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Schenkel Winkelbereich Scheitel S α Winkel werden in Grad oder im Bogenmaß (auch Rad) angegeben: 360 =. y cot α r = sin α α cos α tan α x Durch diese Betrachtungen am Einheitskreis werden vier Funktionen definiert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 7
Definition 5. (Winkelfunktionen) Name D W Sinus sin R [, ] Cosinus cos R [, ] Tangens tan R \ { k+ k Z} R Cotangens cot R \ {k k Z} R Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / 7
Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktionen y y = sin x y = cos x x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / 7
Die Graphen der Tangens- und Cotangensfunktionen: y y = tan x y = cot x 4 3 4 5 4 3 x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / 7
Satz 5. (Interpretation am rechtwinkligen Dreieck) C A b α c a B Mit diesen Bezeichnungen gilt dann sin α = a b, cos α = c und tan α = a b c Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 7
Definition 5.3 (Periodische Funktionen) Es sei T > 0. Eine Funktion f : R R heißt T -periodisch, wenn f(x + T ) = f(x) für alle x R. Definition 5.4 (Symmetrie von Funktionen) Es sei I R ein um 0 symmetrisches Intervall. Eine Funktion f : I R heißt....... gerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I..... ungerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 7
Satz 5.5 (Eigenschaften der Winkelfunktionen). sin sowie cos sind - und tan sowie cot sind -periodisch.. sin(x + ) = sin x und cos(x + ) = cos x. 3. sin(x + ) = cos x und cos(x + ) = sin x. 4. tan x = sin x und cotx = cos x tan x. 5. cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot sind ungerade Funktionen. 6. Für alle x R gilt sin x und cos x. 7. sin(x) = 0 genau dann, wenn x = k mit k Z. cos(x) = 0 genau dann, wenn x = k+ mit k Z. 8. sin x + cos x = der Trigonometrische Pythagoras. 9. cos x = + tan x und sin x = + cot x. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / 7
Satz 5.6 (Einschränkungen der Winkelfunktionen) Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen sind streng monoton und wegen Satz 4.0 damit bijektiv auf das jeweilige Bild. sin [ [ ] :,, ] [, ] ist streng monoton wachsend. cos [0,] : [0, ] [, ] ist streng monoton fallend. 3 tan ] ] [ :,, [ R ist streng monoton wachsend. 4 cot ]0,[ :]0, [ R ist streng monoton fallend. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 7
Wegen Satz 4.8 können wir von diesen Einschränkungen aus Satz 5.6 die Umkehrfunktionen angeben. Definition 5.7 (Arcusfunktionen) Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen genannt und sind. arcsin : [, ] [, ]. arccos : [, ] [0, ] 3. arctan : R ], [ 4. arccot : R ] 0, [ Die Graphen der Arcusfunktionen sehen wie folgt aus (siehe Bemerkung 4.9): Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 0 / 7
y y = arccos x y y = arcsin x y = arccot x 4 x y = arctan x x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 7
Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme sehr nützlich: Satz 5.8 (Additionstheoreme) sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tan x ± tan y 3 tan(x ± y) = tan x tan y Daraus erhält man dann Folgerung 5.9 (Doppelte Winkel). sin(x) = sin x cos x. cos(x) = cos x sin x 3. tan(x) = tan x tan x 4. cos x = ( ) + cos(x) und sin x = ( ) cos(x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 7
Eine kleine Beweisskizze für die Additionstheoreme: sin x cos y cos x sin y x cos x cos y cos y sin y sin x sin y x y x + y cos(x + y) sin(x + y) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / 7
Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit 5.5, 5.8 und 5.9 dann natürlich weitere) x in Grad 0 30 45 60 90 x in Rad 0 6 sin x 0 cos x 3 4 3 3 0 tan x 0 3 3 3 cotx 3 3 3 0 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / 7
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Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : N 0 R. Statt f(n) schreiben wir x n und schreiben abkürzend (x n ) := (x 0, x,..., x k,...) für die Sammlung aller Bilder. x n heißt n-tes Folgenglied. Bemerkung: Manchmal macht es Sinn den Definitionsbereich einzuschränken, dieser sollte allerdings dann keine Lücken haben. Beispiele: (n) hat den Definitionsbereich N 0. ( ) n hat den Definitionsbereich N. ( ) (n+)(n 4) hat den Definitionsbereich N 5. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 7
Technisches Hilfsmittel zur Beschreibung des Verhaltens von Zahlenfolgen: Definition (ε-umgebung) Für a R und ε > 0 heißt das offene Intervall ]a ε, a + ε[= {x R x a < ε} die ε-umgebung von a und wird mit U ε (a) bezeichnet. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 7
