Heinz Rapp Mathematik fur die Fachschule Technik 4., verbesserte Auflage Unter Mitarbeit von Dieter Janda Herausgegeben von Kurt Mayer Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Rapp, Heinz: Mathematik fur die Fachschule Technik / Heinz Rapp. Unter Mitarb. von Dieter Jonda. Hrsg. von Kurt Mayer. - 4., verb. Aufl. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1991 (Viewegs Fachbiicher der Technik) ISBN-13: 978-3-528-34214-2 e-isbn-13: 978-3-322-90119-4 001: 10.1007/978-3-322-90119-4 1. Auflage 1983 2., berichtigte Auflage 1987 3., uberarbeitete Auflage 1988 4., verbesserte Auflage 1991 Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 1991 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fallen bedarf deshalb der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Umschlaggestaltung: Hanswerner Klein, Leverkusen Satz: Vieweg, Wiesbaden Gedruckt auf saurefreiem Papier ISBN-13: 978-3-528-34214-2
v Vorwort Mit diesem neuen Werk wird ein Lehrbuch der Mathematik vorgestellt, das ganz auf die Belange der Praxis abgestimmt ist. I nhaltlich umfa~t es den gesamten Lehrstoff der Mathematik der Fachschulen fur Technik, ist aber in seinen wesentlichen Zugen so gehalten, da~ einer Verwendung in anderen Schularten, die zu einem mittleren Bildungsabschlu~ (Fachschulreife) fuhren, nichts im Wege steht. Der didaktische Leitgedanke war, grundlegende Kenntnisse anwendungsorientiert zu vermitteln, ohne dabei die angemessene begriffliche und mathematische Sorgfalt au~er acht zu lassen. Dabei wurde eine geeignete Auswahl mathematisch-technischer Aufgaben getroffen, die speziell fur Fachschulen von Bedeutung sind. Bewu~t wurde auf Aufgaben aus Physik und angewandten Gebieten verzichtet, die durch ausfiihrliche Sachklarungen den mathematischen Sachverhalt uberwuchern wurden. Die knappe Darstellung und die konsequente Zweispaltigkeit der Buchseiten, bei denen der erklarende Text der praktischen Ausfuhrung mathematischer Berechnungen gegeniibergestellt ist, erleichtert das schnelle und grundliche Einarbeiten in das Stoffgebiet. Viele Aufgabenbeispiele mit Losungsgang erlauben es dem Benutzer, sein Konnen und Wissen selbst zu uberprufen und geben damit einen Anreiz, auch die schwierigeren Anwendungsaufgaben anzugehen. In besonderer Weise eignet sich deshalb das Buch auch zum Selbststudium. Heinz Rapp Bad Cannstatt, im Juni 1983
VI I nhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Teil I: Algebra 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen.... 1.1 Zahlen...,.... 1.1.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden................. 1 1.2 Mengen............................................ 4 1.2.1 Aufzahlende Mengenschreibweise...................... 4 1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise..................... 5 1.2.3 Mengendiagramme................................ 5 1.2.4 Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen).......... 5 1.2.5 Mengenverkniipfungen (Mengenoperationen).............. 7 1.2.6 Gesetze der Mengenverkniipfung....................... 9 1.3 Symbole fiir Relationen und I ntervalle....................... 13 1.4 Symbole der Logik.................................... 13 1.5 Terme............................................. 14 2 Rechnen mit Termen... 14 2.1 Addition... 14 2.1.1 Addition positiver Zahlen... 14 2.1.2 Addition negativer Zahlen... 16 2.1.3 Addition positiver und negativer Zahlen................. 16 2.2 Subtraktion... 17 2.3 Rechnen mit Klammerausdriicken.......................... 19 2.4 Multiplikation....................................... 23 2.4.1 Grundgesetze der Multiplikation...................... 