Universität Münster Fachbereich Mathematik. Lévy-Prozess Modelle in der Finanzmathematik

Universiä Münser Fachbereich Mahemaik Lévy-Prozess Modelle in der Finanzmahemaik Maserarbei von: Johannes Blank Erskorrekor: PD Dr. Volker Paulsen Zweikorrekor: Prof. Dr. Seffen Dereich 3. Augus 213 i

Einleiung Sei der Vorsellung des Black-Scholes-Modells in den 7er Jahren des vergangenen Jahrhunders ha es im Bereich der finanzmahemaischen Modellierung zahlreiche Weierenwicklungen und Neuerungen gegeben. Eine davon, welche das Thema dieser Arbei sein wird, is die Einbindung von Lévy-Prozessen in den Modellierungsprozess. Die Klasse der Lévy-Prozesse umfass bekanne sochasische Prozesse wie ewa den Wiener-Prozess und den Poisson-Prozess, welche beide häufig zur Modellierung verschiedener Sachverhale verwende werden. Im Black-Scholes-Modell is es der schon erwähne Wiener Prozess, der die zufälligen Schwankungen eines Finanzgues modellier. In den in dieser Arbei beracheen Finanzmarkmodellen übernimm dies ein Lévy-Prozess, das is auch ein Prozess mi saionären und unabhängigen Zuwächsen, bei dem allerdings die Forderung normalvereiler Zuwächse und seiger Pfade wegfäll. Lévy-Prozesse bieen durch die Möglichkei, nichgaußsche Vereilungen für die Zuwächse anzunehmen zusäzliche Flexibiliä in der Modellierung. Gleichzeiig eilen die Lévy-Prozesse viele angenehme Eigenschafen mi dem Spezialfall des Wiener-Prozesses, ewa zeiliche Homogeniä, die das Arbeien mi diesen erleicher. Im einführenden Kapiel 1 werde ich einige Kriikpunke am klassischen Black- Scholes-Ansaz wiedergeben s. auch [15]. In den lezen vier Jahrzehnen haben empirische Beobachungen nämlich aufgezeig, dass es sysemaische Abweichungen zwischen asächlich beobachbarem Markgeschehen und den Ergebnissen im Black- Scholes-Modell gib. Bekannes Beispiel hierfür is der sogenanne smile -Effek, welcher der Annahme konsaner Volailiä im BS-Modell widersprich. In Kapiel 2 führe ich Lévy-Prozesse ein, gebe wichige Eigenschafen und Beispiele für diese an und führe die Verbindung zur Klasse der unendlich eilbaren Vereilungen auf. Besonderen Sellenwer in dieser ersen Hälfe der Arbei ha die Lévy-Io-Zerlegung und deren Beweis in Kapiel 3, da sie das Versändnis für die Srukur von Lévy-Prozessen sehr erleicher. Einfach ausgedrück ermöglich die Lévy-Io-Formel es, einen Lévy-Prozess in einfachere Grundbesandeile zu zerlegen, genauer eine Wiener-Prozess-Komponene, einen Poisson-Prozess-Sprunganeil und einen weieren Sprunganeil, welcher die kleinen Sprünge darsell. Der zweie Teil der Arbei beseh im Vorsellen verschiedener Lévy-Prozess- Modelle. Ich beginne dabei in Kapiel 2 bei dem sich einfach aus dem BS-Modell ergebendem Meron-Modell welches dem BS-Modell einen Poisson-Sprunganeil hinzufüg, vgl. [18] und dem ineressanen Ansaz des Variance-Gamma-Modells welches komple ohne einen seigen Aneil auskomm, vgl. [8]. Diese werde ich in Form von Anwendungsbeispielen zusammen mi den ensprechenden Lévy-Prozessen vorsellen, mi vergleichsweise elemenaren Mieln. Bevor ich zu den ewas aufwändigeren Modellen mi sochasischer Volailiä komme, werde ich noch in Kapiel 4 die wei verbreiee Klasse der exp-lévy-modelle berachen, zu denen die oben genannen Modelle gehören. Zudem gehe ich in Kapiel 5 auf eine vergleichsweise einfache Berechnungsmehode in exp-lévy-modellen miels Fourierransformieren nach Carr und Madan ein, die sich naürlicherweise anbiee wenn mi Lévy-Prozessen gearbeie wird. Anschließend ziehe ich ein Zwischenfazi, inwiewei diese Modelle die Kriikpunke am BS-Modell beanworii

en, und führe sochasische Volailiäsmodelle ein. Dies geschieh zunächs in Form des Modells von Baes vgl. [2] und [1] und schließlich folg eine ausführliche Berachung des Modells von Barndorff-Nielsen und Shephard welches sehr viele der Kriikpunke am BS-Modell beanwore, vgl. hierzu [3], [4], [5], [6] und besonders [2]. Bei jedem der Modelle wird versuch, eine Bewerung eines einfachen Finanzgus, genauer eines europäischen Calls oder Pus, innerhalb des Modells durchzuführen, um ein Gefühl für das Modell und die mahemaische Handhabbarkei desselben herzusellen. Solche Bewerungen sind schon deshalb wichig, um ein Modell an eine gegebene Menge Daen kalibrieren zu können. Voraussezung für das Versändnis des Texes is, neben elemenarer Wahrscheinlichkeisheorie, die Kennniss einiger Begriffe aus der sochasischen Analysis, insbesondere der Begriff des sochasischen Inegrals in [19] finde man alles hierzu relevane. Finanzmahemaisches Vorwissen is nich unbeding erforderlich, erleicher es allerdings einige Sachverhale nachzuvollziehen für einen Überblick über die Finanzmahemaik vgl. ewa [9]. Das Gebie der finanzmahemaischen Modellierung mihilfe von Lévy-Prozessen is in den vergangenen Jahren enorm angewachsen. Die hier vorgesellen Mehoden und Modelle können daher nur einen ausgewählen Teil der Theorie abbilden. Ich hoffe dennoch, einen Einblick in dieses ineressane Gebie geben zu können. iii

Inhalsverzeichnis 1 Das Black-Scholes Modell und empirische Faken über Akienmärke 1 2 Lévy-Prozesse 3 2.1 Unendlich eilbare Vereilungen und Lévy-Khinchine Formel..... 4 2.2 Beispiele für Lévy-Prozesse........................ 7 2.2.1 Wiener Prozess.......................... 7 2.2.2 Poisson-Prozess.......................... 7 2.2.3 Inverse-Gaussian-Prozess..................... 14 2.2.4 Gamma-Prozess.......................... 15 3 Einbeung in die Theorie der Semimaringale und sochasische Analysis mi Lévy-Prozessen 19 4 Lévy-Prozess-Modelle in der Finanzmahemaik: Exponenielle Lévy- Modelle 3 4.1 Esscher-Transformaion in exp. Lévy-Modellen............. 34 4.2 Arbiragefreihei der Exponeniellen Lévy-Modelle........... 36 4.3 Inegro-Differenial Equaion Ansaz zur Besimmung des Weres einer europäischen Opion......................... 39 5 Berechnungsmehode miels Fourierransformaion nach Carr/Madan 4 6 Zwischenfazi und Sochasic Volailiy Modelle 41 7 Das Modell von Barndorff-Nielsen/Shephard 43 7.1 Selbseilbare Vereilungen und OU-Prozesse.............. 44 7.2 2 Spezialfälle: Gamma-OU und IG-OU Prozesse............ 45 8 Srukurerhalende ämms im BNS-Modell 46 9 Das BNS Modell in Akion: Preisberechnung von Derivaen 48 9.1 Transformaionsansaz zur Derivaberechnung............. 49 9.2 Beispiel: Europäischer Call bzw. Pu im IG- bzw. Gamma-OU-Modell 52 1 Ober- und Unergrenzen für den arbiragefreien Preisprozess 53 11 Kurzfazi 59 A Anhang 6 B Verwendee R-codes 61 C Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 65 iv

