Hawkes Prozesse Grundlagen Im Folgenden sei (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. Das heißt F = (F t ) t ist eine rechtsstetige Filtration mit F t F für alle t und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Messraum (Ω, F). Definition (Punktprozess). Ein adaptierter càdlàg Prozess N mit N =, N t N für alle t und N t {, 1} für alle t heißt Punktprozess. Hierbei sei mit N := N N der Sprungprozess von N bezeichnet. Definition. (Previsible & Optionale σ-algebra) (i) Wir definieren die optionale σ-algebra O über Ω R + durch O := σ ( X : Ω R + R X ist adaptiert und càdlàg ). (ii) Wir definieren die previsible σ-algebra P über Ω R + durch P := σ ( X : Ω R + R X ist adaptiert und linksstetig ). Bemerkung. Man kann zeigen, dass jeder optionale Prozess X messbar bzgl. F B(R + ) ist. Weiter ist jeder previsible Prozess X auch optional (und somit auch messbar). Korollar. Es gilt P = σ ( {A {} : A F } {A (s, t] : s < t und A F s } ). Definition. (i) Wir bezeichnen mit M die Menge aller gleichgradig integrierbaren Martingale. (ii) Wir bezeichnen mit V die Menge aller adaptierten càdlàg Prozesse A mit A =, sodass jeder Pfad von lokal beschränkter Variation ist. (iii) Wir bezeichnen mit V + die Menge aller A V mit monoton wachsenden Pfaden. (iv) Definiere A := {A V E[Var(A) ] < }. (v) Definiere A + := {A V + E[Var(A) ] < }. Satz (Previsibler Kompensator). Es sei A A + loc. Dann existiert ein bis auf Ununterscheidbarkeit eindeutiger previsibler Prozess A p A + loc, sodass A A p M loc. Korollar. Jeder Punktprozess N ist lokal beschränkt. Insbesondere ist N A + loc. Bemerkung. Wir finden also zu jedem Punktprozess N einen previsiblen Prozess N p A + loc, sodass N N p M loc. Dieser wird auch als Intensität bezeichnet.
15. Februar 218 Zufällige Maße Es sei (E, τ) ein polnischer Raum mit Borel-σ-Algebra E. Wir bezeichnen mit Ω die Menge Ω R + E, mit Õ die σ-algebra O E und mit P die σ-algebra P E. Definition (Zufällige Maße). Ein zufälliges Maß auf R + E ist eine Familie µ = {µ(w; dt, dx) ω Ω} von nichtnegativen Maßen auf (R + E, B(R + ) E ) mit der Eigenschaft µ(w; {} E) = für alle ω Ω. Zusätzlich fordern wir, dass die Abbildung ω µ(ω, A) messbar bezüglich F ist für alle A B(R + ) E. Definition (Integration bezüglich zufälliger Maße). Es sei W eine Õ-messbare, reellwertige Abbildung auf Ω. Es folgt, dass die Abbildung (t, x) W (ω, t, x) messbar ist für alle ω Ω. Weiter definieren wir den Integralprozess W µ durch W µ t (ω) := W (ω, s, x)µ(ω, ds, dx), falls W (ω, s, x) µ(ω, ds, dx) < [,t] E und W µ t (ω) := sonst. Definition (Optionale zufällige Maße). [,t] E (i) Ein zufälliges Maß µ heißt optional (previsibel), falls der Prozess W µ optional (previsibel) für jede optionale (previsible) Abbildung W ist. (ii) Ein optionales zufälliges Maß heißt integrierbar, falls 1 µ A + (iii) Ein optionales zufälliges Maß heißt P-σ-endlich, falls eine strikt positive previsible Abbildung V auf Ω existiert, sodass V µ A + ; Dies ist äquivalent dazu, dass eine Partition A n P von Ω existiert, sodass 1 An µ A + für alle n N. Definition (N-wertige zufällige Maße). Ein N-wertiges zufälliges Maß µ ist ein zufälliges Maß mit folgenden Eigenschaften: µ(ω, {t} E) 1. Für A B(R + ) E ist µ(, A) eine N-wertige Abbildung. µ ist optional und P-σ-endlich. Definition (Erweiterte Poissonmaße). (i) Ein erweitertes Poissonmaß auf R + E bezüglich einer Filtration (F t ) t ist ein N-wertiges zufälliges Maß µ, sodass gilt: Das positive Maß m auf R + E, mit m(a) := E[µ(A)], ist σ-endlich. Für jedes s R + und jedes A B(R + ) E, sodass A (s, ) E und m(a) <, ist die Zufallsvariable µ(, A) unabhängig von F s. (ii) Das Maß m heißt Intensität von µ. (iii) Falls m({t} E) = für alle t R +, so heißt µ Poissonmaß. Gilt zusätzlich m(dt, dx) = dt F (dx), wobei F ein positives σ-endliches Maß auf (E, E ) ist, so heißt µ homogenes Poissonmaß.
