2.8. Absoluter Rundungsfehler:
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- Alfred Weiß
- vor 7 Jahren
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1 .8. Asoluter Rundungsehler: rd rd rd t e et rd Prolem: Ein soluter Fehler von der Größe 0. ist - ei der Zhl. reht groß, er - ei der Zhl sehr klein. Beispiel: Million + Jhr lter Dinosurierknohen Newton: Verhältnis Erde:Mond = Geshwindigkeit, mit der Mond u Erde ällt: Fuß/min Sinnvollere Deinition des Rundungsehlers? 3
2 rel :.9. Reltiver Rundungsehler: rd rd : ür 0 Dnn gilt: rel et et e d wegen Normierung die Mntisse in [,] liegt: Mntisse stets... < lso m >=, d.h. >= e t Außerdem gilt durh Umormung von.9:.0.: rd mit t Gerundete Zhl=Ausgngszhl, is u Fktor ±ε 3
3 De.: Die oere Shrnke ür den reltiven Fehler, der ei der Rundung mit t-stelliger Mntisse utreten knn, heißt Mshinengenuigkeit, und ergit sih ls t Andere Möglihkeit, die Mshinengenugkeit zu deinieren: Größte positive Zhl = -k, so dss.0.0 Beispiel t=, = ¼ = 0.0 ;.0.0 Mntissenlänge Bits Genuigkeit 33
4 Zusmmenssung Reltiver Rundungsehler: rd rd rel : t Mshinengenuigkeit ϵ, Mntissenlänge t, durh Normierung erstes Bit gleih. Ws könnte prolemtish sein? Für jede suer implementierte Opertion/Funktion op gilt : op M rd op op ', ' 34
5 MATLAB und Heisenerg Eekt untion = mrelmin = ; temp = ; while eps * temp / > 0 temp = eps * temp / ; i temp > 0 = temp; end end heisen.m = ; while *eps>0 lst = ; = /.0; end = lst Vershiedene Ergenisse hängig von Ausge oder Sript. 35
6 Gleitpunktrithmetik.. De. Relisierung einer Mshinenopertion: - Berehne ür Mshinenzhlen ds Ergenis der Opertion mit höherer Genuigkeit qusi ekt - Runde dieses Resultt wieder u Mshinenzhl. Ddurh ist der utretende Fehler usshließlih gegeen durh den Rundungsehler, der im letzten Shritt utritt! 36
7 Beispiel Addition + M : Ausgngspunkt: Normierte Gleitpunktdrstellung eider Zhlen - Vershiee ei einer Zhl den Eponenten, so dss eide Zhlen den gleihen Eponenten hen. - Addiere nun die Mntissen. - Normlisiere ds Ergenis vershiee ds Komm. - Runde ds Ergenis. 37
8 Beispiel: =7/4 und =3/8 +=7/8 Mntisse mit t= M.0 = = +.0 = =.0000 =.00. Also + = 7 / 8, er + M =. Asoluter Fehler : 7/8 = /8 Reltiver Fehler: /8 7 / % Zum Vergleih: Bei t=3 ist die Mshinengenuigkeit 3.5% Der utretende Fehler + der Gleitpunktddition entsteht lso durh die shließenden Rundung! 38
9 Nh.0 und. gilt dher.3. M rd mit = die Mshinengenuigkeit In der Pris ersetzt mn die ekte Addition der Mntissen Shritt durh eine Addition mit höherer Genuigkeit, meist mit doppelter Genuigkeit. Dnh Rundung u Mshinenzhl. Ähnlihes Modell ei Multipliktion / Division und uh ei nderen Funktionsuswertungen. Beispiel: Relisierung der Gleitpunkt-Division in INTEL-Prozessor und INTEL-Pentium-Bug 994. Vortrg.