1 Das Black-Scholes Modell und empirische Faken über Akienmärke Im Jahre 1973 sellen die Ökonomen Fischer Black und Myron Scholes in ihrem Paper The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies das heue als Black-Scholes- Modell bekanne Modell zur Bewerung von Finanzgüern wie beispielsweise Akienopionen vor. Dieses sieh einen endlichen Zeihorizon T sowie zwei Finanzgüer auf einem filrieren Wahrscheinlichkeisraum Ω, F T, P vor, einen fesverzinslichen Bond sowie ein zweies asseeine Akie, welches zufälligen Schwankungen unerlieg. Dazu sei der Akienkurs S Lösung der SDE ds = S µd + σdw mi Konsanen σ, µ R, σ > und einem Wienerprozess W bzgl. des am Mark vorliegenden Wahrscheinlichkeismaß P. Dabei wird σ als Maß für die zufälligen Schwankungen des Akienkurses die sogenanne Volailiä der Akie und µ als Trendparameer gesehen. Die Bewerung von Opionen erfolg durch Übergang zu einem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaß P 1 im Folgenden nennen wir ein solches Maß äquivalenes Maringalmaß oder auch ämm. Insbesondere: Is h Auszahlungsfunkion, so gil für den Wereprozess V des Derivas mi Auszahlung hs T in T : V = E hs T e rt F. Für den Spezialfall, dass es sich um eine europäische Call- bzw. Puopion handel, d.h. hx = x K + bzw. hx = K x + ergib sich für den Preis zum Zeipunk die berühme Black-Scholes-Formel: mi p C S, T, K, σ = S Φd 1 K e rt Φd 2 p P S, T, K, σ = K e rt Φ d 2 S Φ d 1 Φu = N, 1, u d 1,2 := log S K e ± T σ 2 rt 2 σ T Dieses Modell is zwar einfach zu handhaben, ha aber gegenüber realer Daen einige Schwächen: 1. Die Volailiä σ is im Modell konsan; die implizien Volailiäen, die man anhand asächlicher Kurse ermieln kanndafür wird zu gegebenen Markpreisen von europäischen Pu oder Call-Opionen die eindeuige Volailiä σ errechne, die sich aus obiger Black-Scholes-Formel ergib, deuen aber auf nichkonsane Volailiäen vgl. smile-effec und Cluserbildung hin. Lezeres is die Beobachung am Finanzmark, dass große Preissprünge zeilich gehäuf aufreen, und selbiges für kleine Sprünge. An vielen Märken läss sich zudem eine negaive Korrelaion zwischen reurns und ihrer Volailiä beobachen; dieser leverage -Effek ri im BS-Modell nich auf. 1 d.h. der abdiskoniere Preisprozess e r S is P -Maringal 1

Der "smile"-effek implizie Volailiä srike Preis K 2. Der reibende sochasische Prozess W is im Modell normalvereil; da log S = log S + µ + σw 1 2 σ2 ergib sich für die log-reurns eine Normalvereilung. Die Empirie leg allerdings für kleine bis milere Zeiräume eine Linksschiefe sowie eine Kurosis größer als 3 nahe; dies sprich eher gegen die Annahme einer Normalvereilung. Vergrößer man die Zeiräume bei der Berachung der reurns beobache man aggregiere Gausshei, d.h. aufsummiere reurns sind annähernd normalvereil-dies jedoch nur über längere Zeispannen. Hisogram of HSIReurns Densiy..1.2.3.4.5.6 2 15 1 5 5 HSIReurns Abbildung 1: Hisogramm von sandardisieren HSI-Reurns von 31.12.1986 bis 27.4.213, Tagesdaen und Sandardnormalvereilungsdiche Das obige Hisogramm verdeulich diese Differenz zwischen Normalvereilungsannahme und Empirie; die empirische Kurosis beräg K = 48.81 in obigem Beispiel, die Kurosis der Sandardnormalvereilung is K = 3. Es lieg eine Linksschiefe vor empirische Schiefe= 2.2welche bei der symme- 2

rischen Normalvereilung nich aufri. 2 3. Insbesondere in Zeien hoher Unsicherhei am Finanzmark und während Krisen kann es zu berächlichen Kursänderungen in kürzeser Zei kommen z.b. innerhalb weniger Minuen. Ofmals sind die Gründe für solche Kurssprünge nich sofor ersichlich. Es is nich selen eine psychologische Komponene der Markeilnehmer, verbunden mi der Möglichkei, dass schon geringfügige Abweichungen der Erwarungshalung der Händler zu drasischen Kurseinbrüchen führen kann, die Ursache solcher Sprünge. Diese Unseigkeien sind in einem seigen Semimaringalmodell nich zu finden. 4. Das Black-Scholes Modell is vollsändig, also is jede Endauszahlung replizierbar. Dami sind Opionen im Prinzip redundan; dennoch beobache man eine große Zahl unerschiedlichser Derivae, die am Mark gehandel werden. Um diese Probleme anzugehen werden wir auf die Normalvereilungsannahme und seige Pfade beim reibenden Prozess verzichen. Insbesondere werden wir allgemeinere Prozesse berachen als Brownsche Bewegungen. Wir werden uns dafür Lévy- Prozess-Modellen zuwenden; diese sind eine naürliche Verallgemeinerung des BS- Ansazes und bilden einen adäquaen Kompromiss zwischen mahemaischer Handhabbarkei und Realiäsnähe. 2 Lévy-Prozesse Nach den Fessellungen in Kapiel 1 is es naheliegend, die Forderung der Normalvereilung bei den Zuwächsen des reibenden sochasischen Prozesses im BS- Modell is dies gerade der Wiener-Prozess und die Seigkei der Pfade aufzugeben. Die nachfolgende Definiion eines Lévy-Prozesses unerscheide sich gerade in diesen Punken von dem bekannen Wiener-Prozess. Definiion 2.1 Lévy-Prozess. Gegeben sei ein filrierer Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, F, P ; im Folgenden fordern wir immer, dass dieser die usual condiions erfüll, d.h. F enhale alle P -Nullmengen und es sei F = F + := s> F s. Dann nennen wir einen adapieren càdlàg Prozess Z Lévy-Prozess, falls die folgenden Bedingungen erfüll sind: i Z = P -f.s. ii Z ha unabhängige und saionäre Zuwächse, d.h Z Z s is sochasisch unabhängig von F s und Z Z s d = Z s gil für alle s <. iii Z is seig in Wahrscheinlichkei, also lim s P Z Z s > ε = für alle and ε >. 2 Obige Grafik ensprich im Wesenlichen derjenigen aus [15]; dor wurde der S&P 5 Index unersuch 3

Gelegenlich kann man eine ewas andere Definiion finden; da iii aus den anderen Voraussezungen folg, wird of darauf verziche. Einige Auoren behalen Bedingung iii, verzichen aber auf die càdlàg- Eigenschaf, da uner den übrigen Voraussezungen immer eine càdlàg-modifikaion exisier. Die Eigenschaf ii sowie Prozesse mi dieser Eigenschaf bezeichnen wir im Folgenden als PIID. Wir berachen nun zunächs Eigenschafen und Charakerisierungen von Lévy-Prozessen. Eine anhand der Definiion bereis offensichliche Eigenschaf is die, dass die Summe unabhängiger Lévy-Prozesse auf dem selben Wahrscheinlichkeisraum wieder ein Lévy-Prozess is. Proposiion 2.2 Markoveigenschaf. Is Z Lévy-Prozess, so ha Z die Markov- Eigenschaf, d.h. für is der prä--prozess Z s s sochasisch unabhängig vom pos--prozess Z +s Z s und Z +s Z s d = Z s s Beweis. Dies folg unmielbar daraus, dass Lévy-Prozesse saionäre und unabhängige Zuwächse haben. Es gil sogar die sarke Markoveigenschaf für Lévy-Prozesse d.h. für eine Soppzei T mi P T < = 1 gil X T + X T is unabhängig von F T und vereil wie X, siehe [7], Seie 2. 2.1 Unendlich eilbare Vereilungen und Lévy-Khinchine Formel Eine der wichigsen Eigenschafen in Verbindung mi Lévy-Prozessen is die der unendlichen Teilbarkei. In diesem Unerkapiel werden wir den Begriff einführen und die Lévy-Khinchine-Formel vorsellen. Der Beweis derselbigen is leider rech lang und wird in dieser Arbei nich wiedergegeben. Sadessen werden wir in Kapiel 3 die sogenanne Lévy-Io-Formel beweisen, welche einen rech guen Einblick in die Srukur von Lévy-Prozessen liefer. Definiion 2.3 Unendlich eilbare Vereilungen. Ein Wahrscheinlichkeismaß Q auf R d wird unendlich eilbar engl. infiniely divisible genann, wenn für jedes n 1 ein W-Maß Q n exisier so dass Q = Qn n. Q is also die n-fache Falung eines besimmen Maßes Q n für alle naürlichen Zahlen n. Genauso sprechen wir von einer unendlich eilbaren Zufallsgröße X, falls X d = X 1,n +... + X n,n für alle n wobei X i,n 1 i n iid Zufallsvariablen sein sollen. Ausgedrück über die Fourier-Transformiere φ Q einer Vereilung Q heiss dies φ Q u = φ Qn u n für gewisse Q n für alle n N. Is Z = Z ein Lévy Prozess, so is die Vereilung von Z unendlich eilbar für jedes. Tasächlich gil für ein feses Z = n k=1 Z k n Z k 1 n 2.1 und wegen der unabhängigen und saionären Zuwächse is dami die unendliche Teilbarkei gezeig. 4

