15.3 Rechenregeln für konvergente Reihen

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1 Abschnitt 5 Reihen R. Plato 3 Beispiel. ie unendliche Reihe P. /n ist divergent, da die Folge der Summanden. / n divergent ist und damit erst recht nicht gegen null konvergiert. ie Aussage von Satz 5.4 lässt sich jedoch nicht umkehren. Beispiel 5.5 (Harmonische Reihe). ie unendliche Reihe P n n ist divergent (der Nachweis hierfür entfällt); die Summanden bilden aber offensichtlich eine Nullfolge. Bei einer Reihe P mit durchweg positiven Summanden muss die Folge der Summanden «schnell genug» gegen null konvergieren, damit die betrachtete Reihe konvergiert. In dem vorangegangenen Beispiel tut sie das offenbar nicht. 5.3 Rechenregeln für konvergente Reihen In diesem Abschnitt werden ohne Beweis einige elementare Rechenregeln für konvergente Reihen vorgestellt. Auf die grundsätzliche Eigenschaft «Konvergenz beziehungsweise ivergenz» einer Reihe hat das Verhalten von endlich vielen Summanden keinen Einfluss Proposition 5.6. Eine Reihe P konvergiert genau dann, wenn für irgendein n n 0 die Reihe P nn konvergiert. In diesem Fall gilt dann nx C nn Satz 5.7 (Rechenregeln für konvergente Reihen). Für zwei konvergente Reihen P und P b n und C konvergieren auch die beiden Reihen P. C b n / und P. /, und und für die Grenzwerte gilt. C b n / C b n ;. / 5.4 Konvergenzkriterien für Reihen Es gibt für Reihen P mit Rund 0 für n n 0 ; n 0 C ; verschiedene Konvergenzkriterien, die im Folgenden kurz vorgestellt werden. Satz 5.8 (ajoranten-/inorantenkriterium). Gegeben seien reelle Zahlen 0 b n.n n 0 /. a) (ajorantenkriterium) Ist die Reihe P b n konvergent, so ist auch die Reihe P konvergent. b) (inorantenkriterium) Ist die Reihe P divergent, so ist auch die Reihe P b n divergent. Beweis. as ajorantenkriterium ergibt sich aus Satz 4.8 auf Seite 9, angewendet auf die Partialsummen-Folge s r P r für r n 0. ie in dem genannten Satz geforderte onotonie der Partialsummen s n0 ; s n0 C; ergibt sich aus der Nichtnegativität der Summanden, und die Beschränkheit der Partialsummen folgt so rx rx s r b n! b n.r n 0 / abei geht die Voraussetzung b n ein. as inorantenkriterium erhält man analog. Es ergibt sich auch als logische Negation des ajorantenkriteriums. as ajorantenkriterium wird für die Beweise der beiden folgenden Konvergenzkriterien für Reihen benötigt. Satz 5.9 (Quotientenkriterium). Gegeben seien reelle Zahlen.n n 0 / mit a) > 0; b) C.n n 0 /; wobei die obere Schranke in b) eine reelle Zahl sei, die die Bedingung 0 < < erfülle. ann ist die Reihe P konvergent. Beweis. ies folgt leicht aus dem ajorantenkriterium. Für den Beweis nehmen wir zur Vereinfachung der Notation n 0 0 an. ie Bedingung b) bedeutet nämlich C für n 0, und vollständige Induktion liefert n a 0 P für n 0. ie Konvergenz der geometrischen Reihe n und das ajorantenkriterium liefern nun die Konvergenz der Reihe P a n. Beispiel 5.0. Wir testen das Quotientenkriterium an der Reihe P n. iese Reihe ist von der Form P n, mit. Hier gilt C.nC/Š nc W für n ; ;. as Quotientenkriterium ist also erfüllt und diese Reihe deshalb konvergent.

