Computer Vision Group Prof. Daniel Cremers. Fließkomma-Arithmetik und Fehlerfortpflanzung
|
|
- Evagret Langenberg
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Computer Vision Group Prof. Dniel Cremers Fließkomm-Arithmetik und Fehlerfortpflnzung
2 Fließkomm-Arithmetik Definition einer Mschinenopertion: 1. Berechne für Mschinenzhlen ds Ergenis der Opertion mit höherer Genuigkeit (qusi exkt). Runde dieses Resultt wieder uf Mschinenzhl. Ddurch ist der uftretende Fehler usschließlich gegeen durch den Rundungsfehler, der im letzten Schritt uftritt!
3 Beispiel Addition M : Ausgngspunkt: Normierte Gleitpunktdrstellung eider Zhlen! 1. Verschiee ei einer Zhl den Exponenten, so dss eide Zhlen den gleichen Exponenten hen.. Addiere nun die Mntissen. 3. Normlisiere ds Ergenis (verschiee ds Komm). 4. Runde ds Ergenis. 3
4 Beispiel x7/4 und y3/8! xy17/8 Mntisse mit t3 4
5 Beispiel x7/4 und y3/8! xy17/8 Mntisse mit t3 (1.11) 0 M (1.10) (111) (1.10) ( ) ( ) 1 (1.00) 1. 5
6 Beispiel x7/4 und y3/8! xy17/8 Mntisse mit t3 (1.11) 0 M (1.10) (111) (1.10) ( ) ( ) 1 (1.00) 1. Also x y 17 / 8, er x M y. Asoluter Fehler : 17/8 1/8! Reltiver Fehler: 1/8 0, % 17/8! Mschinengenuigkeit: 3 1, 5 6
7 Beispiel x7/4 und y3/8! xy17/8 Mntisse mit t3 (1.11) 0 M (1.10) (111) (1.10) ( ) ( ) 1 (1.00) 1. Also x y 17 / 8, er x M y. Asoluter Fehler : 17/8 1/8! Reltiver Fehler: 1/8 0, % 17/8! Mschinengenuigkeit: 3 1, 5 Der Fehler entsteht durch die schließende Rundung! 7
8 Fließkomm-Opertionen Für llgemeine Fließkomm-Opertionen gilt:! rd(r s) (r s)(1 ) woei pple In der Prxis ersetzt mn die exkte Addition der Mntissen (Schritt ) durch eine Addition mit höherer Genuigkeit, meist mit doppelter Genuigkeit. Dnch Rundung uf Mschinenzhl.! Ähnliches Modell ei Multipliktion / Division und uch ei nderen Funktionsuswertungen. 8
9 Prolem: Rundungsfehlernlyse Rundungsfehler in der Einge und ei jeder durchgeführten Fließkommopertion können sich so uswirken, dss m Ende einer Berechnung ein vollkommen flsches Resultt heruskommt! Beispiel: Mit Tschenrechner strte mit Zhl und wiederhole k-ml die Wurzelopertion. Dnch strte mit diesem Endresultt und wiederhole k-ml ds Qudrieren. Endresultt sollte stets wieder sein. Für k genügend groß erhält mn er 1. 9
10 Addition Addition dreier Mschinenzhlen yc Zerlege Gesmtrechnung in zwei Grundopertionen: 1. em und. fem c 10
11 Addition 11 Addition dreier Mschinenzhlen yc Zerlege Gesmtrechnung in zwei Grundopertionen: 1. em und. fem c ) ( ) ( ) ( ) )(1 ) )(1 (( ) )(1 ) (( ) )(1 ( c c c c c e c e f M M 1, mit Mschinengenuigkeit
12 Addition 1 Addition dreier Mschinenzhlen yc Zerlege Gesmtrechnung in zwei Grundopertionen: 1. em und. fem c Vernchlässigung der Terme höherer Ordnung (, 3,...): ) ( ) ( ) ( ) )(1 ) )(1 (( ) )(1 ) (( ) )(1 ( c c c c c e c e f M M 1, mit Mschinengenuigkeit
13 Addition Ergenis in erster Näherung:! Reltiver Fehler: f c ( ) 1 ( c) f rel y f y 13
14 Addition Ergenis in erster Näherung:! Reltiver Fehler: f c ( ) 1 ( c) f rel y c ( c ( ) 1 ( c) ) c y f c 1 14
15 Addition Ergenis in erster Näherung:! Reltiver Fehler: f c ( ) 1 ( c) f rel y c ( c ( ) 1 ( c) ) c y f c 1 Dmit gilt die Aschätzung f rel (y) pple c 1 pple 1 c! 15
16 Wnn wird der reltive Fehler groß? Wenn >> c, oder c 0 Andere Reihenfolge der Berechnung liefert Fktoren (c)/(c) oder (c)/(c) ; Es wird jeweils der Fehler, der ei der ersten Addition uftritt, verstärkt. 16
17 Beispiel Addition von drei Mschinenzhlen: (1.11) * 1, - (1.10) * 1 und c(1.10) * 3 ei dreistelliger Mntisse. ~ y ( 1 1 (1.11) * ( (1.10) * )) M M (1.10) * 3 (1.00) * 3 M (1.10) * 3 (1.01) * Dei tritt kein Fehler uf! Andere Reihenfolge? 17
