differenzierbar. ann gilt div + G) = div + div G, div λ ) = λ div für λ R, div ϕ ) = ϕ div + grad ϕ. 4.4 er Gaußsche Integralsatz im Raum Wir können nun die anschauliche Aussage des Gaußschen Integralsatzes in ormeln fassen. Es sei G ein geeigneter räumlicher Bereich und G sein Rand seine 282

12 Oberfläche). ie genauen Voraussetzungen geben wir später an. In jedem Randpunkt haben wir zwei Normaleneinheitsvektoren: einen, der in den Körper hineinzeigt die sogenannte innere Normale) und einen, der von G weg zeigt die äußere Normale). Es sei N : G R 3 das Vektorfeld der äußeren Normalen. Weiter sei V das Geschwindigkeitsfeld einer inkompressiblen lüssigkeit. Nach Abschnitt 4.2 Interpretation des lächeninhalts 2. Art) ist der urchfluß durch G in Richtung der äußeren Normalen also das, was aus G herausfließt), gleich V N dσ. 4.3) G ie durch Quellen und Senken in G hervorgebrachte lüssigkeitsmenge erhalten wir dagegen durch Aufintegrieren der Quellendichte über G: div V )x) dx. 4.4) G Nach dem Gaußschen Integralsatz sind die Integrale 4.3) und 4.4) gleich. Nun zur exakten ormulierung. efinition 4.7 a) Eine Menge G R 3 heißt C -Normalbereich bzgl. der x x 2 -Ebene, wenn es eine kompakte Menge K R 2 und stetig differenzierbare unktionen ϕ, ϕ 2 : K R so gibt, dass G = { x, x 2, x 3 ) R 3 : } x, x 2 ) K, ϕ x, x 2 ) x 3 ϕ 2 x, x 2 ) gilt und dass der Rand K durch einen stückweise stetig differenzierbaren Weg darstellbar ist. Analog erklärt man C -Normalbereiche bezüglich der x 2 x 3 - und x x 3 -Ebene. b) ie Menge G heißt ein C -Normalbereich, wenn sie ein C -Normalbereich bezüglich der x x 2 -, der x 2 x 3 - und der x x 3 -Ebene ist. Es sei noch einmal an unsere Vereinbarung erinnert: Eine unktion f : K R auf einer kompakten Menge K heißt stetig differenzierbar, wenn sie zu einer stetig differenzierbaren unktion auf einer offenen Menge G K fortgesetzt werden kann.) Einen C -Normalbereich bzgl. der x x 2 -Ebene kann man sich so vorstellen: 283

13 x 3 S 2 = ϕ 2 K) G S = ϕ K) x 2 K x er obere eckel S 2 = ϕ 2 K) ist ein lächenstück im R 3 mit der Parameterdarstellung 2 : K R 3, x, x 2 ) x, x 2, ϕx, x 2 ) ). er durch 2 bestimmte Normaleneinheitsvektor vgl. Beispiel 5 aus 4.) N 2 u, v) = ϕ2 ) 2 + ϕ2 ) ϕ 2, ϕ ) 2, 2 + ist der äußere Normaleneinheitsvektor für G da die z-komponente > 0 ist). er untere eckel S wird beschrieben durch : K R 3, x, x 2 ) x, x 2, ϕ x, x 2 ) ), und der zugehörigen Normaleneinheitsvektor ist N u, v) = ) 2 ) 2 ϕ + ϕ + ϕ, ϕ ),. ieser zeigt ebenfalls in Richtung der positiven z-achse also in G hinein), so dass der äußere Normalenvektor an G auf S gleich N u, v) ist. Satz 4.8 Gaußscher Integralsatz im R 3 ) Sei G R 3 ein C -Normalbereich und H : G R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Weiter bezeichne N : G R 3 das äußere Normalenfeld von G. ann ist div H)x) dx = H Ndσ. 4.5) G G Beweis Es genügt, die Aussage zu beweisen, wenn H die Gestalt H = 0, 0, H 3 ) T hat man kann ja H als Summe dreier derartiger Ausdrücke schreiben, und die ivergenz sowie die Integrale in 4.5) sind linear in H). Nach Satz 3.34 erhalten 284