Hawkes Prozesse Es sei im Folgenden nun G = (S, E) ein abzählbarer Graph mit Knoten i S und orientierten Kanten e E. Schreibe e = (j, i) E für eine orientierte Kante von dem Knoten j zu dem Knoten i. Weiter seien mit ϕ = (ϕ ji ) (j,i) E, wobei ϕ ji : [, ) R, und mit (h i ) i S, wobei h i : R [, ), eine zu den Kanten, bzw. zu den Knoten assoziierte Familie von Funktionen gegeben. Definition 1 (Hawkes-Prozess). Ein Hawkes-Prozess mit Parametern (G, ϕ, h) ist eine Familie von Zählprozessen (Z i t) t,i S, sodass: (i) Für alle i, j S mit i j gilt: (Z i t) t und (Z j t ) t springen fast sicher nie gleichzeitig. (ii) Für alle i S gilt: Der Kompensator (Λ i t) t von (Z i t) t hat die Form Λ i t = wobei der Prozess (λ i t) t gegeben sei durch λ i t = h i j i Der Prozess (λ i t) t heißt Intensitätsprozess von (Z i t) t. λ i s ds, ϕ ji (t s) dzs j. (1) Ein Hawkes-Prozess heißt linear, falls h i (x) = µ i + x, wobei µ i für alle i S. Existenz und Eindeutigkeit Es sei nun mit (π i (ds, dz)) i S eine Familie von iid (F t ) t -Poissonmaßen mit Intensitätsmaß m(ds dz) = λ 2 auf [, ) [, ) bezeichnet. Definition 2 (Hawkes-Prozesse als Lösung einer SDE). Eine Familie (Z i t) t,i S von (F t ) t -adaptierten càdlàg Prozessen heißt Hawkes Prozess mit Parametern (G, ϕ, h), falls für alle i S und für alle t gilt: Z i t = 1 { z h i ( j i s Lemma (Äquivalenz der Definitionen eines Hawkes-Prozess). ϕ ji (s u) dz j u)} π i (ds, dz) fast sicher. (2) a) Ein Hawkes-Prozess im Sinne von Definition 2 ist ein Hawkes Prozess im Sinne von Definition 1. b) Sei auf (Ω, F, (F t ) t, P) ein Hawkes Prozess (Z i t) t,i S nach Definition 1 gegeben. Dann existiert auf einem (erweiterten) Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω, F, ( F t ) t, P) eine Familie (π i (ds, dz)) i S von iid ( F t ) t -Poissonmaßen mit Intensitätsmaßen m(ds, dz) = λ 2 auf [, ) [, ), sodass (Z i t) t,i S ein Hawkes-Prozess nach Definition 2 ist.
15. Februar 218 Voraussetzung 1. Es seien (c i ) i S nicht-negative Konstanten, (p i ) i S positive Gewichte und Φ : [, ) [, ) eine lokal integrierbare Funktion. Es gelte außerdem: i) Für alle i S und für alle x, y R: h i (x) h i (y) c i x y ii) i S h i ()p i < iii) Für alle t [, ) und für alle j S: c i p i ϕ ji (t) p j Φ(t) Beispiel. i j (i) Im Falle einer endlichen Menge S ist die Voraussetzung 1 erfüllt, falls h i Lipschitz für alle i S, ϕ ji lokal integrierbar für alle (j, i) E und p i = 1 für alle i S. (ii) Sei S = Z d und E = {(i, j) S S : i j {, 1}}. Die Voraussetzung 1 ist erfüllt mit p i = 2 i, c i = c > und Φ lokal integrierbar, sodass h i Lipschitz mit Konstante c für alle i S, p i h i () < und ϕ jk (t) Φ(t) für alle i S, für i S alle x, y R, für alle (j, k) E und für t. (iii) Für S = Z + und E = {(i, i + 1) : i S} ist die Voraussetzung 1 erfüllt, falls eine lokal integrierbare Funktion Φ und Konstanten c i und a i für alle i S existieren, sodass h i (x) h i (y) c i x y und ϕ i(i+1) (t) a i Φ(t) für alle t. (iv) Ist S = Z d, E = S S und existiere eine Konstante c >, eine lokal integrierbare Funktion Φ und eine nichtwachsende Funktion a : [, ) [, ), so ist die Voraussetzung 1 erfüllt, falls i S a( i ) <, h i () c und h i (x) h i (y) c x y für alle i S und ϕ ji (t) a( i j )Φ(t) für alle (i, j) E und t. Satz (Existenz und Eindeutigkeit). Unter Voraussetzung 1 existiert ein bis auf Ununterscheidbarkeit eindeutiger Hawkes-Prozess (Z i t) t,i S nach Definition 2 mit der Eigenschaft, dass i S p ie[z i t] < für alle t.