18 Andere Reihenfolge yˆ (1.11) (1.11) (1.10) * * * 1 1 M M 1 3 ( (1.10) * ) (1.10) * ) ( (1.00) * 1 ) M mit reltivem Fehler (1.01) * (1.10) * (1.01) * 0% Merke: Reihenfolge der Opertionen ist wichtig! Bisher wren, und c Mschinenzhlen Jetzt etrchten wir Eingngszhlen, die schon selst mit Rundungsfehler ehftet sind:! (1 ) mit <, usw. 18
19 Mit Eingngsfehlern 1. e ( (1 )) ( (1 M )). f e M ( c (1 c )). Reltiver Fehler in erster Näherung: f y y! c c c c c c 1. Erste Terme: Auswirkung der Eingefehler Vierter Term: Auswirkung der ersten Addition Fünfter Term: Fehler ei der zweiten Addition 19
20 Auslöschung Kritischer Fll: Endergenis nhe ei Null!! Beispiel:! Differenz zwischen x3/5 und y4/7 ei fünf-stelliger Mntisse.! Exkte Rechnung: x - y 1/35 ( ) -5 Rundung von x und y liefert für ( ) 1 und ( ) 1 die Näherungen (1.0011) 1 und (1.0010) 1! Dmit ergit sich die Rechnung (1.0011) 1 (1.0010) 1 (0.0001) 1 (1.0000) 5 0
21 Auslöschung Dei sind unterstrichene Stellen noch exkt, während nicht unterstrichene Stellen durch Rundung verfälscht sind. Die kursiven Nullen im Ergenis sind wertlos! Ds erechnete Ergenis lutet lso 1/3. Reltiver Fehler: (1/35-1/3) / (1/35) entspricht c. 9.4% Aweichung. Vgl. Mschinengenuigkeit für t 5 von c. 3.1% Die unterstrichenen, guten Stellen gehen durch die Differenz verloren und es leien die unsicheren Stellen ürig. (1.0011) 1 (1.0010) 1 (0.0001) 1 (1.0000) 5 1
22 Auslöschung Bei t3 zeigt sich dieser Effekt noch stärker: Rechnung: (1.01) 1 (1.01) 1 0 Fehler: 100%, ei Mschinengenuigkeit 0.151/8 oder 1.5% Reltiver Fehler ei Differenz y - : y ( (1 ) (1 )) (1 ) Eingefehler werden extrem verstärkt, wenn - nhe ei Null ist, lso flls sich und fst uslöschen!
23 Auslöschung Aer: Sind und exkt ohne Fehler, dnn ist 0 und 0. Dher ergit sich dnn nur ein reltiver Fehler in der Größenordnung der Mschinengenuigkeit! Also Differenz mit exkten Zhlen ist OK! Nur ei Differenz von fehlerehfteten Zhlen droht Gefhr. 3
24 Beispiel Exponentilfunktion Berechne exp( x) k x / k! mit diesem Progrmm: Y:1.0 ; T1.0; K1; WHILE ( Y Y T*X / K ) T T * X / K ; Y Y T ; K K 1 END ; X Y EXP( X ) * * * * * Erklärung? 4
25 Beispiel Exponentilfunktion Für X -15 ergit sich: *10 7 Auslöschung durch wiederholte Differenz im Schritt T T Y! Der Term T wächst zunächst, um m Ende einen sehr kleinen Wert nzunehmen! Große Zwischenwerte kleine Endwerte! Auslöschung! 5
26 Computer Vision Group Prof. Dniel Cremers Kondition und Stilität
27 Kondition und Stilität Definition 19: Eine Berechnungsmethode ist eine festgelegte, wohldefinierte Folge von mthemtischen Elementrerechnungen (,,,/), die us den Eingngsdten x í, n é ds Ergenis y f (x) í erechnet. Zur Berechnung von y wird es verschiedene Algorithmen geen, die sich z.b. in der Reihenfolge der Opertionen unterscheiden (vgl. Addition c).! Zum Vergleich verschiedener Algorithmen etrchtet mn die entstehenden Rundungsfehler. Dzu knn mn u.. Tylor-Entwicklung oder Epsilontik verwenden. 7
28 Kondition Wir etrchten Eingedten x i, versehen mit soluten Rundungsfehlern, i1,...,n. (Zur Vereinfchung: n1) δ xi f(x) ls lck ox; wir sind nur n der Ein- und Ausge interessiert! Rundungsfehler innerhl der Ausführung von f(x) sollen zunächst nicht uftreten! Für den soluten Fehler im Resultt gilt dnn unter Vernchlässigung der während der Berechnung sonst uftretenden Rundungsfehler: y δ y f ( x δ x ) f ( x) f #( x) δ x Ο( δ x ). 8
29 In erster Näherung gilt!!! Kondition y y f (x x ) f (x) f 0 (x) x O( x) ) Dher ist der reltive Fehler des Resultts y y f rel (y) y y xf0 (x) y y f 0 (x) x x x xf0 (x) y f rel (x) xf0 (x) f (x) x Definition 0: Die Kondition der Funktion y f (x) ergit sich us dem Verstärkungsfktor pple f (x) : x f 0 (x) f (x). 9
