Tutorium Mathematik ITB(B), WI(B) Aufgabeblatt F Aufgabe zum Kapitel Fuktioe Prof Dr Peter Plappert Fachbereich Grudlage Aufgabe : Bestimme Sie jeweils de maimal mögliche Defiitiosbereich D ma a) f ( = 5l( ) + si( ) b) g ( = 7 Aufgabe : Die Fuktio K( = + 6 + (vgl die Skizze ute) beschreibt die Gesamtkoste [i GE] bei der Produktio vo ME eies Gutes Welche ökoomisch sivolle Defiitiosbereich schlage Sie hier vor? 6 4 K( -5-4 - - - 4 5 6 7 8 9 - -4-6 Aufgabe Löse Sie diese Aufgabe ohe Tascherecher! Gegebe ist die Gesamtkostefuktio K( = 4 + a) Bereche Sie die Koste, die bei eier Herstellugsmege vo = ;;,5; sowie =,5 ME afalle b) Wie ist der Wert K() ökoomisch zu iterpretiere? c) Skizziere Sie die Fuktio K( uter Beutzug der Ergebisse aus a) d) Gebe Sie eie möglichst große ökoomisch sivolle Defitiosbereich a e) Lese Sie aus der Skizze de zugehörige Wertebereich ab f) Bestimme Sie die Umkehrfuktio g) Welche Mege ka höchstes hergestellt werde, we die Koste K =4 GE icht überschreite dürfe? Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt F Seite /7
Aufgabe 4 Betrachte Sie zuächst die Fuktio f ( = 5, ( + ) a) Bereche Sie die Nullstelle vo f ( b) Skizziere Sie die Fuktio Utersuche Sie u die Fuktio p( = 5, ( + ), die beschreibt, welcher Preis p sich erziele lässt, we ME eies bestimmte Gutes abgesetzt werde solle c) Bestimme Sie eie möglichst große ökoomisch sivolle Defiitiosbereich d) Wie lautet der etsprechede Wertebereich? e) Ermittel Sie die Fuktio ( p), die beschreibt, welche Mege zum Preis p abgesetzt werde ka f) Welcher Preis lässt sich beim Absatz vo ME des Gutes erziele? g) Welche Mege lässt sich zum Preis vo GE/ME absetze? Aufgabe 5: Utersuche Sie die folgede Fuktioe auf Smmetrie a) f ( = si b) g ( e + c) h( = e si Aufgabe 6 = Diese Aufgabe soll ohe Beutzug eies Rechers gelöst werde a) Skizziere Sie die Fuktioe = e, = e ud = e i eiem gemeisame Koordiatiosstem b) Bereche Sie die Nullstelle der Fuktio = e π Aufgabe 7: Gegebe ist die Fuktio f ( = si 4 a) Bestimme Sie Amplitude, Periode sowie alle Nullstelle b) Skizziere Sie die Fuktio c) Gebe Sie alle im Itervall [ ; 8π ] liegede Lösuge der Gleichug si π = a 4 Aufgabe 8 a) Zerlege Sie das Polom f ( = + 4 6 i Liearfaktore b) Gebe Sie diejeige Werte a, für die f ( > gilt Aufgabe 9: Gegebe ist das Polom f ( = + 6 5 a) Bereche Sie f ( ); f ( ); f ( ); f (); f () b) Skizziere Sie de Fuktiosgraphe c) Bereche Sie uter Beutzug eies Tascherechers die Nullstelle des Poloms auf vier Nachkommastelle geau Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt F Seite /7
Aufgabe : Gesucht ist die Nullstelle der Fuktio f ( = e Es soll das Newto- Verfahre mit Startwert = agewedet werde a) Bereche Sie ohe Beutzug eies Tascherechers b) Bereche Sie weitere Näheruge mit Recher, bis Sie die Nullstelle auf vier Nachkommastelle geau ermittelt habe Aufgabe : Zerlege Sie Zähler ud Neer der Fuktio 7 + 8 + 6 f ( = i Liearfaktore 4 6 Aufgabe *: Bereche Sie alle Nullstelle des Poloms f ( = + 4 6 4 + 4 Ergebisse zum Aufgabeblatt F Diese Datei ethält ur Edergebisse ud icht evetuell otwedige Zwischeschritte oder Überleguge Bei Frage ud Probleme wede Sie sich bitte a mich ud vereibare ggf eie Termi für eie Sprechstude! Bitte mache Sie mich darauf aufmerksam, we Sie Fehler i dieser Datei fide Aufgabe : a) Es muss > sei, also D = (; ) ma ma = { 7 oder 7} b) Es muss 7 sei, also D Aufgabe : Da egative Produktiosmege silos sid: D = [ ; ) Aufgabe a) K( ) = 5 ; K( ) = 55 ; K(,5) = 6 ; K ( ) = 7 ; K (,5) = [GE] b) K() = Fikoste, die auch da etstehe, we ichts produziert wird c) Skizze: öko 4 5 5 K( 75 5 5,5,5,5 Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt F Seite /7
d) D öko = [; ) Beachte Sie, dass K( für = icht defiiert ist ud für > egativ werde ka, ud vergleiche Sie auch die Skizze e) W = [ 5; ) f) Auflöse vo K = 4 + ach liefert = Diese Umkehrfuktio (K) K 4 hat Defiitiosbereich D = [ 5; ) ud Wertebereich W = [; ) g) ( 4) =,7 [ME] Aufgabe 4 a) = 6 ud = 4 b) Skizze: 5 4 f( -8-6 -4-4 6 - - - -4-5 c) Da sowohl als auch p gelte soll, ergibt sich D öko = [; 4], vgl Skizze d) Wege p ( ) = 4,8 ergibt sich W = [; 4,8] e) Auflöse vo p = 5, ( + ) ach liefert = 5 5 p Diese Umkehrfuktio ( p) hat Defiitiosbereich D = [; 4,8] ud Wertebereich W = [; 4] (Hiweis: das egative Vorzeiche vor der Wurzel = 5 5 p kommt icht i Betracht, da da selbst egativ wäre) f) p( ) =, [GE/ME] g) ( ) = 5, 87 [ME] Aufgabe 5: a) f ( = ( si( = ( si = si = f ( Smmetrie zum Ursprug b) g( = e + = e + = g( c) keie Smmetrie Smmetrie zur -Achse Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt F Seite 4/7
Aufgabe 6 a) = e Strecke i -Richtug mit Faktor, siehe Ergäzuge zu Kap, S 5 Nr f) = e Verschiebe um Eiheite ach ute, siehe Ergäzuge zu Kap, S 5 Nr b) = e Skizze: siehe ute b) e = = l = (l ) 8 7 6 5 4 = e = e = e - - - - - π Aufgabe 7: Gegebe ist die Fuktio f ( = si 4 π a) Amplitude = ; Periode = 4π ; Nullstelle + k π ; k Z b) Skizziere Sie die Fuktio,5 f(,5 -,5 π π 4π 6π 8π - -,5 - Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt F Seite 5/7
c) Die Lösuge vo si π = ud vo si π = sid die Lösuge 4 4 vo si π = bzw vo si π =, d h die Tief- bzw Hochpukte der 4 4 Fuktio Die zugehörige -Werte liege also i der Mitte zwische zwei Nullstelle Aus der Skizze (oder durch Eisetze vo z B = π ) sieht ma, dass die Lösuge vo si π 7 = gegebe sid durch = π + k 4π, k Z Im Itervall 4 7 5 [ ; 8π ] liege ur die beide Lösuge = π sowie = π Aufgabe 8 a) Methode: durch dividiere, eie Nullstelle rate, Polomdivisio Ergebis: f ( = ( + ) ( ) b) Die Fuktio f ( ka höchstes a de Stelle = ud = das Vorzeiche wechsel > Für < ist ( + ) ud ( ) <, also f ( < > Für < < ist ebefalls ( + ) ud ( ) <, also f ( < > Für > ist ( + ) ud ( ) >, also f ( > Atwort: f ( > ur für > (Amerkug: a der Stelle = wechselt f ( das Vorzeiche icht, da hier eie doppelte Nullstelle vorliegt Skizze zur Verdeutlichug war bei der Aufgabe icht verlagt): 8 6 f( 4-4 - - - 4 - -4-6 -8 Aufgabe 9: Gegebe ist das Polom f ( = + 6 5 a) f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) 9; f () = 5; f () = b) Skizziere des Fuktiosgraphe: siehe ächste Seite Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt F Seite 6/7
c) Die Nullstelle ka hier icht durch Rate ud Polomdivisio gefude werde; es muss daher das Newto-Verfahre agewedet werde Ei sivoller Startwert ist =, siehe Skizze ute Wege f ( = 6 + 6 lautet die Berechugsformel f ( ) + 6 5 + = = f ( ) 6 + 6 Damit ergibt sich (bei Rechug mit 4 Nachkommastelle) =, 556 ud =, 56 = Die gesuchte Nullstelle lautet also, 56 4 f( - -,5 - -,5 - -,5,5 - Aufgabe : Es ist + f ( = e Die Berechugsformel des Newto-Verfahres lautet also = f ( ) = f ( ) e e e a) = = =, 5 e b) Bei Rechug mit 4 Nachkommastelle ist =, 6, =, 69, =, 69 = 4 Aufgabe : Methode: Zähler: eie Nullstelle rate, da Polomdivisio; Neer: quadr Gleichug ( + )( 4) Ergebis: f ( = ( + )( 4) Aufgabe *: Diese Aufgabe ist ziemlich aufwedig Methode: durch Faktor dividiere, zweimal (!) eie Nullstelle rate mit jeweils aschließeder Polomdivisio; zuletzt quadratische Gleichug Ergebis: f ( = ( )( + )( + )( + + ) Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt F Seite 7/7