10 Fehlerortplnzung und Rundungsehlernlse Prolem: Rundungsehler in der Einge und ei jeder durhgeührten Gleitpunktopertion können sih so uswirken, dss m Ende einer Berehnung ein vollkommen lshes Resultt heruskommt! Beispiel: Mit Tshenrehner strte mit Zhl und wiederhole k-ml die Wurzelopertion. Dnh strte mit diesem Endresultt und wiederhole k-ml ds Qudrieren. Endresultt sollte stets wieder sein. Für k genügend groß erhält mn er. MATLAB km.m AUFGABE: Finde essere Art der Berehnung! 40
11 Einührendes Beispiel zur Epsilontik: Addition dreier Mshinenzhlen =++ Zerlege Gesmtrehnung in zwei Grundopertionen:. e=+ M und. =e+ M Vernhlässigung der Terme höherer Ordnung in, 3,...: 4 e e M M, mit Mshinengenuigkeit
12 Dmit ergit sih ür den reltiven Fehler in erster Näherung: rel 4 rel und die Ashätzung Ist d ws prolemtish?
13 Wnn wird der reltive Fehler groß? Wenn + >> ++, oder ++ 0 Andere Reihenolge der Berehnung lieert Fktoren +/++ oder +/++ ; z.b Welhe Reihenolge wäre dnn gut? Es wird jeweils der Fehler, der ei der ersten Addition utritt, verstärkt. 43
14 Beispiel: Mshinenzhlen =. *, = -.0 * und =.0 * 3 ei dreistelliger Mntisse. Addition: ~ * * * 3 M M.0.0 * 3 * M.0 * 3 Dei tritt kein Fehler u! Andere Reihenolge? 44
15 ˆ...0 * * * M M.0.00 * * M.0 * 3 mit reltivem Fehler.0 *.0 *.0 * 0% Merke: Reihenolge der Opertionen knn wihtig sein! Bisher wren, und Mshinenzhlen Jetzt etrhten wir Eingngszhlen, die shon selst mit Rundungsehler ehtet sind: + mit <=, usw. 45
16 . e M. e M. Reltiver Fehler in erster Näherung:. Erste Terme: Auswirkung der Eingeehler Vierter Term: Auswirkung des Fehlers ei der ersten Addition Fünter Term: Fehler ei der zweiten Addition 46
17 Auslöshung Kritisher Fll: Endergenis nhe ei Null! Beispiel: Dierenz zwishen =3/5 und =4/7 ei ün-stelliger Mntisse. Ekte Rehnung: - = /35 = Rundung von und lieert ür und die Näherungen.00 und.000 Dmit ergit sih die Rehnung = = =
18 Dei sind unterstrihene Stellen noh ekt, während niht unterstrihene Stellen durh Rundung verälsht sind. Die kursiven Nullen im Ergenis sind wertlos! Ds erehnete Ergenis lutet lso /3. Reltiver Fehler: /35 - /3 / /35 = entspriht. 9.4% Aweihung. Vgl. Mshinengenuigkeit ür t = 5 von % Die unterstrihenen, guten Stellen gehen durh die Dierenz verloren und es leien die unsiheren Stellen ürig = =
19 Bei t=3 zeigt sih dieser Eekt noh stärker: Rehnung:.0.0 = 0 Fehler: 00%, ei Mshinengenuigkeit 0.5=/8 oder.5% Reltiver Fehler ei Dierenz = - nh.3: Eingeehler werden etrem verstärkt, wenn - nhe ei Null ist, lso lls sih und st uslöshen! Der Fehler ei der Dierenz selst ist unkritish! 49
20 Aer: Sind und ekt ohne Fehler, dnn ist = 0 und = 0. Dher ergit sih dnn nur ein reltiver Fehler in der Größenordnung der Mshinengenuigkeit! Also Dierenz mit ekten Zhlen ist OK! Nur ei Dierenz von ehlerehteten Zhlen droht Gehr. 50
21 Berehnung der Eponentil-Funktion ep k / k! n einer Stelle X mittels Progrmm: Y:=.0 ; T=.0; K=; WHILE Y Y + T*X / K T = T * X / K ; Y = Y+ T ; K = K + ; END X Y EXP X * * * * *0 5 9 Erklärung? 5
22 Für X = -5 ergit sih: = = *0 7 Auslöshung durh wiederholte Dierenz im Shritt T = T + Y! Der Term T wähst zunähst, um m Ende einen sehr kleinen Wert nzunehmen! Große Zwishenwerte + kleine Endwerte Auslöshung! Prolemtish! 5
23 Kondition und Stilität.4 Deinition: Ein Berehnungsverhren ist eine Folge von mthemtishen Berehnungen zur Lösung eines Prolems mit Eingngsdten n IR und dem Ergenis IR Zur Berehnung von wird es vershiedene Algorithmen geen, die sih z.b. in der Reihenolge der Opertionen untersheiden vgl. Addition ++. Zum Vergleih vershiedener Algorithmen etrhtet mn die entstehenden Rundungsehler. Dzu knn mn u.. Tlor-Entwiklung oder Epsilontik verwenden. 53