14 wir wegen div H = H 3 x 3 div H)x) dx = G = K K ϕ 2 x,x 2 ) ϕ x,x 2 ) H ) 3 x, x 2, x 3 ) dx 3 dx, x 2 ) x 3 H 3 x, x 2, ϕ 2 x, x 2 ) ) H 3 x, x 2, ϕ x, x 2 ) )) dx, x 2 ). Auf dem oberen eckel S 2 = ϕ 2 K) ist und damit H N = ) 2 ) H 3 2 ϕ 2 + ϕ 2 + H 3 x, x 2, ϕ 2 x, x 2 ) ) dx, x 2 ) K = K = ϕ2 ) 2 ) 2 ϕ2 H N) + + dx, x 2 ) H N dσ. S 2 Analog zeigt man, dass H 3 x, x 2, ϕ x, x 2 ) ) dx, x 2 ) = H N dσ. K Auf dem noch fehlenden Randstück G\S S 2 ) von G, also auf S 3 := {x, x 2, x 3 ) R 3 : x, x 2 ) K, ϕ x, x 2 ) x 3 ϕ 2 x, x 2 )}, existiert der äußere Normalenvektor N ebenfalls bis auf endlich viele Geradenstücke {y} [ϕ y), ϕ 2 y)] mit y K, in denen die Parametrisierung von K nicht differenzierbar ist), und die Komponente von N in x 3 -Richtung ist 0. aher ist H N = 0 auf S 3. Zusammengefasst erhalten wir G div H)x)dx = j= S 3 H N dσ = S j G H N dσ. Beispiel Wir kommen noch einmal zurück auf Beispiel 9 aus 4.2. ort waren und wie in Beispiel aus 4. Kugeloberfläche) und Hx, y, z) = x, y, z), und wir haben erhalten, dass H d σ = H N dσ = 4πr 3. G G 285

15 Andererseits ist div H = 3, so dass mit dem Volumen V der Kugel G gilt div H)x)dx = 3 dx = 3V. G G er Gaußsche Satz liefert nach Gleichsetzen V = 4 3 πr3. olgerung 4.9 Partielle Integration in R 3 ) Sei G R 3 ein C -Normalbereich und f, g : G R seien stetig differenzierbare unktionen. Weiter sei N = N, N 2, N 3 ) : G R das äußere Normalenfeld an G. ann gilt für i =, 2, 3 G f g dx = x i G f g dx + x i Beweis Sei z.b. i =. ür die stetig differenzierbare unktion ist G fgn i dσ. 4.6) : G R 3, x) = fx)gx), 0, 0) 4.7) div = fg) = f g + f g und N = fgn. ie Behauptung folgt also sofort, wenn man die unktion 4.7) in den Gaußschen Integralsatz 4.5) einsetzt. G G Anmerkung Wir haben in Satz 4.8 und olgerung 4.9 statt und die G G Schreibweisen und benutzt, um deutlich zu machen, dass dreidimensionale) Volumenintegrale und zweidimensionale) Oberflächenintegrale auftreten. Anmerkung 2 Sind,..., n lächenstücke, die sich nicht überlappen, so definiert man das lächenintegral über =... n durch = n ies haben wir im Beweis des Gaußschen Satzes benutzt G = S S 2 S 3 ). Anmerkung 3 Satz 4.8 und olgerung 4.9 gelten auch noch unter schwächeren Voraussetzungen. Z.B. genügt es, dass sich G als endliche Vereinigung sich nicht überlappender C -Normalbereiche schreiben läßt. Man beachte auch, dass der Normalenvektor nicht in jedem Randpunkt definiert ist z.b. nicht entlang der Kanten eines Quaders). 286

