Springer-Lehrbuch
Albert Fetzer Heiner Fränkel Mathematik 1 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 11., bearbeitete Auflage Mit Beiträgen von Akad. Dir. Dr. rer. nat. Dietrich Feldmann Prof. Dr. rer. nat. Albert Fetzer Prof. Dr. rer. nat. Heiner Fränkel Prof. Dipl.-Math. Horst Schwarz Prof. Dr. rer. nat. Werner Spatzek Prof. Dr. rer. nat. Siegfried Stief
Prof. Dr. Albert Fetzer Hochschule für Technik und Wirtschaft Aalen Prof. Dr. Heiner Fränkel Hochschule Ulm ISBN 978-3-642-24112-3 DOI 10.1007/978-3-642-24113-0 ISBN 978-3-642-24113-0 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995, 1997, 2000, 2003, 2005, 2007, 2008, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Eva Hestermann-Beyerle Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-vieweg.de
Vorwort zur elften Auflage Seit über dreißig Jahren verwenden Studenten und Lehrkräfte technischer Hochschulen dieses nunmehr in elfter Auflage vorliegende Mathematikwerk gerne als Arbeitsmittel. Es zeichnet sich durch eine exakte und anschauliche Darstellung aus. Der Lehrstoff ist klar gegliedert und gut strukturiert. Zahlreiche Abbildungen tragen zum Verständnis bei und fördern das Selbststudium. Eine Fülle von Beispielen und Aufgaben zu praktischen Anwendungen veranschaulichen und vertiefen den Stoff. Mit Genugtuung stellen wir fest, dass wir im Vergleich zur vorherigen Auflage keine Korrekturen vornehmen mussten. Jedoch stellen wir ein mnemotechnisches Hilfsmittel zur Berechnung des Kreuzproduktes zweier Vektoren vor. Wir danken unseren Lesern für ihr Interesse, für ihren trotz der Umstellung auf Bachelor- Studiengänge positiven Zuspruch und freuen uns weiterhin über Verbesserungsvorschläge. Aalen, Ulm im Herbst 2011 Albert Fetzer Heiner Fränkel Vorwort zur vierten Auflage Seit fast zwanzig Jahren wird das vorliegende Mathematikwerk von Studenten und Dozenten an Fachhochschulen und Technischen Hochschulen verwendet und hat sich sowohl als Lehr- und Lernmittel wie auch als autodidaktisches Hilfsmittel äußerst gut bewährt. Neue Aufgabengebiete und Anforderungen der betreffenden Bildungseinrichtungen haben nun jedoch eine vollständige Überarbeitung notwendig erscheinen lassen. Damit wird der Entwicklung im Bereich von Computer- und Kommunikationstechnik Rechnung getragen. Berücksichtigt wird auch, daß der Computereinsatz neue Arbeitsmethoden und Algorithmen ermöglicht. Die Aufnahme neuer Stoffgebiete machte eine straffere Darstellung einiger Kapitel erforderlich. Die Inhalte wurden nunmehr auf zwei Bände verteilt. Folgende Themen wurden zusätzlich aufgenommen: Geometrische Transformationen und Koordinatentransformationen im R 2 und R 3 Eigenwerte von Matrizen Problematik der Rundungsfehler bei numerischen Verfahren QR-Algorithmus Kubische Splines Fourier-Transformation Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben
VI Vorwort zur vierten Auflage Inhalt dieses Bandes 1 Mengen, reelle Zahlen 2 Funktionen 3 Zahlenfolgen und Grenzwerte 4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit 5 Komplexe Zahlen 6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten 7 Vektoren und ihre Anwendungen 8 Differentialrechnung 9 Integralrechnung Die Abschnitte 1 und 2 enthalten Grundbegriffe, die zum Verständnis der folgenden Kapitel unerläßlich sind. Die Abschnitte 3 und 4 bereiten die Differential- und Integralrechnung vor. Die Abschnitte 5, 6 und 7 können in beliebiger Reihenfolge (auch parallel zum Analysis-Kurs) erarbeitet werden. Dabei wird den Wünschen der Kollegen Rechnung getragen, die technische Fächer lehren und Kenntnisse, z.b. über komplexe Zahlen, bereits im ersten Studiensemester voraussetzen müssen. Abschnitt 7 wird ergänzt durch geometrische Transformationen und Koordinatentransformationen, die z.b. in der Computergrafik eine zentrale Rolle spielen. Außerdem werden die Eigenwerte von Matrizen behandelt sowie der QR-Algorithmus, der bei