24 Wir deinieren die Kondition eines Prolems. Dzu etrhten wir - Eingedten i, versehen mit soluten Rundungsehlern, i=,...,n. Zur Vereinhung: n=, lso nur ein - ls lk o; wir sind nur n der Ein- und Ausge interessiert! Rundungsehler innerhl der Ausührung von sollen zunähst niht utreten! Für den soluten Fehler im Resultt gilt dnn unter Vernhlässigung der während der Berehnung sonst utretenden Rundungsehler:. i In erster Näherung gilt dher 54
25 55 rel rel Dher ist der reltive Fehler des Resultts : ond.5. Deinition: Unter der Konditionszhl des Prolems = ezüglih Eingewert versteht mn den Betrg des Verstärkungsktors
26 ond : Die Konditionszhl misst die Sensiilität des Resultts in Ahängigkeit von den Fehlern in der Einge. ond groß, z.b. wenn: - große Einge gegenüer kleinem Endwert - nhezu senkrehte Tngente groß Ein Prolem heißt gut konditioniert wenn kleine reltive Fehler in ei ekter Arithmetik lso ohne Rundungsehler während der weiteren Rehnung zu kleinen reltiven Fehlern im Resultt ühren: unge. in der Größenordnung von 56
27 Andernlls liegt shlehte Kondition zgl. vor. Die Konditionszhl misst den sog. unvermeidren Fehler, der durh ds Prolem selst n einer Stelle gegeen ist. Beispiel: ondep = ondln = / ln ond : Bild einer Funktion, Punkte shlehter Kondition:?? Frge: Shleht konditionierte Proleme im Alltg?
28 Beispiel: Konditionszhlen zu =++ 58,,, ond ond ond Unvermeidrer Fehler!. Konditionszhl zgl. der zweiten Addition +,=++ Ds sind gerde die Verstärkungsktoren der rel. Fehler der Eingedten in der Formel ür den reltiven Fehler: : ond
29 Betrhten wir die Gesmtrehnung, so lssen sih Konditionszhlen zu jedem einzelnen Rehenshritt ngeen. Dmit ist es möglih, ür den gesmten Algorithmus ds Fehlerverhlten zu estimmen. Dies ist meist zu uwändig oder gr niht möglih! Es ermögliht er eine mehr mthemtishe Formulierung der Epsilontik. z.b. ist der vierte lue Term gleih der Konditionszhl der Teilunktion, die die Addition von + mit eshreit. 59
30 .6. Deinition: Sei ds Prolem = gut konditioniert. Eistiert dnn zusätzlih uh ein gutrtiges Berehnungsverhren, ei dem die reltiven Fehler niht zusätzlih strk vergrößert werden, so spriht mn von einem numerish stilen Algorithmus. Ein Berehnungsverhren, ds trotz kleiner Konditionszhl zu vergrößerten reltiven Fehlern im Resultt ühren knn, heißt numerish instil. 60
31 Erste Frge: Konditionszhl OK? Wenn j, ormuliere numerish stiles Berehnungsverhren: Prüe ds Berehnungsverhren mit Epsilontik: Ersetze dzu jede Eingngsvrile durh + und jede uszuührende Opertion op M = op *+ op mit <= und op <=. Vernhlässige dei Terme höherer Ordnung in lso, 3, 4,... Dmit erhält mn ds gestörte Endergenis. Berehne und diskutiere dnn den reltiven Fehler in erster Ordnung durh Ashätzen der Beträge der Einzelterme rel Term eps Term eps... 6
32 Ist ds Prolem shleht konditioniert, dnn ist nur Shdensegrenzung möglih: Verwende ev. höhere Genuigkeit: Eingeehler 0^- mit Konditionszhl 0^8 ergit Ausgeehler 0^-4 Ist dieser Ausgeehler noh tolerierr? Wenn nein, dnn knn zu einer Veresserung nur der Eingeehler verkleinert werden. Ptriot Bug! Vortrg. 6
33 Beispiel: Berehnung von Prolemtish? 63 0, Allerdings ist die Auswertung in dieser Form numerish instil d Auslöshung im letzten Shritt! 0 ür ond Kondition ist OK, d L Hospitl
34 Entsprehend lässt sih die Berehnung der Eponentilunktion ür große negtive retten, indem wir ep-000 ersetzen durh /ep Bessere Formulierung: Für 0 keine Sutrktion mehr! Alle Einzelshritte sind gut konditioniert!
35 Beispiel: = - os ür 0: ist wieder gut konditioniert ei 0, d ond sin os /, 0 Aer ei 0 ist os nhe ei wieder Auslöshung! In MATLAB: - os0^-8 ergit 0; und mit os0^-3 = verliert mn ei der Dierenz 6 signiiknte Stellen 65
36 Anderer Berehnungsweg: - os = sin / oder Reihenentwiklung des Cosinus os ! 6! 4! 6! 66
37 Beispiel: = ei = Anwendung der Epsilontik; seien, Mshinenzhlen: Berehne erst eide Produkte, dnn die Dierenz Fehler: Eingeehler Produktehler Dierenzehler Reltiver Fehler: Nun seien uh und ehlerht: +, + 3 p p 3 p p
38 Andere Art der Berehnung: = + 68 * * * d d ond d d ond Konditionszhlen:, Prolem ist shleht konditioniert ür Reltiver Fehler in erster Näherung:
39 Vergleih mit erstem Algorithmus: Ds neue Verhren ist esser, d i.w. nur der unvermeidre Fehler durh Eingeehler utritt! Grund: Auslöshung in - geringer ls in, d Fehler in und kleiner ls in und. 69
40 Zusmmenssung Endlihkeit des Computers ührt zu endliher Menge von Mshinenzhlen. In jedem Shritt treten Rundungsehler u. Geährlih sind Opertionen, ei denen mn signiiknte Stellen verliert, wie z.b.: - Auslöshung Dierenz st gleiher Zhlen - Summe zwishen großer Zhl und sehr kleiner Zhl, ei der die signiiknten Stellen in der kleinen Zhl steken vgl. wiederholtes Wurzelziehen - Allgemein Opertionsolgen mit großen Zwishenwerten und kleinen Endwerten vgl. ep, Teilunktion shleht konditioniert. 70
41 Vorsiht! Gesundes Misstruen! Algorithmus ist OK, wenn die Größenordnung der reltiven Fehler im Resultt ungeähr gleih der Größenordnung der Eingeehler leit. Umormen eines numerish instilen Verhrens durh - ndere Reihenolge der Berehnung - Anng der Tlorentwiklung - Trigonometrishe Formeln - lgerishe Umormung inomishe F Ev. doule preision rehnen, dmit trotz shlehter Kondition oder Rundungsehler noh ruhres Resultt ürigleit. 7
Andere Möglichkeit, die Maschinengenaugkeit zu definieren: Größte positive Zahl y=2 -k, so dass. Beispiel t=2, = ¼ = (0.01) 2 ; (1.0 1) 2 (1.