30 Kondition Die Konditionszhl misst die Sensiilität des Resultts y in Ahängigkeit von den Fehlern in der Einge x. κ groß, z.b. wenn: - große Einge gegenüer kleinem Endwert - nhezu senkrechte Tngente ( f (x) groß) Ein Prolem heißt gut konditioniert "! kleine reltive Fehler in x ei exkter Arithmetik (lso ohne Rundungsfehler während der weiteren Rechnung) zu kleinen reltiven Fehlern im Resultt y führen: y ungefähr in der Größenordnung von x 30
31 Kondition Andernflls liegt schlechte Kondition zgl. x vor. Die Konditionszhl misst den sog. unvermeidren Fehler, der durch ds Prolem selst n einer Stelle x gegeen ist. Beispiel: κ(exp(x)) x κ(ln(x)) 1/ ln(x) Bild einer Funktion, Punkte schlechter Kondition:?? 31
32 Beispiel: Addition Berechne Konditionszhlen zu yc cond c, cond c, cond c c c, Ds sind gerde die Verstärkungsfktoren der reltiven Fehler der Eingedten in der Formel für den reltiven Fehler: y f y c c 1 c Konditionszhl zgl. der zweiten Addition f(,c)()c Unvermeidrer Fehler! c c c 3
33 Verkettete Berechnungsmethoden Betrchten wir die Gesmtrechnung, so lssen sich Konditionszhlen zu jedem einzelnen Rechenschritt ngeen. Dmit ist es möglich, für den gesmten Algorithmus ds Fehlerverhlten zu estimmen. Dies ist meist zu ufwändig oder gr nicht möglich! Es ermöglicht er eine mehr mthemtische Formulierung der Epsilontik. z.b. ist der vierte, lue Term gleich der Konditionszhl der Addition von () mit c. 33
34 Verkettete Berechnungsmethoden Berechne die Konditionszhl für! Wir hen z g(y) g( f (x)) (g f )(x) pple g y g0 (x) pple f x f 0 (x) z y 34
35 Verkettete Berechnungsmethoden Berechne die Konditionszhl für! Wir hen z g(y) g( f (x)) (g f )(x) pple g y g0 (x) pple f x f 0 (x) z y pple g f x (g z f )0 (x) x g0 ( f (x)) f 0 (x) y z y y g0 (y) z x f 0 (x) y pple g pple f 35
36 Verkettete Berechnungsmethoden f n ( f n 1 ( ( f 3 ( f ( f 1 (x)))) )) g ( h ( x)) 1 f ( x) g ( x) 1 f n ( f n 1 ( ( f 3 ( f ( f 1 (x)))) )) g n ( h ( x) 1 n ) f n ( f n 1 ( ( f 3 ( f ( f 1 (x)))) )) g n ( h ( ) 1 x n ) Alle Funktionen g j müssen gut konditioniert sein, d sie Teilschritte implementieren! 36
37 Stilität Definition 1: Sei y f (x) ein gut konditioniertes Prolem. Wenn es ein Berechnungsverfhren für f git, ds die reltiven Eingefehler nicht vergrößert, dnn ist dieses Berechnungsverfhren numerisch stil. Ein Berechnungsverfhren, ds trotz kleiner Konditionszhl zu vergrößerten reltiven Fehlern im Resultt führen knn, heißt numerisch instil. 37
38 Stilität Erste Frge: Konditionszhl OK? Wenn j, finde numerisch stiles Berechnungsverfhren Prüfe ds Berechnungsverfhren mit Epsilontik: Ersetze dzu jede Eingngsvrile x durch x(1 x ) und jede uszuführende Opertion (x op M y) (x op y)*(1 op ) mit x < und op <. Vernchlässige dei Terme höherer Ordnung in (lso, 3, 4,...). Dmit erhält mn ds gestörte Endergenis. Berechne und diskutiere dnn den reltiven Fehler in erster Ordnung durch Aschätzen der Beträge der Einzelterme Term eps Term eps... f rel 38
39 Stilität Ist ds Prolem schlecht konditioniert, dnn ist nur Schdensegrenzung möglich: Verwende ev. höhere Genuigkeit: Eingefehler 10^(-1) mit Konditionszhl 10^(8) ergit Ausgefehler 10^(-4)! Ist dieser Ausgefehler noch tolerierr? Wenn nein, dnn knn zu einer Veresserung nur der Eingefehler verkleinert werden. 39
40 Beispiel 1 Berechnung von Prolemtisch? f ( x) 1 1 x, x 0 Kondition ist OK, d cond x x für x (1 1 x ) 1 x 0 (L Hospitl) Allerdings ist die Auswertung in dieser Form numerisch instil x x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 d Auslöschung im letzten Schritt! 40