23 2.4.2 Produkte mit negativen Zahlen....................... 24 2.4.3 Multiplikation mit Null (Nullprodukt)... 26 2.4.4 Multiplikation mit Summentermen (Distributivges.)... 26 2.4.5 Multiplikation mit gleichen Summentermen (Binomische Formeln)... 28 2.5 Division... 30 2.5.1 Rationale Zahlen... 30 2.5.2 Erweitern von Bruchtermen......................... 32 2.5.3 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen... 33 2.5.4 Kiirzen von Bruchtermen........................... 34 2.5.5 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen............ 35 2.5.5.1 Vorzeichenregeln bei negativen Briichen........... 35 2.5.5.2 Die Null in Divisionsaufgaben.................. 36 2.5.5.3 Multiplizieren von Bruchtermen... 37 2.5.5.4 Dividieren von Bruchtermen... 38
I nhaltsverzeichnis 3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen.... 3.1 Aquivalenz von Aussageformen.... 3.2 Losungsverfahren fur lineare Gleichungen.... 3.2.1 Einfache lineare Gleichungen.... 3.3 Bruchgleichungen.... 3.4 Gleichungen mit Formvariablen (Formeln).... 3.5 Lineare Ungleichungen.... 3.5.1 Begriffsklarung.... 3.5.2 Aquivalenzumformungen bei Ungleichungen.... 3.5.3 Einfache Ungleichungsformen.... 3.5.4 Bruchungleichungen.... 3.6 Textliche Gleichungen.... 3.6.1 Allgemeine textliche Gleichungen.... 3.6.2 Mischungsaufgaben.... 3.6.3 Bewegungsaufgaben.... 3.6.4 Behalteraufgaben.... 3.6.5 Arbeitsaufgaben.... 4 Funktionen des 1. Grades.... 4.1 Der Funktionsbegriff.... 4.2 Darstellung von Funktionen.... 4.3 Funktionsdarstellung im Koordinatensystem.... 4.3.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem.... 4.3.2 Das Polarkoordinatensystem.... 4.4 Funktionsdarstellung Von Geraden.... 4.5 Die lineare Funktion x---mx.... 4.6 Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx + b (Hauptform der Geradengl.).... 4.7 Andere Formen der Geradengleichung.... 4.7.1 Punkt-Steigungs-Form.... 4.7.2 Zwei-Punkte-Form.... 4.7.3 Achsenabschnittsform 4.7.4 Hesse-Form der Geradengleichung.... 4.8 Winkel zwischen Geraden.... 4.8.1 Winkel zwischen Gerade und x-achse (Steigung und Steigungswinkel)...,.... 4.8.2 Schnittwinkel zweier Geraden.... 4.9 Orthogonalitat bei Geraden.... 4.10 Graphische Darstellung linearer Zusammenhange.... 5 Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen.... 5.1 Graphisches Losungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen.... 5.2 Rechnerische Losungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen... 5.2.1 Das Gleichsetzungsverfahren.... 5.2.2 Das Einsetzungsverfahren.... 5.2.3 Das Additionsverfahren.... 5.2.4 Gleichungssysteme mit Bruchtermen.... 5.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen.... VII 41 41 42 44 46 50.55 55 55 57 58 63 63 66 69 73 75 78 78 79 80 80 81 83 84 86 88 88 88 89 90 94 94 95 96 99 102 102 104 104 104 105 109 111
VIII I nhaltsverzeichnis 5.4 Textaufgaben mit zwei Variablen... 114 5.4.1 Mischungsaufgaben... 114 5.4.2 Bewegungsaufgaben... 115 5.4.3 Behalteraufgaben................................ 116 5.4.4 Vermischte Aufgaben... 118 6 Lineare Ungleichungssysteme................................. 123 7 Lineares Optimieren................................, 125 8 Potenzen... 134 8.1 Potenzbegriff... 134 8.2 Potenzrechnung...................................... 135 8.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen... 135 8.2.2 Multiplikation von Potenzen... 135 8.2.2.1 Potenzen mit gleicher Basis... 135 8.2.2.2 Potenzen mit gleichem Exponenten.............. 136 8.2.3 Division von Potenzen... 136 8.2.3.1 Potenzen mit gleicher Basis... 136 8.2.3.2 Potenzen mit gleichem Exponenten.............. 137 8.2.4 Potenzieren von Potenzen... 