16 4.5 er Gaußsche Integralsatz in der Ebene er Gaußsche Integralsatz und seine olgerung gelten bei geeigneter efinition des lächenintegrals) in jeder Raumdimension n. en Gaußschen Integralsatz im R 2 kann man durch geeignete Reduzierung um eine Koordinate wie folgt aus dem Gaußschen Integralsatz im R 3 gewinnen. Sei R 2 ein Normalbereich bezüglich der x - und der x 2 -Achse vgl. efinition 4.8). In diesem all nennen wir einfach einen Normalbereich. er Rand sei eine geschlossene Kurve, die durch einen stückweise stetig differenzierbaren Weg X : [a, b] R 2 parametrisiert wird. urchläuft t das Intervall [a, b] von a nach b, so wandert Xt) entlang G in einer bestimmten Richtung, und wir wollen annehmen, dass dabei G stets links des Weges liegt. Man sagt auch, dass vom Weg X positiv umlaufen wird oder dass der Rand positiv orientiert ist anschaulich: im Gegenuhrzeigersinn). er Tangentialeinheitsvektor an im Punkt Xt) = X t), X 2 t) ) ist T := Ẋ t), Ẋ 2 t) ), und N := Ẋ 2 t), Ẋt) ) ist ein auf T senkrecht stehender Vektor, der nach außen zeigt. T = ẊH) N Man beachte, dass diese Vektoren nur in Punkten definiert sind, in denen X stetig differenzierbar ist. Auf sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld V = V, V 2 ) T : R 2 gegeben. Wir bilden aus den räumlichen Bereich := [0, ] = {x, x 2, x 3 ) R 3 : x, x 2 ), x 3 [0, ]}, d.h. ist eine Scheibe = ein Zylinder) der icke, bei dem Boden und eckel die orm von haben. Offenbar ist ein Normalbereich im R

17 M Außerdem erweitern wir V um eine Komponente: Ṽ : R 3, Ṽ = V, V 2, 0) T. er Gaußsche Integralsatz 4.5), angewandt auf und Ṽ, liefert Ṽ N dσ = div Ṽ dx. 4.8) Beim lächenintegral auf der linken Seite heben sich die Anteile des Bodens und des eckels weg, da die zugehörigen Normalenvektoren entgegengesetzt sind, sonst jedoch alles gleich ist. Es ist insbesondere Ṽ x, x 2, 0) = Ṽ x, x 2, ) = V x, x 2 ). Also verbleibt nur das Integral über die Mantelfläche M = [0, ]. Aus 4.8) folgt somit Ṽ N dσ = div Ṽ dx. 4.9) ie Mantelfläche hat eine Parameterdarstellung M t, z) = X t), X 2 t), z ) T mit t [a, b], z [0, ], woraus man den äußeren aber noch nicht normierten!) Normalenvektor nt, z) = Ẋ 2 t), Ẋt), 0 ) T erhält. Mit 4.) erhalten wir für die linke Seite von 4.9) Ṽ N dσ = Ṽ n n dσ M 4.) = M Ṽ t, z) ) n t, z) ) dt, z) = = [a,b] [0,] b 0 b a a V Xt) ) Ẋ 2 t), Ẋt) ) dt dz V Xt) )Ẋ2 t) V 2 Xt) )Ẋ t) ) dt, 288

18 während auf der rechten Seite von 4.9) div Ṽ = V + V 2 = div V ist. aher ist div Ṽ dx, x 2, x 3 ) = 0 Zusammengefaßt erhalten wir div V dx, x 2 ) dx 3 = div V dx, x 2 ). Satz 4.0 Gaußscher Integralsatz im R 2 ) Sei R 2 ein Normalbereich bzgl. der x - und der x 2 -Achse), dessen Rand durch einen stückweise stetig differenzierbaren Weg X = X, X 2 ) T : [a, b] R 2 parametrisiert wird, der positiv umläuft. Weiter sei V = V, V 2 ) T : R 2 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. ann gilt b ) V Xt) )Ẋ2 t) V 2 Xt) )Ẋ t) dt = div V )x) dx. 4.20) a Man beachte, dass auf der linken Seite von 4.20) ein Wegintegral entlang des Weges X steht. Nehmen wir die Umbenennung W := V 2, W 2 := V, W := W, W 2 ) T vor, so geht nach Multiplikation mit die linke Seite von 4.20) über in b a ) W Xt) )Ẋ t) + W 2 Xt) )Ẋ2 t) dt, d.h. in das Wegintegral W dx über den durch X parametrisierten Rand von, und auf der rechten Seite von 4.20) ist div V = V V 2 zu ersetzen durch W 2 W. Man schreibt oft rot W := W 2 W 4.2) und nennt rot W die skalarwertige) Rotation des Vektorfeldes W. Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir die folgende Version des Gaußschen Satzes im R 2. Satz 4. Greenscher Integralsatz) Seien und X wie in Satz 4.0, und W = W, W 2 ) T : R 2 sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. ann ist W2 W dx = W ) dx, x 2 ) = rot W )x) dx. Ω 289