schlecht konditionierten Gleichungssystemen oft bessere Ergebnisse erzielt als der übliche (auch modifizierte) Gaußsche Algorithmus. In Abschnitt 8 wird die Differentialrechnung behandelt. Dabei wurde der klassische Weg gewählt, nämlich ausgehend von dem anschaulichen Problem, die Tangente an einem Punkt einer Kurve zu definieren. Anschließend erfolgt die abstrakte Definition der Ableitung mit dem Hinweis, daß diese Abstraktion mehrere physikalische oder technische Interpretationen zuläßt. Alsdann werden zur bequemen Handhabung Rechenregeln (ein Kalkül) hergeleitet. Besonders eingegangen wird auf die einseitigen Ableitungen, da die in der Praxis auftretenden Funktionen oft Stellen aufweisen, in denen nur einseitige Ableitungen existieren. Erinnert sei z.b. an die Betragsfunktion. Zum weiteren Aufbau der Differentialrechnung und zur Herleitung z.b. der Taylorschen Formel, der Regeln von Bernoulli-de l Hospital sowie der Kurvendiskussion wird der Mittelwertsatz der Differentialrechnung benötigt. Abschnitt 9 befaßt sich mit der Integralrechnung. Ausgehend von der Berechnung des Flächeninhalts wird das bestimmte Integral als Grenzwert der Riemannschen Zwischensumme definiert. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt dann einen Zusammenhang zwischen diesen Teilgebieten der Mathematik her. Damit erhält man einen Kalkül zur Berechnung eines bestimmten Integrals, nämlich über das Aufsuchen von Stammfunktionen. Durch die uneigentlichen Integrale wird der Begriff Integrierbarkeit erweitert, wodurch auch neue Funktionen, z.b. die Gamma-Funktion, definiert werden können.
Vorwort zur ersten Auflage VII Inhalt des zweiten Bandes Anwendung der Differential- und Integralrechnung, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexwertige Funktionen, gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen veranschaulichen und vertiefen auch in diesen beiden Bänden den Stoff. Zahlreiche Aufgaben mit Lösungen zu jedem Kapitel erleichtern das Selbststudium. Wir danken dem VDI-Verlag für die gute Zusammenarbeit. Düsseldorf, März 1995 Albert Fetzer Heiner Fränkel Auszug aus dem Vorwort zur ersten Auflage Zielgruppen Das dreibändige Werk richtet sich hauptsächlich an Studenten und Dozenten der technischen Fachrichtungen an Fachhochschulen. Auch Studenten an Universitäten und Technischen Hochschulen können es während ihrer mathematischen Grundausbildung mit Erfolg verwenden. Die Darstellung des ausgewählten Stoffes ist so ausführlich, daß es sich zum Selbststudium eignet. Vorkenntnisse Der Leser sollte mit der Bruch-, Potenz, Wurzel- und Logarithmenrechnung, der elementaren Geometrie sowie mit der Trigonometrie vertraut sein; dennoch werden diese Themen teilweise angesprochen. Stoffauswahl Den Autoren war klar, daß die Mathematik für die oben angesprochenen Zielgruppen (bis auf einzelne Ausnahmen) immer nur Hilfswissenschaft sein kann. Sie bemühten sich, die Stoffauswahl aufgrund der Erfordernisse der verschiedenen Studiengänge an den technischen Fachrichtungen der Fachhochschulen vorzunehmen. Die Fragestellung war also: Welche Themen sind für die technischen Studiengänge wichtig? Geht man z.b. davon aus, daß die Studenten am Ende der mathematischen Grundausbildung in der Lage sein sollen, eine Differentialgleichung aufstellen und lösen zu können oder die Fourierreihe einer Funktion zu bestimmen, so implizieren diese Ziele eine ausführliche Behandlung der Differential- und Integralrechnung. Da die Ableitung und das bestimmte Integral durch Grenzwerte definiert werden, ergibt sich daraus als ein Groblernziel der Begriff des Grenzwertes; er erweist sich sogar als einer der wichtigsten Begriffe der anwendungsorientierten Mathematik. Dieses Thema wird deshalb besonders ausführlich dargestellt. Dabei werden verschiedene Grenzwerte (z.b. von Zahlenfolgen, Funktionen usw.) auf einheitliche Weise mit Hilfe des Umgebungsbegriffes definiert.
