4 VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR. Aufgaben zur Analysis 5 Golden-Gae-Bridge. Dadurch läss sichdie Symmerie der Brücke ausnuzen.. a) Anach B: Ansaz: y=m x+b liefer LGS: m ( 4) + b = 5 m ( 977) + b =. 5 Lösung: m = ; b 44, 7 5 y = (x + 977) 7 b) B über Cnach D: Ansaz: y = a x 9 5 9 x 5 a 4 = 5 a = y = c) Analog zu a): 5 7 y = (x 977) Für x gil: k(x) Symmerie zur y-achse Keine Nullselle Tiefpunk ( ) keine Wendepunke
5 5. Forsezung x x f(x) = e e x x f (x) e e = + Mansieh, dass weder fnoch f Nullsellenhaben, aber f eine Nullselle bei x=ha..4 Der Ansaz: ax ax = + liefer y e e,787x,787x y = e + e Die Keenlinie häng särker durch, die Parabel schein besser geeigne. 4 L = + dx =,m 5 9x.5 ( ) 4 ( (,787x,787x L ) = +,787 e e ) dx =,m 5 Wachsum von Hopfen. Die Wachsumsgeschwindigkei is proporional zum Absand zwischender erreichen und maximal möglichenhöhe (Obergrenze). Es ergib sichdie DGL: k h() = k ( h()) h() = c e Aus h() =,45 folg c=5,55; ferner erhäl mank=,4 (logarihmische Aufragung). Man sieh, dass die Näherung nich gu is.
5. Die Wachsumsgeschwindigkei is zur erreichenhöhe und zum Absand zwischen der erreichenhöhe und der Obergrenze proporional. h() = k h() h() DGL: ( ) e e e e + h() = ( e + ) ( ) erweiernauf e e e ausklammern von e + ( ) e e + + = e e = e + e + ( ) = h() h(). Verhalenfür bzw. lim h() =, lim h() = Nullsellen h() = e = keine Lösung hbesiz keinenullselle Exrempunke h() = e = keine Lösung hbesiz keine Exremsellen Wendepunke ( 8 e e ) ( ) h() = = liefer Wendepunk W( ln () ) e + Die Wachsumsgeschwindigkei is beihalberhöhe maximal. Der Vergleich der beidenwachsumsmodelle zeig sehr deulich, dass der Prozess mi demlogisischenwachsum besser modellier werden kann.
7 5.4 Behaupung: Graph is symmerisch zumwendepunk. Dazuverschieb man denwendepunk in denursprung: + ( ) + ln() ( ) ln() e e e e e = = = = = e e e e e + + + + + h () Zu zeigen: h ( ) = h () e e h () e + + e e e = e + + e = = h ( ) = = h (x).5 Sammfunkionzug() = h() G() = ln ( + e ) ( ) = ( ) h() d lim h() d b b b ( ) b = lim ln+ e = ln Ganzraionale Funkionen 4.Gradesbesimmen 4. f(x) = ax + bx + c f(x) = 4ax + bx f(x) = ax + b Es gil: () f() = a+ b+ c= () f( )= 9a + b + c= () f ( ) = a+ b= a +b= Darauserhäl man b= a, c=5aund a= 4, 5 4 4 also a =, b =, c= 4 5 4 4 f(x) = x x +. 5 5 f(x) dx = ;d.h.die orienieren Flächen heben sich auf.