19 ie Sätze 4.0 und 4. gelten auch unter allgemeineren Bedingungen an die Menge. Z.B. darf die Abschließung eines beschränkten einfach zusammenhängenden Gebietes sein, dessen Rand sich durch einen stückweise stetig differenzierbaren Weg parametrisieren läßt. Es genügt sogar, dass sich in endlich viele derartige Mengen zerlegen läßt. 2 3 Man beachte die Orientierung des aus mehreren Stücken bestehenden) Randes. 4.6 er Stokessche Integralsatz Wir beginnen mit einer kurzen Motivation. Sei M R 3 offen und V : M R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das wir als Geschwindigkeitsfeld einer strömenden lüssigkeit deuten. In M sei ein lächenstück gegeben, dessen Rand durch einen stückweise stetig differenzierbaren und doppelpunktfreien Weg Y : [a, b] R 3 parametrisiert wird. Unter der Zirkulation von V entlang versteht man das Kurvenintegral V dy = b enkt man sich dieses Integral durch Riemann-Summen V Y j ) Y i j a 3 V i Y t) )Ẏi t)dt. 4.22) i= approximiert, so entspricht jeder Summand V Y i ) Y i einer Geschwindigkeitskomponenten in der urchlaufrichtung der Kurve. ie Summation dieser Komponenten ist ein Maß dafür, wie stark die Kurve umströmt wird, d.h. wie stark die lüssigkeit längs der Kurve zirkuliert. 290

20 V Y i V Yi ) Wir zerlegen das lächenstück in endlich viele kleine Maschen i. i Bei entsprechender Orientierung der Ränder der i erhalten wir für die Zirkulation V dy = V dy = V dy I i ), 4.23) i i I i i ) i wobei I i ) für den lächeninhalt von i steht. Nun verfeinern wir die Maschen. Man kann zeigen vgl. Burg/Haf/Wille IV, S ): Wenn man eine Masche i auf einen Punkt x i zusammenzieht, dann strebt der Quotient I i ) i V dy 4.24) gegen einen festen Wert, nämlich gegen rot V )x i ) Nx i ). ieser Ausdruck heißt auch die Wirbelstärke von V in x i. Hierbei ist Nx i ) die gemeinsame lächennormale der zu x i zusammengezogenen Maschen, und die Rotation rot V ist wie in Abschnitt 0.2 durch 3 rot )x) = x) 2 x), x) 3 x), 2 x) ) T x) x 3 x 3 erklärt. Man beachte, dass man für ein Vektorfeld der Gestalt x, x 2, x 3 ) = x, x 2 ), 2 x, x 2 ), 0 ) 29

21 als Rotation gerade das Vektorfeld 0, 0, rot, 2 ) ) mit der in 4.2) eingeführten Rotation eines zweidimensionalen Vektorfeldes erhält. ür kleine i können wir also 4.24) näherungsweise durch rot V )x i ) Nx i ) ersetzen, und aus 4.23) wird V dy i rot V )x i ) Nx i ) I i ). 4.25) ie rechte Seite ist eine Riemannsumme für das lächenintegral rot V N dσ. er folgende Satz von Stokes sagt, dass unter geeigneten Voraussetzungen an die Zirkulation V dy tatsächlich gleich diesem lächenintegral über die Wirbelstärken ist. Satz 4.2 Stokes scher Integralsatz) Sei R 2 ein Normalbereich, dessen Rand durch einen stückweise stetig differenzierbaren Weg X = X, X 2 ) T : [a, b] R 2 parametrisiert wird, der einmal positiv umläuft. Weiter sei : R 3 eine zweimal stetig differenzierbare Abbildung, die ein lächenstück = ) parametrisiert. er Weg Y : [a, b] R 3, Y t) = Xt) ) definiert eine orientierte Kurve in, die wir den Rand von nennen. Schließlich sei N : R 3 das durch wie in 4.6) festgelegte Normalenfeld. ann gilt für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld H : R 3 rot H N dσ = H dy. 4.26) Beweis Es genügt, ein Vektorfeld H vom Typ P, 0, 0) T zu betrachten. er Beweis für H = 0, Q, 0) T und H = 0, 0, R) T verläuft analog. Zuerst schreiben wir das Kurvenintegral H dy über der Kurve in ein Kurvenintegral über um: b P, 0, 0) T dy = P Y t) ) Ẏ t)dt = = = a b a b a P Xt) )) X) t)dt P Xt) )) Ẋ t) + ) Ẋ 2 t) x 2 P ), P ) ) dx, 292 dt