Um die im Folgenden sehr wichige Lévy-Khinchine Formel einzuführen benöigen wir den Begriff eines Lévy Maß, das is ein Maß ν auf R d \{} mi x 2 1 νdx < R d \{} Theorem 2.4 Lévy-Khinchine Formel. Eine Vereilung Q auf R d is unendlich eilbar genau dann wenn die Fourier-Transformiere φ die Form φ Q = expψ ha mi einer Funkion ψu = ψ b,c,ν u = i u T b 1 2 ut Cu + e i ut x 1 i u T hx νdx 2.2 R d \{} wobei ν Lévy-Maß is, b R d, C posiiv semidefinie Marix is und hx = x1 [,1] x. Die momenerzeugende Funkion mgf wo diese exisier ha dann die Form mgfu = expκu = exp u T b + 1 2 ut Cu + e ut x 1 u T hx νdx R d \{} 2.3 Wir nennen ψ den charakerisischen Exponenen von Q und κ die Kumulane von Q. Überdies nennen wir C Gauss-Komponene und b die Drif des Prozesses; diese Namensgebung wird späesens im Beweis der Lévy-Io-Formel in Kapiel 3 klar werden. Anmerkung 2.5. Die Funkion h is ewas willkürlich gewähl; auch andere Abschneidefunkionen wären möglich. Dadurch änder sich auch der Driferm. Is z.b. 1 x νdx < 2.4 R d \{} so kann h = gewähl werden mi neuer Drif b := b x1 [ 1,1] xνdx R d \{} Wir werden in Zukunf wann immer möglich mi diesem Driferm b arbeien. Wir werden die Inegralbedingung 2.4 in Kapiel 3 ausführlicher diskuieren. Für einen Beweis von Theorem 2.4 verweisen wir auf [1]. Die Funkionen ψ, κ sowie b, C und ν sind eindeuig besimm. Die Umkehrung is ebenfalls wahr, d.h. für jedes Tripel b, C, ν exisier genau eine unendlich eilbare Vereilung Q mi obiger Lévy-Khinchine Zerlegung. Gegeben ein Lévy Prozess Z bezeichnen wir den charakerisischen Exponenen von Z mi ψ und seine Fourier-Transformiere mi φ. Aufgrund der saionären und unabhängigen Zuwächse gil für alle s, [,. φ s+ u = E e i uz +s = E e i uz +s Z s e i uzs = φ s u φ u 2.5 ψ s u + ψ u = ψ s+ u 2.6 5

Überdies is φ u seig in für alle u. Um dies zu sehen berachen wir für h > die Ungleichung φ u φ +h u = φ u 1 φ +hu φ u 1 φ h u φ is F.T. Da Z càdlàg is, gil mi majorisierer Konvergenz lim φ hu = lim E e i uz h = φ u = 1 h h und dami die rechsseiige Seigkei von φ u in. Die linksseiige Seigkei folg analog mi φ u φ h u = φ h u 1 φ u φ h u 1 φ hu Gleichung 2.5 liefer weier φ n u = φ 1 u n ; dies läss sich sofor auf die raionalen Zahlen erweiern denn mi 2.5 is φ 1 u n = φ 1 u und schließlich mihilfe der n oben gezeigen Seigkei auf alle reellen Zahlen erweiern, somi also φ 1 u = φ u für alle Rund analog ψ u = ψ 1 u. Das bedeue insbesondere, dass ein Lévy-Prozess Z schon durch die Angabe des charakerisischen Tripels b, C, ν von Z 1 vollsändig charakerisier wird. Ausserdem kann die Seigkei von φ auch verwende werden, um die Seigkei in Wahrscheinlichkei eines Lévy-Prozesses zu erhalen, denn es is E e i u Z = lim E e i uz Z h φ u = lim = 1 u h h φ h u 2.7 Z = f.s. 2.8 Das Lévy-Maß in obigem Saz kann als Maß für Anzahl bzw. Inensiä von Sprüngen inerpreier werden. Berache dazu den Sprungzählmaßprozeß N, definier durch N A := 1 A X s 2.9 <s für einen càdlàg sochasischen Prozeß X und Borelsche Mengen A mi / cla und X s := Xs lim u s Xu. N zähl also die Sprünge, die der Prozess bis zum Zeipunk in der Menge A mach. Dann gil im Fall, dass X Lévy-Prozess mi Lévy- Maß ν is, νa = EN 1 A. Insbesondere is ein Lévy-Prozes Z seig genau dann, wenn ν Z =, wenn also Z ein Wiener-Prozess mi Drif is vgl. Lévy-Khinchine Zerlegung.Gegeben durch µ X ω, d, dx := s 1 { Xsω }δ s, Xsωd, dx 2.1 is ein sogenannes Zufallsmaß siehe dazu Kapiel 3. Wir nennen µ X Sprungmaß des Prozesses X; wir werden uns ausführlicher mi der Bedeuung des Sprungmaßes in Kapiel 3 beschäfigen. Zunächs wollen wir aber in diesem Kapiel Beispiele für Lévy-Prozesse geben. 6

2.2 Beispiele für Lévy-Prozesse 2.2.1 Wiener Prozess Ein in sarender seiger PIID-Prozess W = W mi W W s d = N, s heiß Wiener-Prozess oder Brownsche Bewegung. Schon im ersen Kapiel haben wir das Black-Scholes-Modell vorgesell, bei dem die Dynamik eines Finanzgues durch einen Wiener Prozess gegeben is. Jeder Wiener-Prozess is insbesondere auch Lévy- Prozess klar nach Definiion, mi charakerisischem Tripel,1,. Die Pfade des Wiener Prozesses sind von unbeschränker Variaion. Für eine explizie Konsrukion des Wiener-Prozesses verweisen wir z.b. auf [19]. s. 567ff. BMx =, =, T = 1, N = 1 4 3 2 1 2 4 6 8 1 Time Abbildung 2: Pfad einer Brownschen Bewegung Naürlich haben wir nich Lévy-Prozesse eingeführ, um wieder nur Wiener Prozesse zu berachen. Man beache aber: Jeder seige Lévy-Prozess is bereis ein Wiener-Prozess mi Drif vgl. dafür Kapiel 3, sodass wir für neue Beispiele Prozesse mi Sprüngen berachen werden. Der bekannese in dieser Kaegorie is der Poisson-Prozess. 2.2.2 Poisson-Prozess Gegeben sei λ. Dann nennen wir einen in sarenden càdlàg PIID-Prozess N mi N N s d = N s d = Poiλ s Poissonprozess der Inensiä λ. Wir können einen 7

solchen Prozess folgendermaßen konsruieren: Sei ξ i i N iid Familie von expλ- vereilen Zufallsgrößen. Definere den Erneuerungsprozess T n := n i=1 ξ i. Dann is der zugehörige Erneuereungszählprozess N := n 1 1 { T n} Poisson-Prozess der Inensiä λ. Der so definiere Prozess is Lévy-Prozess mi zugehörigem charakerisischem Tripel,, λδ 1 man beache dabei, dass wir h = wählen konnen. Für unsere Zwecke is ein solcher Poisson-Prozess unzureichend, da er deerminisische Sprunghöhe ha. In der finanzmahemaischen Modellierung brauchen wir einen flexibleren Prozess. Eine einfache Verallgemeinerung biee der zusammengeseze Poisson-Prozess, definier durch X := N i=1 Y i, Y i iid Zufallsgrößen, s.u. von N mi Vereilung F, N Poisson-Prozess der Inensiä λ. Die Y i geben dann die Vereilung der Sprunghöhe vor; die Fourier-Transformiere läss sich einfach berechnen und laue φu = E e i u N i=1 Y i = e λ R 1 ei ux F dx 2.11 Der Prozess is von endlicher Variaion, wir können daher in der Lévy-Khinchine- Formel h = wählen und erhalen als charakerisisches Tripel,, λf. 2 4 6 8 1 y Poisson Prozess 2 4 6 8 1 ime Abbildung 3: Simulaion eines Poisson-Prozesses mi Inensiä 1 Wir wollen kurz ein Krierium vorsellen, wann ein Zählprozess schon ein Poisson- Prozess is. Ein Zählprozess is ein in sarender, fas sicher endlicher monoon wachsender sochasischer Prozess mi Weren in N und Zuwächsen in {, 1}. Wir können auch N = n 1 1 {T n } schreiben, wobei T n die Sprungzeipunke von N sind. Der so definiere Prozess N is rechsseiig seig. Lemma 2.6. Sei N Zählprozess und M := N λ Maringal. Dann is N Poisson- Prozess mi Inensiä λ. 8