8 5. f(x) = 4x x = x =,x=, x = Tiefpunke: T( k 9 ),T( k 9) Fürk=9berühren die Tiefpunke die x- Achse..4 Keine Lösungen für k>9. 4 Ganzraionale Funkion 4.Gradesunersuchen 4. ()Definiionsmenge und Weremenge D = V; W = V+ () Symmerie Achsensymmerie zur y-achse () Nullsellenund Schnipunke mi der y-achse f(x) = x = x = jeweilsdoppel. Schnipunk mi der y-achse: f() =;dami S( ) (4) Exrempunke f(x) = x x Löse f(x) = x = x = x = f (x) = x ( ) = ( ) = > ( ) ( ) f f 4 Tiefpunke T ;T f () = < Hochpunk H( ) (5) Wendepunke Löse f (x) = x = x = Wendepunke bei W 4 4 ( ); W( ) 9 9 4. A = ( 9 f(x) ) x 5 5 A(x) = 9x x f(x) = x + x + 8x Exremwer von A 5 4 = + = für x= 4 ( = ) A(x) 8 x x x= ( A( ) = 8) A() 8 und Das Dreieck ABC mi A( 9), B( ) und C( ) ha maximalen Flächeninhal A=.
9 5 4. 4 x x + = x 4 4 4 5 4 4 x x + = fürx=,x=, x=, x= 4 5 4 4 A = x x + dx = 4.4 4 5 4 4 x x + c= 4 x 5x + 4 4c = 5 5 / 4 x =+ ± 4+ 4c 5 4 9 4+ 4c= c = Die Gleichungder Parabel laue 9 4 y = x. 5 5 Vom Graphen zumfunkionserm 5. Der Graph jeder Funkionder Schar k is punksymmerischzum Ursprung, d.h.die Summanden der ganzraionalenfunkionenhaben nur ungerade Exponenen. Die Nullselle x=haben alle Funkionsgraphenvon f k gemeinsam. Es gib je einenhochpunk undeinen Tiefpunk. Für x + gil k f(x) k +. Der Koeffiziender größenpoenzis negaiv. Der Ursprung is Wendepunk von f k. Die Gerade mi der Gleichung y=xis Tangene imwendepunk. 5. Ansaz: f(x) k = ax + bx Aus f() = folg b=. k k Aus f(k) k = ak + k = folg a = k Also gil: f(x) k = x + x für k.
5 5. k ( ) k k x f x =, also x + = fürk = x ( ) y = f x = x + x = x + x = x Die Exrempunke von f liegenauf der Geraden mi der Gleichung y = x. k 5.4 Jede Funkion f k ha den Grad drei. k Im Fall k gil und somi f(x) k x. k k 4 5.5 Ak = f k(x)dx x x = + = k 4k Sraßenverlauf. Es muss überprüf werden, ob sich die beidengeradenuner einemwinkel vonewa 5 schneiden. m m 4 + m m Es gil Bedingungen: = an(5 ). f( ) = f() =, f( ) = und f() =. Der Graphvon fmussachsensymmerisch zur y-achse sein. Dannmüssen nur noch drei Bedingungen erfüll werden. Wähle also 4 f(x) = ax + bx + c Besimmenvon f(x): 4 a + b + c = Lösen des Gleichungssysems 4a + b = liefer a + b = 4 a =, b = und c =, also gil f(x) = x + x +. 8 8 8 8 7 Enwicklung eines Pkw-Besandes 7. Die Kurve schein s-förmig zu verlaufen. Daher kann man sich für logisisches Wachsum enscheiden. c f(x) = bx + ae Regression mi dem Rechner liefer a 9,, b,7, c 5,7. 5,7 f(x) =,7 x + 9, e
5 7. Erwareer Pkw-Besand imjahr : 5,7 4, (in Millionen),7 7 + 9, e Der Ansaz f(x) =,5 f(x) liefer x 79,7.Also lieg der jährliche prozenuale Zuwachs ewa ab dem Jahr 9 uner,5 %. 54 8 Wachsum von Salmonellen 8.,5 F() = e +,5 F() = e +,5 F() = e +,5 allgemein gil: F() = e + c, c V F() gib dabei die Anzahl der Salmonellenzum Zeipunk insunden an. 8. Es is F() =. Also is,5 F() = e die gesuche Sammfunkion. 8. nach min 5 5 5 F() 79 9 8 7 94 8.4 = ln = ln,8 h 7 min k 5 9 Torbogen mi Funkionsgraphen beschreiben 9. Hochpunk von fbeix= der innere Bogen haeine Höhe von f() =m. 9. g(x) = x + 4 9. Berechne mi dem GTR im Trace-Modus die Nullselle von f.,57 9.4 ( ( x x) ) ( ) A = x + 4 5 e e dx + x + 4 dx 4,4,57