De.: Die oere Shrnke ür den reltiven Fehler, der ei der Rundung mit t-stelliger Mntisse utreten knn, heißt Mshinengenuigkeit, und ergit sih ls t Andere Möglihkeit, die Mshinengenugkeit zu deinieren: Größte
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Gleitpunktrithmetik.. De. Relisierung einer Mshinenopertion: - Berehne ür Mshinenzhlen ds Ergenis der Opertion mit höherer Genuigkeit qusi ekt - Runde dieses Resultt wieder u Mshinenzhl. Ddurh ist der
Gleitpunktarithmetik
- 3 - Beispiel t, ¼ (0.0 ; (.0 (.0 Mntissenlänge (Bits Genuigkeit Gleitpunktrithmetik.. Def. (Relisierung einer Mshinenopertion: - Berehne für Mshinenzhlen ds Ergenis der Opertion mit höherer Genuigkeit
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- 37 - Beispiel: Mit Tshenrehner strte mit Zhl und wiederhole k-ml die Wurzelopertion. Dnh strte mit diesem Endresultt und wiederhole k-ml ds Qudrieren. Endresultt sollte stets wieder sein. Für k genügend
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MATLAB und Heisenerg Effekt funtion myrelmin ; temp ; while eps * temp / > 0 temp eps * temp / % ; if temp > 0 temp; end end heisen.m ; while *eps>0 lst ; /.0; end lst Different results depending on disply
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- 44 - Auslöschung Kritischer Fll: Endergenis nhe ei Null! Folien-Beispiel: Differenz zwischen 3/5 und 4/7 ei fünf-stelliger Mntisse. Ekte Rechnung: - /35 (0.0-5 Rundung von und liefert für (.0000... und
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Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 $Id: dreiek.tex,v 1.5 2013/04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen
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Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 $Id: dreiek.tex,v 1.43 2018/06/05 15:41:51 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung htten wir den sogennnten Kongruenzstz
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R. Brinkmnn http://rinkmnn-du.de eite.0.0 Lösungen Bruhrehnung I mit dem GTR CAIO fx-cg 0 Rehnerlösungen git es zu den Aufgen 6 is 0. Ausführlihe Berehnungseispiele und vieles mehr git es unter http://www.freiurger-verlg.de/
gehört ebenfalls zu einem Paar. Da 5 eine Primzahl und kein anderes Quadervolumen ein Vielfaches von 5 V o
Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg 999 Runde ufge Ein Würfel wird durh je einen Shnitt rllel zur order-, Seiten und Dekflähe in ht Quder zerlegt (siehe Skizze) Können sih die Ruminhlte dieser Quder
a b = a b a b = 0 a b
Vektorlger Zusmmenfssung () Sklrprodukt weier Vektoren im Rum Unter dem Sklrprodukt os os weier Vektoren und versteht mn den Sklr woei der von den eiden Vektoren eingeshlossene Winkel ist ( 8) * os Rehenregeln
Download VORSCHAU. Trigonometrie an Stationen. Übungsmaterial zu den Bildungsstandards. Marco Bettner, Erik Dinges.
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2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 1999/2000
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4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch
Lineare Gleichungssysteme mit 3 und mehr Variablen
Linere Gleihungssysteme mit un mehr rilen Beispiel 1 mit rilen: 11 Zunähst estimmt mn ie rile, ie mn ls Erste eliminieren will. In iesem Fll soll von hinten nh vorn vorgegngen weren,.h. zuerst soll rile
Bewegungsgleichung einer gleichförmig beschleunigten Rakete (1)
Autor: Wlter islin on 7 wlter.bislins.h/blog/.5.3 3:3 ewegungsgleihung einer gleihförmig beshleunigten Rkete () Dienstg, 6. Juni - :4 Autor: wbis hemen: Wissen, Physik, osmologie Ds Lösen der reltiistishen
1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg
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Schaltnetze: Test und Minimierung
Virtuelle Lehrerweiterildung Inormtik in Niedershsen Ekrt Modrow Shltnetze: Test und Minimierung S. 1 Shltnetze: Test und Minimierung Inhlt: 1. Shltnetze 1.1 Shltwerttelle und Shltunktionen 1.2 Vereinhung
Gleichung: 11 + x = 35 Welcher Zahlenwert steckt hinter der Variablen x?
Rettungsring Vrilen & Gleihungen gnz klr: Mthemtik - Ds Ferienheft mit Erfolgsnzeiger Vrilen & Gleihungen Vrilen (,, ) werden uh Uneknnte oder Pltzhlter gennnt. Sie smolisieren einen estimmten Zhlenwert
Flächenberechnung. Aufgabe 1:
Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die
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Kurvenintegrle Definition: (Kurve) Eine stetige Abbildung : [, b] R n heißt ein Weg im R n. Ds Bild C := ([, b]) heißt Kurve im R n. Die Punkte () bzw. (b) heißen Anfngsbzw. Endpunkt der Kurve. heißt geshlossener
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Die Satzgruppe des Pythagoras
7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen
Mathematische Probleme, SS 2017 Montag $Id: dreieck.tex,v /06/12 15:01:14 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 $Id: dreiek.tex,v 1.33 2017/06/12 15:01:14 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreieksberehnung mit Seiten und Winkeln Wir beshäftigen uns gerde mit den Konstruktionsufgben für
Einführung in die Mathematik des Operations Research
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01 Proportion Verhältnis Maßstab
5 Ähnlihkeit und Strhlensätze LS 01.M1 01 Proportion Verhältnis Mßst 1 Lies die folgende Informtion sorgfältig. Mrkiere wihtige egriffe und Formeln. ) Proportionle Zuordnung ei einer proportionlen Zuordnung
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Allgemeines Nme: Emil: Stefn Shrmm stefn.shrmm@wiwi.uni muenster.de Motivtion für die Vernstltung Üung zur Mrkt und Preistheorie Inhlt der Klusur Vorlesung Skrit und Üung Sehr gut vorzuereiten! Tis zur
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ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE
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29 Uneigentliche Riemann-Integrale
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Logarithmen und Logarithmengesetze
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.. Logrithmen und Logrithmengesetze Wir betrhten die Gleihung 5 = 5 Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Bsis 5 und dem Eponenten. Auf der rehten Seite
M A T H E M A T I K B A S I C S
M A T H E M A T I K B A S I C S Mr Peter Arithmetik und Alger Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersonen Impressum Internet: Folienvorlgen und Lernkontrollen www.hep.info, hepode: Mthemtik ISBN -0905-59-4 (Shüleruh:
1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kohls Mathe-Tandem Geometrie - Partnerrechnen im
Unterrihtsmterilien in digitler und in gedrukter Form uszug us: Kohls Mthe-Tndem Geometrie - Prtnerrehnen im 9.-10. Shuljhr Ds komplette Mteril finden Sie hier: Shool-Sout.de Mthe-Tndem Geometrie für ds
Protokoll zur Vorlesung Theoretische Informatik I
Protokoll zur Vorlesung Theoretishe Informtik I! " # $ % # & ' ( % ) * + & " & & &, " ' % + - + # + & '. / 0 1 # 0 & 2 & # & 3 4 & 5 # 0 + & 6 & ' + 7 7 3 8 4 & 7 + + + % ( % 6 # 9 & 5 # 0 + & 3 8. : &
Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 5
Prof. J. Esprz Tehnishe Universität Münhen S. Sikert, J. Krämer KEINE ABGABE Einführung in die theoretishe Informtik Sommersemester 07 Üungsltt 5 Üungsltt Wir untersheiden zwishen Üungs- und Agelättern.
3.4 Kondition eines Problems
38 KAPITEL 3. FEHLERANALYSE Beispiel 3.18 Betrachte M(10, 5, 1). Dann sind x 4.2832, y 4.2821, z 5.7632 darstellare Zahlen und (x y)z 0.00633952. Das korrekte Ergenis in M ist daher 0.0063395. Der Ausdruck
Numerische Quadratur nach Archimedes
Huptseminr Oktläume und hierrchische Bsen Numerische Qudrtur nch Archimedes Forschungs- und Lehreinheit Inormtik V Ingenieurnwendungen in der Inormtik numerische Progrmmierung uruer Christin den 05.06.003
Hans U. Simon Bochum, den Annette Ilgen. Beispiele zur Vorlesung. Theoretische Informatik. WS 08/09
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Fragebogen E. Lothar Natter. Effizienzcoaching. Unternehmer und Führungskräfte. Firma: Straße: PLZ: Ort: Telefax: Telefon: www:
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x a 2 (b 2 c 2 ) (a + b 4 + a + weil Klammern nicht geschlossen oder Operationszeichen keine Terme verbinden.
Termnlyse Mthemtik. Klsse Ivo Blöhliger Terme Ein wihtiger Teil es mthemtishen Hnwerks esteht rin, Terme umzuformen. Dzu müssen einerseits ie Rehengesetze er reellen Zhlen verinnerliht sein, un nererseits
3.1 Multiplikation Die Multiplikation von algebraischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt:
.1 Multipliktion Die Multipliktion von lgerischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt: c Multipliktor Multipliknd Produkt Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz)
Durch die Umformung ergibt sich eine Schaltfunktion mit einer minimalen Anzahl von Verknüpfungsoperationen, nämlich 2.
2 Die shltlgerishe Umformung von Shltfunktionen in Normlform soll m Beispiel er Umformung einer Mxterm-Normlform in eine Minterm-Normlform gezeigt weren. Beispiel: y = ) ( ) ( ) ( Es ietet sih ie Anwenung
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG. 1. Bemerkungen: Klammern von innen nach aussen auflösen; Punkt vor Strich a) =
Lösngen Montg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG Blok. Bemerkngen: Klmmern von innen nh ssen flösen; Pnkt vor Strih nd 0. / /. π d 9 9 99 00 Bemerkng z d Geht h ohne TR! Kürzen
2.2. Aufgaben zu Figuren
2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeihne ds Dreiek ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erehne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und C(8
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 ORTHOGONALITÄT
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester ARBEITSBLATT 5 ORTHOGONALITÄT Ws versteht mn zunächst einml unter orthogonl? Dies ist nur ein nderes Wort für norml oder im rechten Winkel. Ws uns hier
Geometrische Figuren und Körper
STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper Geometrishe Figuren und Körper Welhe Shreiweisen geen den Winkel β des neenstehenden reieks PQR rihtig wieder? β = Qrp β = rp β = PQR R β = QRP β = pq q p P r Q
Die Näherung ist umso genauer, je kleiner die Zellen sind. Der Grenzwert ist
Höhere Mthemtik Mehrfhintegrle sind Integrle üer eiete R n Zweifhintegrle treten B ei der Berehnung des Fläheninhltes und von Flähenträgheitsmomenten uf Dreifhintegrle kommen ei der Berehnung des Volumeninhltes
Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.8 Geometrie Trigonometrie
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.8 Geometrie Trigonometrie Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut, 877 Nidfurn Telefon 055 654 87 Telefx 055 654 88 E-Mil
3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl
Inhaltsverzeichnis. c 1 / 5
Tehnishe Informtion - t- und t-tempertur für Betriebsgeräte 03.2018 de Inhltsverzeihnis Einleitung......................................................................... 2 Definitionen für t und t............................................................
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik
Prüfung Grundlgen der Elektrotehnik Seite 1 von 20 Klusur Grundlgen der Elektrotehnik 1) Die Klusur esteht us 8 Aufgen, dvon 7 Textufgen und ein Single- Choie-Teil. 2) Zulässige Hilfsmittel: Linel, Winkelmesser,
5.5. Integralrechnung
.. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds
27 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nebst Folgerungen
27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrehnung nebst Folgerungen 27.2 Additivität des Riemnn-Integrls bzgl. Intervllen 27.3 Formle Erweiterung des Riemnn-Integrls 27.6 Ds Integrl ls Funktion der oberen
18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus
18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus Autor Friedrich Eisenrnd, Universität Dortmund Heute ehndeln wir den ältesten ereits us Aufzeichnungen us der Antike eknnten Algorithmus. Er wurde
Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2011
Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 011 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 1 Reguläre Sprchen Wir eschäftigen uns
Einführung in die Theoretische Informatik I/ Grundlagen der Theoretischen Informatik. SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhard Beckert Ulrich Koch.
Einführung in die Theoretishe Informtik I/ Grundlgen der Theoretishen Informtik SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhrd Bekert Ulrih Koh Nhklusur 25. 09. 2007 Persönlihe Dten itte gut leserlih usfüllen! Vornme:...