22 wobei wir in der dritten Zeile die Kettenregel benutzt haben. Nach Satz 4. Greenscher Integralsatz) ist dieses Integral gleich rot P ), P ) ) x) dx. 4.27) Wir berechnen die skalare zweidimensionale) Rotation nach 4.2) rot P ), P ) ) = P ) ) P ) ) = P ) P ) ) 2 + P ) 2, wobei wir die Produktregel benutzt haben. er letzte Summand ist nach dem Satz von Schwarz gleich 0. Mit der Kettenregel erhalten wir für die ersten beiden Summanden P + P 2 + P ) 3 x 3 x 2 P + P 2 + P ) 3 x 3 x ) = P x P, 2, )., 2, 3 ), d.h. N = ) Sei n = n, n 2, n 3 ) = = n/ n ist der Normaleneinheitsvektor zu vgl. 4.6)). Nach efinition des Vektorprodukts ist n 2 = 3 3 und n 3 = 2 2 und damit zusammengefasst rot P ), P ) ) Wegen rot H = rot P, 0, 0) T = rot = P x 3 n 2 P n ) 0, P x 3, P ) T können wir 4.28) schreiben als P ), P ) ) = rot H) ) n. 293

23 Wir setzen dies in 4.27) ein und erhalten schließlich H dy = rot P ), P ) ) dx x 2 ) = rot H) n dx = rot H d σ = rot H N dσ nach der efinition 4.6 des lächenintegrals. Beispiel 2 Sei = {u, v) R 2 : u [0, 2π], v [0, π/2]}, r > 0 und : R 2 R 3, u, v) = r cos u cos v, r sin u cos v, r sin v). as lächenstück ) ist die obere Halbkugelfläche um den Ursprung mit dem Radius r. Ein Vektorfeld H sei durch H : R 3 R 3, Hx, y, z) = y, x, ) gegeben. er Rand des Rechtecks läßt sich durch 4 Wege beschreiben: X t) = t, 0) mit t [0, 2π], X 2 t) = 2π, t) mit t [0, π/2], X 3 t) = t, π/2) mit t [ 2π, 0], X 4 t) = 0, t) mit t [ π/2, 0]. ie zugehörigen Parameterdarstellungen Y k t) = X k t) ), k =,..., 4, für die Kurve ) sind Y t) = r cos t, r sin t, 0) mit t [0, 2π], Y 2 t) = r cos t, 0, r sin t) mit t [0, π/2], Y 3 t) = 0, 0, r) mit t [ 2π, 0], Y 4 t) = r cos t, 0, r sin t) mit t [ π/2, 0]. v z Y 3 X 4 X 3 X 2 Y 2 Y 4 y X u x Y 294

24 Man beachte, dass ) nicht mit der Kreislinie in der xy-ebene zusammenfällt!) Nun ist ) H dy = 2π H Y t) ) Ẏt) dt + 2π Wir berechnen das erste Integral: H Y 3 t) ) Ẏ3t) dt + π/2 0 0 H Y 2 t) ) Ẏ2t) dt π/2 H Y 4 t) ) Ẏ4t) dt. 2π 0 H Y t) ) Ẏt) dt = = 2π 0 2π 0 r sin t, r cos t, ) r sin t, r cos t, 0) dt r 2 sin 2 t + r 2 cos 2 t) dt = 2πr 2. as dritte Integral ist wegen Ẏ3 = 0 gleich 0, und das zweite und vierte Integral heben sich gegenseitig auf dies ist auch sofort klar, wenn man sich die Wege Y 2, Y 3 und Y 4 ansieht). Also ist H dy = 2πr 2. ) Nach dem Satz von Stokes ist dann auch ) Übung nachrechnen. Zunächst ist rot H = 0, 0, 2) und rot H N dσ = 2πr 2, was wir zur N = cos u cos v, sin u cos v, sin v) sowie u v = r 2 cos v nach Beispiel 4 aus Abschnitt 4.. amit wird rot H N dσ = rot H) u, v) ) Nu, v) u v du, v) ) = 2 sin v r 2 cos v du, v) = r 2 2π 0 π/2 0 sin 2v dv du = 2πr 2. Auch der Satz von Stokes läßt sich unter schwächeren Voraussetzungen zeigen. Wir vermerken noch eine interessante Konsequenz des Stokes schen Satzes. olgerung 4.3 Sei B ein stückweise glatt berandeter Bereich im R 3 und H : B R 3 stetig differenzierbar. ann ist rot H N dσ = 0. B 295