2 3 R. Plato Teil II Analysis Bemerkung. an beachte, dass das Quotientenkriterium (ebenso wie das nachfolgende Wurzelkriterium) nur ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Reihe darstellt. Umgekehrt gibt es nämlich konvergente Reihen, bei denen das ajorantenkriterium verletzt ist. So ist z. B. die Reihe P n konvergent (der n Beweis wird hier nicht geführt), das Quotientenkriterium ist jedoch wegen C n. nc /! für n! sicher nicht erfüllt. Satz 5. (Wurzelkriterium). Gegeben seien reelle Zahlen.n n 0 / mit a) 0; b) n p.n n 0 /; wobei die obere Schranke in b) die Bedingung 0 < < erfülle. ann ist die Reihe P konvergent. Beweis. ies folgt unmittelbar aus dem ajorantenkriterium. Für den Beweis nehmen wir zur Vereinfachung der Notation n 0 0 an. ie Bedingung b) bedeutet n für n 0. ie Konvergenz der geometrischen Reihe und das ajorantenkriterium liefern nun die Konvergenz der Reihe P. P Beispiel. Wir testen das Wurzelkriterium an der Reihe n n n. Es gilt np =n n n für n ; 3;, das Wurzelkriterium ist also erfüllt und die betrachtete Reihe daher konvergent. Wir stellen nun ein Konvergenzkriterium für Reihen der Form P. / n c n mit c n > 0 vor (die Summanden haben also wechselndes Vorzeichen). efinition 5. (Alternierende Reihen). an bezeichnet P als alternierende Reihe, falls.n n 0 / eine Folge reeller Zahlen ist, die die folgenden Eigenschaften besitzt die Folge. / ist alternierend, d. h. für jedes n n 0 gilt entweder C < 0 < oder < 0 < C ; es ist. / nn0 eine Nullfolge, d. h. es gilt! 0; ie Folge der Beträge.j j/ nn0 ist monoton fallend. Beispiel 5.3. Es stellt P. / n n n eine alternierende Reihe dar. an sieht leicht ein, dass die Summanden. / n n die drei geforderten Eigenschaften aus efinition 5. erfüllt. Satz 5.4 (Leibnizkriterium). Jede alternierende Reihe ist konvergent. Beweis. Wird hier nicht geführt. Bemerkung 5.5. as Verhalten von endlich vielen, beliebig ausgewählten Summanden hat keinen Einfluss auf die Konvergenz einer Reihe (siehe Proposition 5.6 auf Seite 3). aher genügt es, wenn in Satz 5.8 (ajoranten-/inorantenkriterium), Satz 5.9 (Quotientenkriterium) beziehungsweise Satz 5. (Wurzelkriterium) die jeweils genannten Bedingungen erst für Indizes n n erfüllt sind, mit einem n n 0. as Gleiche gilt für alternierende Reihen (siehe efinition 5. und Satz 5.4). Beispiel 5.6. ie Reihe P das Quotientienkriterium für die Reihe P n ist konvergent, da (der Startindex ist hier zu n abgeändert) erfüllt ist (siehe Beispiel 5.0). Aus der vorigen Bemerkung und den Sätzen 5.9 beziehungsweise 5. ergibt sich unmittelbar das folgende Resultat. Es liefert Varianten des Quotienten- und des Wurzelkriteriums, wobei dabei die auftretenden Bedingungen gelegentlich leichter zu überprüfen sind. Satz 5.7. Für gegebene reelle Zahlen konvergiert die Reihe P, falls für ein Zahl 0 < eines der beiden folgenden Kriterien erfüllt ist a) C! für n! ; b) n p! für n! ; wobei in a) noch > 0 ab einem n n und in b) 0 ab einem n n vorausgesetzt wird. 5.5 Absolute Konvergenz von Reihen Wir stellen nun einen weiteren (und stärkeren) Konvergenzbegriff für Reihen vor. Er ermöglicht bei Reihen in vielen Fällen vereinfachte Konvergenzbetrachtungen. Er erweist sich außerdem z. B. bei der Bildung des Produktes von Reihen als hilfreich. efinition 5.8. Eine Reihe P mit komplexen Zahlen 0 ; 0 C; nennt man absolut konvergent, falls die Reihe P j j konvergent ist. Satz 5.9. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. er Beweis wird hier nicht geführt. Beispiel. Es ist die Reihe P i n absolut konvergent, denn die Reihe P ist konvergent (siehe Beispiel 5.6) und es gilt ji n j für n 0; ;. Nach Satz 5.9 ist die Reihe P i n damit konvergent.