54 Inensivierung in der Landwirschaf. Die errechneen Were weichen nur minimal von den Messweren ab.. Exrempunke f(r) = r + r + 5 5 5 5 f(r) = r = 5 ± ( ) Hochpunk H 5+ 5 + 5 7 ( ) Tiefpunk T 5 5 5 7 Wendepunk f (r) = r = 5 Wendepunk bei W(5 ). Eine Erhöhungder Düngemenge wirk sich negaiv aufden Erragaus. Beim Hochpunk f(,8) 77,8is der maximale Erneerrag mi ewa 78 d pro haerreich. Durchzuviel Dünger kann der Bodennacheiligveränderwerden, sodass sich dies negaiv aufdie Pflanzen auswirk.. Aufgaben zur Analyischen Geomerie 55 Werksück. a) G(5 9 8) b) Berechne denschniwinkelder Ebenen durch ABE und EFG: 5 n = ; n = 5 n n 5 cos ϕ = = ϕ =,8 n n 7
55. a) F(9 5 ), E( ), G(5 9 ), H( ) b) c) ### ### 4 ### ### 5 BC 4 AD: 4 = AB = DC 5 = = 4. AbsandMund F G: 4 5 9 d = 4 5 5,88 AbsandMund F E: 5 9 d = 5 5 5, 4 4 AbsandMund G H: 5 5 5 d = 5 9, 4 4 AbsandMund E H: 5 d 4 = 5,88 7 Die Wandsärke zwischenbohrloch und den Seienflächen beräg also für FG,88 cm, für EH,88 cm, für FE,4 cm, für GH,4 cm.
4 55 Turm mi Weerfahne. a) ### #### b) Winkel zwischen AD und AD : 4 4 cosϕ = =,9 ϕ = 4,9 4 4 4
5 55. Augen des Beobachers bei (,8) Gerade durch Qund Augen: g: x = + 5,8, 4 Gerade durch B und C: h: x = + s 8 Absandsvekor dder beiden Geraden gund h: 4 d = + 5 s,8, 8! 4! d 5 =, d =,,489, s,89, 44 d =,59,5 d zeig vomturmweg, also kannder Beobacher die Weerfahne sehen.. Mielpunk der Srecke PQ : #### ### ### ### ### ### OM = OP + ( OQ OP) = OP + = OP + = 5 4 Absand von Rzur Srecke PQ : ### 5 OR = 5 4 Gerade durch MinWindrichung: g: x = 5 + s 4 R lieg auf der Geraden g, der Absand zu Mberäg 5 :! 5 + s 5 = 5 4 4 s= #### OR = 5 + =, also R( 4). 4 4
5 Flugsimulaion. a) Fehler in der. Auflage: Die Koordinaenvon Cmüssen( ) sein. 9 g:x = + + = 9 Nach Zeieinheien ha F denpunk (9 9 ) erreich. Der Punk P( ) lieg nich auf der Geraden g,daher flieg F nich durch diesen Punk. Die Gleichung = + ha die Lösung =. F sare zum Zeipunk =, es flieg nur durch Punke auf g mi posiivem Parameer. b) ( ) ( ) ( ) + + = 4 = 9 g schneide E, g geh nach 9Zeieinheiendurch E. Berechnung des Schniwinkels: sinϕ = sin ϕ = ϕ= 9
7 5. a) g :x = + s + = + s hakeine Lösung, g und g haben also keinen gemeinsamenpunk. b) Absand der Geraden g und g : Hilfslinie E,dieg enhäl und parallel zu g is: E:x = + + Normalenvekor von E:n = Logerade gdurch A zue : g: x = + s Lofußpunk: F( ) Abs ( g;g ) = Abs ( g ; E) = Abs ( A ; E) #### = AF = + ( ) + ( ) = Der Absand zwischen g und g beräg also Längeneinheien.