25 Kurz gesagt: er Wirbelfluß durch eine geschlossene läche ist Null. Zum Beweis schneidet man einfach aus B ein kleines geeignetes lächenstück heraus. Auf der verbleibenden läche ist nach Stokes rot H N dσ = H dx. B\ Zieht man auf einen Punkt zusammen, so geht das Integral auf der rechten Seite gegen Null, da die Weglänge von gegen Null stebt. 4.7 Einige weitere ifferential- und Integralformeln 4.7. er Nabla-Operator er symbolische Vektor = x, y, z ) heißt Nabla-Operator. ormal rechnet man mit ihm wie mit einem Vektor aus R 3. In diesem Sinne ist also für stetig differenzierbare Vektorfelder V und Skalarfelder ϕ ϕ = grad ϕ = div = rot. Ist das Skalarfeld ϕ zweimal stetig differenzierbar, so erhält man )ϕ = grad ϕ = ϕ xx + ϕ yy + ϕ zz. er Operator heißt Laplace-Operator. := = y z Mehrfache Anwendungen der ifferentialoperatoren as Vektorfeld und das Skalarfeld ϕ seien zweimal stetig differenzierbar. ann gilt div rot = 0, 4.29) rot grad ϕ = 0, 4.30) div grad ϕ = ϕ. 4.3) Man rechnet dies mit dem Satz von Schwarz leicht nach. ie ersten beiden ormeln besagen: Wirbelfelder sind divergenzfrei und Gradientenfelder sind wirbelfrei. 296

26 4.7.3 Produktregeln ie Vektorfelder, G und die Skalarfelder ϕ, ψ seien stetig differenzierbar. ann gelten z.b. die folgenden Produktregeln, die man leicht nachrechnet: grad ϕψ) = ϕ grad ψ + ψ grad ϕ, 4.32) div ϕ ) = ϕ div + grad ϕ, 4.33) rot ϕ ) = ϕ rot + grad ϕ, 4.34) div G) = G rot rot G. 4.35) Weitere Beziehungen finden Sie in der Literatur ie Greenschen ormeln Es sei G wie im Gaußschen Integralsatz im Raum Satz 4.8), und f, g : G R seien so oft stetig differenzierbar, wie es die folgenden ormeln verlangen. Aus ormel 4.33) mit = grad g) erhalten wir div fgrad g) = f g + grad f grad g, wobei wir noch 4.3) benutzt haben. Integration über G und Anwendung des Gaußschen Integralsatzes auf der linken Seite liefern fgrad g N dσ = f g + grad f grad g)dx G mit dem äußeren Normalenvektor N an G. Mit der Richtungsableitung g N = grad g N vgl. Abschnitt 0.4) erhalten wir die erste Greensche Integralformel G f g N dσ = G B f g + grad f grad g)dx. 4.36) Vertauscht man hierin f mit g und subtrahiert die erhaltene ormel von 4.36), so erhält man die zweite Greensche Integralformel f g N g f ) dσ = f g g f)dx. 4.37) N G Im Spezialfall g = folgt hieraus f N dσ = G G G f dx. 4.38) Man kann Raumintegrale über Laplacesche ifferentialausdrücke f also in lächenintegrale umschreiben. ie Greenschen ormeln sind außerordentlich nützlich beim Studium von partiellen ifferentialgleichungen. 297