Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Binomische Formeln Stand März 2019 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Fakultät (Faktorielle) n! = 1 2 3 4 (n 1) n Intervalle Notation Bezeichnung enthält alle x mit ]a, b[ oder (a, b) Offenes Intervall a < x < b [a; b] Abgeschlossenes Intervall a x b ]a, b] oder (a, b] Halboffenes Intervall a < x b [a, b[ oder [a, b) Halboffenes Intervall a x < b R + = {x R x 0} R ++ = {x R x > 0} Potenzen und Wurzeln a m a n = a m+n A a m n = n a m a m a n = ( am n n ) m a = n a m (a m ) n = a m n n m a = n m a (a b) n = a n b n n a b = n a n b ( a ) n a n = n a n a b b n b = n b a 1 = a a 0 = 1 a n = 1 a n 0 x = 0 wenn x > 0 und nicht definiert, wenn x 0! 1
Definition des Logarithmus log a x = u x = a u (a > 0, x R ++ ) a heißt Basis, x Numerus, u heißt Logarithmus von x zur Basis a. Rechnen mit Logarithmen (bezüglich einer beliebigen Basis) log (u v) = log u + log v log u v = log u log v log u n = n log u log n u = 1 n log u log1 = 0 log a a = 1 Quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 mit a 0 löst man mit x = b ± b 2 4ac 2a Eine quadratische Gleichung der Form x 2 + px + q = 0 löst man mit x = p (p 2 2 2) ± q Sätze von Vieta Wenn x 1 und x 2 Lösungen der Gleichung x 2 + px + q = 0 sind, so gilt: x 1 + x 2 = p x 1 x 2 = q x 2 + px + q = (x x 1 ) (x x 2 ) Kartesisches Produkt A B = {(x, y) (x A) (y B)} Gesprochen: A kreuz B. Die Elemente dieser Menge, (x, y) heißen geordnete Paare. Das Summenzeichen a 1 + a 2 + a 3 + + a n = 2 a i
Rechnen mit Summen Rechenregeln für Summen (a i + b i ) = a i + k a i = k k = n k a i b i Spezielle Summen i = n (n + 1) 2 i 2 = 1 n (n + 1) (2n + 1) 6 i 3 = [ ] 2 1 n (n + 1) 2 Betrag eines Vektors Gegeben ist der Vektor a = (a 1, a 2,..., a n ) R n Dann definiert man den Betrag (die Länge) des Vektors durch: a = a 2 1 + a2 2 + + a2 n Linearkombination von Vektoren Unter einer Linearkombination versteht man die Summe von reellen Vielfachen verschiedener Vektoren. b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ n a n heißt Linearkombination der Vektoren a 1, a 2,..., a n, wobei λ 1, λ 2,..., λ n reelle Zahlen sind. Rechenregeln für Matrizen A (B C) = (A B) C A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C k (A B) = (k A) B = A (k B) (A B) T = B T A T E A = A E = A ( A 1 ) 1 = A ( A T ) 1 ( = A 1 ) T (A B) 1 = B 1 A 1 (k A) 1 = 1 k A 1 Inverse einer Matrix Für eine quadratische Matrix A definiert man die inverse Matrix A 1 mit: A 1 A = A A 1 = E (E bezeichnet hier die entsprechende Einheitsmatrix) Die Inverse A 1 einer quadratischen Matrix existiert nur, wenn deren Determinante ungleich 0 ist! 3
Determinanten (nur für quadratische Matrizen) 1. Ist A = (a) so ist det (A) = a ( ) a11 a 2. Ist A = 12 so ist det (A) = a a 21 a 11 a 22 a 21 a 12 22 3. Für 3 3-Matrizen: Regel von Sarrus 4. Für alle Matrizen: Laplac scher Entwicklungssatz a) Entwicklung nach der j-ten Spalte: det (A) = n a kj d kj k=1 b) Entwicklung nach der i-ten Zeile: det (A) = n a il d il dabei ist d ij die Adjunkte zum Element a ij gegeben durch: d ij = ( 1) i+j det (D ij ) mit der Teilmatrix D ij, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht. l=1 Wert der Determinante für bestimmte Arten von Matrizen Sind in einer Zeile oder Spalte einer Matrix A alle Elemente gleich Null, so ist: det (A) = 0 Sind zwei Zeilen oder Spalten ein Vielfaches einer anderen Zeile oder Spalte, so ist: det (A) = 0 Ist eine Zeile oder Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten, so ist: det (A) = 0 Ist A eine Dreiecksmatrix, so gilt: det (A) = a 11 a 22 a nn Lösen linearer Gleichungssysteme Ein LGS ist lösbar wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist. Je zwei Gleichungen (= Zeilen des Gleichungssytems) dürfen miteinander vertauscht werden Jede Gleichung darf mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden. Zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden. Rang einer Matrix Unter dem Rang einer Matrix A (Schreibweise: r (A)) versteht man die größte Anzahl linear unabhängiger Zeilen (oder Spalten) der Matrix A. 4
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Die n Vektoren a 1, a 2,..., a n aus dem m-dimensionalen Raum R m heißen linear unabhängig, wenn die lineare Vektorgleichung λ 1 a 1 + λ 2 a 2 +... + λ n a n = 0 nur für λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0 erfüllt ist. Dies bedeutet, es ist nicht möglich einen der Vektoren durch die anderen auszudrücken. Ist dies möglich, heißen die Vektoren linear abhängig. Arithmetische und geometrische Folge Arithmetische Folge a 1, a 1 + d, a 1 + 2d, a 1 + 3d,... Geometrische Folge a1, a 1 q, a 1 q 2, a 1 q 3,... a n+1 a n = d a n = a 1 + (n 1) d a n+1 a n = q a n = a 1 q n 1 Partialsumme: s n = n 2 (a 1 + a n ) Definition Grenzwert einer Folge Partialsumme: s n = a 1 1 qn 1 q 1 s = a 1 1 q q 1 q < 1 Die Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (a n ) n N geschrieben lim n (a n), wenn gilt: ε > 0 n(ε)so, dass a k ]a ε, a + ε[ für alle k n(ε) Reihen Für eine Folge (a n ) n N heißt die Summe S n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n = die n te Partialsumme der Folge (a n ) n N. Die Folge der Partialsummen (S n ) n N heißt Reihe. Man schreibt mit Hilfe des Summenzeichens unabhängig davon, ob (S n ) n N konvergiert symbolisch 5 a i a i
Konvergenz einer Reihe Eine Reihe ist konvergent, wenn die Folge der Partialsummen der zugrunde liegenden Folge konvergiert. Ist (a n ) n N eine Folge und S n = n a i die n te Partialsumme, dann gilt: Konvergiert die Reihe (S n ) n N, so ist (a n ) n N eine Nullfolge, d. h. lim n a n = 0. Ist (a n ) n N keine Nullfolge, so konvergiert die Reihe nicht. (d. h. lim a n n notwendig für die Konvergenz der zugehörigen Reihe). = 0 ist Konvergenz einer geometrischen Reihe Eine geometrische Reihe q i ist konvergent, wenn q < 1 gilt. Der Wert der Reihe ist in i=k diesem Fall gegeben durch: S = q i = i=k qk 1 q wenn q < 1 Kapitalwert einer endlichen Rente K = CF 0 + t=1 CF t (1 + i) t CF t... Cashflow zum Zeitpunkt t, i... Zinssatz Stetige Verzinsung für k Jahre K end = K 0 e i k Ableitungen einiger Funktionen f (x) = c f (x) = 0 f (x) = x n f (x) = n x n 1 für n R f (x) = e x f (x) = e x f (x) = a x f (x) = a x ln (a) f (x) = ln (x) f (x) = 1 x für x R ++ 6
Ableitungsregeln (f ± g) = f ± g (k f) = k f k R (f g) = f g + f g ( ) f = f g f g g g 2 [f (g (x))] = f (g (x)) g (x) Regel von de l Hospital Wenn f und g differenzierbar an einer Stelle x 0 sind und f (x 0 ) = 0 und g (x 0 ) = 0 ist, gilt: f (x) lim x x 0 g (x) = lim f (x) x x 0 g (x) Auch anwendbar für unbestimmte Ausdrücke der Form. Kann auch mehrfach angewendet werden, solange die Voraussetzungen ( 0 0, ) erfüllt sind. Elastizität ε f (x) = f (x) x f (x) ε f (x) gibt zu jeder Inputmenge näherungsweise an, wie stark der Output prozentual auf eine einprozentige Erhöhung dieser Inputmenge reagiert. Grundintegrale k dx = k x + c x n dx = xn+1 n + 1 + c für n 1 x 1 dx = ln x + c für x 0 e x dx = e x + c e a x dx = 1 a ea x + c a x dx = 1 ln (a) ax + c für a > 0, a 1 ln (x) dx = x ln (x) x + c 7
Integrationsregeln (f ± g) dx = f dx ± (k f) dx = k f dx g dx Taylorreihe f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! Näherungsweise Darstellung einer Funktion an einer Stelle x 0. (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 +... Homogenität Eine Funktion f : R n R heißt homogen vom Grad r, wenn es eine Zahl r R gibt, sodass für alle λ R gilt: f (λx 1, λx 2,..., λx n ) = λ r f (x 1.x 2,..., x n ) Gradient Die Zusammenfassung aller n möglichen ersten partiellen Ableitungen in einem n- dimensionalen Zeilenvektor nennt man Gradient von f: ( f grad (f) =, f,, f ) = (f x1, f x2,..., f xn ) x 1 x 2 x n Der Gradient gibt die Richtung des größten Anstiegs von f an. Richtungsableitung (normiert) in Richtung des Vektors z R n f z (x) = 1 grad (f) z z Totales Differential df = f x 1 (x) dx 1 + + f x n (x) dx n Partielle Elastizität ε i (x) = f xi x i f 8
Satz von Schwarz Ist eine Funktion zweimal stetig partiell differenzierbar, so ist die Reihenfolge des Differenzierens egal. Es gilt also: f xi x j = f xj x i Hesse Matrix Die Zusammenfassung der zweiten partiellen Ableitungen in einer quadratischen Matrix nennt man Hessematrix: ( ) fx1 x H (x 1, x 2 ) = 1 f x1 x 2 f x2 x 1 f x2 x 2 Extremwerte Funktion f (x, y) } f Kandidaten für Extremstellen (stationäre Punkte) y (x, y) = 0 x (x, y) = 0 (x S, y S ) f Maximum det (H (x S, y S )) > 0 und f xx (x S, y S ) < 0 Minimum det (H (x S, y S )) > 0 und f xx (x S, y S ) > 0 Sattelpunkt det (H (x S, y S )) < 0 Preiselastizität - Kreuzpreiselastizität ε ii = N i p i pi N i ε ij = N i p j pj N i Grenzrate der Substitution r ij = f xj f xi Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1, x 2,..., x n ) = c (x 1 α1 x n α n ) c > 0, α i > 0 Eigenschaften einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Eine derartige Produktionsfunktion ist homogen vom Grad n Die Grenzproduktivität des i-ten Faktors beträgt: f xi = α i f x i Jede Faktorelastizität ist konstant und beträgt: ε j = α j Die Grenzrate der Substitution ist gegeben durch: r ij = α j α i α i xi x j 9