8 5. b) Forsezung Besimmendes Punkesauf g, dem F bei seiner Bewegung am nächsenkomm: + + r = + s Lösendes zugehörigengleichungssysems ergib =9,r= und s=. 4 + = 4 4 Der Punk auf g, dem F beiseiner Bewegungamnächsen komm, ha also die Koordinaen(4 4 4). F g nach 9Zeieinheien am nächsen. A;A = ###### AA = = 4, Nach Zeieinheien befinden sich F und F in den Punken C( 7 4) und C ( ).. a) Abs ( ) ###### Abs ( C;C ) = CC = 5 = 7 5, Besimmendes Zeipunkes, zudem sich F und F am nächsen kommen: + d() = = + + d() = =, 5 4 +,5,5 4+ d() = = 9, b) Nach 9, Zeieinheienis der Absand der beidenflugobjeke am kleinsen. Danach nimm der Absand seig zu und is daher zueinem Zeipunk wieder so groß wie zu Beginn.
9 4 Ebene und Geradenschnur 5 4. a) b) g: 4 x = 8 4 4 +8 8 +=8 8 = 8 Lofußpunk: ( 4 8 F ) 8 8 8 ### Abs (O; E)=Abs (O; F)= 8 OF = 9 4 h: x = 5+ s 8 4 ( +4s) +8 (5 +8s) ++s=8 s= Schnipunk von hmi E: S( 4) c) 4 5 5 4 8 = 7 P*( 5 7 )
5 a 4. a) g a:x = + = + a + 8a 4 8 4 Umformen in die Koordinaenformliefer g a: 4x + 8x + x = 8 b) h: x = + s 8 Der Schniwinkel häng nur von den Richungsvekoren der beiden Geraden ab. Diese sind konsan. 4 8 4 8 cosα = α 4. a) Gleichung einer Ebene, die Penhäl und orhogonal zu g is: E:x = 5+ r + s 4 gleichsezen mi g liefer r=,5, s=, =,5. ### OP = 5 7 =, d. h. P( )
5 a 4. b) = + =und a=,5 4 8a 4 c) Besimmendes Absandsvon g und g,5 mi einer Hilfsebene: E:x = + r + s 4 4 Schnipunk von g und E: ( 4,5,5 ) 4,5 5,5 g;g =,5 =,5 = 4,5, 4 Abs (,5 ) #### ###### ### 7 d) PP * =, P*P = 5, PP = 7 4 4 #### ###### PP * P*P = ( ) ( ) + ( ) 5 + ( 4) 4 = Ja, das Dreieck ha einen rechen Winkel impunk P*. 57 5 Radarsaion 5. a) s v = 9 4 s = 54 99 = 5, =5min 7 7 5 km 5 v = = km 54, km 5 min 5 h h 9 b) Gerade durch F und F:g: x = 54+ s 9 7 s=ensprich Minue Berechnung des erreichen Punkes nach 4Minuen: 9 5 54+ 4 9,8 = 8 7 7 Absand zur Radarsaion: 5 5 8 = 7 = 87 89,84 km 7
57 5. Die Flugbahn kann durch die Gerade gbeschrieben werden. 9 g: x = 54 + s 9 7 Absand des Punkes P( ) von gbesimmen: ## 7 PF = 5 + s 9 ## = PF 9 8s 574 = s = 7,7 Absand: 7, 7 km Um 8:44 Uhrenfernsichdas Flugzeug vonder Radarsaion. Es ha zudiesem Zeipunk eine Enfernung von ewa,7 km von der Saion. 4 5. Gerade durch G und G : g: x = 7 + 7 Bei =,5 wird die Höhe von merreich. =ensprich Minuen. =,5 ensprich 5Minuen. Wenn das Flugzeug mi der Geschwindigkei von 9:5 Uhr weier flieg, kann es den Flugplaz frühesens um9: Uhr erreichen. Planung einer Grillhüe 4. E: x = + r 7, + s 8 bzw. x 5x + 8x =, 5,5 5 ### ### AB AC Winkel zwischen AB und AC: cos α = ### ###,778, AB AC also α 44,9. 4 Absand von D( 8 )von E: d =,4 89 Der Absand des Fußpunkes vom Dach beräg ca.,4 m.
