36 9 Der Residuenstz mit Anwendungen 9. Definition: f : O C besitze für ε > in U ε ) O die Lurentreihe fz) = c n z ) n. Dnn heißt n= Res f := c S.?? = z = ε 2 ) fz)dz ds Residuum von f in. Andere Schreibweisen: Res fz), Resf; ).) 9.2 Beispiele: i) cos z ht in z = nch Beispiel?? ds Residuum. ii) f : C \ {, } C, z z 2 z ) Res f = und Res f =. ht nch Beispiel?? die Residuen iii) Ist Pol. Ordnung von f, so gilt Res f = limz )fz), denn z )fz) = z c + c ν z ) ν+ in U ε ). ν= iv) Ist Pol. Ordnung von f und g holomorph in, so folgt wie in iii): Res fg = g)res f. v) Ist Pol der Ordnung k, so folgt us z ) k fz) = durch Differenzieren ν= k c = Res f = lim z k )! c ν z ) ν+k in U ε ) d k [ ] z ) dz) k fz). vi) Ist Nullstelle. Ordnung von g sowie h holomorph in, so ist Res h g iii), iv) = lim z z ) hz) gz) = h) g ).
9 Der Residuenstz mit Anwendungen 37 9.3 Stz Residuenstz): Sei S G eine isolierte Menge und f HG \ S). Dnn gilt für jeden nullhomologen Zyklus in G mit Sp G \ S fz)dz = n, )Res f. ) S Bemerkung: D n, ) = für A und I kompkt, ist die Summe in ) endlich. Sei S I =: {, 2,..., m } = S. Beweis: Sei S 2 = S \ S sowie h µ, µ m, der Huptteil der Lurentreihe von f um m µ. Wegen h µ HC \ { µ }) vgl. Bemerkung??) ist f h µ holomorph uf G \ S 2. ist nullhomologer Zyklus in G und G \ S 2 ), dher liefert der Cuchysche Integrlstz wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Reihen µ= h µ z) := c µ, ν z µ ) ν ν= uf Sp : fz)dz = = m µ= m µ= c µ, }{{} Res µ f h µ z)dz = n, µ ) m c µ, ν z µ ) ν dz µ= ν= Bem. ). 9.4 Bemerkung: i) D in einem einfch zusmmenhängenden Gebiet jeder Zyklus nullhomolog ist, gilt ) insbesondere für einfch zusmmenhängende Gebiete. ii) Für geometrisch einfche Fälle definieren wir vgl. uch Bez.??): Der Zyklus in G heißt Rndzyklus von G mit G G, wenn Sp = G und { z G n, z) = z C \ G G = I ). Nch Definition ist der Rndzyklus von G nullhomolog in jedem G G, dmit lutet Formel ) hier fz)dz = Res f. 2) G 9.5 Stz Anwendungen des Residuenstzes in der reellen Anlysis): i) Integrle der Form 2π Rcos t, sin t)dt, wobei R rtionl bzgl. beider Veränderlichen ist, so dss Rcost, sin t) t R definiert ist. Wegen cost = 2 eit + e it ), sin t =
9 Der Residuenstz mit Anwendungen 38 2i eit e it ) folgt 2π Rcost, sin t)dt = R z + ), z 2 z 2i z ))dz iz z = 2) = Res ). iz Rz + ), z ) 2 z 2i z Beispiel: = i π 2 z = Sing. U ) + sin 2 x = 2π 4 + sin 2 x = dz 4i z = z 4 z )2 z z dz = z 4 + 6z 2 i8 2 + ) i8 = π 2, 2 4 denn die in U ) gelegenenen Nullstellen von z 4 + 6z 2 sind z = 3 2 2 und z 2 = 3 2 2. Für fz) := z i z 4 + 6z 2 = hz) folgt gemäß Beispiel 9.2 vi) gz) Res z f = z i = 4z 3 + 2z }{{ i } =hz )/g z ) 2 4z 2 = i 8 2 = Res z 2 f. ii) Integrle der Form p und qx) x R. Hier gilt: Rx) = Rx) mit R = p, Polynomen p und q mit grd q 2+grd q Im > Sing. Res R Beweis: R besitzt nur endlich viele Pole, diese liegen für r r R in U r ). Mit γ r : [, π] C, t re it folgt us 2) r Rx) + Rz)dz = Res R. r γ r Im > Sing. Für z r genügend groß) ist Rz) c und somit z 2 Rz)dz cπr r. γ r r 2 Behuptung d gleich dem Cuchyschen Huptwert ist) Rx) wegen grd q 2 + grd p existiert und somit Beispiel: + x = π wegen Rx) = und Res 2 x+i)x i) ir = Beispiel 9.2 2i iii)). Zhlreiche weitere Anwendungen des Residuenstzes zur Berechnung von Integrlen oder Reihen findet mn in der Litertur; vgl. Übungen).
9 Der Residuenstz mit Anwendungen 39 9.6 Lemm: i) Ist O w-stelle k-ter Ordnung von f HO) und ϕ HO), dnn ist höchstens Pol. Ordnung von ϕf f w mit Res ϕf f w = kϕ). ii) Ist O Pol k-ter Ordnung von f HO \ {}), w C und ϕ HO), so ist höchstens Pol. Ordnung von ϕf f w mit Res ϕf f w = kϕ). Beweis: i) Es existiert g HO) mit g), so dss fz) w = z ) k gz). f z) = kz ) k gz) + z ) k g z). Also gilt: ϕz)f z) fz) w = ϕz) k z + z) ϕz)g gz) }{{} holom. in U ε) Bsp. 9.2iv) Res ϕf f w = kϕ). ii) Es existiert g HO), g), so dss fz) w = z ) k gz). f z)ϕz) fz) w = k z ϕz) + g z) gz) ϕz) Res ϕf f w = kϕ). 9.7 Stz Argumentprinzip): Sei f meromorph in G und w C. Ferner seien, 2,... die w-stellen von f in G mit den Vielfchheiten p, p 2,... sowie b, b 2,... die Polstellen in G mit den Ordnungen q, q 2,.... sei nullhomologer Zyklus in G mit Sp {, 2,...} {b, b 2,...}) =. Dnn gilt f z) i) fz) w dz = p j n, j ) j n, b j ) =: W f P f j G b j Gq und mit ϕ HG) f z) ii) ϕz) fz) w dz = ϕ j )p j n, j ) j )q j n, b j ). j G b j Gϕb Beweis: Residuenstz und Lemm 9.6 Bemerkung: D I kompkt ist und n, z) = z C \ I = A, sind die Summen in i), ii) endlich. Die Formeln sind besonders einfch, wenn Rndzyklus von O G ist, denn dnn ist n, z) = z I sowie nf, w) = f dζ ζ w = Anzhl der w-stellen Anzhl der Polstellen, CM. f z) fz) w dz = W f P f =
9 Der Residuenstz mit Anwendungen 4 9.8 Bezeichnung und Bemerkung: Konvergiert heißt für ρ > R) Res f := c = z =ρ fz)dz n= = Res f z ) z 2 ) ) c n z n =: fz) für z R, so ds Residuum von f im Punkt. Bechte: f holomorph in Res f = ; Beispiel: Res =. z Folgerung: Ht f : Ĉ Ĉ nur endlich viele isolierte Singulritäten, so ist offenbr Res f = Ĉ 9.9 Beispiel: Sei fz) := z ) 4 z 2) und gz) := 5 z 2f z ) = z g ht in einen Pol. Ordnung Res f = Res g = lim zgz) =. z Folglich gilt fz)dz = Res f + Res 2 f) = Res f =. z =3 z 8 z) 4 2z) 5