3 Abschnitt 6 Exponentialfunktion R. Plato 33 ie Umkehrung der Aussage aus Satz 5.9 gilt nicht, wie das folgende Beispiel zeigt Beispiel. Es ist P. / n n n eine alternierende Reihe. und damit konvergent (siehe efinition 5., Beispiel 5.3 und Satz 5.4). iese Reihe ist jedoch nicht absolut konvergent, denn die Beträge der Summanden ergeben die harmonische Reihe P n, bei der es sich n um eine divergente Reihe handelt (siehe Beispiel 5.5). Summen und skalare Vielfache absolut konvergenter Reihen sind wieder absolut konvergent Satz 5.0 (Regeln für absolut konvergente Reihen). Für zwei absolut konvergente Reihen P und P b n und Ckonvergieren auch die beiden Reihen P. C b n / und P absolut. Beweis. as folgt leicht mit Satz 5.7 auf Seite 3 und dem ajorantenkriterium. etails werden hier nicht vorgestellt. 5.6 Cauchy-Produkt von Reihen Wir stellen nun ein Resultat über das Produkt zweier absolut konvergenter Reihen vor. Es wird für die Herleitung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion benötigt. Satz 5. (Cauchy-Produkt absolut konvergenter Reihen). Für zwei absolut konvergente Reihen P P a n und b n gilt b n c n ; mit c n ie Reihe P c n ist absolut konvergent. er Beweis hierfür entfällt. nx a r b n r ; r0 n 0 Bemerkung. Wir betrachten das Produkt der beiden Reihen in Satz 5. etwas genauer. a) Es gilt c 0 a 0 b 0 ; c a 0 b C a b 0 ; c a 0 b C a b C a b 0 usw. b) Allgemein müssen beim Ausmultiplizieren des Produktes b n.a 0 C a C a C /.b 0 C b C b C / alle Produkte der Form a 0 b 0 a 0 b a 0 b a 0 b 3 a b 0 a b a b a b 3 a b 0 a b a b a b 3 gebildet und anschließend in einer gewissen Reihenfolge aufsummiert werden. Beim Cauchyprodukt werden entlang jeder der in dem Schema angedeuteten iagonalen Zwischensummen aller dort auftretenden Terme gebildet. iese liefern die Werte c 0 ; c ; c ;, die anschließend aufzusummieren sind. an beachte noch, dass entlang jeder der gekennzeichneten iagonalen die Produkte a k b j die Eigenschaft k C j c mit einer (von der jeweils betrachteten iagonalen abhängenden) Konstanten c besitzen, die Summe der beiden Indizes ist dort also konstant. c) a wir es hier mit unendlichen Reihen zu tun haben, ist es keine Selbstverständlichkeit, dass die im Cauchyprodukt gewählte Summationsreihenfolge das richtige Ergebnis liefert. as dies doch so ist, liegt an der geforderten absoluten Konvergenz der beiden Reihen P a n und P b n (Beweis entfällt). 6 Exponentialfunktion 6. Einführung efinition 6. (Exponentialfunktion). ie Exponentialfunktion exp WC!C ist definiert durch exp.z/ C z C z C z3 6 C z4 4 C (6.) für z C. an schreibt auch kurz e z exp.z/ (6.) ie Exponentialfunktion wird auch kurz als e-funktion bezeichnet. ie eulersche Zahl ist e e ;783. ie Notation (6.) wird erst im Abschnitt 8 über allgemeine Potenzen plausibel. Vorrangig wird die Exponentialfunktion für reelle Argumente z x R und für rein imaginäre Werte z i' mit ' Rbetrachtet. er folgende Satz zeigt (zusammen mit Satz 5.9 auf der vorherigen Seite), dass die Exponentialfunktion exp wohldefiniert ist, d. h. die unendliche Reihe in (6.) konvergiert für jedes z C.