Beweis. M is offensichlich càdlàg. Für s < und θ > is e θn e θns = e θnu e θn u = e θn u e θ Nu 1 s<u = N u {,1} s<u = e θ 1 s<u e θn u e θ 1 N u = e θ 1 e θn u dm u + s,] s,] s,] λ e θnu du e θn u dn u Da der Prozess s,] eθn u dm u in ein in sarendes Maringal is ergib sich E e θn e θns F s = e θ 1E λ e θnu du F s s,] = e θ 1 Eλ e θnu F s du s,] Sezen wir g := Ee θn F s, so erfüll g somi die Inegralgleichung g = gs + e θ 1 guλdu Diese wird gelös von g = e θns expe θ 1 sλ. Dami is s,] Ee θn Ns F s = expe θ 1 sλ Dies zeig, dass N PIID is mi Poiλ s-vereilen Zuwächsen Gelegenlich is es hilfreich, bei zwei gegebenen Lévy-Prozessen ein einfaches Krierium zu haben um Unabhängigkei fessellen zu können. Zumindes für den Fall, dass einer der Prozesse Poisson-Prozess is exisier so ein Krierium. Lemma 2.7. Sei Y Poisson-Prozess und X, Y 2-dimensionaler Lévy-Prozess. Falls X und Y keine gemeinsamen Sprünge aufweisen, falls also X Y = f.a. fas sicher is, so sind X und Y sochasisch unabhängig. Beweis. Da es sich um PIID-Prozesse handel reich zu zeigen, dass X 1 und Y 1 s.u. sind. Wir berachen die Maringale M := M := ux ei 2.12 E e i ux uy ei 2.13 E e i uy M is beschränk und M is von inegrierbarer Variaion da Y ein Poisson-Prozess is. Wir können daher in der folgenden Rechnung majorisiere Konvergenz anwenden: n EM 1 M 1 1 = E Mi/n M i 1/n M i/n M i 1/n i=1 maj.konv. E 1 M M V or. = 9

Es folg E e i ux 1+i vy 1 = E e i ux 1 E e i vy 1 u, v und dami die Unabhängigkei von X 1 und Y 1. Anwendungsbeispiel 2.8 Das Meron Modell. Eine einfache Verallgemeinerung des Black-Scholes-Modells wurde 1976 von Meron vorgesell. Es sei r der Zinssaz der risikolosen Anlage und der Akienpreis S sei gegeben durch die SDE ds = S γd + σdw + y 1dN 2.14 Dabei sei W Sandard-Wienerprozess, y seien iid Log-N µ, δ 2 vereil und N sei Poissonprozess mi Inensiä λ. W, N und y werden als unabhängig angenommen und die zugrundeliegende Filraion sei die von S erzeuge, F = σs s, s. Die Vorsellung is dabei, dass die Akienkursenwicklung ds eine seige Komponene in Form eines Wienerprozesses mi Drif ha, welche die alläglichen Markpreisflukuaionen wiedergib sowie eine Sprungkomponene, welche plözliche Markreakionen modellier, ewa aufgrund unerwareer poliischer oder ökonomischer Neuigkeien. Wir lösen diese SDE mihilfe der Io-Formel uner Benuzung von S = S y 1 N : d log S = S 1 ds 1 2 S 2 d[s c ] + d <s = γd σ2 2 d + σdw + y 1dN + d <s = γ σ2 d + σdw + y 1dN 2 + d <s = γ σ2 2 = γ σ2 2 = logs s logs s S s log log1 + y s 1 N s y s 1 N s d + σdw + d <s d + σdw + d γ σ2 d + σdw + d 2 <s N Y i i=1 Ss log1 + y s 1 N s logy s 1 { Ns=1} S s S s S s S s wobei Y i iid N µ, δ 2 von W und N unabhängie Zufallsgrößen sind. Dami läss sich das Meronmodell auch folgendermaßen formulieren: S = S e X X = γ σ2 2 + σw + 1 N i=1 Y i,

Im Unerschied zum BS-Modell is hier also eine Sprungkomponene in Form eines zusammengesezen Poisson-Prozesses zusäzlich zu dem unerliegenden seigen Prozess W hinzugekommen. Die Logreurns sind im Meronmodell nich länger normalvereil; es gil aber P log S S = P N = ip i= log S S N = i e λ λ i = N γ σ2 + iµ, σ 2 + iδ 2 i! 2 i= S Die Momene von s := log S 1 = X lauen Es = γ σ2 2 + λµ vars = σ 2 + λδ 2 + λµ 2 skews = λ3δ 2 µ + µ 3 σ 2 + λδ 2 + λµ 2 3/2 kurs = 3 + λ3δ4 + 6µ 2 δ 2 + µ 4 σ 2 + λδ 2 + λµ 2 2 Insbesondere ergib sich eine negaive Schiefe für µ < und eine Kurosis > 3 für λ > ; dies sell eine klare Näherung an empirische Daen im Vergleich zum BS-Modell ohne Sprünge dar, vgl. Kapiel 1. Für die Fourier-Transformiere des Prozesses X ergib sich φ X u = E e i ux σ2 i uγ = e 2 1 2 u2 σ 2 E σ2 i uγ = e 2 1 2 u2 σ 2 σ2 i uγ = e 2 1 2 u2 σ 2 n= P N = n e n n= n= e λ = exp i u γ σ2 u2 σ 2 2 2 1 {N=n} e i u n i=1 Y i i µu δ2 u 2 2 λ e i µu δ2 u 2 Dami laue das charakerisische Tripel von X b = γ σ2 2 + λ xhxdn µ, δ 2 C = σ 2 ν = λn µ, δ 2 Merons Ansaz zur Opionsbewerung n! 2 n λ + λ e i µu δ2 u 2 2 Das Meron-Modell is unvollsändig das Risiko von Sprüngen kann nich vollsändig gehedg werden. Meron argumenier dafür, das Sprungrisiko als sysemaisches 11

Risiko zu berachen und deshalb beim Maßwechsel nur die Drif des Wienerprozesses zu verändern, nich aber Inensiä des Poissonprozesses oder die Vereilung der Sprunghöhen. Dami ergib sich ein ämm analog wie im Black-Scholes-Modell. Dafür definieren wir η := Ee Y i 1 = e µ+δ2 /2 1 und berachen die SDE 2.14 in der Form N ds = S γd + σdw + d e Y i 1 i=1 = S γ + ηλd + σdw + d N e Y i 1 ηλ wobei M := N i=1 ey i 1 λη Maringal is, da zusammengeseze Poisson Prozesse PIID mi endlichem Erwarungswer sind und dami obige Kompensaion ein Maringal ergib. Ändern wir also miels Girsanov-Transformaion die Drif des Wienerprozesses W auf r γ λη bzgl. eines neuen Maßes PM, d.h. sei dpm dp F := exp aw 1 2 a2, a := r γ λη σ i=1 so dass W := W a Sandardwienerprozess bzgl. PM is, dann is d e r S = S σdw + dm 2.15 und dami is PM asächlich ämm. Lieg nun eine europäische Opion mi Auszahlung hs T vor, so läss sich der Preis bzgl. des Meron-äMM folgendermaßen errechnen. Is p M der Preisprozess bzgl. PM und τ := T, so is p M x = e rt E P M hs T S = x = e rτ E P M h S exp r λη σ2 2 = e rτ E P M h x exp r λη σ2 2 = e rτ E P M h x exp τ + σw T W + τ + σw T W + r λη σ2 N T τ + σw T + 2 i=1 N T i=n +1 N T i=n +1 Y i Y i S = x Y i Wir können den Preis der Opion im Meron-Modell ausdrücken als gewichee Summe von Black-Scholes Preisen. Dazu bedingen wir uner der Anzahl der Sprünge, 12

die der Akienkurs mach, und erhalen p M x = e rτ k P MN τ = ke P M h = e τλ rτ τλk e k! k = e τλ rτ τλk e k! k x exp E P M h x exp r λη σ2 E P M h x k exp r 1 2 σ2 k τ + σw τ + N τ r λη σ2 2 τ + σ k τn, 1 Y i N τ = k 2 i=1 τ + kµ + σ 2 τ + kδ 2 N, 1 = τλ τλk e p BS σ k, x k k! k Dabei sei σ k := σ 2 + kδ2, x τ k := x e kµ λητ+ kδ 2 2 Für die grafische Visualisierung der obigen Ergebnisse gehen wir zunächs von folgenden Parameern aus: Zinsrae sei r =.5, der Akienkurs zum Sarzeipunk sei S = 1, wir berachen einen Call mi srike K und verbleibender Zei τ =.5. Die Sprungparameer im Meron Modell seien λ = 4, µ =.3, τ =.5, δ =.1. Wir können nun den Parameer σ, der in beiden Modellen vorkomm, gleichsezen, d.h. σ Meron = σ BS. Man mache sich aber bewuss, dass im BS-Modell σ BS asächlich die Sandardabweichung der Logreurns log S S angib, während diese im Meron- Modell σ Meron 2 +λδ 2 +λµ 2 beräg. Sez man also beide σ gleich an, ergeben sich im Meron-Modell höhere Preise aufgrund der zusäzlichen Quelle von Volailiä, den Sprüngen. Daher werden wir in einer zweien Grafik σ BS = σmeron 2 + λδ2 + λµ 2 berachen. Callpreis 1 2 3 4 5 6 7 4 6 8 1 12 srike Preis K Abbildung 4: Meronpreise ro und Black-Scholes-Preise grün einer Callopion mi obigen Parameern und σ BS = σ Meron =.3. Die Meron-Preise liegen überall über den BS-Preisen. 13