138 8.2.5 Erweiterung des Potenzbegriffs auf Potenzen mit ganzen negati ven Hochzahlen, auf ao und a 1... 138 8.3 Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen)... 141 8.4 Potenzen von Binomen... 143 9 Potenzfunktionen... 146 9.1 DieFunktionx~xn (nein)... 147 9.1.1 Achsensymmetrische Parabeln (n gerade)... 147 9.1.2 Punktsymmetrische Parabeln (n ungerade)... 147 9.2 Die Funktionenxt--x- n (nein)... 148 9.2.1 Punktsymmetrische Hyperbeln (n ungerade)... 148 9.2.2 Achsensymmetrische Hyperbeln (n gerade)... 148 10 Wurzeln... 149 10.1 Wurzelbegriff... 149 10.1.1 Ouadratwurzeln... 149 10.1.1.1 Der Wurzelwert als positive Zahl... ;... 150 10.1.1.2 Wurzeln als irrationale Zahlen... 150 10.1.2 Der Allgemeine Wurzelbegriff........................ 152 10.2 Rechnen mit Wurzeltermen... 156 11 Ouadratische Gleichungen... 160 11.1 Rechnerische Losung quadratischer G leichungen... 161 11.1.1 ReinquadratischeGleichungen... 161 11.1.2 Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied (Defektquadratische Gleichungen)........................... 163 11.1.3 Gem ischtquadratische G leichungen... 163 11.1.4 Koeffizientenregel von Vieta... 166 11.1.5 B iquadratische G leichungen... " 170 11.2 Ouadratische Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungsvariablen 170 11.3 Textaussagen. die auf quadratische Gleichungen fiihren............ 173
Inhaltsverzeichnis IX 12 Quadratische Funktionen... 177 12.1 Die allgemeine quadratische Funktion xt--ax 2 + bx +c und ihre graphische Darstellung..................................... 178 12.2 Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung... 181 12.3 Graphische Losung quadratischer Gleichungen... 185 13 Wurzelfunktionen... 187 13.1 Ouadratwurzelfu nktionen... 187 13.2 Wurzelfunktionen hoherer Ordnung... 191 14 Wurzelgleichungen... 193 14.1 Wurzelgleichungen mit einer Variablen (Ouadratwurzelgleichungen) 193 14.2 Wurzelgleichungen mit zwei Variablen... 198 15 Exponentialfunktionen..................................... 200 15.1 Die allgemein Exponentialfunktion... 200 15.2 Die e-funktion... 204 16 Logarithmen............................................ 208 16.1 Logarithmenbegriff... 208 16.2 Logarithmensysteme... 210 16.2.1 Zehnerlogarithmen............................... 210 16.2.2 Natiirliche Logarithmen... 211 16.3 Das Rechnen mit Logarithmen... 213 16.3.1 Logarithmengesetze... 213 16.3.2 Logarithmische Berechnung von Termen... 215 17 Logarithmusfunktionen... 217 17.1 Die allgemeine Logarithmusfunktion... 217 17.2 Die natiirliche Logarithmusfunktion... 219 18 Exponentialgleichu ngen 220 19 Kreisgleichungen... 225 19.1 Mittelpunktgleichung eines Kreises... 225 19.2 Allgemeine Kreisgleichung........................... 226 19.3 Kreis u nd Gerade..................................... 228 20 Das Dualsystem.......................................... 231 20.1 Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen... 232 20.2 Rechnen mit Dualzahlen... 233 20.3 Das Dezimal-Dual-System (BCD Code)....................... 235 21 Schaltalgebra... 236 21.1 Grundfunktionen..................................... 236 21.2 Rechengesetze der Schaltalgebra........................... 238 21.3 Darstellung von Verkniipfungsgliedern im Signalschaltplan.......... 241