4 34 R. Plato Teil II Analysis Satz 6.. ie Reihe in (6.) konvergiert für jede komplexe Zahl z absolut. P Beweis. Wir zeigen die Konvergenz der Reihe j zn j P jz j n unter Anwendung des Quotientenkriteriums (siehe Satz 5.9 auf Seite 3). jz jn Für die Summanden dieser Reihe gilt (im Fall z 0; der Fall z 0 ist trivial) C jz jnc ı jz j n.n C /Š jz j n C! 0 für n! as Quotientenkriterium in der Version aus Teil a) von Satz 5.7 auf Seite 3 liefert nun die Aussage des Satzes. 6. Funktionalgleichung Für die Exponentialfunktion exp soll nun die Funktionalgleichung e z Cz e z ez ; z ; z C; hergeleitet werden, die die Basis für die Potenzgesetze liefert. afür wird das Cauchyprodukt von Reihen benötigt. Satz 6.3. Für die Exponentialfunktion gilt die Funktionalgleichung exp.z C z / exp.z / exp.z / für z ; z C (6.3) Beweis. as Cauchy-Produkt (siehe Satz 5. auf Seite 33) liefert exp.z / exp.z /./ nx r0 z r rš r.n r/š./ nx r0.z C z / n exp.z C z / rš.n r/š zr zn r Hierbei folgt die Identität./ durch Erweiterung mit dem Faktor, und die Identität./ ergibt sich aus der binomischen Formel (siehe Satz 0.6 auf Seite 7), die auch für komplexe Zahlen gilt. Aus Satz 6.3 erhält man Folgendes Satz 6.4. Es gilt exp.0/. Außerdem gilt exp.z/ 0; exp. z/ exp.z/ für z C (6.4) Beweis. it der Konvention 0 0 folgt unmittelbar exp.0/ 00 0Š C X n 0 n C 0 C 0 C araus folgt dann zusammen mit der Funktionalgleichung (6.3) exp.z/ exp. z/ exp.z z/ exp.0/ für z C as liefert die Aussagen in (6.4). 6.3 Grenzwerte von Funktionen Wir betrachten im nachfolgenden Abschnitt das asymptotische Verhalten der Exponentialfunktion für reelle Argumente genauer. Wir treffen dazu in diesem Abschnitt ein paar technische Vorbereitungen, die auch an anderer Stelle von Bedeutung sind. efinition 6.5. Sei R. an nennt eine Zahl x R[¹ ; º Häufungspunkt der enge, falls es eine Folge.x n / n¹xº mit x n! x für n! gibt. an beachte, dass in efinition 6.5 auch die Werte x und x als Häufungspunkte zugelassen sind. Sie werden oft als uneigentliche Häufungspunkte bezeichnet. Bemerkung. Wir geben im Folgenden alternative Formulierungen für Häufungspunkt an. Eine Zahl x R ist genau dann Häufungspunkt von, wenn für jedes " > 0 im Intervall.x "; x C "/ unendlich viele Elemente aus gibt. Es ist x genau dann Häufungspunkt von, wenn es für jedes N Nunendlich viele Elemente aus gibt, die größer als N sind. Analog ist x genau dann Häufungspunkt von, wenn es für jedes N N unendlich viele Elemente aus gibt, die kleiner als N sind. Beispiel. Für die enge ¹0º [.; / ist jede Zahl x Œ; Häufungspunkt von. agegen ist x 0 zwar ein Element der enge, jedoch kein Häufungspunkt dieser enge. efinition 6.6. Es sei f W!Reine Funktion. Weiter gelte x; y R [ ¹ ; º, wobei x ein Häufungspunkt der enge sei. an schreibt f./! y für x! x oder lim f./ y;!x falls für jede Folge.x n / n¹xº mit der Eigenschaft x n! x die Konvergenz f.x n /! y folgt.

5 Abschnitt 7 Natürlicher Logarithmus R. Plato 35 an beachte, dass in efinition 6.6 die Fälle y beziehungsweise y und gegebenenfalls auch x beziehungsweise x ausdrücklich zugelassen sind. Beispiel. Es gilt x r! und x r! für x!, falls r Nerfüllt ist. Gelegentlich werden auch einseitige Grenzwerte betrachtet. efinition 6.7. Es sei f W! R eine Funktion und y R [ ¹ ; º. a) Es sei x R ein Häufungspunkt der enge \.x; / an schreibt f./! y für x! xc oder lim f./ y;!xc falls für jede Folge.x n / mit der Eigenschaft x n! x und x n > x die Konvergenz f.x n /! y folgt. b) Analog schreibt man für einen Häufungspunkt x R der enge \. ; x/ f./! y für x! x oder lim!x f./ y; falls für jede Folge.x n / mit der Eigenschaft x n! x und x n < x die Konvergenz f.x n /! y folgt. Beispiel. Für die Funktion f.x/ x ; x 0, gilt lim x!0c f.x/ und lim x!0 f.x/. 