VIII Vorwort zur ersten Auflage Darstellung Besonderer Wert wurde auf eine weitgehend exakte und doch anschauliche Darstellung gelegt. Das erfordert, einerseits Beweise mathematischer Sätze nicht fortzulassen und andererseits sie durch Beispiele und Zusatzbemerkungen zu erhellen. Da die Beweise einiger Sätze jedoch über den Rahmen dieses Buches hinausgehen, wurde in solchen Fällen der Beweis ersetzt durch zusätzliche Gegenbeispiele, die die Bedeutung der Voraussetzungen erkennen lassen. In den Naturwissenschaften treten Objekte auf, die durch Maßzahlen und Einheiten beschrieben werden: Eine Strecke der Länge 27 cm, ein Würfel mit dem Volumen 27 cm 3, eine Schwingung mit der Periode 27 s und der Amplitude 3 cm. Die Worte»Länge«,»Volumen«,»Periode«u.a. werden andererseits auch innerhalb der Mathematik in ähnlichem Zusammenhang verwendet, hier allerdings lediglich durch Zahlen beschrieben: Das Intervall [ 7,20] hat die Länge 27, der durch die Punktmenge {(x,y,z) 0 3 und 0 y 3 und 1 z 2} definierte Würfel hat das Volumen (den Inhalt) 27, die durch f (x)=3 cos 2π x definierte Funktion f hat die Periode 27 27 und die Amplitude 3. Innerhalb der Mathematik ist es daher nicht sinnvoll, von der Maßzahl der Länge des Intervalls [ 7,20] usw. zu sprechen. Wendet man die Mathematik auf die Naturwissenschaften an, so führt man z.b. ein Koordinatensystem im gegebenen Körper ein und zwar zweckmäßig so, daß die Maßzahlen, die den Körper beschreiben, gleich jenen Zahlen sind, die ihn innerhalb der Mathematik beschreiben. Hinweise für den Benutzer Die Strukturierung ist ein wertvolles didaktisches Hilfsmittel, auf das die Autoren gerne zurückgegriffen haben. Die Hauptabschnitte werden mit einstelligen, die Teilabschnitte mit zweistelligen Nummern usw. versehen. Am Ende eines jeden Teilabschnittes findet der Leser ausgewählte Aufgaben (schwierige Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet), an Hand derer er prüfen kann, ob er das Lernziel erreicht hat. Zur Kontrolle sind die Lösungen mit Lösungsgang in knapper Form im Anhang zu finden. Definitionen sind eingerahmt, wichtige Formeln grau unterlegt, Sätze eingerahmt und grau unterlegt. Das Ende des Beweises eines Satzes ist durch einen dicken Punkt gekennzeichnet. Oft werden Definitionen und Sätze durch anschließende Bemerkungen erläutert, oder es wird auf Besonderheiten hingewiesen. Hannover, August 1978 Albert Fetzer Heiner Fränkel
Inhalt 1 Mengen, reelle Zahlen 1 1.1 Begriffe und Sprechweisen 1 1.2 Mengenoperationen 3 1.3 Die Menge der reellen Zahlen 3 1.3.1 Grundgesetze der Addition und der Multiplikation 4 1.3.2 Grundgesetze der Anordnung 6 1.3.3 Eigenschaften der Vollständigkeit 12 Aufgaben 12 1.4 Vollständige Induktion 13 1.4.1 Summenschreibweise 13 1.4.2 Vollständige Induktion bei Summenformeln 15 1.4.3 Vollständige Induktion bei Ungleichungen 18 1.4.4 Binomischer Satz 19 Aufgaben 22 2 Funktionen 24 2.1 Grundbegriffe 24 2.1.1 Einige spezielle Funktionen 28 2.1.2 Umkehrfunktion und Verkettung von Funktionen 30 Aufgaben 36 2.2 Eigenschaften von Funktionen 38 Aufgaben 43 2.3 Rationale Funktionen 44 2.3.1 Ganzrationale Funktionen 44 2.3.2 Gebrochenrationale Funktionen 49 Aufgaben 55 2.4 Potenzfunktionen. 56 2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen 58 2.5.1 Sinusfunktion und Kosinusfunktion 59 2.5.2 Tangensfunktion und Kotangensfunktion 61 2.5.3 Arcus-Funktionen 64 Aufgaben 68
