Gleitpunktarithmetik Def. (Realisierung einer Maschinenoperation):

Transkript

1 Gleitpunktrithmetik.. De. Relisierung einer Mshinenopertion: - Berehne ür Mshinenzhlen ds Ergenis der Opertion mit höherer Genuigkeit qusi ekt - Runde dieses Resultt wieder u Mshinenzhl. Ddurh ist der utretende Fehler usshließlih gegeen durh den Rundungsehler, der im letzten Shritt utritt! 36

2 Beispiel Addition + M : Ausgngspunkt: Normierte Gleitpunktdrstellung eider Zhlen - Vershiee ei einer Zhl den Eponenten, so dss eide Zhlen den gleihen Eponenten hen. - Addiere nun die Mntissen. - Normlisiere ds Ergenis vershiee ds Komm. - Runde ds Ergenis. 37

3 Beispiel: =7/4 und =3/8 +=7/8 Mntisse mit t= M.0 = = +.0 = =.0000 =.00. Also + = 7 / 8, er + M =. Asoluter Fehler : 7/8 = /8 Reltiver Fehler: /8 7 / % Zum Vergleih: Bei t=3 ist die Mshinengenuigkeit 3.5% Der utretende Fehler + der Gleitpunktddition entsteht lso durh die shließenden Rundung! 38

4 Nh.0 und. gilt dher.3. M rd mit = die Mshinengenuigkeit In der Pris ersetzt mn die ekte Addition der Mntissen Shritt durh eine Addition mit höherer Genuigkeit, meist mit doppelter Genuigkeit. Dnh Rundung u Mshinenzhl. Ähnlihes Modell ei Multipliktion / Division und uh ei nderen Funktionsuswertungen. Beispiel: Relisierung der Gleitpunkt-Division in INTEL-Prozessor und INTEL-Pentium-Bug 994. Vortrg ugs.

5 Zwei Beispiele: In EXCEL: =? =? Im Windows Clultor: 4=? 4-=? Kosmetishe Zhldrstellung! 40

6 Fehlerortplnzung und Rundungsehlernlse Prolem: Rundungsehler in der Einge und ei jeder durhgeührten Gleitpunktopertion können sih so uswirken, dss m Ende einer Berehnung ein vollkommen lshes Resultt heruskommt! Beispiel: Mit Tshenrehner strte mit Zhl und wiederhole k-ml die Wurzelopertion. Dnh strte mit diesem Endresultt und wiederhole k-ml ds Qudrieren. Endresultt sollte stets wieder sein. Für k genügend groß erhält mn er. MATLAB km.m AUFGABE: Finde essere Art der Berehnung! 4

7 Einührendes Beispiel zur Epsilontik: Addition dreier Mshinenzhlen =++ Zerlege Gesmtrehnung in zwei Grundopertionen:. e=+ M und. =e+ M Vernhlässigung der Terme höherer Ordnung in, 3,...: 4 e e M M, mit Mshinengenuigkeit

8 Dmit ergit sih ür den reltiven Fehler in erster Näherung: rel 43 rel und die Ashätzung Ist d ws prolemtish?

9 Wnn wird der reltive Fehler groß? Wenn + >> ++, oder ++ 0 Andere Reihenolge der Berehnung lieert Fktoren +/++ oder +/++ ; z.b Welhe Reihenolge wäre dnn gut? Addition mit kleinem Resultt zuerst! Es wird jeweils der Fehler, der ei der ersten Addition utritt, verstärkt. 44

10 Beispiel: Mshinenzhlen =. *, = -.0 * und =.0 * 3 ei dreistelliger Mntisse. Addition: ~ * * * 3 M M.0.0 * 3 * M.0 * 3 Dei tritt kein Fehler u! Andere Reihenolge? 45