Callpreis 1 2 3 4 5 6 7 4 6 8 1 12 srike Preis K Abbildung 5: Meronpreise ro und Black-Scholes-Preise grün einer Callopion mi obigen Parameern und σ BS = σ 2 Meron + λδ2 + λµ 2 mi σ Meron =.3 2.2.3 Inverse-Gaussian-Prozess Sei B := W + δ Wienerprozess mi Drif δ > und τ γ := inf{ > : B > γ} der erse Zeipunk an dem B den Wer γ überschreie. τ γ is dann Soppzei bzgl. der von W erzeugen Filraion und es is B τγ = γ f.s. aufgrund der seigen Pfade von W. Weier gil aufgrund der sarken Markoveigenschaf des Wiener Prozesses B τγ+ γ d =B τ = τ γ + τ γ γ wobei τ γ unabhängige Kopie von τ γ is. Dami is τ PIID und überdies rechsseiig seig da B seig mi linksseiigen Limien da τ monoon wachsend is und τ =. τ γ is also unendlich eilbar. Um den charakerisischem Exponenen und dami das char. Tripel zu besimmen, werden wir die Laplace-Transformiere berechnen. Dazu berachen wir für u > beliebig den Prozess Z := e αb u = e αw u αδ. Wir wählen dabei α so, dass der Prozess eine geomerische Brownsche Bewegung is und dami ein Maringal, d.h. sei α = δ 2 α2 αw + 2u δ dann is Z = e 2. Anwendung von Opional Sampling auf die beschränke Soppzei τ γ ergib αbτγ 1 = EZ = EZ τγ = E e uτγ Da B seig is, ergib sich αbτγ uτ γ = αγ uτ γ f.s. lim 14

Wir können beide Gleichungen kombinieren, indem wir miels majorisierer Konvergenz Erwarungswer und Grenzwer verauschen und erhalen 1 = E lim Z τ γ = e αγ E e uτγ und dami laue das char. Tripel E e uτγ b = 2 γ δ Φb C = = e γ δ 2 +2u δ νdx = γ 1 2π x 3/2 e δ2 x 2 dx Aus der Laplace-Transformieren können wir auch eine Diche von τ γ γ γ δx2 e 2πx 3 errechnen; diese laue f τγ x = 2x. Wir bezeichnen den Lévy-Prozess X mi X d 1 = τ γ als Inverse-Gaussian Prozess mi Parameern γ und δ. Der Name ergib sich aus der Definiion von τ γ als Inverses des Pfades eines Gausschen Prozesses. Inverse Gaussian Prozess 1 2 3 4 5 6 y 2 4 6 8 1 ime Abbildung 6: Pfad eines IG5,.2-Prozesses 2.2.4 Gamma-Prozess Wir berachen die Gamma-Vereilung mi Parameern α und β, gegeben durch die Lebesgue-Diche gx = βα Γα xα 1 e βx 1, Die Gamma-Vereilung is unendlich eilbar, denn es is φ Γα,β u = 1 i u α = 1 i u α n n = φ Γα/n,βu n β β 15

Für den zugehörigen Lévy-Prozess X is X Γα, β mi char. Tripel b = α 1 exp β β C = ν = α exp βxx 1 1, dx Dieser Prozess is ein sogenanner Subordinaor. Das is ein nichnegaiver Lévy- Prozess, bzw. äquivalen dazu: ein monoon wachsender Lévy-Prozess. Er ha Pfade von beschränker Variaion, aber von unendlicher Akiviä. So nennen wir einen Lévy-Prozess, der in jedem Inervall von posiiver Länge unendlich viele Sprünge aufweis. Gamma Prozess 5 1 15 2 y 2 4 6 8 1 ime Abbildung 7: Gammaprozess mi α = 2, β = 1 Anwendungsbeispiel 2.9 Das variance-gamma Modell. Im Folgenden berachen wir ein Finanzmarkmodell mi Zeihorizon [, T ] und konsaner Zinsrae r; es sei überdies eine Brownsche Bewegung mi Drif θ gegeben, d.h. sei B := B θ := θ+σw mi Sandardwienerprozess W. Ausserdem sei X := X µ,δ Gamma µ 2 δ, µ δ Prozess die Parameer wurden so gewähl, dass EX 1 = γ, var X = δ. Wir modellieren die Dynamik eines asses Z durch Z = B X = θx + σw X 2.16 Dies is ein charakerisisches Beispiel für eine Klasse von Modellen für Finanzgüer, bei denen ein Lévy-Prozess durch einen nichnegaiven zweien Lévy- Prozess zeilich skalier wird. Die Vorsellung is dabei, dass es am Mark ruhige Zeien mi wenig Kursänderungen gib sowie hekische Zeien mi raschen Kursänderungen. Der Prozess X modellier dabei das zufällige Maß an Hekik, das am Mark vorlieg. Es is überdies exemplarisch für eine ewas andere Modellierungsphilosophie als - 16

ewa beim Meron-Modell: Dor wurde die seige Akienpreisenwicklung des BS- Modells lediglich mi gelegenlich aufreenden Sprüngen ergänz man sprich von einem jump diffusion model mi endlicher Akiviä. Im Variance-Gamma-Modell verschwinde die Gauss-Komponene; ein reiner Sprungprozess modellier die Kursenwicklung. Dieser ha unendliche Akiviä- es sind also viele kleine Sprünge, die den Akienkurs ausmachen wie oben bereis vermerk sprich man von einem infinie aciviy model. In diesem Fall is eine Diffusionskomponene nich mehr nöig, da die zahlreichen Sprünge von marginaler Größe bereis das Allagsgeschäf am Akienmark abbilden können. Die Diche von Z bzgl. des Lebesgue-Maßes ergib sich durch Bedingen uner X und anschließendem Ausinegrieren zu f Z x = 1 σ 2πu exp x θu2 2σ 2 u u δ 1 exp u δ δ /δ Γ du δ Dann is Z wieder Lévy-Prozess mi charakerisischer Funkion Die Momene von Z ergeben sich zu EZ = θ EZ EZ 2 = θ 2 δ + σ 2 EZ EZ 3 = 2θ 3 δ 2 + 3σ 2 θδ E e i uz = 1 i θδu + σ 2 δ/2u 2 /δ EZ EZ 4 = 3σ 4 δ + 12σ 2 θ 2 δ 2 + 6θ 4 δ 3 + 3σ 4 + 6σ 2 θ 2 δ + 3θ 4 δ 2 2 Wir berachen nun das exp-lévy-modell, gegeben durch das Finanzgu S, S = S expm + Z κ κ = κ Z1 1 = log E e Z 1 = 1 δ log 1 θδ σ 2 δ/2 bzgl. des subjekiven Wahrscheinlichkeismaßes P. Sezen wir die Exisens eines ämm P voraus, so muss bzgl. diesem S die Dynamik S = S expr + Z κ κ = κ Z1 1 = log E e Z 1 = 1 δ log 1 θ δ σ 2, δ /2 haben, vgl. dazu auch die späere Proposiion 4.3. Theorem 2.1. Der Preis eines europäischen Calls im VG-Modell mi obigen Parameern und Reslaufzei bzgl. eines ämm P läss sich ausdrücken durch 1 c1 δ p S, K, = S Ψ d, α + s, δ 1 c 1 δ 1 c2 δ K exp r Ψ d, α + s, δ 1 c 2 δ 17

mi Konsanen d := 1 s log S + r + 1 K δ log c1 1 c 2 ζ := θ σ 2 σ s := 1 + θ2 δ σ 2 2 α := ζs δα + s2 c 1 := c 2 := δα2 2 2 Dabei is Ψa, b, γ := Φ a u + b u u γ 1 e u du. Die Funkion Ψ is in geschlossener Form 3 bekann, vgl. Γγ [8] Beweis. Es is p S, K, = e r E S k +. Bedingen wir zunächs uner X = g, so ergib sich ein Akienpreis der Form S X=g = S e r e Wg+θg κ. Für den Callpreis is dann /δ p S, K, X=g δα + s2 α + s 2 g d g = S 1 exp Φ 2 2 + α + s g K e r 1 δα2 2 /δ α 2 g exp 2 d g Φ + α g wie eine Rechnung analog zum BS-Modell zeig. Durch Ausinegrieren ergib sich also der unbedinge Callpreis zu p S, K, = p S, K, X=g g/δ 1 e g/δ δ /δ Γ/δ dg Nach einer Variablenransformaion y = g/δ und Einsezen des bedingen Preises erhalen wir mi γ = /δ. d p S ; K, = S 1 c 1 γ e c1γ Φ + α + s δy 2.17 δy d K e r 1 c 2 γ e c2y Φ + α y γ 1 e y δy dy 2.18 δy Γγ Sezen wir Ψa, b, γ := a Φ u + b u γ 1 e u u du Γγ 3 Wie in [8] erweiern wir dabei die üblichen elemenaren Funkionen um die Vereilungsfunkion Φ der Sandardnormalvereilung, da diese innerhalb der Finanzmahemaik numerisch sehr gu erfass is und in den Bewerungsformeln omnipräsen 18

so ergib sich mi der Variablenransformaion u = 1 cγ für c = c 1 bzw. c = c 2 1 c1 δ p S ; K, = S Ψ d, α + s, γ δ 1 c 1 1 K e r c2 δ Ψ d, α, γ δ 1 c 2 Die Herleiung eines im obigen Sinne geschlossenen Ausdrucks für Ψ is mi einigem Aufwand verbunden; wir verweisen auf [8]. 3 Einbeung in die Theorie der Semimaringale und sochasische Analysis mi Lévy-Prozessen In diesem Kapiel werden wir zeigen, dass Lévy-Prozesse Semimaringale sind was sochasische Analysis ermöglich und ausserdem Lévy-Prozesse in einfachere Besandeile zerlegen. Dies geschieh mihilfe der Lévy-Io Zerlegung. Dazu führen wir zunächs einige Begriffe ein, welche bekanne Konzepe verallgemeinern und für den Beweis der Lévy-Io-Zerlegung benöig werden. Definiion 3.1 Zufallsmaß. Seien X, C und Y, D messbare Räume. Dann nennen wir eine Abbildung µ : X D [, ] Zufallsmaß, falls i Für alle D D is x µx, D C-messbar ii Für alle x X is D µx, D ein Maß auf Y, D Wir werden nur Zufallsmaße auf R + E, B + E berachen, wobei E, E = R n, B n +. Wir haben bereis das für uns wichigse Beispiel eines Zufallsmaßes gesehen: das Sprungmaß aus Gleichung 2.1. Wir führen die Bezeichnungen Ω := Ω R + R d 3.1 Õ := O B d 3.2 P := P B d 3.3 ein und nennen messbare Funkionen bzgl. dieser σ-algebren ebenfalls opional bzw. previsibel. Weier definieren wir für eine opionale Funkion H : Ω R + R d R und ein Zufallsmaß µ den Inegralprozess { Hω, s, xµω, ds, dx falls Hω, s, x µω, ds, dx < [,] R H µ ω = d [,] R d, sons 3.4 Wir nennen einen adapieren càdlàg Prozess X Semimaringal, wenn er eine Zerlegung der Form X = X + V + M zuläss mi V FV adapier und càdlàg, M lokales Maringal, M = V =, X F -messbar. Ein spezielles Semimaringal is ein solches, bei dem obige Zerlegung mi einem previsiblen V möglich is. In diesem 19

Fall is die Zerlegung eindeuig. Ein Semimaringal mi beschränken Sprüngen is speziell, siehe z.b. [19] Seie 258, Example 4.47. Sind die aufsummieren großen Sprünge des Prozesses beschränk, d.h. is s X s1 { Xs >1} für alle eine konvergene Reihe, so erhalen wir die eindeuige Zerlegung eines Semimaringales X = X + M c + M d + V + s X s 1 { Xs >1} = X + M c + M d + V + R x1 { x >1} µ X ds, dx wobei M c bzw. M d der seige bzw. rein unseige Aneil eines Maringals M sind. Für einen Lévy-Prozess mi charakerisischem Tripel b, C, ν is V = b M c = c 1 2 W und es sell sich heraus, dass obige Zerlegung immer eindeuig möglich is. Um dies zu sehen, muss man sich zunächs klarmachen dass Lévy-Prozesse asächlich Semimaringale sind. Is Z Lévy-Prozess mi E Z <, so is dies aufgrund der PIID sofor gegeben, denn es is E Z EZ F s = E Z Z s + Z s F s EZ = Z s EZ s Im Allgemeinen haben Lévy-Prozesse jedoch keinen endlichen Erwarungswer. Berache ewa einen zusammengesezen Poisson-Prozess mi Sprüngen mi unendlichem Erwarungswer. Um zu zeigen, dass auch solche Lévy-Prozesse Semimaringale sind und um einen ieferen Einblick in den Aufbau solcher Prozesse zu erhalen werden wir im Folgenden die Lévy-Io-Zerlegung beweisen. Für deren Beweis werden wir zuers einige Begriffe einführen müssen. Wir verallgemeinern dazu zunächs den Begriff eines Poisson-Prozesses. Definiion 3.2 Poisson-Zufallsmaß. Sei S, S, λ σ endl. Maßraum, Ω, F, P W- Raum. Wir nennen ein Zufallsmaß µ : Ω S [, ] Poisson-Zufallsmaß kurz: PZM mi Inensiä λ, wenn µ die folgenden Bedingungen erfüll: i Sind A 1,..., A n, A i S für alle i, paarweise disjunk, so sind µ, A 1,..., µ, A n sochasisch unabhängig ii Für alle A S is µ, A PoiλA. Dabei sei Poi := δ, Poi := δ. Wenn der Zusammenhang klar is, schreiben wir auch kurz µa für die Zufallvariable µ, A. Wir können ein PZM konsruieren, indem wir zunächs λ als endliches Maß mi Gesammasse c annehmen. Dann seien ξ 1, ξ 2,...iid Zufallsgrößen mi Vereilung c 1 λ und L von ξ i unabhängige Poic-vereile Zufallsgröße. Sezen wir µω, A := L j=1 δ ξ j ωa so is µ Poisson-Maß mi Inensiä λ. Für ein σ-endliches Maß λ sei A i i=1,...,n Pariion von X mi λa i < f.a. i. Seien µ i, i = 1,..., n unabhängige Poisson-Maße mi Inensiä 1 An λ und µ := i µ i. Dann is µ Poisson-Maß mi Inensiä λ. 2

Lemma 3.3. Sei µ Poisson-Zufallsmaß auf S, S, λ und f : S R messbare Funkion. Dann gil: i X := fxdµx is fas sicher absolu konvergen genau dann, wenn 1 fx λdx < gil. S ii Wenn * erfüll is, dann gil E e i βx β R = exp S 1 ei βfx dλx für alle iii Falls S fx dλx <, so is EX = S fxdλx. Is sogar S fx2 dλx <, so gil ausserdem EX 2 = S fx2 dλx + S fxdλx 2. Beweis. Wir beweisen die obigen Aussagen miels eines Funkionserweierungsargumens. Sei also f zunächs elemenare Funkion, d.h. fx := n i=1 α i1 Ai x mi α i R, A i paarweise disjunke Mengen in S mi λa i <. Dann is X = n i=1 α iµa i f.s. endlich da µa i PoiλA i. Sei θ > beliebig; dann is n E e θx = E e n θα iµa i = exp 1 e θα i λa i i=1 = exp = exp i=1 n 1 e θα i λa i i=1 S 1 e θfx dλx Sei jez f messbar, dann exisier eine monoon wachsende Folge f n elemenarer Funkionen, die punkweise gegen f konvergier. Dann is lim f n xdµx = fxdµx = X n mon.konv. und dami E e θx = E exp θ fxdµx = lim maj.konv n = lim exp 1 e θfnx dλx = exp n S E exp θ 1 e θfx dλx S f n xdµx Is X = f.s., so ergib sich aus obiger Rechnung 1 S e θfx dλx = für alle θ >. Is andernfalls X < mi posiiver Wahrscheinlichkei, so muss 1 S e θfx dλx < für alle θ > gelen. Genauer gil in dem Fall, dass obiges Inegral für alle θ > endlich is, schon die fas sichere Endlichkei von X. Um dies zu sehen sellen wir zunächs miels majorisierer Konvergenz lim θ 1 e θfx dλx = 3.5 1 e θfx dλx = 1 3.6 S S lim θ exp 21

fes. Daraus folg aufgrund der obigen Rechnung P X < = 1. Insgesam haben wir also X < gdw. 1 S e θfx dλx < f.a. θ >. Dies gil genau dann, wenn 1 fxdλx <. Ersezen wir in den vorangegangenen Rechnungen S θ durch θ i β ergib sich mi θ die Aussage ii für nichnegaive f. Sei jez f beliebige messbare Funkion mi Posiiv- und Negaivaneil f + bzw. f. Wir schreiben X = X + X mi X + := fxdµ + x, µ + := µ {x S : fx } 3.7 S X := fxdµ x, µ := µ {x S : fx < } 3.8 S Dann sind µ +, µ PZM mi Inensiä λ {f } bzw. λ {f < }; da sie sochasisch unabhängig sind gil dies auch für X +, X. Dami konvergier X f.s. absolu gdw. X +, X f.s. absolu konvergieren. Beachen wir das zuvor Gezeige ergib sich dies gdw. S 1 fx dλx <. Zu ii: X +, X sind sochasisch unabhängig; in Verbindung mi Aussage i ergib sich für alle θ R E e i θx = E e i θx + E e i θx = exp 1 e i θf + x dλx = exp {f>} S 1 e i θfx dλx exp 1 e i θf x dλx {f<} Der Beweis zu iii läss sich genauso durchführen miels eines Funkionserweierungsargumenes. Alernaiv können wir-uner ewas särkeren Voraussezungen- [1], Saz 41.3 s.28 benuzen, der uns φ k = i k EX k e i X liefer für φ = E e i X, k = 1 bzw. k = 2. Dami folg Aussage iii dann sofor aus ii. Definiion 3.4 Poisson Punkprozess. Sei g lokal inegrierbar auf D R d 1 \{} oder ν lokal endliches Maß. Wir nennen einen Prozess in D {} Poisson Punkprozess mi Inensiä g bzw. Inensiäsmaß ν, wenn µω, a, b] A := #{ a, b] : ω A}, a < b, A D 3.9 PZM mi Inensiä Λa, b] A = b a gxdx bzw. Λa, b] A = b aνa A is. Einen Poisson-Punk-Prozess können wir folgendermaßen erhalen: Seien ξ 1, ξ 2,... iid Zufallsgrößen mi Vereilung ν auf R d {}, S n := n i=1 ξ i sowie N von ξ i unabhängiger Poisson-Prozess mi Parameer c >. Dann is { ξ i, falls N = n > N := 3.1, sons Poisson-Punkprozess mi charakerisischem Maß cν. Dami sieh man N S N = ξ i = s 3.11 i=1 s was dem oben eingeführen zusammengesezen Poisson-Prozess ensprich. Wir berachen im folgenden Lemma ein ähnliches, ewas anders formulieres Resula. 22

Lemma 3.5. Sei λ Maß auf R {}, B BR mi < λb < und µ PZM auf dem Raum S, S, η := [, R, B [, BR, d λdx Dann is X := xµds, dx, zusammengesezer Poisson Prozess mi B Sprunginensiä λb und Sprungvereilung λb 1 λ B. Beweis. Aus der Konsrukion des PZM ergib sich, dass X endliche Summe is für alle > da λb <, und dami càdlàg. Weier sind die Zuwächse von X s.u.; denn es is X X s = xµds, dx und dieser Ausdruck is s.u. von X s,] B u u s da µ PZM is. Nach Lemma 3.3 ii is E e i θx = e B 1 ei θx λdx 3.12 Dies in Verbindung mi den unabhängigen Zuwächsen von X ergib Ee i θx Xs θx E ei = 3.13 E e i θxs = e s B 1 ei θx λdx = E e i θx s 3.14 und dami die Saionariä des Prozesses, mi charakerisischem Exponenen eines zusammengesezen Poisson Prozesses mi der geforderen Sprungrae und Vereilung, vgl. 3.12. Lemma 3.6. Seien µ und B wie oben und zusäzlich x λdx <. Dann gil: B i Der zusammengeseze Poisson Prozess mi Drif M := xµds, dx [,] B xλdx is Maringal bzgl. der Filraion F B := σ µa : A B[, ] BR. ii Is ausserdem B x2 λdx < so is M sogar L 2 -Maringal. Beweis. i M is adapier bzgl. F und inegrierbar, denn es is E M E x µds, dx + x λdx < 3.15 B B vgl.3.3, iii Da EM = und M saionäre und unabhängige Zuwächse ha, is M somi Maringal. ii Aus Lemma 3.3, iii mi fx = x1 B und der Voraussezung B x2 λdx < folg E M + 2 xλdx = E [,] B 2 xµds, dx = x 2 dλx + 2 xdλx B B 2 23

Weier is M ein in sarendes Maringal, dami läss sich auch schreiben E M + 2 xλdx = EM 2 + 2 B 2 xdλx + E 2M B xdλx } {{ } = Ein Vergleich der beiden Ausdrücke ergib EM 2 Behaupung. = B x2 dλx <, also die Das obige Resula is Beispiel für ein allgemeineres Prinzip. In dem Zusammenhang sprich man auch von Kompensaion eines Zufallsmaßes und von λ als Kompensaor. Genauer ha man folgendes Theorem, welches wir in dieser Maserarbei nich beweisen können. Definiion+Theorem 3.7 Kompensaor. Sei µ opionales, σ-endliches Zufallsmaß. Dann exisier ein P -f.s. eindeuiges previsibles Zufallsmaß ν Kompensaor genann mi einer der folgenden äquivalenen Eigenschafen: 1. Für alle P messbaren Funkionen H mi H µ A + loc is H ν A+ loc und H µ H ν is lokales Maringal. 2. EH ν = EH µ für alle nichnegaiven P-messbaren Funkionen H auf Ω Beweis. Vgl. [12] Wir kommen nun zu einem wichigen Theorem, mi dessen Hilfe wir Lévy- Prozesse besser versehen werden. Theorem 3.8 Lévy-Io. Sei b R d, C posiiv semidefinie Marix in R d R d, ν sei d-dimensionales Lévy-Maß. Definiere ψu := i b T u 1 2 ut Cu + e i ut x i u T hx 1νdx 3.16 R d mi hx = x1 { x 1} Dann exisier ein eindeuiges W-Maß P auf Ω und ein sochasischer Prozess X, so dass X Lévy-Prozess mi charakerisischem Exponenen ψ bzgl. P is. Überdies is X= X Poisson Punk Prozess mi charakerisischem Maß ν Beweis. Es seien 1. W Wiener Prozess in R d 2. von W sochasisch unabhängiger Poisson Punk Prozess mi charakerisischem Maß ν 3. C 1 2 Lösung von C 1 2 T C 1 2 = C exisier, da C posiiv semidefini is 24

Wir definieren weier X 2 := s X 1 := C 1 2 W + b 3.17 2 := 1 { 1} 3.18 2 s 3.19 Dann is X 1 Lévy-Prozess mi charakerisischem Exponenen ψ 1 u = i b.u 1 2 ut Cu, 2 is Poisson Punk Prozess mi charakerisischem Maß ν 2 dx := 1 { x 1} νdx und X 2 is càdlàg PIID, dami Lévy-Prozess. Genauer is-wie oben fesegesell- X 2 zusammengesezer Poisson Prozess und ha als solcher den charakerisischen Exponen ψ 2 u := e i u.x 1 1 { x 1} νdx 3.2 R d Weier sei 3 := 1 { x <1} 3.21 Dann is 3 Poisson Punk Prozess mi char. Maß ν 3 dx := 1 { x <1} νdx und is-da 2 und 3 konsrukionsgemäß keine gemeinsamen Sprünge aufweisensochasisch unabhängig von 2 siehe Lemma 2.7. Wir definieren weier eine Familie von Prozessen X ε,3 durch X ε,3 := 1 {ε< s <1} s x1 {ε< x <1} νdx 3.22 s R d Wie oben sieh man, das X ε,3 Lévy-Prozess is mi char. Exponenen ψ ε,3 u := e i u.x i u.x 11 {ε< x <1} νdx 3.23 R d In inegraler Schreibweise is für < η < ε X η,3 X ε,3 = xµ X ds, dx η< x <ε η< x <ε xνdx wobei µ X das zu gehörende PZM sei. Es gil mi Doobs Maximalungleichung und dem Argumen aus dem Beweis von Lemma 3.6, ii η, ε : E sup X η,3 s s X s ε,3 2 4E = 4 X η,3 X ε,3 2 R d x 2 1 {η< x <ε} νdx ε wobei für die Konvergenz benuz wurde, dass ν Lévy-Maß is. Es is X ε,3, ε > somi Cauchy-Familie bzgl. der Norm Y := Esup s Y s 2 1 2 auf dem Hilberraum der zweifach inegrierbaren Maringale mi Zeihorizon [, ], mi einem Grenzwer 25

X 3 man beache, dass der Wer von in dieser Argumenaion unerheblich is. Dieser is càdlàg PIID. Um die PIID-Eigenschaf zu sehen, beache man dass aus L 2 -Konvergenz f.s. Konvergenz einer Teilfolge ε n folg und enlang dieser Folge Konvergenz in Vereilung. Miels majorisierer Konvergenz is dann e i θ 1X v 3 X u 3 e i θ 2X 3 X s 3 E = lim n E e i θ 1X εn,3 v = lim E e i θ 1X εn,3 v u n = E e i θ 1X 3 v u E e i θ 2 X 3 s X εn,3 u E e i θ 2X εn,3 s e i θ 2X εn,3 X s εn,3 woraus die PIID-Eigenschaf folg. Als charakerisischer Exponen von X 3 ergib sich durch Grenzwerbildung: ψ 3 u := e i u.x i u.x 11 { x <1} νdx 3.24 R d Da X 3 messbar bzgl. σ 3 is, is X 3 unabhängig von X 2. Insgesam is also X := X 1 + X 2 + X 3 Lévy-Prozess mi char. Exponenen ψ = ψ 1 + ψ 2 + ψ 3 aufgrund der Unabhängigkei der Prozesse X i Nach Konsrukion is der Sprungprozess des Prozesses X; dami ergib sich die leze Behaupung, nach der X Poisson Punk Prozess mi char. Maß ν is. Die im obigen Beweis konsruiere Zerlegung X = X 1 + X 2 + X 3 bezeichne man als Lévy-Io-Zerlegung. Danach kann jeder Lévy-Prozess zerleg werden in einen seigen Brownschen Bewegungseil und zwei Sprungkomponenen. Lezere sind ein zusammengesezer Poisson-Prozess X 2 sowie ein reines Sprungmaringal X 3 mi Sprüngen der Grösse 1. In dem Fall, dass die Kompensaion in der Definiion von X ε,3 nich nöig is dazu späer mehr, können wir den Grenzwer direk berachen und erhalen die gängige Form X = C 1/2 W + b + xµ X ds, dx + < x <1 x 1 xµ X ds, dx < x <1 xνdx Insbesondere erhalen wir also, dass Lévy-Prozesse Semimaringale sind und somi sochasische Analysis angewende werden kann. Die oben beschriebene Semimaringalzerlegung erkennen wir hier wieder; der rein unseige Maringalaneil ergib sich als Inegral über das Sprungmaß des Lévy-Prozesses. Korollar 3.9. Sei ein b, C, ν-lévy-prozess Z gegeben mi Sprungzählmaßprozess N A := 1 A Z s. Dann is N A Poisson-Prozess mi Inensiä νa wobei <s ν das zu Z gehörende Lévy-Maß is. 26

Beweis. Miels Lévy-Io-Zerlegung erhalen wir einen b, C, ν-lévy-prozess X, so dass X s = s Poisson Punk Prozess is; dami is N A := 1 A X s Poissonprozess der Inensiä νa. Dami erhalen wir auch die oben bereis erwähne Beziehung νa = E 1 A X s zwischen Lévymaß und Sprungprozess. <s <s Korollar 3.1. Ein Lévy-Prozess mi Charakerisik b, C, ν is von beschränker Variaion genau dann, wenn C = und 1 x νdx < Beweis. Wir berachen die Lévy-Io Zerlegung X 1 + X 2 + X 3. Da Brownsche Bewegungen von unbeschränker Variaion sind, muss der Gauss-Aneil sein, d.h. es muss C = gelen. X 2 is als zusammengesezer Poisson-Prozess von beschränker Variaion und daher unerheblich. Nun is < x <1 xµx ds, dx < genau dann, wenn x dνx <, vgl. Lemma 3.3. In der Lévy-Io-Zerlegung < x <1 fäll dami für den Prozess X ε,3 = s 1 {ε< s <1} s x1 R d {ε< x <1} νdx die Nowendigkei der Kompensaion durch x1 R d {ε< x <1} νdx weg, um den Grenzwer für ε bilden zu können. X 3 ha dann die Form s 1 {< s <1} s x1 R d {< x <1} νdx. Dieser Prozess is aber von beschränker Variaion genau dann, wenn x dνx <. Da überdies ν Lévy-Maß is, ergib sich die < x <1 äquivalene Bedingung 1 x νdx < wie geforder. Anmerkung 3.11. In der Siuaion von Korollar 3.1 wird häufig eine andere Abschneidefunkion h gewähl genauer wird h = gesez, vgl. die Anmerkung zur Lévy-Khinchine-Zerlegung. Dami ergib sich auch eine verändere Drif; es is dann b := b R d \{} x1 [ 1,1]xνdx. Man erhäl dann die sehr anschauliche Lévy-Io-Darsellung Z = b + xµ X ds, dx = b + Z s R s Der Prozess ergib sich also aus dem seigen, deerminisischen Drif-Aneil b und dem rein unseigen Sprunganeil. Man beache, dass wir sowohl b als auch b als Driferm bezeichnen, obwohl dieser Ausdruck eher auf b zuriff. 27

Wir kommen nun zu einer hilfreichen Charakerisierung von Subordinaoren, also nichnegaiven Lévy-Prozessen. Es is schon angesprochen worden, dass die Nichnegaiviä des Prozesses gleichbedeuend is mi monoon wachsenden Pfaden. Dies wird uner anderem in der folgenden Proposiion gezeig. Proposiion 3.12 Charakerisierung von Subordinaoren. Sei Z Lévy-Prozess auf R mi Charakerisik b, C, ν. Dann sind äquivalen: i Z f.s. für ein > ii Z f.s. für alle > iii Z is fas sicher monoon wachsende Funkion iv Die Charakerisik von Z erfüll C = ν, ] = x 1νdx < b Beweis. ii i Trivial. iii ii Ebenfalls einfach, da aus iii Z Z = für alle fas sicher folg. i ii: Zunächs is Z n f.s. für alle n N, denn es is Z n = n i=1 Z i Z i 1. In dieser Summe sind alle Summanden iid aufgrund der Lévy-Eigenschaf und der erse Summand is Z, welcher nach Voraussezung nichnegaiv f.s. is, also riff dies auch für die Summe zu. Sei nun q = n m Q+ beliebig. Dann is m i=1 Z qi Z qi 1 = Z n. Da wir wissen, dass diese Summe von iid Zufallsgrößen nichnegaiv is, gil dies auch für jeden Summanden, insbesondere für Z q. Is schließlich r R + beliebig, so exisier eine fallende Folge raionaler Zahlen q n, die gegen r konvergier. Aufgrund der obigen Rechnungen is Z qn f.s. für alle n, also is dies aufgrund der rechsseiigen Seigkei von Z auch für Z r richig. Da aber r beliebig war, ergib sich ii. ii iii Da Z Z s wegen der Lévy-Eigenschaf von Z die gleiche Vereilung besiz wie Z s und dieses nach ii fas sicher nichnegaiv is, ergib sich sofor die Aussage iii iii iv Da die Pfade nach Voraussezung nichnegaiv sind, sind sie insbesondere von beschränker Variaion. Daher ergib sich C = und x 1νdx < aus Korollar 3.1. Da die Pfade wachsen, kann es keine negaiven Sprünge geben, d.h. es muss ν, ] = sein. Da der Prozess auch wächs, wenn keine Sprünge vorkommen, ergib sich für die Drif die Bedingung b wie geforder. iv iii Wenn iv gil sind uner anderem die Voraussezungen dafür erfüll, dass Z Pfade von beschränker Variaion ha. Dami ha Z die Darsellung Z = b + s Z s. Da b und die Sprünge fas sicher nichnegaiv sind, sind somi die Pfade von Z fas sicher monoon wachsend. 28