Was bedeutet Eine Folge läuft gegen einen festen Wert? Definition 6.3 (Konvergenz von Zahlenfolgen) Eine Folge (x n ) heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn gilt ε > 0 n 0 N 0 n n 0 : x n a < ε. Wir schreiben: lim n x n = a oder manchmal auch x n a (n ) und sagen: (x n ) geht gegen a für n gegen unendlich, oder auch: (x n ) konvergiert gegen a. Satz 6.4 Eine konvergente Folge besitzt einen eindeutigen Grenzwert. lim x n = a ist gleichbedeutend mit lim x n a = 0. n n 3 Ist lim n y n = 0 und 0 x n y n für alle n, so gilt lim n x n = 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / 7
Und nun halten wir noch fest, was es bedeutet, wenn eine Folge nicht konvergiert. Von Nicht-Konvergenz gibt es verschiedene Abstufungen. Definition 6.5 (Divergenz). Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.. Eine Folge (x n ) heißt uneigentlich konvergent, wenn gilt M R n 0 N 0 n n 0 : x n > M Wir schreiben in diesem Fall lim n x n = oder x n (n ). Analog macht man das für. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 7
Beispiele 6.6: Jede Folge, die konstant wird (d.h. es gibt eine Zahl m N, so dass x n = x m für alle n m), ist konvergent. Die Folge ( ) ( n =,, 3,... ) konvergiert gegen 0. Genauso auch die Folge ( ) n (falls k > 0). k 3 Ist die Folge (x n ) uneigentlich konvergent und ist x n 0 für alle n, so konvergiert die Folge ( x n ) gegen 0. 4 Die Folge ( ( ) n) ist divergent. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 0 / 7
Definition 6.7 (Teilfolge) Eine Teilfolge einer Folge erhält man, indem man aus ihr eine beliebige Anzahl von Gliedern weg lässt (keines, endlich oder unendlich viele), wobei aber unendlich viele Glieder übrigbleiben müssen. Satz 6.8 (Eigenschaften von Teilfolgen) Ist eine Folge konvergent gegen a, so konvergiert jede Teilfolge ebenfalls gegen a. Hat eine Folge zwei Teilfolgen, die gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren, dann ist die Folge divergent. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 7
Satz 6.9 (Rechenregeln für konvergente Folgen) Es seien (x n ) bzw. (y n ) konvergente Folgen und außerdem sei c R. Dann gilt lim (x n ± y n ) = lim x n ± lim y n. n n n lim (c x n) = c lim x n. n n 3 lim (x n y n ) = lim x n lim y n. n n n x n 4 lim = n y n lim n x n lim n y n (hierbei sei y n 0 und lim n y n 0). 5 Ist x n y n oder x n < y n, dann gilt lim n x n lim n y n. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 7
Definition 6.0 (Grenzwert einer Funktion) Es sei D R eine Teilmenge und ˆx D. Weiter sei f : D \ {ˆx} R eine Funktion. f hat in ˆx den Grenzwert ŷ wenn gilt: Für jede Folge (x n ) in D \ {ˆx} mit lim n x n = ˆx gilt lim n f(x n) = ŷ. Man schreibt dann lim x ˆx f(x) = ŷ. Die Definition lässt sich auch auf ˆx = ± oder ŷ = ± erweitern. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / 7
Definition 6. (Stetigkeit) Es sei f : D R eine Funktion auf der Teilmenge D R. Dann heißt...... stetig in x 0 D, wenn lim x x 0 f(x) = f(x 0 )... stetig, wenn f in jedem Punkt aus D stetig ist. Beispiele 6.:. Die Identität und die Betragsfunktion sind stetig. falls x > 0. Die Signum-Funktion σ : R R mit σ(x) := 0 falls x = 0 falls x < 0 ist nicht stetig. 3. Die Funktion f mit f(x) = ist stetig auf ihrem Definitionsbereich x D = R \ {0}. 4. Die Wurzelfunktionen f : R 0 R 0 mit f(x) = n x für n N sind stetig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / 7
Satz 6.3 (Rechenregeln für Grenzwerte) Es seien f, g : D \ {x 0 } R Funktionen mit lim x x 0 f(x) = a und lim x x 0 g(x) = b, sowie c R. Dann gilt lim x x 0 ( f(x) ± g(x) ) = a ± b. lim x x 0 ( c f(x) ) = c a. 3 lim x x 0 ( f(x) g(x) ) = a b. f(x) 4 lim x x 0 g(x) = a b (falls b 0). Beispiele 6. [cont.]: 5. Die Potenzfunktionen sind stetig und die Polynome sind stetig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / 7
Satz 6.4 Es seien f, g : D R stetig in x 0 D und c R. Dann sind auch f ± g, c f, f g und f g stetig (wobei im letzten Fall g(x) 0 für alle x D vorausgesetzt werden muss). Ist f : D R stetig in x 0 D und g : ˆD R mit f(d) ˆD stetig in f(x 0 ) ˆD, so ist g f stetig in x 0. Satz 6.5 Die Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen sind stetig auf ihren Definitionsbereichen. Beispiele 6. [cont.]: 6. f : x x + ist stetig. 7. x arctan ( sin(x) ) ist stetig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 7
Nullstellensatz 6.6 Ist f : [a, b] R eine stetige Funktion mit f(a) f(b) < 0, so gibt es ein x [a, b] mit f(x) = 0. Beispiel: Das Polynom f mit f(x) = x 3 + x x erfüllt f( 3) = 8 < 0 und f() =, hat also eine Nullstelle in [ 3, ] (sogar drei:, und ). Zwischenwertsatz 6.7 Es sei f : [a, b] R eine stetige Funktion und es gelte f(a) f(b). Dann gibt es zu jedem y zwischen f(a) und f(b) ein x [a, b], so dass f(x) = y. Beispiel [cont.]: Das Polynom f mit f(x) = x 3 + x x nimmt sogar jeden Wert in [ 8, ] im Intervall [ 3, ] an. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 7