41 Beispiel 1 Bessere Formulierung: 1 1 x (1 1 x 1 )(1 1 x 1 x ) 1 1 (1 1 x x ) 1 x 1 x Für x 0 keine Sutrktion mehr! Alle Einzelschritte sind gut konditioniert! Entsprechend lässt sich die Berechnung der Exponentilfunktion für große negtive x retten, indem wir exp(-1000) ersetzen durch 1/exp(1000). 41
42 Beispiel f(x) 1 - cos(x) in der Nähe von x0 f(x) ist wieder gut konditioniert ei 0, d! pple x xf0 (x) f (x) x sin(x) 1 cos(x)! für x! 0 Aer ei 0 ist cos(x) nhe ei 1! wieder Auslöschung! In MATLAB: 1 - cos(10^(-8)) ergit 0; in cos(10^(-3)) verliert mn ei der Differenz 6 signifiknte Stellen 4
43 Anderer Berechnungsweg:! Beispiel 1 - cos(x) sin (x/) oder Reihenentwicklung des Cosinus 1 cos(x) 1 (1 x! x4 4! x 6 6! ) x x 4 4! x6 6! 43
44 Beispiel 3 y ei Anwendung der Epsilontik; seien, Mschinenzhlen: Berechne erst eide Produkte, dnn die Differenz. Reltiver Fehler: Nun seien uch und fehlerhft: (1 ), (1 ) y 1 3 Fehler: Eingefehler Produktfehler Differenzfehler 44
45 Konditionszhlen:! cond Beispiel 3 cond dy d Andere Art der Berechnung: y ( )( ) dy d Prolem ist schlecht konditioniert für, f ((1 ) (1 ))(1 )((1 ) (1 ))(1 )(1 ) ( (1 ) (1 )) (1 ) Reltiver Fehler in erster Näherung: * 45
46 Beispiel 3 Vergleich mit erstem Algorithmus: Ds neue Verfhren ist esser, d i.w. nur der unvermeidre Fehler (durch Eingefehler) uftritt! Grund: Auslöschung in - geringer ls in, d Fehler in und kleiner ls in und. 46
47 Zusmmenfssung Endlichkeit des Computers führt zu endlicher Menge von Mschinenzhlen. In jedem Schritt treten Rundungsfehler uf. Gefährlich sind Opertionen, ei denen mn signifiknte Stellen verliert, wie z.b.: Auslöschung (Differenz fst gleicher Zhlen) Summe zwischen großer Zhl und sehr kleiner Zhl, ei der die signifiknten Stellen in der kleinen Zhl stecken (vgl. wiederholtes Wurzelziehen) Allgemein Opertionsfolgen mit großen Zwischen- werten und kleinen Endwerten (vgl. exp, Teilfunktion schlecht konditioniert). 47
48 Zusmmenfssung Algorithmus ist OK, wenn die Größenordnung der reltiven Fehler im Resultt ungefähr gleich der Größenordnung der Eingefehler leit. Umformen eines numerisch instilen Verfhrens durch ndere Reihenfolge der Berechnung Anfng der Tylorentwicklung trigonometrische Formeln lgerische Umformung (inomische F.)... Ev. doule precision rechnen, dmit trotz schlechter Kondition oder Rundungsfehler noch ruchres Resultt ürigleit. 48
49 Zusmmenfssung Systemtische Fehler und große Zhl der Opertionen können zu schlechten Ergenissen führen! (Siehe Beispiel Börsenindex) Ev. Modellfehler gegen Rundungsfehler wägen: Feineres Modell! Mehr Rechnung! Mehr Rundungsfehler! Mn muss die optimle Blnce finden! 49
50 Zusmmenfssung Beispiel: Veresserte Fehlernlyse für den numerisch instilen Fll großer Zwischenwerte Zerlege Prolem f(x) in zwei Schritte y f(x) f (f 1 (x)) f (z) woei z f 1 (x) großer Zwischenwert und y f (z) kleiner Endwert. Dher ist Teilprolem f (z) für diese Werte schlecht konditioniert, d z / f (z) groß ist! Dher ist Gesmtverfhren nicht numerisch stil für x. 50
51 Zusmmenfssung Verfhren ist numerisch stil, wenn für jede Zerlegung in Teilproleme f (f 1 (x)) f (z), z f 1 (x), f (z) stets gut konditioniert ist!! Konditionszhl "! Gesmtprolem Numerisch stil "! Berechnungsform 51
52 Zusmmenfssung Ziel: Erkenne us Formel (Progrmm), zw. erechneten (Zwischen)werten, - o ds Prolem gut konditioniert ist, und - o ds verwendete Verfhren numerisch stil ist, - zw. wie ds Verfhren ev. veressert werden knn. 5
Folien-Beispiel: Differenz zwischen x=3/5 und y=4/7 bei fünf-stelliger Mantisse. Exakte Rechnung: x - y = 1/35 = ( ) 2 2-5
- 44 - Auslöschung Kritischer Fll: Endergenis nhe ei Null! Folien-Beispiel: Differenz zwischen 3/5 und 4/7 ei fünf-stelliger Mntisse. Ekte Rechnung: - /35 (0.0-5 Rundung von und liefert für (.0000... und
MehrWann wird der relative Fehler groß?
Wnn wird der reltive Fehler groß? Wenn >> c, oder c 0 Andere Reihenfolge der Berechnung liefert Fktoren (c)/(c) oder (c)/(c) ; Es wird jeweils der Fehler, der ei der ersten Addition uftritt, verstärkt.
MehrFehlerfortpflanzung und Rundungsfehleranalyse
Fehlerfortpflnzung und Rundungsfehlernlyse Prolem: Rundungsfehler in der Einge und ei jeder durhgeführten Gleitpunktopertion können sih so uswirken, dss m Ende einer Berehnung ein vollkommen flshes Resultt
MehrBeispiel: (MATLAB) AUFGABE: Finde bessere Art der Berechnung! Einführendes Folien-Beispiel zur Epsilontik:
- 37 - Beispiel: Mit Tshenrehner strte mit Zhl und wiederhole k-ml die Wurzelopertion. Dnh strte mit diesem Endresultt und wiederhole k-ml ds Qudrieren. Endresultt sollte stets wieder sein. Für k genügend
MehrFolien-Beispiel: Maschinenzahlen a=(1.11) 2. * 2 1, b= - (1.10) 2. *2 1 und c=(1.10) 2. * 2 3 bei dreistelliger Mantisse.
Folien-Beispiel: Mshinenzhlen =(. *, = - (.0 * und =(.0 * 3 ei dreistelliger Mntisse. Addition: ~ y (.0 (. (.00 * * * 3 M M ( (.0 (.0 * 3 * M (.0 * 3 Dei tritt kein Fehler uf! Andere Reihenfolge? 4 yˆ
MehrGleitpunktarithmetik
- 3 - Beispiel t, ¼ (0.0 ; (.0 (.0 Mntissenlänge (Bits Genuigkeit Gleitpunktrithmetik.. Def. (Relisierung einer Mshinenopertion: - Berehne für Mshinenzhlen ds Ergenis der Opertion mit höherer Genuigkeit
MehrMATLAB und Heisenberg Effekt
MATLAB und Heisenerg Effekt funtion myrelmin ; temp ; while eps * temp / > 0 temp eps * temp / % ; if temp > 0 temp; end end heisen.m ; while *eps>0 lst ; /.0; end lst Different results depending on disply
MehrGleitpunktarithmetik Def. (Realisierung einer Maschinenoperation):
Gleitpunktrithmetik.. De. Relisierung einer Mshinenopertion: - Berehne ür Mshinenzhlen ds Ergenis der Opertion mit höherer Genuigkeit qusi ekt - Runde dieses Resultt wieder u Mshinenzhl. Ddurh ist der
MehrAndere Möglichkeit, die Maschinengenaugkeit zu definieren: Größte positive Zahl y=2 -k, so dass. Beispiel t=2, = ¼ = (0.01) 2 ; (1.0 1) 2 (1.
De.: Die oere Shrnke ür den reltiven Fehler, der ei der Rundung mit t-stelliger Mntisse utreten knn, heißt Mshinengenuigkeit, und ergit sih ls t Andere Möglihkeit, die Mshinengenugkeit zu deinieren: Größte
MehrNumerische Programmierung Konkrete Mathematik
Numerische Progrmmierung Konkrete Mthemtik Litertur o Numerik für Informtiker (Huckle/Schneider) = Numerische Methoden o Folien voriger Semester o Herzerger: Wissenschftliches Rechnen o Opfer: Numerik
MehrNumerische Programmierung Konkrete Mathematik
Numerische Progrmmierung Konkrete Mthemtik Litertur o Numerik für Informtiker (Huckle/Schneider) = Numerische Methoden o Folien voriger Semester o Herzerger: Wissenschftliches Rechnen o Opfer: Numerik
Mehr2.8. Absoluter Rundungsfehler:
.8. Asoluter Rundungsehler: rd rd rd t e et rd Prolem: Ein soluter Fehler von der Größe 0. ist - ei der Zhl. reht groß, er - ei der Zhl 3456.7 sehr klein. Beispiel: Million + Jhr lter Dinosurierknohen
Mehr3.1 Multiplikation Die Multiplikation von algebraischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt:
.1 Multipliktion Die Multipliktion von lgerischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt: c Multipliktor Multipliknd Produkt Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz)
Mehr3.4 Kondition eines Problems
38 KAPITEL 3. FEHLERANALYSE Beispiel 3.18 Betrachte M(10, 5, 1). Dann sind x 4.2832, y 4.2821, z 5.7632 darstellare Zahlen und (x y)z 0.00633952. Das korrekte Ergenis in M ist daher 0.0063395. Der Ausdruck
Mehr3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl
Mehr4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch
Mehr1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
Mehr18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus
18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus Autor Friedrich Eisenrnd, Universität Dortmund Heute ehndeln wir den ältesten ereits us Aufzeichnungen us der Antike eknnten Algorithmus. Er wurde
Mehr1. Rechnerarithmetik und. Rundungsfehler
1. Rechnerarithmetik und Rundungsfehler 1 Rundung (1) Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk, L. Kronecker Ohne Zahlendarstellung auf einem Rechner wiederholen
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 ORTHOGONALITÄT
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester ARBEITSBLATT 5 ORTHOGONALITÄT Ws versteht mn zunächst einml unter orthogonl? Dies ist nur ein nderes Wort für norml oder im rechten Winkel. Ws uns hier
MehrMC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
Mehr1 3 Z 1. x 3. x a b b. a weil a 0 0. a 1 a weil a 1. a ist nicht erlaubt! 5.1 Einführung Die Gleichung 3 x 9 hat die Lösung 3.
5 5. Einführung Die Gleichung x 9 ht die Lösung. x 9 Z 9 x Die Gleichung x ht die Lösung. x Z x Definition Die Gleichung x, mit, Z und 0, ht die Lösung: x x Ist kein Vielfches von, so entsteht eine neue
MehrFlächenberechnung. Aufgabe 1:
Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die
MehrLösungsvorschlag zur 9. Hausübung in Analysis II im SS 12
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK, CAMPUS ESSEN Prof. Dr. Ptrizio Neff.6. Lösungsvorschlg zur 9. Husüung in Anlysis II im SS Husufge (6+8+8+8+6+8 Punkte): Berechnen Sie folgende Integrle, sofern sie existieren.
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine
MehrARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.
MehrARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt
Mehr1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg
Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 Eenso, denn 5?
MehrHM I Tutorium 13. Lucas Kunz. 2. Februar 2017
HM I Tutorium 3 Lucs Kunz. Ferur 07 Inhltsverzeichnis Theorie. Differentilgleichungen erster Ordnung..................... Linere DGL zweiter Ordnung..........................3 Uneigentliche Integrle.............................
MehrBestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter
MehrDer Begriff der Stammfunktion
Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:
Mehr1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg
Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: ) 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 ) Eenso, denn
Mehr5.5. Integralrechnung
.. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds
Mehrkomplizierteren Funktionen versucht man, die Fläche durch mehrere Rechtecke anzunähern.
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4. 4 Integrlrechnung 4. Integrierbrkeit Die Grundidee der Integrlrechnung ist die Berechnung der Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion und der x-achse. Recht einfch
MehrNullstellen quadratischer Gleichungen
Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y
Mehr6-1 Elementare Zahlentheorie. mit 1 b n und 0 a b (zusammen mit der Ordnung ) nennt man die n-te Farey-Folge, zum Beispiel ist
6- Elementre Zhlentheorie 6 Frey-Folgen Die Menge F n der rtionlen Zhlen mit n und (zusmmen mit der Ordnung ) nennt mn die n-te Frey-Folge, zum Beispiel ist F = { < < < < < < < < < < } Offensichtlich gilt:
MehrVorkurs Mathematik. Vorlesung 3. Die rationalen Zahlen
Prof. Dr. H. Brenner Osnrück WS 2014/2015 Vorkurs Mthemtik Vorlesung 3 Die rtionlen Zhlen Definition 3.1. Unter einer rtionlen Zhl versteht mn einen Ausdruck der Form, woei, Z und 0 sind, und woei zwei
MehrDie Keplersche Fassregel
Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden
MehrARBEITSBLATT 5L-11 BERECHNEN VON RAUMINHALTEN
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng+LehrerInnentem ) Rottion um die -Achse ARBEITSBLATT 5L- BERECHNEN VON RAUMINHALTEN Es geht hier um folgende Aufgenstellung. Eine gegeene Funktion f() soll in einem estimmten
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester Kurzer Einschub: das Schubfachprinzip.
Reguläre Sprchen Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 0 Ds Pumping-Lemm Wir hen is jetzt vier Formlismen kennengelernt, mit denen wir eine reguläre Sprche ngeen können:
Mehr2.6 Reduktion endlicher Automaten
Endliche Automten Jörg Roth 153 2.6 Reduktion endlicher Automten Motivtion: Wir sind n Automten interessiert, die mit möglichst wenigen Zuständen uskommen. Automten, die eine Sprche mit einem Minimum n
Mehr2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
MehrFORMALE SYSTEME. Kleene s Theorem. Wiederholung: Reguläre Ausdrücke. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2.
FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch Rndll Munroe, https://xkcd.com/851_mke_it_etter/, CC-BY-NC 2.5 TU Dresden, 2. Novemer 2017 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme
Mehr6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6.1 Voremerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Oertionen. Sie heen sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2011
Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 011 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 1 Reguläre Sprchen Wir eschäftigen uns
Mehr8.4 Integrationsmethoden
8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung
MehrGrundoperationen Aufgaben
Grundopertionen Aufgben Ausklmmern Hben lle Summnden einer lgebrischen Summe einen gemeinsmen Fktor, so knn mn diesen gemeinsmen Fktor usklmmern. Die Summe wird ddurch in ein Produkt umgewndelt. Vor dem
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 144) Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl
Mehr( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )
4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion
MehrEinführung in die Mathematik des Operations Research
Universität zu Köln Mthemtisches Institut Prof. Dr. F. Vllentin Dr. A. Gundert Einführung in die Mthemtik des Opertions Reserch Aufge (5+5= Punkte) Sommersemester 4 Lösungen zur Klusur (5. Septemer 4).
MehrMinimierung von DFAs. Minimierung 21 / 98
Minimierung von DFAs Minimierung 21 / 98 Ein Beispiel: Die reguläre Sprche L({, } ) Wie stellt mn fest, o ein Wort ds Suffix esitzt? Ein erster Anstz: Speichere im ktuellen Zustnd die eiden zuletzt gelesenen
MehrHA-Lösung TA-Lösung Diskrete Strukturen Tutoraufgabenblatt 2. Besprechung in KW44
Technische Universität München Winter 08/9 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, C. Welzel 08//0 HA- TA- Diskrete Strukturen Tutorufgenltt Besprechung in KW Bechten Sie: Soweit nicht explizit ngegeen, sind
MehrFehlerfortpflanzung. Fehler bei Fließkomma-Arithmetik. Addition x ` y ` z. Fehlerfortpflanzung. Analyse des Relativen Fehlers
Numerisches Programmieren (IN0019) Frank R. Schmidt. Kondition und Stabilität Winter Semester 016/017 Fließkommazahlen (Wdh.) Eine Fließkommazahl benutzt die folgende Zahlendarstellung Fließkomma-Arithmetik
MehrMinimalautomat. Wir stellen uns die Frage nach dem. kleinsten DFA für eine reguläre Sprache L, d.h. nach einem DFA mit möglichst wenigen Zuständen.
Rechtslinere Sprchen Minimlutomt Es git lso sehr verschiedene endliche Beschreiungen einer regulären Sprche (DFA, NFA, rechtslinere Grmmtiken, reguläre Ausdrücke). Diese können ineinnder üersetzt werden.
MehrUmwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.
Mehr2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
MehrEine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z
Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten
Mehr/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH
/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene
MehrKlausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (90 Minuten)
Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 2.7.24 Klusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (9 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (SS 24) Ich estätige,
MehrUngleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung
Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................
MehrMathematik Name: Vorbereitung KA2 K1 Punkte:
Pflichtteil (etw 40 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet werden dürfen.) Aufgbe : [4P] Leiten Sie
Mehr1 Differentialrechnung
1 Differentilrechnung 1.1 Ableitungen und Ableitungsregeln Nützliche Ableitungen 1. ( ) 1 = 1 x x 2 = x 2 2. Trigonometrische Funktionen: ( x) = 1 2 x [sin(x)] = cos(x) [cos(x)] = sin(x) 3. f(x) = e x
MehrFormale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder
Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem
Mehr10 Anwendungen der Integralrechnung
9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung
MehrRelationen: Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen
TH Mittelhessen, Sommersemester 202 Lösungen zu Üungsltt 9 Fchereich MNI, Diskrete Mthemtik 2. Juni 202 Prof. Dr. Hns-Rudolf Metz Reltionen: Äquivlenzreltionen, Ordnungsreltionen Aufge. Welche der folgenden
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
MehrBruchrechnung. W. Kippels 6. Dezember Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 2. 2 Einleitung 3
Bruchrechnung W. Kippels 6. Dezemer 08 Inhltsverzeichnis Vorwort Einleitung Die Bruchrechenregeln. Addition gleichnmiger Brüche........................ Addition ungleichnmiger Brüche.......................
MehrGrundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben
Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können
MehrZusatzaufgabe 1 für Informatiker
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Institut für Geometrie und Prktische Mthemtik Mthemtisches Prktikum (MPr) Sommersemester 00 Prof. Dr. Wolfgng Dhmen Dipl.-Mth. Jens Berger, Dipl.-Mth. Dipl.-Phs.
MehrGrundlagen der Algebra
PH Bern, Vorbereitungskurs MATHEMATIK Vorkenntnisse 0 Grundlgen der Algebr Einleitung Auf den nchfolgenden Seiten werden grundlegende Begriffe und Ttschen der Algebr erläutert: Zhlenmengen, Rechenopertionen,
Mehr4.4 Partielle Integration
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.4 4.4 Prtielle Integrtion Zwei Integrtionsregeln kennen wir bereits: Stz 4.. und Stz 4..8. Stz 4.. sgt, dss mit zwei Funktionen uch deren Summe oder Differenz integrierbr
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 19 Fehlerbetrachtung R. Steuding
MehrCrashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
MehrWurzel b bedeutet: Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert gerade die Zahl ergibt, die unter der Wurzel steht.
/0 Areitsltt Wurzel edeutet: Suhe die Zhl, die mit sih selst multipliziert gerde die Zhl ergit, die unter der Wurzel steht. Also: - suhe eine Zhl, die mit sih selst multipliziert, genu ergit. Die Lösung
MehrBrüche gleichnamig machen
Brüche gleichnmig mchen L Ds Erweitern von Brüchen (siehe L ) ist lediglich ein Instrument, ds vorwiegend eingesetzt wird, um Brüche mit unterschiedlichem Divisor gleichnmig zu mchen. Brüche gleichnmig
Mehr4 Prozessor-Datenpfad
4. Vom zu lösenden Prolem hängige Schltung 75 4 Prozessor-Dtenpfd 4. Vom zu lösenden Prolem hängige Schltung Mit den isher kennengelernten Schltungen können ereits viele Prolemstellungen gelöst werden.
MehrIn diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale b
Kpitel Numerische Integrtion In diesem Kpitel stellen wir einige wichtige Verfhren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrle f(x)dx vor. Integrtionsufgbe: Zu gegebenem integrierbrem f : [, b]
MehrLineare Gleichungen mit Parametern
- - Linere Gleichungen mit Prmetern Neen den lineren Gleichungen mit einer Vrilen zw. einem Pltzhlter existieren uch Gleichungen, die mehrere Uneknnte einhlten. Dei wird die Vrile, die mithilfe von Äquivlenzumformungen
Mehr7.9A. Nullstellensuche nach Newton
7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren
MehrMinimalität des Myhill-Nerode Automaten
inimlität des yhill-nerode Automten Wir wollen zeigen, dss der im Beweis zum yhill-nerode Stz konstruierte DEA für die reguläre Sprche L immer der DEA mit den wenigsten Zuständen für L ist. Sei 0 der konstruierte
MehrBerechnung von Flächen unter Kurven
Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert
MehrNumerische Integration
Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren
MehrÜbungsaufgaben zu Mathematik 2
Ü F-Studiengng Angewndte lektronik SS 8 Üungsufgen zu Mthemtik Vektor- und Mtrizenrechnung 9 Die ckpunkte des Dreiecks ABC seien durch ihre Ortsvektoren OA ( ) OB (7) und OC (8) gegeen Berechnen Sie die
MehrAusgleichsfunktionen / Interpolation / Approximation
HTL Slfelden Ausgleichsfuntionen Seite von 5 Wilfried Rohm, HTL Slfelden Zur Beispielsüersicht Ausgleichsfuntionen / nterpoltion / Approximtion Führen Sie zunächst eine Begriffslärung der oigen Begriffe
MehrMathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen
Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern
MehrBinomische Formeln 1. Veranschauliche die erste binomische Formel grafisch! Vervollständige! x 3. Matthias Apsel, 2008
Mtthis Apsel, 008 Binomische Formeln P Vernschuliche die erste inomische Formel grfisch! Vervollständige! ) c d) y) y) ) ) y)y ) y y ) c d) y) y) y) y) Vernschuliche die erste inomische Formel grfisch!
MehrMathematik K1, 2017 Lösungen Vorbereitung KA 1
Mthemtik K, 07 Lösungen Vorbereitung KA Pflichtteil (etw 0..0 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R Käppeli L Herrmnn W Wu Herbstsemester 206 Linere Algebr und Numerische Mthemtik für D-BAUG Beispiellösung für Serie 5 ETH Zürich D-MATH Aufgbe 5 5) Seien u und v Lösungen des LGS Ax = b mit n Unbeknnten
MehrBeispiellösungen zu Blatt 24
µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen
MehrEndliche Automaten können wahlweise graphisch oder tabellarisch angegeben werden.
Aufgensmmlung GTI Hinweise. Dies ist eine Aufgensmmlung zum Lernen für die Klusur, keine Proeklusur. Die Zeitduer, die für die Lösung vorgesehen ist, ist lso nicht uf drei Stunden normiert. Für die Klusur
MehrAufgabe 30: Periheldrehung
Aufge 30: Periheldrehung Auf einen Plneten soll zusätzlich zum Grvittionspotentil ds folgende Potentil einwirken U z = η r. (1 Im Folgenden sollen eene Polrkoordinten verwendet werden. Ds können wir mchen,
MehrDEMO. Algebraische Kurven 2. Ordnung ohne xy-glied INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL
Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied Üersicht üer lle möglichen Formen und Gleichungen Text Nr. 5301 DEO tnd 1. Juli 016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR CHULATHEATIK 5301 Algerische Kurven.
Mehr13-1 Funktionen
3- Funktionen 3 Integrle: Flächeninhlte Seien < reelle Zhlen, sei I = [, ] = { R } ds Intervll der Zhlen zwischen und Wir etrchten eine stetige Funktion f : I R und ds zugehörige Integrl f() d (dies ist
MehrAnalytischen Geometrie in vektorieller Darstellung
Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien
MehrRESULTATE UND LÖSUNGEN
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:
Mehr