X Inhalt 3 Zahlenfolgen und Grenzwerte 70 3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen 70 Aufgaben 74 3.2 Konvergente Folgen 76 3.2.1 Grenzwert einer Folge 76 3.2.2 Rechnen mit Grenzwerten 84 Aufgaben 91 3.3 Monotone und beschränkte Folgen 93 3.3.1 Konvergenzkriterium monotoner Folgen 93 3.3.2 Die Eulersche Zahl e 96 Aufgaben 98 3.4 Die e- und die ln-funktion 99 Aufgaben 106 4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit 108 4.1 Grenzwert von / für x->oo 108 Aufgaben 117 4.2 Grenzwert von /fürx->x 0 118 4.2.1 Definition des Grenzwertes von /fürx->x 0 118 4.2.2 Einseitige Grenzwerte; Uneigentliche Grenzwerte 125 4.2.3 Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen 130 Aufgaben 136 4.3 Stetige und unstetige Funktionen 138 4.3.1 Definition der Stetigkeit 138 4.3.2 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen 142 4.3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 146 Aufgaben 154 4.4 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion 156 Aufgaben 160 4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen 161 Aufgaben 166 4.6 Spezielle Grenzwerte 166 5 Die komplexen Zahlen 169 5.1 Definition der Menge C 169 Aufgaben 182 5.2 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen 183 Aufgaben 187
Inhalt XI 5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren 188 Aufgaben 197 6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten 199 6.1 Lineare Gleichungssysteme; das Gaußsche Eliminationsverfahren 199 6.1.1 Vorbetrachtungen 199 6.1.2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren 200 Aufgaben 204 6.2 Matrizen 204 6.2.1 Grundbegriffe 204 6.2.2 Addition und Multiplikation von Matrizen 208 6.2.3 Die Inverse einer Matrix 216 Aufgaben 218 6.3 Determinanten 220 6.3.1 Definition der Determinante 220 6.3.2 Eigenschaften der Determinanten 224 6.3.3 Berechnung der Inversen einer regulären Matrix 228 Aufgaben 231 6.4 Lineare Gleichungssysteme 233 6.4.1 Allgemeines über die Lösungen von Gleichungssystemen 233 6.4.2 Quadratische, lineare Systeme mit regulären Matrizen 237 Aufgaben 243 7 Vektoren und ihre Anwendungen 245 7.1 Vektoroperationen 247 7.1.1 Vektoraddition 247 7.1.2 Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl 250 7.1.3 Das Skalarprodukt 253 7.1.4 Das vektorielle Produkt 259 7.1.5 Das Spatprodukt 263 Aufgaben 265 7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems 267 7.2.1 Lineare Abhängigkeit 267 7.2.2 Komponentenschreibweise 270 7.2.3 Anwendung in der Geometrie 279 7.2.4 Mehrfachprodukte 290 Aufgaben 292 7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen 294 7.3.1 Geometrische 3D-Transformationen 295 7.3.2 Koordinatentransformationen 305 Aufgaben 309