11 ˆ...0 * * * M M.0.00 * * M.0 * 3 mit reltivem Fehler.0 *.0 *.0 * 0% Merke: Reihenolge der Opertionen knn wihtig sein! Bisher wren, und Mshinenzhlen Jetzt etrhten wir Eingngszhlen, die shon selst mit Rundungsehler ehtet sind: + mit <=, usw. 46

12 . e M. e M. Reltiver Fehler in erster Näherung:. Erste Terme: Auswirkung der Eingeehler Vierter Term: Auswirkung des Fehlers ei der ersten Addition Fünter Term: Fehler ei der zweiten Addition 47

13 Auslöshung Kritisher Fll: Endergenis nhe ei Null! Beispiel: Dierenz zwishen =3/5 und =4/7 ei ün-stelliger Mntisse. Ekte Rehnung: - = /35 =.0-6 Rundung von und lieert ür und die Näherungen.00 und.000 Dmit ergit sih die Rehnung = = =

14 Dei sind unterstrihene Stellen noh ekt, während niht unterstrihene, rote Stellen durh Rundung verälsht sind. Die kursiven, luen Nullen im Ergenis sind wertlos! Ds erehnete Ergenis lutet lso /3. Reltiver Fehler: /35 - /3 / /35 = entspriht. 9.4% Aweihung. Vgl. Mshinengenuigkeit ür t = 5 von % Die unterstrihenen, guten Stellen gehen durh die Dierenz verloren und es leien die unsiheren Stellen ürig = =

15 Bei t=3 zeigt sih dieser Eekt noh stärker: Rehnung:.0.0 = 0 rel. Fehler : 00%, ei Mshinengenuigkeit 0.5=/8 oder.5% Reltiver Fehler ei Dierenz = - nh.3: Eingeehler werden etrem verstärkt, wenn - nhe ei Null ist, lso lls sih und st uslöshen! Der Fehler ei der Dierenz selst ist unkritish! 50

16 Aer: Sind und ekt ohne Fehler, dnn ist = 0 und = 0. Dher ergit sih dnn nur ein reltiver Fehler in der Größenordnung der Mshinengenuigkeit! Also Dierenz mit ekten Zhlen ist OK! Nur ei Dierenz von ehlerehteten Zhlen droht Gehr. 5

17 Berehnung der Eponentil-Funktion ep k / k! n einer Stelle X mittels Progrmm: Y:=.0 ; T=.0; K=; WHILE Y Y + T*X / K T = T * X / K ; Y = Y+ T ; K = K + ; END X Y EXP X * * * * *0 5 9 Erklärung? 5

18 Für X = -5 ergit sih: = = *0 7 Auslöshung durh wiederholte Dierenz im Shritt T = T + Y! Der Term T wähst zunähst, um m Ende einen sehr kleinen Wert nzunehmen! Große Zwishenwerte + kleine Endwerte Auslöshung! Prolemtish! 53

19 Kondition und Stilität.4 Deinition: Ein Berehnungsverhren ist eine Folge von mthemtishen Berehnungen zur Lösung eines Prolems mit Eingngsdten n IR und dem Ergenis IR Zur Berehnung von wird es vershiedene Algorithmen geen, die sih z.b. in der Reihenolge der Opertionen untersheiden vgl. Addition ++. Zum Vergleih vershiedener Algorithmen etrhtet mn die entstehenden Rundungsehler. Dzu knn mn u.. Tlor-Entwiklung oder Epsilontik verwenden. 54

20 Wir deinieren die Kondition eines Prolems. Dzu etrhten wir - Eingedten i, versehen mit soluten Rundungsehlern, i=,...,n. Zur Vereinhung: n=, lso nur ein - ls lk o; wir sind nur n der Ein- und Ausge interessiert! Rundungsehler innerhl der Ausührung von sollen zunähst niht utreten! Für den soluten Fehler im Resultt gilt dnn unter Vernhlässigung der während der Berehnung sonst utretenden Rundungsehler:. i In erster Näherung gilt dher 55

21 56 rel rel Dher ist der reltive Fehler des Resultts : ond.5. Deinition: Unter der Konditionszhl des Prolems = ezüglih Eingewert versteht mn den Betrg des Verstärkungsktors

22 ond : Die Konditionszhl misst die Sensiilität des Resultts in Ahängigkeit von den Fehlern in der Einge. ond groß, z.b. wenn: - große Einge gegenüer kleinem Endwert - nhezu senkrehte Tngente groß Ein Prolem heißt gut konditioniert wenn kleine reltive Fehler in ei ekter Arithmetik lso ohne Rundungsehler während der weiteren Rehnung zu kleinen reltiven Fehlern im Resultt ühren: unge. in der Größenordnung von 57

23 Andernlls liegt shlehte Kondition zgl. vor. Die Konditionszhl misst den sog. unvermeidren Fehler, der durh ds Prolem selst n einer Stelle gegeen ist. Beispiel: ondep = ondln = / ln ond : Bild einer Funktion, Punkte shlehter Kondition:?? Frge: Shleht konditionierte Proleme im Alltg?

24 Beispiel: Konditionszhlen zu =,,=++ 59,,, ond ond ond Unvermeidrer Fehler!. Konditionszhl zgl. der zweiten Addition +,=++ Ds sind gerde die Verstärkungsktoren der rel. Fehler der Eingedten in der Formel ür den reltiven Fehler: : ond

25 Betrhten wir die Gesmtrehnung, so lssen sih Konditionszhlen zu jedem einzelnen Rehenshritt ngeen. Dmit ist es möglih, ür den gesmten Algorithmus ds Fehlerverhlten zu estimmen. Dies ist meist zu uwändig oder gr niht möglih! Es ermögliht er eine mehr mthemtishe Formulierung der Epsilontik. z.b. ist der vierte lue Term gleih der Konditionszhl der Teilunktion, die die Addition von + mit eshreit. 60

26 .6. Deinition: Sei ds Prolem = gut konditioniert. Eistiert dnn zusätzlih uh ein gutrtiges Berehnungsverhren, ei dem die reltiven Fehler niht zusätzlih strk vergrößert werden, so spriht mn von einem numerish stilen Algorithmus. Ein Berehnungsverhren, ds trotz kleiner Konditionszhl zu vergrößerten reltiven Fehlern im Resultt ühren knn, heißt numerish instil. 6

27 Erste Frge: Konditionszhl OK? Wenn j, ormuliere numerish stiles Berehnungsverhren: Prüe ds Berehnungsverhren mit Epsilontik: Ersetze dzu jede Eingngsvrile durh + und jede uszuührende Opertion op M = op *+ op mit <= und op <=. Vernhlässige dei Terme höherer Ordnung in lso, 3, 4,... Dmit erhält mn ds gestörte Endergenis. Berehne und diskutiere dnn den reltiven Fehler in erster Ordnung durh Ashätzen der Beträge der Einzelterme rel Term eps Term eps... 6

28 Ist ds Prolem shleht konditioniert, dnn ist nur Shdensegrenzung möglih: Verwende ev. höhere Genuigkeit: Eingeehler 0^- mit Konditionszhl 0^8 ergit Ausgeehler 0^-4 Ist dieser Ausgeehler noh tolerierr? Wenn nein, dnn knn zu einer Veresserung nur der Eingeehler verkleinert werden. Ptriot Bug! Vortrg. 63

29 Beispiel: Berehnung von Prolemtish? 64 0, Allerdings ist die Auswertung in dieser Form numerish instil d Auslöshung im letzten Shritt! 0 ür ond Kondition ist OK, d L Hospitl

30 Entsprehend lässt sih die Berehnung der Eponentilunktion ür große negtive retten, indem wir ep-000 ersetzen durh /ep Bessere Formulierung: Für 0 keine Sutrktion mehr! Alle Einzelshritte sind gut konditioniert!