6.4 Exponentialfunktion, reelle Version Satz 6.8. ie Exponentialfunktion exp W R! R ist streng monoton wachsend mit lim x! exp.x/ 0 und lim x! exp.x/. Insbesondere gilt damit exp.x/ > 0 für jedes x R. Beweis. Wir benötigen das folgende Hilfsresultat exp./ C für > 0 (6.5) as folgt sofort aus der folgenden elementaren Abschätzung 0 ƒ exp./ C C n C für > 0 n Aus (6.5) folgt unmittelbar exp.x/ > für x > 0; exp.x/ > 0 für x R; (6.6) lim exp.x/ lim C x ; x! x!./ lim exp.x/ lim exp. x/ lim x! x! x! exp.x/ 0; wobei in der zweiten Ungleichung von (6.6) sowie in./ die Identität aus (6.4) eingeht. Aus (6.6) wiederum erhält man die angegebene strenge onotonie der Exponentialfunktion. Für x; y R mit y > x folgt nämlich mit der arstellung x C y sofort exp.y/ exp.x C / exp.x/ exp./ > exp.x/ ƒ ƒ > 0 > ies komplettiert den Beweis. 7 Natürlicher Logarithmus ie Exponentialfunktion exp WR!R C ¹x Rjx > 0º ist umkehrbar (für den Nachweis benötigt man den Stetigkeitsbegriff, der erst später vorgestellt wird). Sie besitzt damit eine Umkehrfunktion. efinition 7.. ie Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp WR!R C heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln bezeichnet. Häufig schreibt man auch log anstelle ln. as bedeutet ln W R C! R sowie exp.ln x/ x.x > 0/ beziehungsweise ln exp.x/ x.x R/. Wegen exp.0/ gilt außerdem ln 0. Aus Satz 6.8 erhält man unmittelbar das folgende Resultat Satz 7.. a) Es ist ln W R C! R eine streng monoton wachsende Funktion mit lim x!0 ln x und lim x! ln x. b) Für x; y > 0 gelten die folgenden Identitäten ln.xy/ ln x C ln y; ln x y ln x ln y Beweis. Teil a) folgt sofort aus Satz 6.8 auf Seite 35. Für Teil b) führen wir die Notationen u ln x und v ln y ein und erhalten daraus ln.xy/ ln.exp.u/ exp.v// ln.exp.u C v// u C v ln x C ln y und damit die erste Identität des Satzes. ie zweite Identität des Satzes folgt daraus direkt ln x y C ln y ln. x y / ln x y Bemerkung. Aus Satz 7. folgt wegen ln 0 unmittelbar noch die Identität ln y ln y

6 36 R. Plato Teil II Analysis ie Verläufe der beiden Funktionen exp WR!R C und ln WR C!Rsind in Abbildung 6 dargestellt. Beweis. Es gilt offenbar a 0 exp.0ln a/ exp.0/ und a exp. ln a/ exp.ln a/ a. Außerdem gilt 0... exp.x/ a xcy e.xcy/ ln a x ln acy ln a./ e e x ln a e y ln a a x a y ;.a x / y e y ln.exp.x ln a// e xy ln a a xy ln x x abei wurde wiederholt efinition 8. verwendet, und die Identität./ folgt aus der Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion (siehe (6.3) auf Seite 34). Aus Satz 8. ergeben sich unmittelbar die Identitäten Abb. 6 arstellung von exp.x/ und ln x n-mal ƒ a a a; n N 0 ;.a x / =x.a =x / x a; 0 x R 8 Allgemeine Potenz, Logarithmus zur Basis a 8. Einführung efinition 8.. Für a > 0 definieren wir a x exp.x ln a/; x R (8.) an bezeichnet diesen Ausdruck als «a hoch x» und nennt a Basis und x den Exponenten. Im Spezialfall a e (eulersche Zahl) erhält man e z exp.z ln e/ exp.z / exp.z/; z C. ie Notation (8.) ist in diesem Fall also mit der Schreibweise (6.) auf Seite 33 verträglich. an beachte noch a x exp.x ln a/ e cx ; x R; mit der Konstanten c ln a. Eine Potenz zur Basis a stimmt also bis auf Skalierung mit der Exponentialfunktion überein. Wir formulieren einige Eigenschaften der allgemeinen Potenz. Satz 8.. Für a > 0 gelten die Identitäten a 0 ; a a und a xcy a x a y ; (8.).a x / y a xy ; x; y R (8.3) ie Werte und a =n für n Nstimmen also mit der zuvor verwendeten Bedeutung von und a =n überein. 8. Asymptotisches Verhalten der allgemeinen Potenz Satz 8.3. a) Im Fall a > ist die Funktion (8.) streng monoton steigend. Es gilt lim x! a x und lim x! a x 0. b) Im Fall 0 < a < ist die Funktion (8.) streng monoton fallend. Es gilt lim x! a x und lim x! a x 0. Beweis. ies folgt unmittelbar aus Satz 6.8 auf Seite 35. an hat nur noch zu berücksichtigen, dass im Falle a < die Ungleichung ln a < 0 gilt, und im Fall a > gilt die Ungleichung ln a > 0. Für a > wächst die Funktion x a x für x! schneller als jede Potenz von x Satz 8.4. Für a > und r N beliebig gilt a x =x r! für x!. Beweis. Es gilt nach efinition für x > 0 a x exp.x ln a/ und damit a x x r.x ln a/ n.ln a/rc.r C /Š xrc.ln a/rc x! für x!.r C /Š

7 Abschnitt 9 Trigonometrische Funktionen R. Plato 37 Bemerkung 8.5. Eine Einführung der allgemeinen reellen Potenz a x mit a > 0 und x R wäre auch anders als durch (8.) auf der vorherigen Seite möglich. So kann man für beliebiges a > 0 und m; n N zunächst =m. /.=m/ betrachten, wobei sich der Ausdruck auf der rechten Seite als Wert der Umkehrfunktion R C! R C ; x x m an der Stelle ergibt (siehe Beispiel 7.8 auf Seite 0). amit ist der Wert a q für jedes q Q mit q > 0 definiert. Nun existiert zu jeder positiven reellen Zahl x eine Folge positiver rationaler Zahlen q 0 ; q ; mit der Eigenschaft q r x für r!. amit lässt sich dann der Wert a x als Grenzwert a x lim r! a q r definieren, wobei dieser Grenzwert tatsächlich existiert und von der speziellen Wahl der Folge.q n / unabhängig ist. Für negative Werte x definiert man dann noch a x =a x, und schließlich setzt man a 0. ieser Zugang ist zwar naheliegender als der in (8.) gewählte. er Nachweis der Eigenschaften der allgemeinen Potenz wird bei einer Setzung von a x lim r! a q r jedoch aufwändiger. 8.3 Logarithmus zur Basis a > ie reelle Version der allgemeinen Potenz R! R C ; x a x (siehe (8.) auf der vorherigen Seite) mit a > 0; a, ist umkehrbar (das folgt unmittelbar aus der Umkehrbarkeit der Funktion exp W R! R C ). Sie besitzt damit eine Umkehrfunktion. efinition 8.6. ie Umkehrfunktion der allgemeinen Potenz R! R C ; x a x (mit a > 0; a ; fest gewählt) heißt Logarithmus zur Basis a und wird mit log a bezeichnet. ies bedeutet log a WR C!Rsowie a log a y y.y > 0/ und log a a x x.x R/. Wegen a 0 gilt außerdem log a 0. Weitere Eigenschaften des Logarithmus zur Basis a > 0 sind in dem folgendem Satz angegeben. Satz 8.7. Sei a > 0; a. a) Es gilt log a x ln x ln a für x > 0 b) Für a > ist log a W R C! R eine streng monoton wachsende Funktion mit lim x!0 log a x und lim x! log a x. c) Für 0 < a < ist log a W R C! R eine streng monoton fallende Funktion mit lim x!0 log a x und lim x! log a x. d) Für x; y > 0 und s > 0 gelten die folgenden Identitäten log a.xy/ log a x C log a y; x log a y loga x log a y; log a.x y / y log a x Beweis. ie Aussage a) folgt aus ln a x ln.exp.x ln a// x ln a; was gleichbedeutend mit ln a x ln x x ist. amit stellt x tatsächlich die Umkehrfunktion der Funktion x a x dar. ie Aussagen ln a ln in den Teilen b), c) und d) erhält mit Ausnahme der letzten Identität aus d) man unmittelbar aus Teil a) und den entsprechenden Aussagen für den natürlichen Logarithmus (siehe Satz 7. auf Seite 35). ie letzte Identität aus d) ergibt sich leicht so log a.x y / ln.xy / ln a ln.exp.y ln x// y ln x ln a ln a y log a x Aus Satz 7. folgt wegen log a 0 unmittelbar noch die Identität log a y loga y Für a > wächst der Logarithmus log a y zur Basis a für y! langsamer als jede positive Potenz von y Satz 8.8. Für a > und s > 0 beliebig gilt das asymptotische Verhalten.log a y/=y s! 0 für y!. Beweis. Auf Grund der Umkehrbarkeit der Funktion x a x gibt es für jedes y Rein x Rmit y a x, und damit gilt log a y y s x.a x / s x.a s / x./! 0 für y! abei folgt die Aussage./ aus Satz 8.4 auf der vorherigen Seite angewandt mit a s anstelle a sowie mit r. 9 Trigonometrische Funktionen 9. Einführung Wir führen nun die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus mit Hilfe von Reihendarstellungen ein. ass es bei diesen so eingeführten Funktionen um die in Abschnitt 3 auf Seite 5 vorgestellten Winkelfunktionen handelt, wird erst zu einem späteren Zeitpunkt klar.