57 4 4. Gerade gdurch die PunkeBund C: x = 7, + k,8,75 5,5 P( p p 4,) lieg auf g,d.h. x =,75+ 5,5 k = 4,, also k=,7 und P(, 7,7 4,). Q q q 4, gil: Für ( ) Qlieg ine,also q 5q + 8 4, = () ### QP =, also q,4q + q 5,5q +,57 = () Aus () und () erhäl man die Lösungen q,75; q,87 oder q,5; q 8,5. Da der x -Wer vonqkleiner sein muss alsder x -Wer von P,is Q(,75,87 4,) der gesuche Punk.. Sis ein Punk der Geraden hdurch Aund C: x = + 8., 5 5 Somi S( 8,5 +5). ### ### 4 4 Bedingung: AB BS =, also 7, 8 7, =,5 5 +,5 bzw. 55, 8,9 =, somi,4 und S( 9,89 7,4).4 Das Volumen der Grillhüe is größer als das Volumen einer dreiseiigen Pyramide, deren Grundfläche die Eckpunke B, B( 4 7,,75) und Cha und deren Spize in Alieg. Grundfläche dieser Pyramide: ### #### G = BC BB ( BC BB ), Die Pyramidenhöhe ensprich dem Absand von Azuder Grundflächenebene, also h=8. Volumen der Pyramide: V = G h 59, Das Volumen der Grillhüe is also größer als 59 m und somi auf jeden Fall genehmigungspflichig.
4. Aufgaben zumarizen 58 Managemen mi Marizen 5 4, 4,8,. M + M =,,9, 4,4), 5, 4,8 7,8, ) DasElemen in der i-en Zeile und j-en Spale beschreib die Summe der Verkaufszahlen desi-en Produkes im j-enbundesland fürdie ersen Jahre. Die zweie Spale gib die Verkaufszahlen fürbayernan.. M M =,,9, 4,),, ) DasElemen in der i-en Zeile und j-en Spale beschreib die Veränderung der Verkaufszahlendes i-enbundesland vom.jahr zum. Jahr. Die zweie Zeile gibdie Veränderung fürproduk Ban.,5,4,7,84. M, M =,,,8,94,88),,5,8, 4,8 ).4 Produk AinHessen: Seigerung: % Produk CinBayern: Seigerung: % 7; 9; M 5; 4; 89 M.5 ( ) ( ) = ( 5558; 9847; 484; 985) Populaionsenwicklung,5. Übergangsmarix T =,,8 ),,95 ) e J Populaion =, ) 5e e p M = P T p, ) A. Korrekur an der Aufgabensellung(in. Auflage): alle zwei Jahre zyklisch wiederholen. Wegen T = T folg die Behaupung, d.h. esgil: e e e T p = T p = p.
5 58 Spiegelung und Drehung im Raum ###. Mielpunk von PQ: #### ### ### OM = ( OP + OQ) = M( ) Ebene durch Mmi Normalenvekor n = PQ: ### E: x =.. s * = s( 4+) = s = gil für alle s V glieg in E. gschneide E orhogonal is Normalenvekor von E. 7 Plieg auf E* *x * = also E : *x 8 = ### OS = v v = 8 = S s s * ## ### SP*SQ 4 ## ### ## ### SP SQ SP SQ cosxpsq = = = XPSQ = 9 ### 4 OS = 4 v v ### v v v vv OP = v v v + v v v v v + v + v v v vv v v + v ### 8 4 7 9 OP = 8 4 = = 7 9 9 4 4 7 8 OP ###
58 u v w uv uw U = uv u + v w vw uw vw u v + w ### u 8 4 4 8 g: OX = s v ; U 8 4 = ; T = 7 4 4 9 9 w 4 4 7 4 8.4 u + v + w 59 4 Ferighäuser 5 8 7 5 8 494 5 4 57 4. 9 = 4 7 4 8 9 4 5 54 5 8 5 8 5 4 4. (7; ; 7;; 5; 4) =(9; ;98) 4 8 9 4 5 Gesampreis der Besellung: 5 8 5 8 5 4 (7; ; 7;; 5; 4) 9 =(9; ;98) 4 4 8 9 4 5 =94 9 4 4.,85 (9; ; 98) =(85,9; ; 9,) (85,9; ; 9,) = 9, 9 Anselle des Marix-Produkes kann auch das Skalarproduk verwende werden.
7 59 5 Trendwechsel 5. 5. a) k,, M konvergier gegen M =,4,4. Dami ergib sich langfrisig für jeden Anfangsvekor der Fixvekor, p =., 4,,, k M konvergier gegen M,4857,4857,4857,895,895,895 =. Dami ergib sich langfrisig für jeden Anfangsvekor der Fixvekor, p =,4857.,895,4478,4478, 4478 k M konvergier gegen M,87,87, 87,448,448,448 =. Dami ergib sich langfrisig für jeden Anfangsvekor der Fixvekor,4478 p =,87.,448
8 59 5. b) () Markaneil ohne neues Produk: %; Markaneil mi Produk X: 57, %; Markaneil mi Produk Y: 7,9 % () Mi Produk Xfäll der Markaneil von %auf 57, %.Mi Produk Ykann der Markaneil von %auf 7,9 %geseiger werden. Dreieck, Teraeder, Abbildung ### ### ### ###. OX = OA + AB s+ AC ### ### OX = 5+ s + oder OX = 5+ s + 4 5 5 4 5 5 ### ### n = AB AC= 4 = = 4 ### 5 ### OX *n = OB*n = d; d = * = 7 ### 5 OX* =. AB = 9(+ + ) = 9 AC = 9(+ + ) = 9 BC = 8+ 8 = 9 ### ( ### ### AS = AB + AC ) ### ### ### ### ### ### ### ### OS = OA + OB + OC AC = OA+ OB+ OC ( ) ( ) ### OS = 5+ + 7 = = 5 7
9 59 ### ###. OD = OS + sn ### ### ### AD = ( OD OA) ### = AB ### ### ### s n + OA sn*oa = AB s 7+ 54= 7 s = 8 s = 4 s=± ### 5 OD =± ### ###.4 T OP = OP 8 4 x 8x + 4y + z 4+ 8 y = x 4y+ 8z 9 9 4 7 4 z 4x 7y 4z 8x + 4y + z x x 4y+ 8z = y 9 4x 7y 4z z 8x 4y z 9x = x 4y + 8z 9y = 4x 7y 4z 9z = x 4y z = x = 5y x y + 8z = z = y 4x 7y z= sei y= 5 Lösung: die durch die Marix Tvermiele Abbildung bilde jedenpunkder Gerade gauf sichselbsab. ### OA ### ### = TOA = = OB 7 ### OB ### ### = T OB= 7= OC ### OC ### ### = TOC = 5= OA 5 DiezuTgehörige Abbildungbilde das DreieckABC auf ABC ab, wobei A = B,B = Cund C = A.
.4 Aufgaben zur Sochasik 5 Jugendliche mi eigenem Fernseher. n=; p=,7 P(X >) = P(X ) =,979 P(55 X 7) =,57. P(X ) = P(X =)= (,),9 n. () Hypohese :Der Aneil der Jugendlichen, die ein Fernsehgerä besizen, is in besimmen Schichen größer als 7%: p>,7 Von diesem Sandpunk lassen sich die Verreer des Sandpunks nur abbringen, wenn inder Sichprobe signifikan wenige Jugendliche mi Fernsehgerä angeroffen werden. Für p=,7 is μ =4 und σ =,48, also μ,8σ =,7. Für p>,7 is μ,8σ >,7. Enscheidungsregel: Verwirf die Hypohese p>,7, falls in der Sichprobe weniger als Haushale von Jugendlichen mi eigenem Fernsehgerä vorgefunden werden. Fehler.Ar: Tasächlich is der Aneil in besimmen Schichen größer als 7 %. Zufällig werden inder Sichprobe weniger als Haushale vorgefunden. Man erhäl eine richige Hypohese nich länger aufrech. Fehler.Ar: Tasächlich gib es keine besonderen Unerschiede in verschiedenen gesellschaflichen Schichen. Wegen des nich signifikanen Sichprobenergebnisses geh man nich von der falschen Hypohese ab. Hypohese : Der Aneil der Jugendlichen, die ein eigenes Fernsehgerä besizen, is in einer besimmen Schich genau sohoch wie sons: p,7. Von dieser Meinung gehen die Verreer des Sandpunkes nur bei signifikanen Abweichungen nach oben ab. Für p=,7 is μ =4 und σ =,48, also μ +,8σ =48,. Für p<,7 is μ +,8σ <48,. Enscheidungsregel: Verwirf die Hypohese p,7, falls in der Sichprobe mehr als 48 Haushale von Jugendlichen mi eigenem Fernsehgerä gefunden werden. Fehler.Ar: Tasächlich gib eskeine Unerschiede zwischen den gesellschaflichen Schichen. Zufällig werden aber in der Sichprobe mehr als 48 Haushale gefunden, sodass man von gesellschaflichen Unerschieden ausgeh. n
5. () Forsezung Fehler.Ar: Es gib zwar Unerschiede zwischen unerschiedlichen gesellschaflichen Schichen. Wegen des unauffälligen Sichprobenergebnisses wird dies jedoch nich erkann. () Hypohese : p>,7; Annahmebereich: X ; P p=,5(x ) =, 45 = 4,5 % Hypohese : p,7; Annahmebereich: X 48; P p=,75(x 48) =,98 = 9,8% () Ein solches Ergebnis kann zufällig aufreen, auch wenn der Aneil der Jugendlichen mi eigenem Fernsehgerä auch dor 7%beräg. Die Wahrscheinlichkei hierfür beräg allerdings nur P p=,7(x 5) = binomcdf (,.7,5), =, % Schäzungen zumflugverkehr. Kugel-Fächer-Modell: 5 Unglücke werden zufällig auf 5 Tage vereil (n =5; p= 5 ) binompdf (5, /5, ),87 binompdf (5, /5, ), binompdf (5, /5, ),8,999 Wahrscheinlichkei fürmehr als Absürze:,4%. binomcdf (5, /5, ),%. Die in(), () berechneen Wahrscheinlichkeien gelen füralle Tage bzw. Wochen des Jahres 87,% von 5 Tagen 8 Tage ohne Absurz,% von 5 Tagen 44 Tage mi Absurz,8% von 5 Tagen Tage mi Absürzen,% von 5Wochen Woche mi mehr als Absürzen..4 Wahrscheinlichkei für mindesens Absürze aneinem beliebig ausgewählen Tag:,84% Wahrscheinlichkei, dass es während eines Jahres keinen Tag mi mindesens Absürzen gib: 5,99 4,% Wahrscheinlichkei, dass es während eines Jahres mindesens einen Tag mi mindesens Absürzen gib: 5,99 95,4%
5.5 a) Angenommen, auch weierhin sind % der Flugzeuge nich sicher; dann is die Wahrscheinlichkei, dass 8oder weniger fürdie Konrolle ausgewähl werden: binomcdf (,., 8),%. Die Wahrscheinlichkei, dass ein solches Ergebnis sich zufällig ergib, beräg immerhin,%. b) Angenommen, auch weierhin sind % der Flugzeuge nich sicher; dann is die Wahrscheinlichkei, dass 8oder weniger fürdie Konrolle ausgewähl werden: binomcdf (,., 8),%. Die Wahrscheinlichkei, dass ein solches Ergebnis sich zufällig ergib, beräg immerhin,%. Löse 8 p,9 p( p),dann folg p [,58;,8]. Aus den Daen kann weder eine Verbesserung noch eine Verschlecherung abgeleie werden. Reiseunernehmen. 5 49 48... = 5! 5!,5 ; 5 = 5 8 7. n=5; p=,9; X:Anzahl der belegen Pläze P(X 4) =,75. n=; p=,9 P(X 9),794.4 P(mindesens Absagen) =P(höchsens 8 Teilnehmer) =binomcdf(,.95, 8),7%.5 a) Löse 59 5p, 4 5p( p),dann folg p [,;,4]. 45 %lieg im Inervall, dami keine Abweichung zuerkennen. b) Eine Abweichung wird als signifikan berache, wenn das Ergebnis der Sichprobe außerhalb der,9σ-umgebung von µ lieg. Bei unveränderer Wahrscheinlichkei von p=,45 ergib sich mi µ =7,5 und σ =,9 das Inervall [55,5; 79,44]. Das Ergebnis unerscheide sich nich signifikan. 5 4 Beliebhei von Unerrichsfächern 4. () binompdf (,.7, 7) 8,7% () binomcdf (,.7,75) 88,% () binomcdf (,.7,7) binomcdf (,.7, 59),,,%
5 4. () P( Ja ) = +, 7,% () + p,5 p,7% = 4. Da keine weieren Informaionen vorliegen, wird die Hypohese: Für ein Driel der Mädchen is Geschiche das Lieblingsfach geese. n=; p= ; μ=,; σ =4,7; μ,4σ =4,49; μ +,4σ =9,95 Enscheidungsregel: Verwirf die Hypohese, falls weniger als 5 oder mehr als 9 Mädchen in der Sichprobe Geschiche als ihr Lieblingsfach nennen. Fehler. Ar: Für ein Driel der Mädchen is asächlich Geschiche das Lieblingsfach; nur zufälliglag das Ergebnisder Sichprobe außerhalb des o. a. Inervalls; daher wurde die Hypohese irrümlich verworfen. Fehler. Ar: Der Aneil der Mädchen, die Geschiche als ihr Lieblingsfach bezeichnen, is asächlich kleiner oder größer als ein Driel; da in der Sichprobe dieanzahlzwischen5und 9 lag, wurde dies nichbe- merk. Die falsche Hypohese wurde irrümlich nich verworfen.,4 4.4 9 %Sicherhei: ( ),9 95 %Sicherhei: ( ) n,5 = 8,9,5 n,5 = 84,,5
4 5 5 Daen zur Gesundhei 5. Hypohese p,5 - α =5%: µ+,4σ Bei mehr als Rauchern wird die Hypohese verworfen. - α =%: µ+,8σ 88 Bei mehr als 88 Rauchern wird die Hypohese verworfen. 5. Eingeben der Funkion normalcdf (, 5,.7, x) in den GTR und Ablesen aus der Wereabelle oder am Graphen liefer σ,5. 5. P(µ,4σ X µ +,4σ) =,9 [,844;,5]