XII Inhalt 7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen.. 310 Aufgaben 326 7.5 Numerisches Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen 327 7.5.1 Probleme bei der numerischen Behandlung 327 7.5.2 Der QR-Algorithmus 333 Aufgaben 338 8 Differentialrechnung 339 8.1 Begriff der Ableitung 339 8.1.1 Steigung einer Kurve 339 8.1.2 Definition der Ableitung 340 8.1.3 Einseitige und uneigentliche Ableitungen 344 8.1.4 Anwendungen der Ableitung in den Naturwissenschaften 348 Aufgaben 353 8.2 Ableitungsregeln 354 8.2.1 Ableitung einiger Funktionen 354 8.2.2 Differentiation einer Linearkombination von Funktionen 356 8.2.3 Die Produktregel 358 8.2.4 Die Quotientenregel 359 8.2.5 Ableitung einer mittelbaren Funktion 361 8.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion 363 8.2.7 Höhere Ableitungen 365 Aufgaben 368 8.3 Ableitung elementarer Funktionen 369 8.3.1 Ableitung der rationalen Funktionen 370 8.3.2 Ableitung der trigonometrischen Funktionen und der Arcus-Funktionen.. 370 8.3.3 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion 373 8.3.4 Ableitung der hyperbolischen Funktionen und der Area-Funktionen... 376 Aufgaben 379 8.4 Das Differential einer Funktion 381 8.4.1 Der Begriff des Differentials 381 8.4.2 Anwendung in der Fehlerrechnung 383 Aufgaben 385 8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 387 8.5.1 Satz von Rolle 387 8.5.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 390 8.5.3 Die Taylorsche Formel 394 8.5.4 Numerische Differentiation 401 Aufgaben 405 8.6 Berechnung von Grenzwerten 407 8.6.1 Regeln von Bernoulli-de l'hospital 407 8.6.2 Anwendung auf weitere unbestimmte Formen 411 Aufgaben 413
Inhalt XIII 8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung 415 8.7.1 Monotone Funktionen 415 8.7.2 Extremwerte 416 8.7.3 Konvexität und Wendepunkt 422 Aufgaben 430 8.8 Numerische Verfahren zur Lösung von Gleichungen 433 8.8.1 Allgemeines Iterationsverfahren 433 8.8.2 Das Iterationsverfahren von Newton 441 8.8.3 Regula falsi 444 Aufgaben 446 9 Integralrechnung 449 9.1 Das bestimmte Integral 449 9.1.1 Einführung 449 9.1.2 Zerlegungen 450 9.1.3 Definition des bestimmten Integrals 452 9.1.4 Weitere Definitionen und Sätze über integrierbare Funktionen 456 9.1.5 Flächeninhalt 468 Aufgaben 470 9.2 Das unbestimmte Integral 470 9.2.1 Integralfunktion 470 9.2.2 Stammfunktion und unbestimmtes Integral 477 Aufgaben 480 9.3 Integrationsmethoden 481 9.3.1 Grundintegrale 481 9.3.2 Grundformeln 482 9.3.3 Partielle Integration 487 9.3.4 Integration durch Substitution 491 9.3.5 Tabelle unbestimmter Integrale 494 Aufgaben 497 9.4 Uneigentliche Integrale 498 9.4.1 Integrale über unbeschränkte Intervalle 499 9.4.2 Integrale von nicht beschränkten Funktionen 506 9.4.3 Die T-Funktion 508 Aufgaben 511 9.5 Numerische Integration 512 9.5.1 Vorbetrachtungen 512 9.5.2 Spezielle Integrationsformeln 513 9.5.3 Summierte Integrationsformeln 517 Aufgaben 525
XIV Inhalt Anhang Aufgabenlösung Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4 Zu Abschnitt 5 Zu Abschnitt 6 Zu Abschnitt 7 Zu Abschnitt 8 Zu Abschnitt 9 Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis