Graphen, Algorithmen und Diskrete Optimierung

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1 Graphen, Algorthmen und Dsrete Optmerung. Relatonen und Graphen De Graphentheore st en wchtges Telgebet der dsreten Mathemat. Ihr Geburtsahr lässt sch zemlch genau mt 76 dateren, als Euler en Problem aus der Graphentheore löste, das heute das Köngsberger Brücenproblem genannt wrd: Kann man enen Rundgang durch Köngsberg so anlegen, war dabe de Frage, dass man dabe ede der 7 Brücen über de Pregel genau enmal passert? Festland Graph dazu: Insel Insel Pregel (Fluß) Festland Brücen Werden de Gebete, welche durch den Fluß begrenzt werden, durch Knoten und de Zugänge über de Brücen durch Kanten, erhält dabe den rechtsstehenden Graphen, für den Euler zegen onnte, dass für hn das, was man heute als Eulertour bezechnet (nämlch ene geschlossene Kantenfolge, n der ede Kante genau enmal orommt), ncht möglch st. Obger Graph st berets en sehr allgemener Typ on Graphen ndem es für hn auch Mehrfachanten gbt, während wr es m folgenden nur mt Graphen zu tun haben werden, n denen es zwschen zwe Knoten höchstens ene Kante gbt. De on uns gegebene Defnton enes Graphen wrd daher der Enfachhet halber auch nur desen Fall abdecen. Für uns st nachfolgend en Graph nchts anderes als ene Menge V (deren Elemente dann de Knoten des Graphen snd), auf welcher ene Relaton E defnert st, de angbt, welche Knotenpaare durch genau ene (.allg. gerchtete, d.h., es ommt auf de Rehenfolge der Knoten an!) Kante erbunden snd. Unter ener Relaton R auf ener Menge M ersteht man dabe allgemen ene belebge (e. auch leere!) Telmenge on M M:={ ( x, y) x M, y M}. Glt dabe (x,y) R, wofür man oft auch urz x R y schrebt, so sagt man, x stehe n Relaton mt y (bez. R). Ähnlch we Operatonen haben de n der Mathemat und den Anwendungen betrachteten Relatonen R oft noch ene Fülle on weteren Egenschaften. Enge besonders wchtge daon snd ( = für alle ): Reflextät: x R x x M Irreflextät: x R y x y x, y M

2 Symmetre: x R y y R x x, y M. Antsymmetre: x R y y R x x = y x, y M. Transttät: x R y y R z x R z x, y, z M. Ene Relaton R auf M heßt dann ene Äqualenzrelaton auf M, wenn se reflex, symmetrsch und transt st, und ene Ordungsrelaton auf M, wenn se reflex, antsymmetrsch und transt st. In letzerem Falle nmmt man für R oft das Symbol und (M, ) wrd dann auch ene geordnete Menge genannt. Ist R spezell ene Äqualenzrelaton, so ann man für edes a :={ x M x R a} [ ] R a M de Telmenge betrachten, welche auch Äqualenzlasse on a genannt wrd. Ist R om Kontext her lar orgegeben, so wrd der Index R auch oft weggelassen, d.h. man schrebt nur [a] oder manchmal auch a für de Äqualenzlasse on a. Ist R ene Aqualenzrelaton auf M, so bldet de Menge {[ a] a M} M / R : = R aller Äqualenzlassen ene sog. Partton oder Klassenentelung on M, d.h. es gelten folgende Egenschaften:. [ ] a M R a a!) a (es st a stets [ ] R a b a = b a,b M.. [ ] R [ ] R [ ] R [ ] R. U[ a] R = M. a M Wegen. legt also dann edes a M n höchstens ener Äqualenzlasse und wegen. n mndestens ener Äqualenzlasse, nsgesamt gesehen daher n genau ener Aqualenzlasse bez. R. Umgeehrt ann man eder Partton on M, d.h. eder Menge P={ M I} on nchtleeren Telmengen on M, welche paarwese elementfremd snd und deren Verengung M st, ene Äqualenzrelaton R P auf M zuordnen, welche defnert st durch x R y : I : x, y P M und dese Zuordnung P a R P st ene Beton zwschen den Parttonen und den Äqualenzrelatonen auf M. Wchtg st auch noch das Zusammenspel on auf M defnerten Relatonen mt dort eentuell defnerten bnären Operatonen. Ist dabe o ene bnäre Operaton auf M, so heßt ene Relaton R auf M erträglch mt o, falls glt Bespel.: a R b c R d ao c R bo d a, b,c,d. Ist m N ene fest gewählte natürlche Zahl, so wrd für alle a, b Z durch a b mod m : m a b (d.h. Z : m = a b )

3 offenschtlch ene Äqualenzrelaton auf Z erlärt, welche n obgem Snne mt den Operatonen + und auf Z erträglch st. Für de Äqualenzlasse [a] schrebt man dabe üblcherwese auch a mod m oder nur urz a.. Für ede Telmenge A der Menge R der reellen Zahlen st ferner (her n sener ursprünglchen Bedeutung!) ene Ordnungsrelaton, welche mt der gew. Addton + + erträglch st. Ist A R, d.h. enthält es ene negaten Zahlen, so glt auch de Verträglchet mt der gew. Multplaton. Dese Ordnungsrelaton hat überdes de spezelle Egenschaft, dass für belebge a, b A stets a b oder b a zutrfft. Ene Ordnungsrelaton mt deser Egenschaft nennt man auch total oder lnear.. Ist M ene belebge Menge und P(M) de Menge aller Telmengen on M, welche auch Potenzmenge on M genannt wrd, so ann auf P(M) durch A B : A st Telmenge on B (d.h. edes x A legt auch n B) ene Ordnungsrelaton engeführt werden, de sog. mengentheoretsche Inluson. Se st erträglch mt den Operatonen und auf P(M). En gerchteter Graph oder Dgraph (engl. drected graph) G st nun n sener allgemensten Form nchts anderes als en Paar (V,E), wobe V ene belebge Menge und E ene Relaton auf V st. De Elemente on V werden dabe Knoten (engl. ertces), de Elemente on E gerchtete Kanten (engl. edges) genannt. Für ene gerchtete Kante ( x, y) E wrd x der Anfangsnoten und y der Endnoten genannt und de beden Knoten heßen adazent (oder benachbart). Ist {,,..., } V = n endlch, was be den on uns betrachteten Anwendungen stets der a, de sog. Fall sen wrd, so ann de Relaton E auch durch ene Matrx A= ( ) Adazenzmatrx des Graphen, beschreben werden, für de glt a : =, falls (, ) E sonst Hat der Graph nur wenge Kanten, so egnet sch de Darstellung des Graphen mt Hlfe on sog. Adazenzlsten ( A ) allerdngs besser, wobe her V A für edes V de Menge bezechnet, welche genau de Knoten w enthält, für de (,w) E st. (In der Computerpraxs snd de A sog. erettete Lsten.) Endlche Dgraphen lassen sch auch graphsch sehr schön durch sog. (Pfel-) Dagramme eranschaulchen, ndem man de Elemente,,..., n durch glechnamge Punte der Ebene symbolsert und genau dann enen Pfel on nach zechnet, wenn (, ) E glt. Bespel.: Auf der Menge {,,,,, } V = se de Relaton 5 6 E = {(, ),(, ),(, ),(, 5 ),(, 5 ),( 5, 6 ),( 6, ),( 6, )} gegeben. Der gerchtete Graph ( V,E) ann dann etwa durch folgendes Dagramm eranschaulcht werden:

4 5 6 Und her noch de zugehörge Adazenzmatrx bzw. de Adazenzlsten: A= A A A A A A 6 5 = { = { } = {, } = { = { } } } = {, } De Anzahl der Pfele, welche für enen gegebenen Knoten V wegführen wrd der Weggrad on genannt,.z. d + (). Analog heßt de Anzahl der Pfele, welche zu hnführen der Hngrad on,.z. d + (). (In obgem Bespel wäre etwa d ( ) = und d ( ) =. ) Offenschtlch st d + () bzw. d () gerade de Anzahl der Ensen n der Zele bzw. Spalte on n der Adazenzmatrx A. Indem man nun de Anzahl der Ensen n der Adazenzmatrx A nsgesamt, welche a gerade de Kantenzahl E st, enmal zelenwese und enmal spaltenwese zählt, erhält man sofort Satz.: In edem gerchteten Graphen G=(V,E) st V d + () 5 6 = V d 5 () = d.h. de Summe aller Weg- bzw. Hngrade für den Graphen G st glech der Anzahl sener Bögen. Von den Anwendungen her gesehen blden ene Dgraphen (V,E) ene besonders wchtge Tellasse, für welche de Relaton E rreflex und symmetrsch st, und de man auch gewöhnlche oder ungerchtete Graphen nennt. (Man beachte, dass manche Autoren auch berets für enen gerchteten Graphen de Irreflextät on E fordern, d.h. sog. Schlngen ausschleßen.) Da es dabe auf Unterschedung der Rchtung nun ncht mehr anommt, faßt man mest e zwe gegenläufge Kanten (u,),(,u) E zu ener zusammen, welche mt {u,} bezechnet wrd. De Elemente on E werden nun enfach Kanten genannt. Be der Veranschaulchung durch en Dagramm wrd dabe für ede Kante { x, y} E statt den zwe Pfelen on x nach y bzw. on y nach x ene enfache Verbndungslne zwschen x und y gezogen. Gelegentlch st für enen (gerchteten oder ungerchteten) Graphen auch noch ene Funton w defnert, welche edem Bogen bzw. eder Kante ene reelle Zahl zuordnet, wobe dese on der Problemstellung her mest nchtnegat st. (Z.B. önnte dese E,

5 5 Bewertung für enen Graphen, welcher en Straßennetz repräsentert, de Längen bzw. de Transportosten für de Straßenstüce sen, welche de Knoten erbnden.) Man sprcht n desem Fall on bewerteten Graphen. Analog we für gerchtete Graphen defnert man den Grad d() enes Knotens V n enem ungerchteten Graphen G=(V,E) als de Anzahl der Kanten mt als enen Endnoten. Der.. entsprechende Satz lautet dann Satz. ( Handschlaglemma ): In edem ungerchteten Graphen G=(V,E) glt V d () = E, d.h. de Summe aller Grade des Graphen st glech der doppelten Anzahl sener Kanten. In enem Dgraph G=(V,E) heßt nun ede Folge... mt,,..., V und (, ),(, ),...,(, ) E ene (gerchtete) Kantenfolge. und heßen dann (durch de Kantenfolge) erbunden. De Zahl wrd dabe de Länge der Kantenfolge genannt. Ist dabe = so sprcht man on ener geschlossenen Kantenfolge, sonst on ener offenen. Ene Kantenfolge, n der ene Kante mehrfach orommt heßt auch Kantenzug. En Kantenzug..., n der darüber hnaus auch ene Knoten mehrfach orommen, heßt en Pfad und, falls des mt der enzgen Ausnahme = zutrfft, en Zylus. Exsteren n dem gerchteten Graphen G ene Zylen poster Länge, so heßt er azylsch. Alle zuor engeführten Begrffe lassen sch auch weder auf ungerchtete Graphen spezalseren, wodurch man nsbesondere de zu den Begrffen Pfad und Zylus analogen Begrffe Weg bzw. Kres erhält. Statt azylsch sagt man nun auch resfre. In ungerchteten Graphen (V,E) ann für alle a,b V a ~ b : a und b snd durch enen Weg erbunden ene Äqualenzrelaton defnert werden. De Klassen der zugehörgen Partton heßen de Zusammenhangsomponenten des Graphen. Bestzt der Graph nur ene Zusammenhangsomponente (d.h. snd e zwe sener Knoten erbunden), so heßt er zusammenhängend. Desen Zusammenhangsbegrff ann man n ganz analoger Wese auch gerchteten Graphen enführen, ndem man erlangt, dass a und b auf enem gerchteten Kres legen, was dann m Falle nur ener Zusammenhangsomponente auf sog. star zusammenhängende gerchtete Graphen führt. Für se st aber auch noch de Abschwächung sehr wchtg, be der man nur erlangt, dass der zugrundelegende ungerchtete Graph (sen sog. Schatten, der aus dem gerchteten Graphen m wesentlchen durch Weglassung der Kantenorenterung herorgeht, wobe dadurch entstehende Mehrfachanten bs auf genau ene gestrchen werden) zusammenhängend st. In desem Fall sprcht man on enem schwach zusammenhängenden Dgraphen. Ene geschlossener Kantenzug n enem (gerchteten oder ungerchteten) Graphen G, der ede Kante on G genau enmal enthält, wrd (we dann auch G selbst) eulersch genannt. Eulersche Graphen werden m wesentlchen charatersert durch Satz.5: Genau dann st en schwach zusammenhängender Dgraph eulersch, wenn für alle sene Knoten Weggrad und Hngrad überenstmmen. En ungerchteter zusammen-

6 6 hängender Graph st dagegen genau dann eulersch, wenn alle sene Knotengrade gerade snd. Zur Konstruton ener Eulertour bedent man sch des Algorthmus.6 (Herholzer): Se G en (gerchteter oder ungerchteter) Graph, welcher de Voraussetzungen des Satzes.5 erfüllt.. Dann erhält man auf folgende Wese ene Eulertour:. Wähle om enem belebgen Startnoten ausgehend suzesse Knoten,,... mt der Egenschaft, dass n der Kantenfolge... alle Kanten erscheden snd, bs ene Kantenfolge... errecht wrd, de ncht mehr n deser Wese fortsetzbar st und dann aufgrund der gemachten Voraussetzungen notwendgerwese geschlossen sen muss, d.h. es st =. Ist de so erhaltene Kantenfolge K berets en eulerscher Kres, dann STOP.. Wähle enen Knoten w = n K, der mt ener noch unbenutzten Kante nzdert und onstruere daon ausgehend so we n. enen wetere Kantenfolge K = w w..., de weder nur bsher unbenutzte Kanten erwendet und für de dann w m ebenfalls weder w m = w gelten muss. Mt Hlfe on K wrd nun K atualsert zu K... w...w m +... d.h. K wrd n K engebettet. Ist damt en eulerscher Kres errecht, dann STOP, ansonsten wrd. solange wederholt bs des der Fall st. In gewsser Wese das Gegenstüc zu Eulerschen Graphen snd Hamltonsche Graphen, welche dadurch defnert snd, dass es für se enen Zylus bzw. Kres gbt, der alle Knoten des Graphen genau enmal enthält. Leder ann man für se ncht ene ähnlch enfache Charaterserung angeben. Wr ommen nun zu dem sehr wchtgen Begrff enes Baumes, worunter man enen ungerchteten Graphen ersteht, welcher zusammenhängend und resfre st. Verlangt man dagegen nur de Kresfrehet, so erhält man den Oberbegrff enen sog. Waldes. Insbesondere snd also de Zusammenhangsomponenten enes Waldes stets Bäume. Bespel.7: Der durch das nachfolgende Dagramm gegebene ungerchtete Graph st en Wald mt zwe Bäumen: Bäume snd besonders struturerte Graphen, welche n elen Anwendungen ene wchtge Rolle spelen. Se lassen sch auf erscheden Wesen enfach charaterseren, we der folgende Satz zegt:

7 7 Satz.8: Für enen (ungerchteten) Graphen G=(V,E) mt n Knoten snd folgende Aussagen äqualent. () G st en Baum. () Je zwe Knoten on G snd durch genau enen Weg erbunden. () G st zusammenhängend, aber der Graph G e, der aus G durch Wegnahme ener belebgen Kante e E entsteht, st ncht mehr zusammenhängend. () G st zusammenhängend und hat genau n- Kanten. (5) G st resfre und hat genau n- Kanten. (6) G st resfre, aber der Graph G, w, welcher aus G entsteht, ndem man zwe ursprünglch ncht benachbarte Knoten, w V durch ene Kante erbndet, enthält genau enen nchttralen Kres. Ist G=(V,E) en ungerchteter Graph, so heßt G = (V, E ) en Telgraph on G, wenn glt V V und E E. Glt dabe nsbesondere V = V, so heßt G en spannender Telgraph on G. Ist ferner G zusammenhängend und G en spannender Telgraph, welcher en Baum st, so heßt G auch en Gerüst on G.. Enge Algorthmen der Graphentheore In elen Anwendungen st nun z.b. für enen zusammenhängenden ungerchteten Graphen mt ener Bewertung en Mnmalgerüst gesucht, d.h. en Gerüst, für welches de Summe aller Bewertungen sener Kanten mnmal st. (In obgem Bespel enes Straßennetzes sollten z.b. nach der Stlllegung on möglchsten Straßen doch alle Knoten erbunden bleben und de Summe der Dstanzen nsgesamt en Mnmum sen.) Der nachfolgende Algorthmus on Krusal st om Typ her en sog. Greedy- Algorthmus. Damt st gement, dass n den enzelnen Schrtten des Algorthmus mmer gerade das gemacht wrd, was m Moment das Beste zu sen schent ( den besten Happen zuerst ), um zu ener nsgesamt optmalen Lösung zu gelangen. Algorthmus. (Krusal) Se G=(V,E) en zusammenhängender Graph mt ener Bewertung w. Auf nachfolgende Wese erhält man dann für hn en Mnmalgerüst:. Sortere zunächst de Kantenmenge E = {e,e,...,e } so um, dass danach glt und setze zu Begnn w(e) w(e )... w(e B, M {{ } V},. De Elemente on M werden dabe m folgenden als Komponenten angesprochen. (Tatsächlch repräsenteren se de ewelgen Zusammenhangsomponenten bem suzessen Aufbau des Mnmalgerüsts B.). Füge de Kante e zu B dazu, d.h. B:= B {e }, falls de Endnoten on e n erschedenen Komponenten K, K on M legen und führe n desem Fall de Ersetzung m m )

8 8 M (M \ {,K }) {K K } K durch, d.h. de beden Komponenten K und K werden zu ener erschmolzen.. Ist M =, so stoppe das Verfahren mt der Ausgabe des Mnmalgerüsts B. Ansonsten setze + und fahre be. fort. Bespel.: f 5 5 d e 7 7 a b 6 c Für den obenstehenden zusammenhängenden Graphen soll en Mnmalgerüst onstruert werden. Wr ordnen zunächst de Kanten des Graphen nach wachsender Bewertung, d.h. {d,e},{b,d},{b,e},{a,b},{d,f},{e,f},{b,c},{c,e},{a,d} Be Durchführung des Algorthmus erhalten wr folgende Zwschenresultate. Komponentensystem M {{a},{b},{c},{d},{e},{f}} {{a},{b},{c},{d,e}.{f}} {{a},{b,d,e},{c},{f}} {{a,b,d,e},{c},{f}} {{a,b,d,e,f},{c}} Ausgewählte Kante {{a,b,c,d,e,f}} - De Menge der n deser Wese ausgewählten Kanten, nämlch blden dann en Mnmalgerüst. B={{d,e},{b,d},{a,b},{d,f},{b,c}}. {d,e} {b,d} {a,b} {d,f} {b,c} Ist G en (gerchteter oder ungerchteter) Graph mt ener reellen Bewertungsfunton w, so ann man allgemen eder (gerchten oder ungerchteten) Kantenfolge ene Bewertung zuwesen, ndem man de Bewertungen aller darn orommenden Kanten aufaddert. In deser Wese ann man dann auch e zwe Knoten a und b des Graphen enen Abstand d(a,b) zuwesen, nämlch als de lenste Bewertung aller Kantenfolgen, welche a und b erbnden. (Falls es ene Kantenfolge gbt, welche a und b erbndet, wrd d(a,b)= gesetzt.) Algorthmus.: (Dstra) Se G=(V,E) en (gerchteter oder ungerchteter) Graph mt ener nchtnegaten Bewertung w. Ist dann V en festgewählter Knoten, so ann

9 9 dann für eden Knoten V n folgender Wese der Abstand d():=d(, ), sowe ene Menge p() aller unmttelbaren Vorgänger (auf enem ürzesten Weg on nach ) berechnet werden: () Setze d( ), d() V \{ }, p():= V, sowe U V. () Falls U=, dann STOP, sonst weter mt (). () Fnde en u U für das d(u) mnmal st. Ist d(u)=, dann ebenfalls STOP. () Für alle U mt u E se d() mn{d(),d(u)+w(u)}. Zusätzlch wrd, falls der neue Wert on d() lener als der alte st, auch pred() atualsert: pred() {u}. (Ist man dabe ncht nur an enem, sondern an allen ürzesten Wegen on nach nteressert, so hätte man m Fall der Glechhet des alten und neuen Wertes de Ersetzung p() p() {u} orzunehmen.) (5) Setze U:=U\{u} und mach weter mt (). Nach Beendgung des Algorthmus ann man zu edem V, welches on überhaupt über enen Weg errechbar st, was sch n d()< ausdrüct, auch sofort enen ürzesten Weg... on nach = n der Wese angeben, ndem man ewels en p( ) n der Rehenfolge =,-,, auswählt. Ist n de Anzahl der Knoten des betrachteten Graphen, so ann man zegen, dass de Komplextät des Dstra-Algorthmus O (n ) beträgt, was bedeutet, dass der Rechenaufwand (gemessen an der Anzahl on gewssen Elementaroperatonen oder auch enfach an der Rechenzet) ncht stärer anwächst als de Funton Cn für ene gewsse reelle Konstante C>. Insbesondere handelt es sch dabe also um enen sog. Polynomalzetalgorthmus (d.h. de Komplextät st on der Form O (n ) für ene gewsse relle Konstante ), welche allgmen als gut angesehen werden. Mt dem glechem Auwand ann nsbesondere auch überprüfen, on en Knoten on überhaupt errechbar st, da nur n desem Fall d() enen endlchen Wert hat. Bespel.: Für den durch das nachstehende Dagramm gegebenen bewerteten gerchteten Graphen sollen alle Abstände zum Knoten a berechnet werden. = a 6 b 6 c 7 5 d 8 e f g

10 In nachfolgender Tabelle st de laufende Wertetabelle für de Abstandsfunton d und de ewelgen Vorgänger (wr wählen m Fall on Glechhet mmer nur enen und lassen daher de Klammern {} weg) bem Durchlaufen der enzelnen Iteratonen angegeben. Iteraton d(a) / p(a) d(b) / p(b) d(c) / p(c) d(d) / p(d) d(e) / p(e) d(f ) / p(f ) d(g) / p(g) / 6 / a / a 6 / a 7 / d / d / f 6 / f 6 / f / f 6 / f 5 / f 6 / g 6 / c De ewels n () getroffene Wahl wurde n obger Tabelle besonders herorgehoben. (De zugehörgen Knoten n der Indexspalte müssen dann n (5) aus U entfernt werden! ) De endgültge Belegung der Werte on d wrd dann durch de fettgedructen Zahlen n obger Tabelle angegeben, also a b c d e f g d() De n der Tabelle ebenfalls erfaßten unmttelbaren Vorgänger auf enem ürzesten Weg zum ewelgen Knoten ann nun dazu erwendet werden, um dese ürzesten Wege auf enfache Wese zu reonstrueren. Läßt man nämlch m obgen Graphen alle Kanten u weg, wo u (nach der letzten Iteraton) ncht Vorgänger on st, so erhält man folgendes Gerüst für unseren Graphen, aus welchen man de ürzesten Wege om Knoten a zu enem belebgen anderen Knoten unmttelbar ablesen ann: a b 5 c d e f g Wll man de ürzeste Dstanz zwschen zwe belebgen Knoten enes Graphen feststellen, so önnte man m Prnzp den Dstra-Algorthmus V -mal durchführen, ndem man enfach den Startnoten alle Knoten des Graphen durchlaufen läßt, was dann offenschtlch auf den Gesamtaufwand O( V ) führt. Von derselben Komplextät, aber n der Praxs dann doch schneller st der sog. Warshall- Floyd Algorthmus. Se dazu V= {,..., n} de Knotenmenge enes (gerchteten oder ungerchteten ) Graphen mt der Bewertung w und für edes {,..,n } se d de ürzeste Länge enes Weges zwschen und (),,=,..,n, ( ürzest weder n Hnblc auf de Bewertung), welcher nur Knoten aus der Menge {,..., } enthält.

11 Exstert überhaupt en derartger Weg, so setzen wr de reurse Bezehung d () ( ) ( ) ( ) = mn(d,d + d ),,,=,,n () d =. Offenschtlch glt dann d.h. wr müssen be Hnzunahme des Knotens edesmal prüfen, ob es gegenüber dem alten Weg ohne nun ncht ellecht enen ürzeren Weg gbt, der aber dann on nach und on weter nach laufen muss, wobe dese beden Telwege nur ewels Knoten aus {,..., } enthalten. Der nachfolgende Algorthmus war ursprünglch on Warshall nur dazu onzpert worden, um de sog. transte Hülle ener Relaton zu bestmmen (d.h. de lenste transte Relaton, welche de orgegebene Relaton umfasst), was dann den Spezalfall darstellt, wo alle Kanten mt dem glechen posten Wert (z.b. ) bewertet werden. Er wurde erst on Floyd auf de orlegende allgemenere Form gebracht. Algorthmus.5: (Warshall-Floyd) Se G = (V,E) en (gerchteter oder ungerchteter) Graph mt der Bewertung w und der Knotenmenge V= {,..., n}. Nach Durchlaufen des folgenden Algorthmus enthält dann d de Länge enes ürzesten Weges zwschen und,,=,,n, bezogen auf de Bewertung:. Setze zu Begnn für,=,,n. Für alle =,..., n für alle =,..., n für alle =,..., n falls d < d, w( ),, + d d setze d d + d, falls = falls falls E E Insbesondere önnen wr nach dem Durchlaufen des Algorthmus aus dem Erfülltsen der Bedngung d < weder ablesen, ob zwe Knoten und durch enen Weg erbunden snd oder ncht. Ferner önnen wr aus der Anzahl der Iteratonen n Schrtt, welche a n beträgt, schleßen, dass der Gesamtaufwand, we berets erwähnt, tatsächlch on der Ordnung O ( V ) st. En weterer wchtger Algorthmus, welcher on Ford stammt, befaßt sch mt der Berechnung on längsten Wegen n Netzplänen. Unter enem Netzplan ersteht man dabe enen azylschen gerchteten Graphen G mt ener reellen Bewertungsfunton w, wobe darüberhnaus gefordert wrd, dass en Knoten Q mt d (Q) = (ene sog. Quelle) + und en Knoten S mt d (S) = (ene sog. Sene) orlegt, und dass er darüberhnaus schwach zusammenhängend st, d.h. ohne Berücschtgung der Orenterung der Kanten gbt es stets enen (dann ungerchteten) Weg zwschen zwe erschedenen Knoten des Graphen.

12 In der sog. Netzplatztechn geht es dann darum, für eden Knoten des Netzplans den längsten Weg (weder m Snne der Bewertung) enes eden Knotens sowohl zur Quelle als auch zur Sene zu bestmmen. In den Anwendungen snd dann de Knoten des Netzplans gewsse Eregnsse (z.b. be enem Bauorhaben das Errechen on gewssen Staden der Fertgstellung), de Quelle st das Starteregns (z.b. Baubegnn) und de Sene das Zeleregns. Durch technologsche Vorgaben önnen gewsse Eregnsse oft erst nach anderen entreten, was sch m Graphen so ausdrüct, dass es on enem früheren Eregns E zu enem späteren Eregns F enen gerchteten Weg gbt, dessen Bögen alles Vorgänge snd, welche noch ablaufen müssen, beor das Eregns F entreten ann, wenn E schon engetreten st. Wr denen uns de Knoten enes Netzplans so on bs n durchnummerert, dass für eden Bogen der Anfangsnoten stets ene nedere Nummer als der Endnoten hat, was stets möglch st. Ene solche Nummererung heßt auch monoton oder aufstegend und mndestens ene solche exstert genau dann, wenn der Graph azylsch st Gewchtet man alle Kanten enes Netzplans mt (unabhängg on ener schon bestehenden Gewchtung), so heßt de größte Länge enes Wegs on der Quelle Q bs zu enem Knoten K der Rang on K,.Z. rg(k). Um dann ene monotone Nummererung der Knoten zu errechen, nummerert man de Knoten nach aufstegendem Rang durch, wobe es für Knoten mt glechem Rang de Rehenfolge bedeutungslos st. De Bestmmung der Ränge gescheht mt nachfolgendem Algorthmus. Algorthmus.6 (Ford). Se G en Netzplan mt der Knotenmenge V, der Bögenmenge E und der Quelle Q. Für alle Knoten V önnen dann de Ränge rg() folgendermaßen gefunden werden. () Man setze am Anfang rg()= für alle V. () Für alle Knoten V mt enem postem Hngrad ersetzte man n ener festen Rehenfolge rg() durch max { rg(u) (u, ) E} +. Ändert sch dabe ene der orläufgen Rangzahlen, so hat man damt de endgültgen Rangzahlen gefunden, ansonsten wrd () solange wederholt. Wr dürfen also nach ener eentuellen Durchführung des Fordschen Algorthmus oraussetzen, dass de Knoten des Netzplans mt den Zahlen,,,..,n monoton duchnummerert snd. Wenn de Bewertung d der gerchteten Kante on nach de Zetdauer darstellt, welche für den Vorgang, der durch den Bogen on nach dargestellt wrd, benötgt wrd, so snd dann für =,,,,n de Größen FT (=Frühestmöglcher Termn für das Entreten des Eregnsses ), ST (=Spätestmöglcher Termn für das Entreten des Eregnsses ) on großer Wchtget. Graphentheoretsch st dabe FT nchts anderes als de Länge enes m Snne deser Bewertung längsten Weges on nach und ST de Dfferenz FTn -(Länge enes längsten Wegs on nach n). Se önnen mt der sog. Crtcal Path Method (abg. CPM) folgendermaßen reurs berechnet werden:

13 Algorthmus.7 (CPM): bzw. (mt dem dann beannten FT =, FT = max{ FT + d (, ) E}, =,,,n FT n ) STn = FTn, ST = mn{ ST d (, ) E}, =n-,n-,,. Bespel.8: Durch das folgende Dagramm E/ F/ 6 Q/ S/5 G/ 7 H/ werde en Netzplan mt Quelle Q und Sene S dargestellt und den angeschrebenen Bewertungen dargestellt. De Rangzahlen der Knoten ergeben sch dann aufgrund on we n der letzten Zele angegeben, d.h. es st etwa Q E F Q, E, H, G, F, S 5 ene monotone Nummererung. Indem man eden Knoten mt deser Nummer dentfzert, erhält man nach obgem Algorthmus de Tabelle FT ST / Q / / E / E / Q / G / H / Q 7 / S G H / G 6 / E 6 / F S / F / G / S 5 /S / F / Her snd ähnlch we bem Dstra-Algorthmus zu allen Enträgen auch glech de Vorgänger bzw. Nachfolger mtermert worden, welchen zu den entsprechenden Maxma bzw. Mnma gemäß. geführt hatten In desem Bespel fallen FT und ST für alle Punte mt Ausnahme on H zusammen, d.h. für dese sog. rtschen Eregnsse gbt es enen Puffer (=zetlchen Spelraum),

14 wll man de Mndestgesamtdauer des Proets, nämlch FT 5 = (auch rt. Dauer genannt), ncht gefährden. Aus graphentheoretscher Scht müssen alle dese Knoten auf Wegen on maxmaler Länge on der Quelle bs zur Sene, auch rtsche Pfade (engl. crtcal paths) genannt, legen. In obgem Bespel gbt es nur enen rtschen Pfad, nämlch de Kantenfolge QEGFS, welche daher auch alle rtschen Eregnsse enthält. Zur Reonstruton müssen enfach nur de nolerten Knoten, nämlch Q,E,G,F,S, welche den rtschen Erregnssen entsprechen, mt hren Vorgängernoten (oder alternat Nachfolgernoten) erbunden werden, welche n der Tabelle egens für desen Zwec ermert wurden.. Enge Bemerungen zu allgemenen Klassfatonen on Algorthmen Abschleßend wollen wr noch enge allgemene Klassfatonen on Algorthmen nach erschedenen Geschtspunten ornehmen. En erster wchtger Geschtspunt st dabe de Komplextät enes Algorthmus, d.h., es geht her um de Frage, we der Aufwand zur Lösung enes Problems (gewöhnlch gemessen an der Rechenzet oder der Anzahl on Elementaroperatonen, manchmal auch am Specherplatzbedarf) mt der Größe des Engangsparameters des Problems wächst. Im Falle des Dstra-Algorthmus hatten wr z.b. den Rechenaufwand T(n) durch T(n)=O(n ) abschätzen önnen, wobe n de Anzahl der Knoten des Graphen bedeutet. Er gehört damt zu den sog. Polynomalzetalgorthmen, für welche allgemener ene Aufwandsabschätzung der Form T(n) = O(n ) mt ener posten reellen Zahl glt. Sehr oft besteht n der Praxs der Algorthmus darn, enen sog. Suchbaum zu durchforsten, wobe de Lösungen unter den Blättern (=Endnoten om Grad ) zu suchen snd und de Bearbetung enes enzelnen Pfades on der Wurzel zu enem der Blätter n Polynomalzet möglch st. Dabe st n der Regel ncht on ornheren determnert st, welcher Pfad denn nun der rchtge st, weshalb man daher n desem Fall auch on enem sog. Nchtdetermnstschen Polynomalzetalgorthmus sprcht. Versucht man aber das Problem dadurch zu lösen, ndem man alle möglchen Pfade on der Wurzel zu den Blättern untersucht, zu gelangt man gewöhnlch zu enem exponentellen Laufzeterhalten T(n) = O(a n ) mt enem reellen a>, was dann nur für relat lene n wrlch durchführbar st. Be der pratschen Durchführung der Suche nach Lösungen gbt es prnzpell zwe erschedene Suchmethoden, de sog. Tefensuche (engl. Depth Frst Search oder urz DFS) und de sog. Bretensuche (engl. Breadth Frst Search oder urz BFS). Be der Tefensuche geht man on der Wurzel ausgehend und be den Knoten ewels de erste noch ncht abgearbetete Verzwegung nehmend solange n de Tefe, bs man auf en Blatt des Baumes stößt. Ist deses ene Lösung des Problems, so geht man m Zuge des Bactracng zum letzten Knoten zurüc, welcher noch ncht abgearbetete Söhne (bzw. Nachbarn) bestzt und nmmt de nächste Verzwegung. In deser Wese fortfahrend ann man manchmal sehr schnell auf ene Lösung ommen, aber m worst case st der Aufwand n der Regel exponentell. Be der Bretensuche werden dagegen laufend Knoten ener (anfangs leeren) Warteschlange W hnzugefügt (begnnend mt der Wurzel des Baumes). In edem Schrtt wrd dann der ewels erste Knoten der Warteschlange nach ener problemspezfschen Behandlung gestrchen und sene eentuelle Söhne (bzw. Nachbarn) n de

15 5 Warteschlange hnten engereht. Ist de Warteschlange leer, so st man alle Knoten des Baumes durchgegangen. Bede Verfahren, de Tefen- und de Bretensuche, lassen sch als erschedene Methoden der Durchnummererung on Knoten enes Graphen ansehen, welche dann ewels de Rehenfolge orgbt, n der de Knoten zur Lösung enes spezfschen Problems abgearbetet werden, z.b Durchnummererung be Tefensuche Durchnummererung be Bretensuche In gewsser Wese ene Kombnaton aus Tefensuche und Bretensuche snd sog. Branch and Bound Algorthmen. Se werden be der Lösung on Optmerungserfahren engesetzt, be denen ene anderen effzenten Verfahren beannt snd, we z.b. bem sog. Problem des Handlungsresenden (engl. Traelng salesman problem oder urz TSP), wo es darum geht, für enen bewerteten Graphen, für den es ene Hamltontour gbt, de ürzeste derartge Tour zu bestmmen. Be Branch and Bound Algorthmen muss es möglch sen, für eden Knoten Schranen (engl. bounds) anzugeben, welche be Verollständgung on der durch eden Knoten gegeben partellen Lösung (z.b. be TSP de Länge des Weges durch alle bs dahn besuchten Städte) zu ener ollständgen Lösung ncht unterschrtten werden önnen. Be TSP önnte man enen Bound z.b. folgendermaßen gewnnen: Man bldet zunächst aus der Dstanzmatrx D=( d ) der n Städte de sog. zelenreduzerte Matrx D = (d ), ndem man on allen Elementen ener eden Zele hr Mnmum abzeht und danach n öllg analoger Wese D de spaltenreduzerte Matrx D = (d ), ndem man de gleche Prozedur spaltenwese durchführt. De Gesamtsumme der Zelen- und Spaltenmnma wäre dann en Bound für das TSP, der ncht unterschrtten werden ann. Be der pratschen Durchführung wrd nun en Pfad n dem Suchbaum bs zu ener ollständgen Lösung erfolgt, wobe ewels de Abzwegungen m Suchbaum genommen werden, de zu Knoten mt mnmalem Bound führen, was ener Tefensuche entsprcht. Anschleßend müssen dann nur noch ene Knoten abgearbetet werden, welche enen leneren Bound als de schon gefundene ollständge Lösung haben, wobe de Abarbetung der noch n Frage ommenden Knoten we be ener Bretensuche gescheht. In öllg analoger Wese önnen damt natürlch auch Maxmerungsprobleme behandelt werden. Abschleßend noch ene Präzserung des Begrffs Greedy-Algorthmus, dem wr m Zusammenhang mt dem Krusal Algorthmus schon begegnet snd. (Aber auch der Dstra-Algorthmus entpuppt sch be genauerer Betrachtung als solcher!) We nachstehend ausgeführt, führt en solcher Greedy-Ansatz genau dann zum Erfolg, wenn de Aufgabenstellung so nterpretert werden ann, dass optmale Lösungen n

16 6 enem sog. Matrod gefunden werden müssen. Um genauer darauf engehen zu önnen benötgen wr weder enge Begrffe. Se dazu E ene endlche Menge und U ene nchtleere Menge on Telmengen on E. (E,U) heßt dann en Telmengensystem, wenn glt A B, B U A U. Glt darüber hnaus de sog. Austauschegenschaft A, B U, A < B x B \ A: A {x} U so sprcht man on enem Matrod. Ist ferner für en Telmengensystem (E,U) ene Gewchtsfunton w: E R orgegeben, so st dann das zugehörge Optmmerungsproblem de Frage nach ener n U bez. maxmalen Telmenge T, für welche das Gesamtgewcht w (T) = e E w(e) en Maxmum (oder auch en Mnmum, e nach Aufgabenstellung) st. Bem anonschen Greedy-Algorthmus würde man dann n Analoge zu. so orgehen, dass man de Elemente on E nach abstegendem (bzw. für en Mnmum nach abstegendem) Gewcht sortert und zu ener anfänglch leeren Menge A n deser Rehenfolge Elemente e E dazugbt genau dann, wenn für se E {e} U glt. De so erhaltene Menge A wrd edoch m allgemenen ncht optmal sen. Es glt edoch der grundlegende Satz.: Se (E,U) en Telmengensystem. Der anonsche Greedy-Algorthmus lefert für das zugehörge Optmerungsproblem ganau dann für ede Gewchtsfunton w: E R ene optmale Lösung, wenn (E,U) en Matrod st. Zur Illustraton abschleßend noch en weteres Bespel für enen Greedy-Algorthmus, nämlch zum Thema Auftragsplanung mt Schlußtermnen. Se dazu ene Menge on n Aufträgen gegeben, de wr der Enfachhet halber mt,,n bezechen. Jedem Auftrag st dabe en Schlußtermn d N und en Gewnn p R + zugeordnet. De Aufträge werden dabe auf ener Maschne, de pro Zetenhet genau enen Auftrag durchführen ann. Ene Telmenge A {,...,n } on Aufträgen wollen wr dabe zulässg nennen, falls es für A ene Anordnung,,..., hrer Elemente gbt, sodass d, d,..., d, d.h. wenn eder Auftrag on A or senem Schlußtermn erledgt werden ann. Natürlch snd wr n erster Lne an enen zulässgen Telmengen A nteressert, für welche der Gesamtgewnn maxmert wrd. De Menge E={,,,n} bldet dann zusammen mt der Menge U der n obgem Snne zulässgen Telmengen on E offenschtlch en Matrod, sodass also en Greedy-Algorthmus zum Erfolg führen sollte. Deser ann her we folgt beschreben werden: Algorthmus.: Mt den oben engeführten Bezechnungen erhält man auf folgende Wese ene Telmenge A {,...,n }, für welche der Gewnn maxmal st:

17 7. Nummerere zu Begnn, sowet des erforderlch st, de Aufträge so um, dass danach glt p p K und setze A und. p n. Ist A {} ene zulässge Lösung, so setze A A {}.. Setzte +. Falls >n, dann STOP, sonst fahre mt. fort.