Propagation of Chaos Voraussetzung 2. Es seien h : R [, ) und ϕ : [, ) R Funktionen mit h(x) h(y) h lip = sup x y < und ϕ L 2 loc ([, ). x y Für N 1 sei G N = (S N, E N ) ein Graph mit Knotenmenge S N = {1,..., N} und Kantenmenge E N = {(i, j) i, j S N }. Setze h N i = h für alle i S N und ϕ N ij = 1 N ϕ für alle (i, j) E N. Definition (Grenzwertgleichung). Sei π(ds, dz) ein Poisson Maß auf [, ) [, ) mit Intensitätsmaß λ 2. Die Gleichung Z t = 1 {z h( s ϕ(s u)de( Z u))} heißt Grenzwertgleichung ( limit equation ). π(ds, dz) t Satz (Existenz und Eindeutigkeit). Unter Voraussetzung 2 existiert eine eindeutige Lösung ( Z t ) t zu der Grenzwertgleichung, sodass (E( Z t )) t lokal beschränkt ist. Bemerkung. Eine Lösung ( Z t ) t der Grenzwertgleichung ist ein verallgemeinerter Poisson Prozess auf [, ). Es sei mit D([, ), R) die Menge der R-wertigen càdlàg Funktionen auf [, ) und mit P(D([, ), R)) die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf D([, ), R) bezeichnet. Satz. Es gelte die Voraussetzung 2 und es sei mit (π i (ds, dz)) i=1,...,n eine Familie von iid Poisson Maßen gegeben (mit Intensitätsmaß λ 2 ). i) Zu N 1 lassen sich ein Hawkes-Prozess (Z N,1 t,..., Z N,N t ) t mit den Paramtern (G N, ϕ N, h N ) und eine iid Familie ( Z t) i t,i=1,...,n von Lösungen zu der Grenzwertgleichung konstruieren, sodass für alle T > und alle i = 1,..., N gilt: ( E sup Z N,i t [,T ] ) Z t i C T 1 N, wobei die Konstante C T > nur von h, ϕ und T abhängt. ii) Es gilt die mean-field approximation : 1 N N i=1 δ (Z N,i t ) t L ( ( Z t ) t ) in Wahrscheinlichkeit für N Wobei P(D([, ), R)) mit der Topologie der schwachen Konvergenz ausgestattet sei, die assoziiert ist zu der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Intervallen (auf D([, ), R)).
15. Februar 218 Anhang Lemma 1. Sei φ : [, ) R lokal integrierbar und α : [, ) R cadlag, von lokal endlicher Variation und α() =. Dann gilt für alle t s φ(s u) dα(u) ds = s φ(s u) dα(u) ds = φ(t s)α(s)ds. Lemma 2. Sei φ : [, ) [, ) lokal integrierbar und g : [, ) [, ) lokal beschränkt. 1. Sei u eine lokal beschränkte nicht negative Funktion, sodass für alle t u t g t + φ(t s)u s ds. Dann ist abhängt. sup u t C T sup g t t [,T ] t [,T ] für eine Konstante C T, die nur von T und φ 2. Sei (u n ) n N eine Folge von nicht negativen lokal beschränkten Funktionen, sodass für alle t und für alle n N Dann gilt abhängt. sup t [,T ] n N u n+1 t φ(t s)u n s ds. u n t C T für eine Konstante C T, die nur von T, u und φ 3. Sei (u n ) n N eine Folge von nicht negativen lokal beschränkten Funktionen, sodass für alle t und für alle n N u n+1 t g t + φ(t s)u n s ds. Dann gilt φ abhängt. sup t [,T ] n N sup u n t C T für eine Konstante C T, die nur von T, u, g und Lemma 3. Seien X, Y zwei nicht negative Zufallsvariablen. Dann gilt E [ 1 {z X} 1 {z Y } ] dz = E[ X Y ].
Lemma 4. Sei π ein zufälliges erweitertes Poissonmaß mit Intensität m. Dann gilt für jede beschränkte, previsible Abbildung W : (Ω R + E, P) R [ ] E W (ω; s, z)π(ω; ds, dz) = E [ W (ω; s, z) ] m(ds, dz). R + E R + E Lemma 5. Sei h : R [, ) Lipschitz und ϕ : [, ) R lokal integrierbar. Dann besitzt die Gleichung ( s ) m t = h ϕ(s u)dm u ds t (3) eine eindeutige nichtfallende lokal beschränkte Lösung der Klasse C 1 ([, )). Lemma 6. Sei durch (Q N ) N 1 eine Folge von symmetrischen Wahrscheinlichkeitsmaßen auf D([, ), R) N gegeben. Für φ 1,..., φ k C b (D([, ), R)) und k 1 gelte: lim N φ 1 (x 1 ) φ k (x k )dq N (x 1,..., x N ) = k i=1 φ i (x)dq(x) für Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf D([, ), R). Dann gilt: X N = 1 N N δ Xi Q in Verteilung. i=1 Literatur [1] Sylvain Delattre, Nicolas Fournier, Marc Hoffmann, Hawkes Processes On Large Networks, Université Paris-Diderot, Université Pierre-et-Marie Curie, Université Paris- Dauphine, 216. [2] Jean Jacod, Albert N. Shiryaev, Limit Theorems For Stochastic Processes, Springer- Verlag, 2. Edition, 22. [3] Alain-Sol Sznitman, Topics In Propagation Of Chaos, Springer-Verlag, 1. Edition, 1991.