Graphen, Algorithmen und Diskrete Optimierung

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Graphen, Algorithmen und Diskrete Optimierung"

Transkript

1 Graphen, Algorthmen und Dsrete Optmerung. Relatonen und Graphen De Graphentheore st en wchtges Telgebet der dsreten Mathemat. Ihr Geburtsahr lässt sch zemlch genau mt 76 dateren, als Euler en Problem aus der Graphentheore löste, das heute das Köngsberger Brücenproblem genannt wrd: Kann man enen Rundgang durch Köngsberg so anlegen, war dabe de Frage, dass man dabe ede der 7 Brücen über de Pregel genau enmal passert? Festland Graph dazu: Insel Insel Pregel (Fluß) Festland Brücen Werden de Gebete, welche durch den Fluß begrenzt werden, durch Knoten und de Zugänge über de Brücen durch Kanten, erhält dabe den rechtsstehenden Graphen, für den Euler zegen onnte, dass für hn das, was man heute als Eulertour bezechnet (nämlch ene geschlossene Kantenfolge, n der ede Kante genau enmal orommt), ncht möglch st. Obger Graph st berets en sehr allgemener Typ on Graphen ndem es für hn auch Mehrfachanten gbt, während wr es m folgenden nur mt Graphen zu tun haben werden, n denen es zwschen zwe Knoten höchstens ene Kante gbt. De on uns gegebene Defnton enes Graphen wrd daher der Enfachhet halber auch nur desen Fall abdecen. Für uns st nachfolgend en Graph nchts anderes als ene Menge V (deren Elemente dann de Knoten des Graphen snd), auf welcher ene Relaton E defnert st, de angbt, welche Knotenpaare durch genau ene (.allg. gerchtete, d.h., es ommt auf de Rehenfolge der Knoten an!) Kante erbunden snd. Unter ener Relaton R auf ener Menge M ersteht man dabe allgemen ene belebge (e. auch leere!) Telmenge on M M:={ ( x, y) x M, y M}. Glt dabe (x,y) R, wofür man oft auch urz x R y schrebt, so sagt man, x stehe n Relaton mt y (bez. R). Ähnlch we Operatonen haben de n der Mathemat und den Anwendungen betrachteten Relatonen R oft noch ene Fülle on weteren Egenschaften. Enge besonders wchtge daon snd ( = für alle ): Reflextät: x R x x M Irreflextät: x R y x y x, y M

2 Symmetre: x R y y R x x, y M. Antsymmetre: x R y y R x x = y x, y M. Transttät: x R y y R z x R z x, y, z M. Ene Relaton R auf M heßt dann ene Äqualenzrelaton auf M, wenn se reflex, symmetrsch und transt st, und ene Ordungsrelaton auf M, wenn se reflex, antsymmetrsch und transt st. In letzerem Falle nmmt man für R oft das Symbol und (M, ) wrd dann auch ene geordnete Menge genannt. Ist R spezell ene Äqualenzrelaton, so ann man für edes a :={ x M x R a} [ ] R a M de Telmenge betrachten, welche auch Äqualenzlasse on a genannt wrd. Ist R om Kontext her lar orgegeben, so wrd der Index R auch oft weggelassen, d.h. man schrebt nur [a] oder manchmal auch a für de Äqualenzlasse on a. Ist R ene Aqualenzrelaton auf M, so bldet de Menge {[ a] a M} M / R : = R aller Äqualenzlassen ene sog. Partton oder Klassenentelung on M, d.h. es gelten folgende Egenschaften:. [ ] a M R a a!) a (es st a stets [ ] R a b a = b a,b M.. [ ] R [ ] R [ ] R [ ] R. U[ a] R = M. a M Wegen. legt also dann edes a M n höchstens ener Äqualenzlasse und wegen. n mndestens ener Äqualenzlasse, nsgesamt gesehen daher n genau ener Aqualenzlasse bez. R. Umgeehrt ann man eder Partton on M, d.h. eder Menge P={ M I} on nchtleeren Telmengen on M, welche paarwese elementfremd snd und deren Verengung M st, ene Äqualenzrelaton R P auf M zuordnen, welche defnert st durch x R y : I : x, y P M und dese Zuordnung P a R P st ene Beton zwschen den Parttonen und den Äqualenzrelatonen auf M. Wchtg st auch noch das Zusammenspel on auf M defnerten Relatonen mt dort eentuell defnerten bnären Operatonen. Ist dabe o ene bnäre Operaton auf M, so heßt ene Relaton R auf M erträglch mt o, falls glt Bespel.: a R b c R d ao c R bo d a, b,c,d. Ist m N ene fest gewählte natürlche Zahl, so wrd für alle a, b Z durch a b mod m : m a b (d.h. Z : m = a b )

3 offenschtlch ene Äqualenzrelaton auf Z erlärt, welche n obgem Snne mt den Operatonen + und auf Z erträglch st. Für de Äqualenzlasse [a] schrebt man dabe üblcherwese auch a mod m oder nur urz a.. Für ede Telmenge A der Menge R der reellen Zahlen st ferner (her n sener ursprünglchen Bedeutung!) ene Ordnungsrelaton, welche mt der gew. Addton + + erträglch st. Ist A R, d.h. enthält es ene negaten Zahlen, so glt auch de Verträglchet mt der gew. Multplaton. Dese Ordnungsrelaton hat überdes de spezelle Egenschaft, dass für belebge a, b A stets a b oder b a zutrfft. Ene Ordnungsrelaton mt deser Egenschaft nennt man auch total oder lnear.. Ist M ene belebge Menge und P(M) de Menge aller Telmengen on M, welche auch Potenzmenge on M genannt wrd, so ann auf P(M) durch A B : A st Telmenge on B (d.h. edes x A legt auch n B) ene Ordnungsrelaton engeführt werden, de sog. mengentheoretsche Inluson. Se st erträglch mt den Operatonen und auf P(M). En gerchteter Graph oder Dgraph (engl. drected graph) G st nun n sener allgemensten Form nchts anderes als en Paar (V,E), wobe V ene belebge Menge und E ene Relaton auf V st. De Elemente on V werden dabe Knoten (engl. ertces), de Elemente on E gerchtete Kanten (engl. edges) genannt. Für ene gerchtete Kante ( x, y) E wrd x der Anfangsnoten und y der Endnoten genannt und de beden Knoten heßen adazent (oder benachbart). Ist {,,..., } V = n endlch, was be den on uns betrachteten Anwendungen stets der a, de sog. Fall sen wrd, so ann de Relaton E auch durch ene Matrx A= ( ) Adazenzmatrx des Graphen, beschreben werden, für de glt a : =, falls (, ) E sonst Hat der Graph nur wenge Kanten, so egnet sch de Darstellung des Graphen mt Hlfe on sog. Adazenzlsten ( A ) allerdngs besser, wobe her V A für edes V de Menge bezechnet, welche genau de Knoten w enthält, für de (,w) E st. (In der Computerpraxs snd de A sog. erettete Lsten.) Endlche Dgraphen lassen sch auch graphsch sehr schön durch sog. (Pfel-) Dagramme eranschaulchen, ndem man de Elemente,,..., n durch glechnamge Punte der Ebene symbolsert und genau dann enen Pfel on nach zechnet, wenn (, ) E glt. Bespel.: Auf der Menge {,,,,, } V = se de Relaton 5 6 E = {(, ),(, ),(, ),(, 5 ),(, 5 ),( 5, 6 ),( 6, ),( 6, )} gegeben. Der gerchtete Graph ( V,E) ann dann etwa durch folgendes Dagramm eranschaulcht werden:

4 5 6 Und her noch de zugehörge Adazenzmatrx bzw. de Adazenzlsten: A= A A A A A A 6 5 = { = { } = {, } = { = { } } } = {, } De Anzahl der Pfele, welche für enen gegebenen Knoten V wegführen wrd der Weggrad on genannt,.z. d + (). Analog heßt de Anzahl der Pfele, welche zu hnführen der Hngrad on,.z. d + (). (In obgem Bespel wäre etwa d ( ) = und d ( ) =. ) Offenschtlch st d + () bzw. d () gerade de Anzahl der Ensen n der Zele bzw. Spalte on n der Adazenzmatrx A. Indem man nun de Anzahl der Ensen n der Adazenzmatrx A nsgesamt, welche a gerade de Kantenzahl E st, enmal zelenwese und enmal spaltenwese zählt, erhält man sofort Satz.: In edem gerchteten Graphen G=(V,E) st V d + () 5 6 = V d 5 () = d.h. de Summe aller Weg- bzw. Hngrade für den Graphen G st glech der Anzahl sener Bögen. Von den Anwendungen her gesehen blden ene Dgraphen (V,E) ene besonders wchtge Tellasse, für welche de Relaton E rreflex und symmetrsch st, und de man auch gewöhnlche oder ungerchtete Graphen nennt. (Man beachte, dass manche Autoren auch berets für enen gerchteten Graphen de Irreflextät on E fordern, d.h. sog. Schlngen ausschleßen.) Da es dabe auf Unterschedung der Rchtung nun ncht mehr anommt, faßt man mest e zwe gegenläufge Kanten (u,),(,u) E zu ener zusammen, welche mt {u,} bezechnet wrd. De Elemente on E werden nun enfach Kanten genannt. Be der Veranschaulchung durch en Dagramm wrd dabe für ede Kante { x, y} E statt den zwe Pfelen on x nach y bzw. on y nach x ene enfache Verbndungslne zwschen x und y gezogen. Gelegentlch st für enen (gerchteten oder ungerchteten) Graphen auch noch ene Funton w defnert, welche edem Bogen bzw. eder Kante ene reelle Zahl zuordnet, wobe dese on der Problemstellung her mest nchtnegat st. (Z.B. önnte dese E,

5 5 Bewertung für enen Graphen, welcher en Straßennetz repräsentert, de Längen bzw. de Transportosten für de Straßenstüce sen, welche de Knoten erbnden.) Man sprcht n desem Fall on bewerteten Graphen. Analog we für gerchtete Graphen defnert man den Grad d() enes Knotens V n enem ungerchteten Graphen G=(V,E) als de Anzahl der Kanten mt als enen Endnoten. Der.. entsprechende Satz lautet dann Satz. ( Handschlaglemma ): In edem ungerchteten Graphen G=(V,E) glt V d () = E, d.h. de Summe aller Grade des Graphen st glech der doppelten Anzahl sener Kanten. In enem Dgraph G=(V,E) heßt nun ede Folge... mt,,..., V und (, ),(, ),...,(, ) E ene (gerchtete) Kantenfolge. und heßen dann (durch de Kantenfolge) erbunden. De Zahl wrd dabe de Länge der Kantenfolge genannt. Ist dabe = so sprcht man on ener geschlossenen Kantenfolge, sonst on ener offenen. Ene Kantenfolge, n der ene Kante mehrfach orommt heßt auch Kantenzug. En Kantenzug..., n der darüber hnaus auch ene Knoten mehrfach orommen, heßt en Pfad und, falls des mt der enzgen Ausnahme = zutrfft, en Zylus. Exsteren n dem gerchteten Graphen G ene Zylen poster Länge, so heßt er azylsch. Alle zuor engeführten Begrffe lassen sch auch weder auf ungerchtete Graphen spezalseren, wodurch man nsbesondere de zu den Begrffen Pfad und Zylus analogen Begrffe Weg bzw. Kres erhält. Statt azylsch sagt man nun auch resfre. In ungerchteten Graphen (V,E) ann für alle a,b V a ~ b : a und b snd durch enen Weg erbunden ene Äqualenzrelaton defnert werden. De Klassen der zugehörgen Partton heßen de Zusammenhangsomponenten des Graphen. Bestzt der Graph nur ene Zusammenhangsomponente (d.h. snd e zwe sener Knoten erbunden), so heßt er zusammenhängend. Desen Zusammenhangsbegrff ann man n ganz analoger Wese auch gerchteten Graphen enführen, ndem man erlangt, dass a und b auf enem gerchteten Kres legen, was dann m Falle nur ener Zusammenhangsomponente auf sog. star zusammenhängende gerchtete Graphen führt. Für se st aber auch noch de Abschwächung sehr wchtg, be der man nur erlangt, dass der zugrundelegende ungerchtete Graph (sen sog. Schatten, der aus dem gerchteten Graphen m wesentlchen durch Weglassung der Kantenorenterung herorgeht, wobe dadurch entstehende Mehrfachanten bs auf genau ene gestrchen werden) zusammenhängend st. In desem Fall sprcht man on enem schwach zusammenhängenden Dgraphen. Ene geschlossener Kantenzug n enem (gerchteten oder ungerchteten) Graphen G, der ede Kante on G genau enmal enthält, wrd (we dann auch G selbst) eulersch genannt. Eulersche Graphen werden m wesentlchen charatersert durch Satz.5: Genau dann st en schwach zusammenhängender Dgraph eulersch, wenn für alle sene Knoten Weggrad und Hngrad überenstmmen. En ungerchteter zusammen-

6 6 hängender Graph st dagegen genau dann eulersch, wenn alle sene Knotengrade gerade snd. Zur Konstruton ener Eulertour bedent man sch des Algorthmus.6 (Herholzer): Se G en (gerchteter oder ungerchteter) Graph, welcher de Voraussetzungen des Satzes.5 erfüllt.. Dann erhält man auf folgende Wese ene Eulertour:. Wähle om enem belebgen Startnoten ausgehend suzesse Knoten,,... mt der Egenschaft, dass n der Kantenfolge... alle Kanten erscheden snd, bs ene Kantenfolge... errecht wrd, de ncht mehr n deser Wese fortsetzbar st und dann aufgrund der gemachten Voraussetzungen notwendgerwese geschlossen sen muss, d.h. es st =. Ist de so erhaltene Kantenfolge K berets en eulerscher Kres, dann STOP.. Wähle enen Knoten w = n K, der mt ener noch unbenutzten Kante nzdert und onstruere daon ausgehend so we n. enen wetere Kantenfolge K = w w..., de weder nur bsher unbenutzte Kanten erwendet und für de dann w m ebenfalls weder w m = w gelten muss. Mt Hlfe on K wrd nun K atualsert zu K... w...w m +... d.h. K wrd n K engebettet. Ist damt en eulerscher Kres errecht, dann STOP, ansonsten wrd. solange wederholt bs des der Fall st. In gewsser Wese das Gegenstüc zu Eulerschen Graphen snd Hamltonsche Graphen, welche dadurch defnert snd, dass es für se enen Zylus bzw. Kres gbt, der alle Knoten des Graphen genau enmal enthält. Leder ann man für se ncht ene ähnlch enfache Charaterserung angeben. Wr ommen nun zu dem sehr wchtgen Begrff enes Baumes, worunter man enen ungerchteten Graphen ersteht, welcher zusammenhängend und resfre st. Verlangt man dagegen nur de Kresfrehet, so erhält man den Oberbegrff enen sog. Waldes. Insbesondere snd also de Zusammenhangsomponenten enes Waldes stets Bäume. Bespel.7: Der durch das nachfolgende Dagramm gegebene ungerchtete Graph st en Wald mt zwe Bäumen: Bäume snd besonders struturerte Graphen, welche n elen Anwendungen ene wchtge Rolle spelen. Se lassen sch auf erscheden Wesen enfach charaterseren, we der folgende Satz zegt:

7 7 Satz.8: Für enen (ungerchteten) Graphen G=(V,E) mt n Knoten snd folgende Aussagen äqualent. () G st en Baum. () Je zwe Knoten on G snd durch genau enen Weg erbunden. () G st zusammenhängend, aber der Graph G e, der aus G durch Wegnahme ener belebgen Kante e E entsteht, st ncht mehr zusammenhängend. () G st zusammenhängend und hat genau n- Kanten. (5) G st resfre und hat genau n- Kanten. (6) G st resfre, aber der Graph G, w, welcher aus G entsteht, ndem man zwe ursprünglch ncht benachbarte Knoten, w V durch ene Kante erbndet, enthält genau enen nchttralen Kres. Ist G=(V,E) en ungerchteter Graph, so heßt G = (V, E ) en Telgraph on G, wenn glt V V und E E. Glt dabe nsbesondere V = V, so heßt G en spannender Telgraph on G. Ist ferner G zusammenhängend und G en spannender Telgraph, welcher en Baum st, so heßt G auch en Gerüst on G.. Enge Algorthmen der Graphentheore In elen Anwendungen st nun z.b. für enen zusammenhängenden ungerchteten Graphen mt ener Bewertung en Mnmalgerüst gesucht, d.h. en Gerüst, für welches de Summe aller Bewertungen sener Kanten mnmal st. (In obgem Bespel enes Straßennetzes sollten z.b. nach der Stlllegung on möglchsten Straßen doch alle Knoten erbunden bleben und de Summe der Dstanzen nsgesamt en Mnmum sen.) Der nachfolgende Algorthmus on Krusal st om Typ her en sog. Greedy- Algorthmus. Damt st gement, dass n den enzelnen Schrtten des Algorthmus mmer gerade das gemacht wrd, was m Moment das Beste zu sen schent ( den besten Happen zuerst ), um zu ener nsgesamt optmalen Lösung zu gelangen. Algorthmus. (Krusal) Se G=(V,E) en zusammenhängender Graph mt ener Bewertung w. Auf nachfolgende Wese erhält man dann für hn en Mnmalgerüst:. Sortere zunächst de Kantenmenge E = {e,e,...,e } so um, dass danach glt und setze zu Begnn w(e) w(e )... w(e B, M {{ } V},. De Elemente on M werden dabe m folgenden als Komponenten angesprochen. (Tatsächlch repräsenteren se de ewelgen Zusammenhangsomponenten bem suzessen Aufbau des Mnmalgerüsts B.). Füge de Kante e zu B dazu, d.h. B:= B {e }, falls de Endnoten on e n erschedenen Komponenten K, K on M legen und führe n desem Fall de Ersetzung m m )

8 8 M (M \ {,K }) {K K } K durch, d.h. de beden Komponenten K und K werden zu ener erschmolzen.. Ist M =, so stoppe das Verfahren mt der Ausgabe des Mnmalgerüsts B. Ansonsten setze + und fahre be. fort. Bespel.: f 5 5 d e 7 7 a b 6 c Für den obenstehenden zusammenhängenden Graphen soll en Mnmalgerüst onstruert werden. Wr ordnen zunächst de Kanten des Graphen nach wachsender Bewertung, d.h. {d,e},{b,d},{b,e},{a,b},{d,f},{e,f},{b,c},{c,e},{a,d} Be Durchführung des Algorthmus erhalten wr folgende Zwschenresultate. Komponentensystem M {{a},{b},{c},{d},{e},{f}} {{a},{b},{c},{d,e}.{f}} {{a},{b,d,e},{c},{f}} {{a,b,d,e},{c},{f}} {{a,b,d,e,f},{c}} Ausgewählte Kante {{a,b,c,d,e,f}} - De Menge der n deser Wese ausgewählten Kanten, nämlch blden dann en Mnmalgerüst. B={{d,e},{b,d},{a,b},{d,f},{b,c}}. {d,e} {b,d} {a,b} {d,f} {b,c} Ist G en (gerchteter oder ungerchteter) Graph mt ener reellen Bewertungsfunton w, so ann man allgemen eder (gerchten oder ungerchteten) Kantenfolge ene Bewertung zuwesen, ndem man de Bewertungen aller darn orommenden Kanten aufaddert. In deser Wese ann man dann auch e zwe Knoten a und b des Graphen enen Abstand d(a,b) zuwesen, nämlch als de lenste Bewertung aller Kantenfolgen, welche a und b erbnden. (Falls es ene Kantenfolge gbt, welche a und b erbndet, wrd d(a,b)= gesetzt.) Algorthmus.: (Dstra) Se G=(V,E) en (gerchteter oder ungerchteter) Graph mt ener nchtnegaten Bewertung w. Ist dann V en festgewählter Knoten, so ann

9 9 dann für eden Knoten V n folgender Wese der Abstand d():=d(, ), sowe ene Menge p() aller unmttelbaren Vorgänger (auf enem ürzesten Weg on nach ) berechnet werden: () Setze d( ), d() V \{ }, p():= V, sowe U V. () Falls U=, dann STOP, sonst weter mt (). () Fnde en u U für das d(u) mnmal st. Ist d(u)=, dann ebenfalls STOP. () Für alle U mt u E se d() mn{d(),d(u)+w(u)}. Zusätzlch wrd, falls der neue Wert on d() lener als der alte st, auch pred() atualsert: pred() {u}. (Ist man dabe ncht nur an enem, sondern an allen ürzesten Wegen on nach nteressert, so hätte man m Fall der Glechhet des alten und neuen Wertes de Ersetzung p() p() {u} orzunehmen.) (5) Setze U:=U\{u} und mach weter mt (). Nach Beendgung des Algorthmus ann man zu edem V, welches on überhaupt über enen Weg errechbar st, was sch n d()< ausdrüct, auch sofort enen ürzesten Weg... on nach = n der Wese angeben, ndem man ewels en p( ) n der Rehenfolge =,-,, auswählt. Ist n de Anzahl der Knoten des betrachteten Graphen, so ann man zegen, dass de Komplextät des Dstra-Algorthmus O (n ) beträgt, was bedeutet, dass der Rechenaufwand (gemessen an der Anzahl on gewssen Elementaroperatonen oder auch enfach an der Rechenzet) ncht stärer anwächst als de Funton Cn für ene gewsse reelle Konstante C>. Insbesondere handelt es sch dabe also um enen sog. Polynomalzetalgorthmus (d.h. de Komplextät st on der Form O (n ) für ene gewsse relle Konstante ), welche allgmen als gut angesehen werden. Mt dem glechem Auwand ann nsbesondere auch überprüfen, on en Knoten on überhaupt errechbar st, da nur n desem Fall d() enen endlchen Wert hat. Bespel.: Für den durch das nachstehende Dagramm gegebenen bewerteten gerchteten Graphen sollen alle Abstände zum Knoten a berechnet werden. = a 6 b 6 c 7 5 d 8 e f g

10 In nachfolgender Tabelle st de laufende Wertetabelle für de Abstandsfunton d und de ewelgen Vorgänger (wr wählen m Fall on Glechhet mmer nur enen und lassen daher de Klammern {} weg) bem Durchlaufen der enzelnen Iteratonen angegeben. Iteraton d(a) / p(a) d(b) / p(b) d(c) / p(c) d(d) / p(d) d(e) / p(e) d(f ) / p(f ) d(g) / p(g) / 6 / a / a 6 / a 7 / d / d / f 6 / f 6 / f / f 6 / f 5 / f 6 / g 6 / c De ewels n () getroffene Wahl wurde n obger Tabelle besonders herorgehoben. (De zugehörgen Knoten n der Indexspalte müssen dann n (5) aus U entfernt werden! ) De endgültge Belegung der Werte on d wrd dann durch de fettgedructen Zahlen n obger Tabelle angegeben, also a b c d e f g d() De n der Tabelle ebenfalls erfaßten unmttelbaren Vorgänger auf enem ürzesten Weg zum ewelgen Knoten ann nun dazu erwendet werden, um dese ürzesten Wege auf enfache Wese zu reonstrueren. Läßt man nämlch m obgen Graphen alle Kanten u weg, wo u (nach der letzten Iteraton) ncht Vorgänger on st, so erhält man folgendes Gerüst für unseren Graphen, aus welchen man de ürzesten Wege om Knoten a zu enem belebgen anderen Knoten unmttelbar ablesen ann: a b 5 c d e f g Wll man de ürzeste Dstanz zwschen zwe belebgen Knoten enes Graphen feststellen, so önnte man m Prnzp den Dstra-Algorthmus V -mal durchführen, ndem man enfach den Startnoten alle Knoten des Graphen durchlaufen läßt, was dann offenschtlch auf den Gesamtaufwand O( V ) führt. Von derselben Komplextät, aber n der Praxs dann doch schneller st der sog. Warshall- Floyd Algorthmus. Se dazu V= {,..., n} de Knotenmenge enes (gerchteten oder ungerchteten ) Graphen mt der Bewertung w und für edes {,..,n } se d de ürzeste Länge enes Weges zwschen und (),,=,..,n, ( ürzest weder n Hnblc auf de Bewertung), welcher nur Knoten aus der Menge {,..., } enthält.

11 Exstert überhaupt en derartger Weg, so setzen wr de reurse Bezehung d () ( ) ( ) ( ) = mn(d,d + d ),,,=,,n () d =. Offenschtlch glt dann d.h. wr müssen be Hnzunahme des Knotens edesmal prüfen, ob es gegenüber dem alten Weg ohne nun ncht ellecht enen ürzeren Weg gbt, der aber dann on nach und on weter nach laufen muss, wobe dese beden Telwege nur ewels Knoten aus {,..., } enthalten. Der nachfolgende Algorthmus war ursprünglch on Warshall nur dazu onzpert worden, um de sog. transte Hülle ener Relaton zu bestmmen (d.h. de lenste transte Relaton, welche de orgegebene Relaton umfasst), was dann den Spezalfall darstellt, wo alle Kanten mt dem glechen posten Wert (z.b. ) bewertet werden. Er wurde erst on Floyd auf de orlegende allgemenere Form gebracht. Algorthmus.5: (Warshall-Floyd) Se G = (V,E) en (gerchteter oder ungerchteter) Graph mt der Bewertung w und der Knotenmenge V= {,..., n}. Nach Durchlaufen des folgenden Algorthmus enthält dann d de Länge enes ürzesten Weges zwschen und,,=,,n, bezogen auf de Bewertung:. Setze zu Begnn für,=,,n. Für alle =,..., n für alle =,..., n für alle =,..., n falls d < d, w( ),, + d d setze d d + d, falls = falls falls E E Insbesondere önnen wr nach dem Durchlaufen des Algorthmus aus dem Erfülltsen der Bedngung d < weder ablesen, ob zwe Knoten und durch enen Weg erbunden snd oder ncht. Ferner önnen wr aus der Anzahl der Iteratonen n Schrtt, welche a n beträgt, schleßen, dass der Gesamtaufwand, we berets erwähnt, tatsächlch on der Ordnung O ( V ) st. En weterer wchtger Algorthmus, welcher on Ford stammt, befaßt sch mt der Berechnung on längsten Wegen n Netzplänen. Unter enem Netzplan ersteht man dabe enen azylschen gerchteten Graphen G mt ener reellen Bewertungsfunton w, wobe darüberhnaus gefordert wrd, dass en Knoten Q mt d (Q) = (ene sog. Quelle) + und en Knoten S mt d (S) = (ene sog. Sene) orlegt, und dass er darüberhnaus schwach zusammenhängend st, d.h. ohne Berücschtgung der Orenterung der Kanten gbt es stets enen (dann ungerchteten) Weg zwschen zwe erschedenen Knoten des Graphen.

12 In der sog. Netzplatztechn geht es dann darum, für eden Knoten des Netzplans den längsten Weg (weder m Snne der Bewertung) enes eden Knotens sowohl zur Quelle als auch zur Sene zu bestmmen. In den Anwendungen snd dann de Knoten des Netzplans gewsse Eregnsse (z.b. be enem Bauorhaben das Errechen on gewssen Staden der Fertgstellung), de Quelle st das Starteregns (z.b. Baubegnn) und de Sene das Zeleregns. Durch technologsche Vorgaben önnen gewsse Eregnsse oft erst nach anderen entreten, was sch m Graphen so ausdrüct, dass es on enem früheren Eregns E zu enem späteren Eregns F enen gerchteten Weg gbt, dessen Bögen alles Vorgänge snd, welche noch ablaufen müssen, beor das Eregns F entreten ann, wenn E schon engetreten st. Wr denen uns de Knoten enes Netzplans so on bs n durchnummerert, dass für eden Bogen der Anfangsnoten stets ene nedere Nummer als der Endnoten hat, was stets möglch st. Ene solche Nummererung heßt auch monoton oder aufstegend und mndestens ene solche exstert genau dann, wenn der Graph azylsch st Gewchtet man alle Kanten enes Netzplans mt (unabhängg on ener schon bestehenden Gewchtung), so heßt de größte Länge enes Wegs on der Quelle Q bs zu enem Knoten K der Rang on K,.Z. rg(k). Um dann ene monotone Nummererung der Knoten zu errechen, nummerert man de Knoten nach aufstegendem Rang durch, wobe es für Knoten mt glechem Rang de Rehenfolge bedeutungslos st. De Bestmmung der Ränge gescheht mt nachfolgendem Algorthmus. Algorthmus.6 (Ford). Se G en Netzplan mt der Knotenmenge V, der Bögenmenge E und der Quelle Q. Für alle Knoten V önnen dann de Ränge rg() folgendermaßen gefunden werden. () Man setze am Anfang rg()= für alle V. () Für alle Knoten V mt enem postem Hngrad ersetzte man n ener festen Rehenfolge rg() durch max { rg(u) (u, ) E} +. Ändert sch dabe ene der orläufgen Rangzahlen, so hat man damt de endgültgen Rangzahlen gefunden, ansonsten wrd () solange wederholt. Wr dürfen also nach ener eentuellen Durchführung des Fordschen Algorthmus oraussetzen, dass de Knoten des Netzplans mt den Zahlen,,,..,n monoton duchnummerert snd. Wenn de Bewertung d der gerchteten Kante on nach de Zetdauer darstellt, welche für den Vorgang, der durch den Bogen on nach dargestellt wrd, benötgt wrd, so snd dann für =,,,,n de Größen FT (=Frühestmöglcher Termn für das Entreten des Eregnsses ), ST (=Spätestmöglcher Termn für das Entreten des Eregnsses ) on großer Wchtget. Graphentheoretsch st dabe FT nchts anderes als de Länge enes m Snne deser Bewertung längsten Weges on nach und ST de Dfferenz FTn -(Länge enes längsten Wegs on nach n). Se önnen mt der sog. Crtcal Path Method (abg. CPM) folgendermaßen reurs berechnet werden:

13 Algorthmus.7 (CPM): bzw. (mt dem dann beannten FT =, FT = max{ FT + d (, ) E}, =,,,n FT n ) STn = FTn, ST = mn{ ST d (, ) E}, =n-,n-,,. Bespel.8: Durch das folgende Dagramm E/ F/ 6 Q/ S/5 G/ 7 H/ werde en Netzplan mt Quelle Q und Sene S dargestellt und den angeschrebenen Bewertungen dargestellt. De Rangzahlen der Knoten ergeben sch dann aufgrund on we n der letzten Zele angegeben, d.h. es st etwa Q E F Q, E, H, G, F, S 5 ene monotone Nummererung. Indem man eden Knoten mt deser Nummer dentfzert, erhält man nach obgem Algorthmus de Tabelle FT ST / Q / / E / E / Q / G / H / Q 7 / S G H / G 6 / E 6 / F S / F / G / S 5 /S / F / Her snd ähnlch we bem Dstra-Algorthmus zu allen Enträgen auch glech de Vorgänger bzw. Nachfolger mtermert worden, welchen zu den entsprechenden Maxma bzw. Mnma gemäß. geführt hatten In desem Bespel fallen FT und ST für alle Punte mt Ausnahme on H zusammen, d.h. für dese sog. rtschen Eregnsse gbt es enen Puffer (=zetlchen Spelraum),

14 wll man de Mndestgesamtdauer des Proets, nämlch FT 5 = (auch rt. Dauer genannt), ncht gefährden. Aus graphentheoretscher Scht müssen alle dese Knoten auf Wegen on maxmaler Länge on der Quelle bs zur Sene, auch rtsche Pfade (engl. crtcal paths) genannt, legen. In obgem Bespel gbt es nur enen rtschen Pfad, nämlch de Kantenfolge QEGFS, welche daher auch alle rtschen Eregnsse enthält. Zur Reonstruton müssen enfach nur de nolerten Knoten, nämlch Q,E,G,F,S, welche den rtschen Erregnssen entsprechen, mt hren Vorgängernoten (oder alternat Nachfolgernoten) erbunden werden, welche n der Tabelle egens für desen Zwec ermert wurden.. Enge Bemerungen zu allgemenen Klassfatonen on Algorthmen Abschleßend wollen wr noch enge allgemene Klassfatonen on Algorthmen nach erschedenen Geschtspunten ornehmen. En erster wchtger Geschtspunt st dabe de Komplextät enes Algorthmus, d.h., es geht her um de Frage, we der Aufwand zur Lösung enes Problems (gewöhnlch gemessen an der Rechenzet oder der Anzahl on Elementaroperatonen, manchmal auch am Specherplatzbedarf) mt der Größe des Engangsparameters des Problems wächst. Im Falle des Dstra-Algorthmus hatten wr z.b. den Rechenaufwand T(n) durch T(n)=O(n ) abschätzen önnen, wobe n de Anzahl der Knoten des Graphen bedeutet. Er gehört damt zu den sog. Polynomalzetalgorthmen, für welche allgemener ene Aufwandsabschätzung der Form T(n) = O(n ) mt ener posten reellen Zahl glt. Sehr oft besteht n der Praxs der Algorthmus darn, enen sog. Suchbaum zu durchforsten, wobe de Lösungen unter den Blättern (=Endnoten om Grad ) zu suchen snd und de Bearbetung enes enzelnen Pfades on der Wurzel zu enem der Blätter n Polynomalzet möglch st. Dabe st n der Regel ncht on ornheren determnert st, welcher Pfad denn nun der rchtge st, weshalb man daher n desem Fall auch on enem sog. Nchtdetermnstschen Polynomalzetalgorthmus sprcht. Versucht man aber das Problem dadurch zu lösen, ndem man alle möglchen Pfade on der Wurzel zu den Blättern untersucht, zu gelangt man gewöhnlch zu enem exponentellen Laufzeterhalten T(n) = O(a n ) mt enem reellen a>, was dann nur für relat lene n wrlch durchführbar st. Be der pratschen Durchführung der Suche nach Lösungen gbt es prnzpell zwe erschedene Suchmethoden, de sog. Tefensuche (engl. Depth Frst Search oder urz DFS) und de sog. Bretensuche (engl. Breadth Frst Search oder urz BFS). Be der Tefensuche geht man on der Wurzel ausgehend und be den Knoten ewels de erste noch ncht abgearbetete Verzwegung nehmend solange n de Tefe, bs man auf en Blatt des Baumes stößt. Ist deses ene Lösung des Problems, so geht man m Zuge des Bactracng zum letzten Knoten zurüc, welcher noch ncht abgearbetete Söhne (bzw. Nachbarn) bestzt und nmmt de nächste Verzwegung. In deser Wese fortfahrend ann man manchmal sehr schnell auf ene Lösung ommen, aber m worst case st der Aufwand n der Regel exponentell. Be der Bretensuche werden dagegen laufend Knoten ener (anfangs leeren) Warteschlange W hnzugefügt (begnnend mt der Wurzel des Baumes). In edem Schrtt wrd dann der ewels erste Knoten der Warteschlange nach ener problemspezfschen Behandlung gestrchen und sene eentuelle Söhne (bzw. Nachbarn) n de

15 5 Warteschlange hnten engereht. Ist de Warteschlange leer, so st man alle Knoten des Baumes durchgegangen. Bede Verfahren, de Tefen- und de Bretensuche, lassen sch als erschedene Methoden der Durchnummererung on Knoten enes Graphen ansehen, welche dann ewels de Rehenfolge orgbt, n der de Knoten zur Lösung enes spezfschen Problems abgearbetet werden, z.b Durchnummererung be Tefensuche Durchnummererung be Bretensuche In gewsser Wese ene Kombnaton aus Tefensuche und Bretensuche snd sog. Branch and Bound Algorthmen. Se werden be der Lösung on Optmerungserfahren engesetzt, be denen ene anderen effzenten Verfahren beannt snd, we z.b. bem sog. Problem des Handlungsresenden (engl. Traelng salesman problem oder urz TSP), wo es darum geht, für enen bewerteten Graphen, für den es ene Hamltontour gbt, de ürzeste derartge Tour zu bestmmen. Be Branch and Bound Algorthmen muss es möglch sen, für eden Knoten Schranen (engl. bounds) anzugeben, welche be Verollständgung on der durch eden Knoten gegeben partellen Lösung (z.b. be TSP de Länge des Weges durch alle bs dahn besuchten Städte) zu ener ollständgen Lösung ncht unterschrtten werden önnen. Be TSP önnte man enen Bound z.b. folgendermaßen gewnnen: Man bldet zunächst aus der Dstanzmatrx D=( d ) der n Städte de sog. zelenreduzerte Matrx D = (d ), ndem man on allen Elementen ener eden Zele hr Mnmum abzeht und danach n öllg analoger Wese D de spaltenreduzerte Matrx D = (d ), ndem man de gleche Prozedur spaltenwese durchführt. De Gesamtsumme der Zelen- und Spaltenmnma wäre dann en Bound für das TSP, der ncht unterschrtten werden ann. Be der pratschen Durchführung wrd nun en Pfad n dem Suchbaum bs zu ener ollständgen Lösung erfolgt, wobe ewels de Abzwegungen m Suchbaum genommen werden, de zu Knoten mt mnmalem Bound führen, was ener Tefensuche entsprcht. Anschleßend müssen dann nur noch ene Knoten abgearbetet werden, welche enen leneren Bound als de schon gefundene ollständge Lösung haben, wobe de Abarbetung der noch n Frage ommenden Knoten we be ener Bretensuche gescheht. In öllg analoger Wese önnen damt natürlch auch Maxmerungsprobleme behandelt werden. Abschleßend noch ene Präzserung des Begrffs Greedy-Algorthmus, dem wr m Zusammenhang mt dem Krusal Algorthmus schon begegnet snd. (Aber auch der Dstra-Algorthmus entpuppt sch be genauerer Betrachtung als solcher!) We nachstehend ausgeführt, führt en solcher Greedy-Ansatz genau dann zum Erfolg, wenn de Aufgabenstellung so nterpretert werden ann, dass optmale Lösungen n

16 6 enem sog. Matrod gefunden werden müssen. Um genauer darauf engehen zu önnen benötgen wr weder enge Begrffe. Se dazu E ene endlche Menge und U ene nchtleere Menge on Telmengen on E. (E,U) heßt dann en Telmengensystem, wenn glt A B, B U A U. Glt darüber hnaus de sog. Austauschegenschaft A, B U, A < B x B \ A: A {x} U so sprcht man on enem Matrod. Ist ferner für en Telmengensystem (E,U) ene Gewchtsfunton w: E R orgegeben, so st dann das zugehörge Optmmerungsproblem de Frage nach ener n U bez. maxmalen Telmenge T, für welche das Gesamtgewcht w (T) = e E w(e) en Maxmum (oder auch en Mnmum, e nach Aufgabenstellung) st. Bem anonschen Greedy-Algorthmus würde man dann n Analoge zu. so orgehen, dass man de Elemente on E nach abstegendem (bzw. für en Mnmum nach abstegendem) Gewcht sortert und zu ener anfänglch leeren Menge A n deser Rehenfolge Elemente e E dazugbt genau dann, wenn für se E {e} U glt. De so erhaltene Menge A wrd edoch m allgemenen ncht optmal sen. Es glt edoch der grundlegende Satz.: Se (E,U) en Telmengensystem. Der anonsche Greedy-Algorthmus lefert für das zugehörge Optmerungsproblem ganau dann für ede Gewchtsfunton w: E R ene optmale Lösung, wenn (E,U) en Matrod st. Zur Illustraton abschleßend noch en weteres Bespel für enen Greedy-Algorthmus, nämlch zum Thema Auftragsplanung mt Schlußtermnen. Se dazu ene Menge on n Aufträgen gegeben, de wr der Enfachhet halber mt,,n bezechen. Jedem Auftrag st dabe en Schlußtermn d N und en Gewnn p R + zugeordnet. De Aufträge werden dabe auf ener Maschne, de pro Zetenhet genau enen Auftrag durchführen ann. Ene Telmenge A {,...,n } on Aufträgen wollen wr dabe zulässg nennen, falls es für A ene Anordnung,,..., hrer Elemente gbt, sodass d, d,..., d, d.h. wenn eder Auftrag on A or senem Schlußtermn erledgt werden ann. Natürlch snd wr n erster Lne an enen zulässgen Telmengen A nteressert, für welche der Gesamtgewnn maxmert wrd. De Menge E={,,,n} bldet dann zusammen mt der Menge U der n obgem Snne zulässgen Telmengen on E offenschtlch en Matrod, sodass also en Greedy-Algorthmus zum Erfolg führen sollte. Deser ann her we folgt beschreben werden: Algorthmus.: Mt den oben engeführten Bezechnungen erhält man auf folgende Wese ene Telmenge A {,...,n }, für welche der Gewnn maxmal st:

17 7. Nummerere zu Begnn, sowet des erforderlch st, de Aufträge so um, dass danach glt p p K und setze A und. p n. Ist A {} ene zulässge Lösung, so setze A A {}.. Setzte +. Falls >n, dann STOP, sonst fahre mt. fort.

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Ruhr-Unverstät Bochum Lehrstuhl für Kryptologe und IT-Scherhet Prof. Dr. Alexander May M. Rtzenhofen, M. Mansour Al Sawad, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Dskrete Mathematk 1 WS 2008/09 Blatt 7 /

Mehr

18. Dynamisches Programmieren

18. Dynamisches Programmieren 8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus

Mehr

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt Kaptel 3 Zwe Personen Spele 3.1 Matrxspele 3.2 Matrxspele n gemschten Strategen 3.3 B Matrxspele und quadratsche Programme 3.4 B Matrxspele und lneare Komplementartätsprobleme 3.1 Matrxspele Wr betrachten

Mehr

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den

Mehr

3. Lineare Algebra (Teil 2)

3. Lineare Algebra (Teil 2) Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw

Mehr

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt:

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt: Informatk I 6. Kaptel Raner Schrader Zentrum für Angewandte Informatk Köln 4. Jun 008 Wr haben bsher behandelt: Suchen n Lsten (lnear und verkettet) Suchen mttels Hashfunktonen jewels unter der Annahme,

Mehr

Spiele und Codes. Rafael Mechtel

Spiele und Codes. Rafael Mechtel Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,

Mehr

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte ** Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,

Mehr

Konkave und Konvexe Funktionen

Konkave und Konvexe Funktionen Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage

Mehr

Gruppe. Lineare Block-Codes

Gruppe. Lineare Block-Codes Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung

Mehr

Steuerungsverfahren und ihre Datenstrukturen 09 - Netzplantechnik

Steuerungsverfahren und ihre Datenstrukturen 09 - Netzplantechnik und hre Datenstrukturen 9-9....2 9. Zetplanung...2 9.. CPM... 3 9..2 PERT... 9..3 MPM... 5 9..4 Verglech zwschen CPM und MPM... 22 9.2 Ausblck: Kosten- und Kapaztätsplanung...23 9.3 Entschedungsnetzpläne...24

Mehr

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder - Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole

Mehr

Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)

Mehr

Der Satz von COOK (1971)

Der Satz von COOK (1971) Der Satz von COOK (1971) Voraussetzung: Das Konzept der -Band-Turng-Maschne (TM) 1.) Notatonen: Ene momentane Beschrebung (mb) ener Konfguraton ener TM st en -Tupel ( α1, α2,..., α ) mt α = xqy, falls

Mehr

Operations Research II (Netzplantechnik und Projektmanagement)

Operations Research II (Netzplantechnik und Projektmanagement) Operatons Research II (Netzplantechnk und Projektmanagement). Aprl Frank Köller,, Hans-Jörg von Mettenhem & Mchael H. Bretner.. # // ::: Gute Vorlesung:-) Danke! Feedback.. # Netzplantechnk: Überblck Wchtges

Mehr

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen 196 6.5. Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen

Mehr

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz): LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete

Mehr

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II Onlne Algorthmen k-server randomsert Tel II Ausarbetung für das Semnar Onlne Algorthmen Prof. Dr. Ro. Klen Anette Ebbers-Baumann Ansgar Grüne Insttut für Informatk Theorethsche Informatk und formale Methoden

Mehr

Anwendungsmöglichkeiten von Lernverfahren

Anwendungsmöglichkeiten von Lernverfahren Künstlche Neuronale Netze Lernen n neuronalen Netzen 2 / 30 Anwendungsmöglcheten von Lernverfahren Prnzpelle Möglcheten Verbndungsorentert 1 Hnzufügen neuer Verbndungen 2 Löschen bestehender Verbndungen

Mehr

1. Schaltungsbeschreibung - Netzwerktopologie. Regeln der Schaltwerktheorie:

1. Schaltungsbeschreibung - Netzwerktopologie. Regeln der Schaltwerktheorie: 1. Schaltungsbeschrebung - Netzwerktopologe Regeln der Schaltwerktheore: Krchhoffsche Spannungsregel Krchhoffsche Stromregel + Zweg- (bzw. Element-) Funktonen De Netzwerktopologe beschrebt de Verknüpfung

Mehr

Kapitel 8: Graph-Strukturierte Daten

Kapitel 8: Graph-Strukturierte Daten Ludwg Maxmlans Unerstät München Insttut für Informatk Lehr- und Forschungsenhet für Datenbanksysteme Skrpt zur Vorlesung Knowledge Dscoery n Dtb Databases II m Wntersemester 2011/2012 Kaptel 8: Graph-Strukturerte

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Übersicht. Wahrscheinlichkeitsrechnung. bedinge Wahrscheinlichkeit

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Übersicht. Wahrscheinlichkeitsrechnung. bedinge Wahrscheinlichkeit Enführung n de bednge Wahrschenlchket Laplace-Wahrschenlchket p 0.56??? Zufallsexperment Randwahrschenlchket Überscht Was st Wahrschenlchket? Rechenregeln Der Multplkatonssatz Axomatsche Herletung Unabhänggket

Mehr

1 Definition und Grundbegriffe

1 Definition und Grundbegriffe 1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen

Mehr

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer:

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer: Netzwerkstrukturen 1) Nehmen wr an, n enem Neubaugebet soll für 10.000 Haushalte en Telefonnetz nstallert werden. Herzu muss von jedem Haushalt en Kabel zur nächstgelegenen Vermttlungsstelle gezogen werden.

Mehr

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I) Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen

Mehr

Neuronale Netze. M. Gruber (1) ausgeloste Reiz ist x (1) = (1) (s (1) ) mit (1) (s) = 1 sgn(s 1 ) sgn(s 2 ) T. .

Neuronale Netze. M. Gruber (1) ausgeloste Reiz ist x (1) = (1) (s (1) ) mit (1) (s) = 1 sgn(s 1 ) sgn(s 2 ) T. . Neuronale Netze M. Gruber 7.11.015 Begnnen wr mt enem Bespel. Bespel 1 Wr konstrueren enen Klasskator auf der Menge X = [ 1; 1], dessen Wrkung man n Abb.1 rechts sehen kann. Auf der blauen Telmenge soll

Mehr

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt - Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche

Mehr

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree

Mehr

Vorlesung 1. Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, insb. Finanzdienstleistungen Universität Regensburg. Prof. Dr. Klaus Röder Folie 1

Vorlesung 1. Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, insb. Finanzdienstleistungen Universität Regensburg. Prof. Dr. Klaus Röder Folie 1 Vorlesung Entschedungslehre h SS 205 Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, nsb. Fnanzdenstlestungen Unverstät Regensburg Prof. Dr. Klaus Röder Fole Organsatorsches Relevante Informatonen önnen Se stets

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeit

Statistik und Wahrscheinlichkeit Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse

Mehr

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:

Mehr

50 Matrixnormen und Eigenwertabschätzungen

50 Matrixnormen und Eigenwertabschätzungen 50 Matrxnormen und Egenwertabschätzungen 501 Motvaton De Berechnung der Egenwerte ener Matrx st aufwändg (vgl Kaptel 45, Kaptel 51) Kann man de Egenwerte ener Matrx mt gerngem Aufwand abschätzen? Des spelt

Mehr

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com. Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener

Mehr

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung: Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab

Mehr

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale 3. De Kennzechnung von Patkeln 3..1 Patkelmekmale De Kennzechnung von Patkeln efolgt duch bestmmte, an dem Patkel mess bae und deses endeutg beschebende physka lsche Gößen (z.b. Masse, Volumen, chaaktestsche

Mehr

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de

Mehr

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung Standortplanung Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Postonerung von enem Feuerwehrhaus Zentrallagerpostonerung 1 2 Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Zu bekannten Ensatzorten

Mehr

1. Runde 2010. Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik

1. Runde 2010. Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik Bundeswettbewerb Mathemat Wssenschaftszentrum Postfach 2 14 48 53144 Bonn Fon: 228-9 59 15-2 Fax: 228-9 59 15-29 e-mal: nfo@bundeswettbewerb-mathemat.de www.bundeswettbewerb-mathemat.de Korreturommsson

Mehr

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1 Fnanzwrtschaft Kaptel 3: Smultane Investtons- und Fnanzplanung Prof. Dr. Thorsten Poddg Lehrstuhl für Allgemene Betrebswrtschaftslehre, nsbes. Fnanzwrtschaft Unverstät Bremen Hochschulrng 4 / WW-Gebäude

Mehr

Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten

Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten Übung 4: Free Statonerung (Koordnatentransformaton) und Flächenberechnung nach Gauß Mlo Hrsch Hendrk Hellmers Floran Schll Insttut für Geodäse Fachberech 13

Mehr

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT Smulaton von Hybrdfahrzeugantreben mt optmerter Synchronmaschne 1 SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT OPTIMIERTER SYNCHRONMASCHINE H. Wöhl-Bruhn 1 EINLEITUNG Ene Velzahl von Untersuchungen hat sch

Mehr

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem

Mehr

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie)

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie) III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,

Mehr

Seminar Netzwerkanalyse. Kapitel 12 Vergleiche von Netzw erken. Sommersemester 2005 Universität Trier

Seminar Netzwerkanalyse. Kapitel 12 Vergleiche von Netzw erken. Sommersemester 2005 Universität Trier Kaptel 2 Vergleche von Netzw erken Sommersemester 2005, 697862 Kaptel 2.0 Allgemenes Allgemenes Graph-Isomorphsmus Problem (GI) besteht darn festzustellen, ob zwe gegebene Graphen somorph snd In der Praxs

Mehr

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl 0. STRÖMUNG INKOMPRESSIBLER FLUIDE IN ROHRLEITUNGEN Enführung Vorlesung Strömungslehre Prof. Dr.-Ing. Chrstan Olver Pascheret C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs olver.pascheret@tu-berln.de

Mehr

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i Itemanalyse und Itemkennwerte De Methoden der Analyse der Itemegenschaften st ncht m engeren Snne Bestandtel der Klassschen Testtheore Im Rahmen ener auf der KTT baserenden Testkonstrukton und -revson

Mehr

Lineare Regression (1) - Einführung I -

Lineare Regression (1) - Einführung I - Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:

Mehr

8. MARKOVKETTEN 127. Abbildung 8.1: Reduzible und periodische Markovkette. p ji IIP[X n 1 = j] = [(IIP[X n 1 = j]) j E P ] i. j=0

8. MARKOVKETTEN 127. Abbildung 8.1: Reduzible und periodische Markovkette. p ji IIP[X n 1 = j] = [(IIP[X n 1 = j]) j E P ] i. j=0 8. MARKOVKETTEN 17 8. Marovetten Abbldung 8.1: Reduzble und perodsche Marovette 8.1. Homogene Marovetten n dsreter Zet En Prozess {X n : n IIN} hesst homogene Marovette (n dsreter Zet) mt (abzählbarem)

Mehr

Übung zur Vorlesung. Informationstheorie und Codierung

Übung zur Vorlesung. Informationstheorie und Codierung Übung zur Vorlesung Informatonstheore und Coderung Prof. Dr. Lla Lajm März 25 Ostfala Hochschule für angewandte Wssenschaften Hochschule Braunschweg/Wolfenbüttel Postanschrft: Salzdahlumer Str. 46/48 3832

Mehr

Praktikum Physikalische Chemie I (C-2) Versuch Nr. 6

Praktikum Physikalische Chemie I (C-2) Versuch Nr. 6 Praktkum Physkalsche Cheme I (C-2) Versuch Nr. 6 Konduktometrsche Ttratonen von Säuren und Basen sowe Fällungsttratonen Praktkumsaufgaben 1. Ttreren Se konduktometrsch Schwefelsäure mt Natronlauge und

Mehr

Beschreibende Statistik Mittelwert

Beschreibende Statistik Mittelwert Beschrebende Statstk Mttelwert Unter dem arthmetschen Mttel (Mttelwert) x von n Zahlen verstehen wr: x = n = x = n (x +x +...+x n ) Desen Mttelwert untersuchen wr etwas genauer.. Zege für n = 3: (x x )

Mehr

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07 Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 3.Auflage Dese Broschüre hlft bem Verfassen und Betreuen von Maturaarbeten. De 3.Auflage

Mehr

Die Executive/Assistant-Applikation an Ihrem OpenStage 60/80

Die Executive/Assistant-Applikation an Ihrem OpenStage 60/80 E/A Cockpt De Executve/Assstant-Applkaton an Ihrem OpenStage 60/80 De Executve/Assstant-Applkaton E/A Cockpt st ene XML-Applkaton, de spezell für de Telefone OpenStage 60 und OpenStage 80 entwckelt wurde.

Mehr

Klasse : Name1 : Name 2 : Datum : Nachweis des Hookeschen Gesetzes und Bestimmung der Federkonstanten

Klasse : Name1 : Name 2 : Datum : Nachweis des Hookeschen Gesetzes und Bestimmung der Federkonstanten Versuch r. 1: achwes des Hook schen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten achwes des Hookeschen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten Klasse : ame1 : ame 2 : Versuchszel: In der Technk erfüllen

Mehr

Dr. Florian Englmaier 1 Übung Wettbewerbstheorie und -politik. Handout zu Übungsblatt 1: Einführung

Dr. Florian Englmaier 1 Übung Wettbewerbstheorie und -politik. Handout zu Übungsblatt 1: Einführung Dr. Floran Englmaer 1 Handout zu Übungsblatt 1: Enführung De Industreökonomk beschäftgt sch mt dem Marktverhalten und der nternen Organsaton von Unternehmen. (Preswettbewerb, Marktzutrttsverhalten, Produktdff.

Mehr

11 Chemisches Gleichgewicht

11 Chemisches Gleichgewicht 11 Chemsches Glechgewcht 11.1 Chemsche Reaktonen und Enstellung des Glechgewchts Untersucht man den Mechansmus chemscher Reaktonen, so wrd man dese enersets mt enem mkroskopschen oder knetschen Blck auf

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik

Einführung in die Finanzmathematik 1 Themen Enführung n de Fnanzmathematk 1. Znsen- und Znsesznsrechnung 2. Rentenrechnung 3. Schuldentlgung 2 Defntonen Kaptal Betrag n ener bestmmten Währungsenhet, der zu enem gegebenen Zetpunkt fällg

Mehr

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher. PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs

Mehr

Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich

Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: (91 888 5598 De Zahl phantastsch, praktsch, anschaulch De Geschchte der Zahl war dre Jahrhunderte lang dadurch geprägt, dass se und damt de kompleen Zahlen n Mathematkerkresen

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblock

Lösungen zum 3. Aufgabenblock Lösungen zum 3. Aufgabenblock 3. Aufgabenblock ewerber haben n enem Test zur sozalen Kompetenz folgende ntervallskalerte Werte erhalten: 96 131 11 1 85 113 91 73 7 a) Zegen Se für desen Datensatz, dass

Mehr

Kleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche ϕ-funktion, RSA

Kleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche ϕ-funktion, RSA Klener Fermatscher Satz, Chnesscher Restsatz, Eulersche ϕ-funkton, RSA Manfred Gruber http://www.cs.hm.edu/~gruber SS 2008, KW 15 Klener Fermatscher Satz Satz 1. Se p prm und a Z p. Dann st a p 1 mod p

Mehr

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar.

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar. . Nullstellensuche Enes der ältesten numerschen Probleme stellt de Bestmmung der Nullstellen ener Funkton = dar. =c +c =c +c +c =Σc =c - sn 3 Für ene Gerade st das Problem trval, de Wurzel ener quadratschen

Mehr

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm): Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.

Mehr

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik)

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik) Kredtpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (nkl. Netzplantechnk) Themensteller: Unv.-Prof. Dr. St. Zelewsk m Haupttermn des Wntersemesters 010/11 Btte kreuzen Se das gewählte Thema an:

Mehr

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über

Mehr

Boost-Schaltwandler für Blitzgeräte

Boost-Schaltwandler für Blitzgeräte jean-claude.feltes@educaton.lu 1 Boost-Schaltwandler für Bltzgeräte In Bltzgeräten wrd en Schaltwandler benutzt um den Bltzkondensator auf ene Spannung von engen 100V zu laden. Oft werden dazu Sperrwandler

Mehr

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf.

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf. Ich habe en Bespel ähnlch dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol_ssue3.pdf durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatgue.pdf. Abbldung 1: Bespel aus Rfatgue.pdf 1. ch habe es manuell durchgerechnet

Mehr

Kapitel 4: Lernen als Optimierung. Maschinelles Lernen und Neural Computation

Kapitel 4: Lernen als Optimierung. Maschinelles Lernen und Neural Computation Kaptel 4: Lernen als Optmerung 71 Lernen als Funktonsoptmerung Gegeben: Fehlerfunkton (.a. neg. log Lkelhood) n z.b.: 2 E E ( ) ( ( ) W = f x ; W t ) n = 1 ( ) ( ( ) ( = + ) ( ( W t log f x t f x ) n ;

Mehr

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen 6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Psychologe Prof. Dr. G. Menhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Perske) R. 02-431 (Menhardt) Sprechstunde jederzet nach Verenbarung Forschungsstatstk I Dr. Malte Perske perske@un-manz.de WS 2008/2009

Mehr

Nernstscher Verteilungssatz

Nernstscher Verteilungssatz Insttut für Physkalsche Cheme Grundpraktkum 7. NERNSTSCHER VERTEILUNGSSATZ Stand 03/11/2006 Nernstscher Vertelungssatz 1. Versuchsplatz Komponenten: - Schedetrchter - Büretten - Rührer - Bechergläser 2.

Mehr

BA_T3Classic_IPO_v1.0 (Draft_B)_050719

BA_T3Classic_IPO_v1.0 (Draft_B)_050719 BA_T3Classc_IPO_v1.0 (Draft_B)_050719 Inhalt Inhalt...2 Machen Se sch mt Ihrem Telefon vertraut Wchtge Hnwese... 3 Ihr T3 Classc auf enen Blck... 6 T3 IP Telefon n Betreb nehmen (I5)... 7 Grundregeln für

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Für wen ist dieses Buch? Was ist dieses Buch? Besonderheiten. Neu in dieser Auflage

Für wen ist dieses Buch? Was ist dieses Buch? Besonderheiten. Neu in dieser Auflage Für wen st deses Bch? Das Taschenbch der Elektrotechnk rchtet sch an Stdentnnen nd Stdenten an nverstäten nd Fachhochschlen n den Berechen Elektrotechnk Nachrchtentechnk Technsche Informatk allgemene Ingenerwssenschaften

Mehr

Standardnormalverteilung / z-transformation

Standardnormalverteilung / z-transformation Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ

Mehr

BA_T3Compact_IPO_v1.0 (Draft_B)_050719

BA_T3Compact_IPO_v1.0 (Draft_B)_050719 BA_T3Compact_IPO_v1.0 (Draft_B)_050719 Inhalt Inhalt...2 Machen Se sch mt Ihrem Telefon vertraut Wchtge Hnwese... 3 Ihr T3 Compact auf enen Blck... 6 T3 IP Telefon n Betreb nehmen (I5)... 7 Grundregeln

Mehr

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de ERP Cloud SFA ECM Backup E-Commerce ERP EDI Prese erfassen www.comarch-cloud.de Inhaltsverzechns 1 Zel des s 3 2 Enführung: Welche Arten von Presen gbt es? 3 3 Beschaffungsprese erfassen 3 3.1 Vordefnerte

Mehr

Die Ausgangssituation... 14 Das Beispiel-Szenario... 14

Die Ausgangssituation... 14 Das Beispiel-Szenario... 14 E/A Cockpt Für Se als Executve Starten Se E/A Cockpt........................................................... 2 Ihre E/A Cockpt Statusüberscht................................................... 2 Ändern

Mehr

Was erwarten wir als Ergebnis von freien Verhandlungen in einer Gruppe mit Koalitionsmöglichkeiten?

Was erwarten wir als Ergebnis von freien Verhandlungen in einer Gruppe mit Koalitionsmöglichkeiten? Prof. Dr. Fredel Bolle 1 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung 1 Defnton: Kooperatves Spel En ooperatves Spel Γ st en Tupel (N,V), wobe der N = {1,...,m} mt m > 1 de Menge der Speler bezechnet und Was erwarten

Mehr

Werkstoffmechanik SS11 Baither/Schmitz. 5. Vorlesung

Werkstoffmechanik SS11 Baither/Schmitz. 5. Vorlesung Werkstoffmechank SS11 Bather/Schmtz 5. Vorlesung 0.05.011 4. Mkroskopsche Ursachen der Elastztät 4.1 Energeelastztät wrd bestmmt durch de Wechselwrkungspotentale zwschen den Atomen, oft schon auf der Bass

Mehr

Klassische Gatter und Logikelemente. Seminarvortrag zu Ausgewählte Kapitel der Quantentheorie Quantenalgorithmen

Klassische Gatter und Logikelemente. Seminarvortrag zu Ausgewählte Kapitel der Quantentheorie Quantenalgorithmen Klasssche Gatter und Logkelemente Semnarvortrag zu Ausgewählte Kaptel der Quantentheore Quantenalgorthmen Gerd Ch. Krzek WS 2003 I. Grundlagen und Methoden der Logk: Im folgenden soll de Konstrukton und

Mehr

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Bildspeicherung

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Bildspeicherung Bldverarbetung Herbstsemester 2012 Bldspecherung 1 Inhalt Bldformate n der Überscht Coderung m Überblck Huffman-Coderung Datenredukton m Überblck Unterabtastung Skalare Quantserung 2 Lernzele De wchtgsten

Mehr

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage Fnanzmärkte H 2006 Tr V Dang Unverstät Mannhem. Das Prnzp von No Arbtrage..A..B..C..D..E..F..G..H Das Framework Bespele Das Fundamental Theorem of Fnance Interpretaton des Theorems und Zustandsprese No

Mehr

Was haben Schüler und Großbanken gemein?

Was haben Schüler und Großbanken gemein? Armn Fügenschuh Aleander Martn Was haben Schüler und Großbanken gemen? Mathematsche Modellerung Analyse und Lösung am Bespel des Rucksackproblems Unter gegebenen Randbedngungen optmale Entschedungen zu

Mehr

Unter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen

Unter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen Darstellunstheore der SO() und SU() Powtschnk Alexander. Defnton Darstellun Ene Darstellun ener Gruppe G st homomorphe Abbldun von deser Gruppe auf ene Gruppe nchtsnulärer lnearer Operatoren auf enem Vektorraum

Mehr

R R R R R. Beim Herausziehen des Weicheisenkerns steigt die Stromstärke.

R R R R R. Beim Herausziehen des Weicheisenkerns steigt die Stromstärke. . Selbstndukton Spule mt Wechesenkern Wrd en Wechesenkern n ene stromdurchflossene Spule hnengeschoben, so snkt vorübergehend de Stromstärke I. Erklärung: Das Esen erhöht de Flussdchte B und damt den magnetschen

Mehr

Nullstellen Suchen und Optimierung

Nullstellen Suchen und Optimierung Nullstellen Suchen und Optmerung Typsche Probleme: De optmale Bahnkurve De Mnmerung des Erwartungswertes ür den Hamltonan Wr möchten ene Funkton mnmeren oder mameren solch en Problem wrd Optmerung genannt!

Mehr

Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard, Prof. Dr.-Ing. M. Hanss SS 2016 A 1.1

Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard, Prof. Dr.-Ing. M. Hanss SS 2016 A 1.1 Insttut für Technsche und Num. Mechan Technsche Mechan IV Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard, Prof. Dr.-Ing. M. Hanss SS 16 A 1.1 Aufgabe 1: En mechansches Sstem wrd durch folgende lnearserte Bewegungsglechungen

Mehr

Aufgabenteil. - wird nicht mit abgegeben - 21.03.2011, 18.00-20.00 Uhr. Fakultät für Wirtschaftswissenschaft

Aufgabenteil. - wird nicht mit abgegeben - 21.03.2011, 18.00-20.00 Uhr. Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Fakultät für Wrtschaftswssenschaft Lehrstuhl für Volkswrtschaftslehre, nsb. Makroökonomk Unv.-Prof. Dr. Helmut Wagner Klausur: Termn: Prüfer: Makroökonome 2.03.20, 8.00-20.00 Uhr Unv.-Prof. Dr. Helmut

Mehr

Fallstudie 4 Qualitätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung

Fallstudie 4 Qualitätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung Fallstude 4 Qualtätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung Abgabe: Lösen Se de Aufgabe 1 aus Abschntt I und ene der beden Aufgaben aus Abschntt II! Aufgabentext und Lösungen schrftlch bs zum 31.10.2012

Mehr

mit der Anfangsbedingung y(a) = y0

mit der Anfangsbedingung y(a) = y0 Numersce Lösung von Dfferentalglecungen De n den naturwssenscaftlc-tecnscen Anwendungen auftretenden Dfferentalglecungen snd n den wengsten Fällen eplzt lösbar. Man st desalb auf Näerungsverfaren angewesen.

Mehr

AUFGABEN ZUR INFORMATIONSTHEORIE

AUFGABEN ZUR INFORMATIONSTHEORIE AUFGABEN ZUR INFORMATIONSTHEORIE Aufgabe Wr betrachten das folgende Zufallsexperment: Ene fare Münze wrd so lange geworfen, bs erstmals Kopf erschent. De Zufallsvarable X bezechne de Anzahl der dazu notwendgen

Mehr

Metrische Untersuchung der Wiederverwendung im Content Management. Statische Kennzahlen in der Technischen Redaktion

Metrische Untersuchung der Wiederverwendung im Content Management. Statische Kennzahlen in der Technischen Redaktion Metrsche Untersuchung der Wederverwendung m Content Management Statsche Kennzahlen n der Technschen Redaton W. Zegler 1 [Stand: 14. September 2008] De Enführung von Content Management (CM) Methoden und

Mehr

12 UMPU Tests ( UMP unbiased )

12 UMPU Tests ( UMP unbiased ) 89 1 UMPU Tests ( UMP unbased ) Nach Bemerkung 11.8(b) exstert m Allgemenen ken zwesetger UMP- Test zu enem Nveau α. Deshalb Enschränkung auf unverfälschte Tests: ϕ Φ α heßt unverfälscht (unbased) zum

Mehr

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe Portfolothore (Markowtz) Separatonstheore (Tobn) Kaptaarkttheore (Sharpe Ene Enführung n das Werk von dre Nobelpresträgern zu ene Thea U3L-Vorlesung R.H. Schdt, 3.12.2015 Wozu braucht an Theoren oder Modelle?

Mehr