x Inhaltsverze!chnis Teil II: Geometrie 1 Mathematische Abkiirzungen und Bezeichnungen 246 2 Grundbegriffe der Geometrie.................................. 246 2.1 Linien... 247 2.2 Geometrische Grundfiguren....................... 247 3 Winkel................................................ 249 3.1 WinkelmaBe... 249 3.2 Winkelarten... 251 3.3 Winkel am Dreieck.............................. 252 4 Geometrische Konstruktionen... 256 4.1 Geometrische Ortslinien... 256 4.1.1 Definition... 256 4.1.2 Arten von Ortslinien.............................. 256 4.2 Besondere Dreiecke - Symmetrische Dreiecke... 260 4.3 Kongruenz bei Dreiecken... 262 4.4 Grundkonstruktionen von Dreiecken... 264 4.5 Besondere Linien und Punkte im Dreieck... 268 5 Dreieckskonstruktionen... 278 6 FUichensiitze am rechtwinkligen Dreieck... 286 6.1 Satz des Pythagoras... 286 6.2 Kathetensatz (Euklid).................................. 297 6.3 Hohensatz... 299 7 Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke 303 7.1 Berechnung des gleichschenkligen Dreiecks.................... 303 7.2 Berechnung des gleichseitigen Dreiecks... 304 8 Ahnlichkeit und Strahlensiitze... 310 8.1 Strahlensatze... 310 8.2 Streckenteilung und Mittelwerte........................... 318 8.3 Stetige Teilung (Goldener Schnitt)... 321 9 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck... 326 9.1 Seitenverhaltnisse als Winkelfunktionen... 326 9.2 Definitionen der Winkelfunktionen... 327 9.3 Langen- und Winkelberechnungen am rechtwinkligen Dreieck... 327 9.3.1 Die Sinusfunktion... 327 9.3.2 Die Kosinusfunktion... 329 9.3.3 Die Tangens- und Kotangensfunktion... 332 9.4 Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen... 340 9.5 Winkelfunktionen beliebiger Winkel... 344 9.6 Die Graphen der Winkelfunktionen... 350 9.6.1 Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion... 351 9.6.2 Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung.. 352 9.6.3 Die Schaubilder der Tangens- und Kotangensfunktion........ 355
I nhaltsverzeichnis XI 10 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck...................... 357 10.1 Sinussatz... 357 10.2 Kosinussatz... 365 10.3 Flachenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks....... 378 11 Summen- und Differenzgleichungen von Winkelfunktionen (Additionstheoreme)... 380 11.1 Funktionen von Winkelvielfachen und Winkelteilen... 382 11.2 Gleichungen mit Winkelfunktionen (Goniometrische Gleichungen)... 383 12 Fliichenberechnung... 388 12.1 Geradlinig begrenzte Fliichen... 388 12.2 Kreisfermig begrenzte Flachen... -..... 392 13 Kerperberechnung... 401 13.1 Prismatische Kerper... 401 13.2 Pyramidenfermige und kegelfermige Kerper... 408 13.2.1 Pyramide und Pyramidenstumpf...................... 408 13.2.2 Kegel und Kegelstumpf............................ 409 13.3 Kugelfermige Kerper... 414 13.3.1 Vollkugel... 414 13.3.2 Kugelteile..................................... 417 13.3.2.1 Kugelabschnitt (Kugelsegment)... 417 13.3.2.2 Kugelschicht............................. 419 13.3.2.3 Kugelausschnitt (Kugelsektor)... 421 13.4 Schiefe Kerper... 426 13.4.1 Satz des Caval ieri..................... 426 13.4.2 Simpsonsche Regel............................... 428 13.5 Oberflachen und Volumina von Rotationskerpern (Guldinsche Regel).. 430 Losungen Teil I... 434 Losungen Teil " 451 Sachwortverzeichnis.......................................... 465
XII In vielen Fa"en wird noch mit den fruheren Bezeichnungen IN und INo gearbeiteto Das Buch ist deshalb auf diese Bezeichnungen abgeste"to So "ten die neuen Bezeichnungen eingefuhrt sein, so sind folgende Festlegungen fur die Standardmengen zu berucksichtigen: Standardmengen nach DIN 5473 IN = {O; 1; 2,.. o} (bisher INo ) 71. = Menge der ganzen Zahlen ~ = Menge der rationalen Zahlen IR = Menge der ree"en Zahlen I CC = Menge der komplexen Zahlen in*=in\{o}={1;2;3;.. o} (bisherin) 71. * = 71.\ {OJ; 71.: = {xl x E 71.*!\ x> O} ~ * = ~\ {O}; ~: = {x I x E ~*!\ x > O} 1R* = 1R\ {OJ; 1R: = {xl x E 1R*!\ x > O} CC ={zlz=a+bi!\a, beir!\i=yi=1}