Systemtheorie Vorlesung 2: Eigenschaften der Fourier-Transformation Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Fourier-Transformation Eigenschaften der Fourier-Transformation Definitionsgleichungen der Fourier-Transformation jt ( ) = ( ) X x t e dt jt x ( t) = X( ) e d 2 erlauben die Berechnung von Korrespondenzen der Fourier-Transformation Rechenregeln und Eigenschaften der Fourier-Transformation ermöglichen die Herleitung weiterer Korrespondenzen und Zusammenhänge im Frequenzbereich Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2
Fourier-Transformation Existenz der Fourier-Transformation Fourier-Transformierte X() eines Signals x(t) errechnet sich aus der Definitionsgleichung jt ( ) = ( ) X x t e dt Integral konvergiert nicht für beliebige Funktionen x(t), Beispiel kausale Exponentialfunktion Bedingungen für die Existenz der Fourier-Transformation, zur Herleitung dieser Beziehung wird der Betrag der Fourier-Transformierten abgeschätzt jt jt ( ) ( ) ( ) ( ) X x t e dt = x t e dt = x t dt Abschätzung zeigt, dass die Fourier-Transformierte existiert, wenn das Signal x(t) absolut integrierbar ist Bedingung ist hinreichend, aber nicht notwendig, es existieren Zeitfunktionen, für die die Bedingung nicht erfüllt wird, deren Fourier-Transformierte aber trotzdem berechnet werden können Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3
Fourier-Transformation Existenz der Fourier-Transformation Zeitliche begrenzte Signale mit begrenzter Amplitude Zeitlich begrenzte Signale mit endlicher Amplitude erfüllen die Bedingung der absoluten Konvergenz, der Betrag des Signals nach oben mit x max abgeschätzt werden, die Fourier-Transformierte existiert uner diesen Bedingungen immer t 2 2 jt ( ) ( ) ( ) ( ) X x t e dt x t dt x dt = x t t t t t max max 2 Kausale Signal Konvergenzbedingung kann mit Hilfe der Exponentialfunktion abgeleitet werden, Funktion x(t) wird mit Hilfe einer Exponentialfunktion nach oben abgeschätzt jt t ( ) ( ) X x t e dt M e dt Damit existiert die Fourier-Transformierte, wenn für den Parameter gilt: < Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4
Fourier-Transformation Fourier-Transformation für Leistungssignale Signale können in Energie- und Leistungssignale eingeteilt werden Energiesignale ( ) 2 x t dt Leistungssignale T T/2 2 lim x ( t ) dt T T/2 Leistungssignale erfüllen die Bedingung nach absoluter Integrierbarkeit nicht, trotzdem lassen sich die Spektren von Leistungssignalen berechnen Voraussetzung ist die Einführung der Impulsfunktion im Spektralbereich Darstellung der Rechnung an einigen Beispielen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5
Beispiel: Fourier-Transformation Fourier-Transformation für ein konstantes Signal Konstantes Signal x(t) = ist nicht absolut integrierbar Berechnung der Fourier-Transformierten dieses Signals über Impulsfunktion im Frequenzbereich X ( ) ( ) = ( ) = lim ( + ) ( ) Inverse Fourier-Transformation /2 j t j t j t j t 2 2 x ( t) = ( ) e d = lim e d = lim e e 2 2 2 j t /2 2 j sin t sin t 2 2 lim lim = = = 2 j t 2 t 2 2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6
Signal x(t) Beispiel: Fourier-Transformation Fourier-Transformation für ein konstantes Signal Zeitfunktion x(t) = besitzt das Spektrum ( ) = ( ) X 2 Zeitfunktion ist nicht absolut integrierbar, trotzdem kann ihr ein Spektrum X() zugewiesen werden Anschaulich bedeutet diese Korrespondenz, dass das konstante Signal keine Spektralanteile mit besitzt Zeit t Berechnung des Zeitsignals hätte auch direkt mit der Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion erfolgen können Spektrum X()2 Kreisfrequenz Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7
Beispiel: Fourier-Transformation Fourier-Transformation harmonischer Signale Ausgangspunkt für die Berechnung der Korrespondenz ist die Vermutung, dass sich das Spektrum der Kosinus-Funktion gemäß der Eulerschen-Formel x t cos t e e 2 ( ) ( ) ( j t j = t = + ) aus zwei Impulsen an den Stellen - und zusammensetzt Berechnung der Zeitfunktion zu dem Spektrum ( ) ( ) + ( ) X = + Inverse Fourier-Transformation j t jt x t X e d e d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + + 2 2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8
Spektrum X() Signal x(t) Beispiel: Fourier-Transformation Fourier-Transformation harmonischer Signale Anwendung der Ausblendeigenschaft der Fourier- Transformation nach Aufteilung des Integrals jt x ( t) ( ) e d 2 = + jt + ( ) e d 2 2 ( ) j t = e + d 2 ( ) j t + e d = + = 2 jt jt ( e e ) cos( t) - Zeit t - Kreisfrequenz Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9
Fourier-Transformation Dualität zwischen Zeit- und Frequenzbereich Definitionsgleichungen der Fourier-Transformation jt ( ) = ( ) X x t e dt jt x ( t) = X( ) e d 2 weisen eine formelle Ähnlichkeit auf In beiden Fällen wird ein uneigentliches Integral über das Produkt einer Funktion und einer Exponentialfunktion mit imaginärem Argument gebildet Wegen Ähnlichkeit zwischen Zeit- und Frequenzbereich kann aus einer bekannten Korrespondenz ( ) X( ) x t die sogenannte duale Korrespondenz berechnet werden ( ) = ( ) ( ) = ( ) y t X t 2 x Y Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Fourier-Transformation Dualität zwischen Zeit- und Frequenzbereich Zum Beweis wird in die Gleichung für die inverse Fourier-Transformation der Ausdruck für das neue Spektrum eingesetzt jt jt jt y t Y e d 2 x e d x e d ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 2 2 Substitution = - führt zu dem Ausdruck jt jt jt ( ) = ( ) = ( ) = ( ) x e d x e d x e d X t Vergleich mit der Definitionsgleichung der inversen Fourier-Transformation jt ( ) = ( ) X x t e dt bestätigt die Dualität zwischen Zeit- und Frequenzbereich Jede im Zeitbereich berechnete Korrespondenz besitzt eine duale Korrespondenz Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Beispiel: Fourier-Transformation Dualität zwischen Zeit- und Frequenzbereich Spektrum der Rechteckfunktion x ( t) = ( t + 3) ( t 3) wurde berechnet zu ( ) sin 3 X( ) = 2 3 3 Korrespondenz von dem Spektrum ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) Y = 2 x = 2 + 3 3 = 2 + 3 3 ergibt sich wegen der Dualität zwischen Zeit- und Frequenzbereich zu ( ) sin t 3 y ( t) = X( t) = 2 3 t 3 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2
Fourier-Transformation Fourier-Transformation reeller Signale Spektrum eines Signals x(t) errechnet sich nach der Definitionsgleichung der Fourier- Transformation zu und jt ( ) = ( ) X x t e dt jt ( ) = ( ) X x t e dt Bei reellen Signalen ergibt sich das Spektrum des konjugiert komplexe Spektrum zu jt ( ) = ( ) = ( ) X x t e dt X Konjugiert komplexes Spektrum Gerader Realteil Ungerader Imaginärteil Gerader Betrag Ungerade Phase X Re X ( ) = X( ) ( ( )) = Re X( ) ( ) ( ( )) = Im X( ) Im X X ( ) = X( ) ( ) = ( ) ( ) Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3
Fourier-Transformation Fourier-Transformation komplexer Signale Komplexe Signale haben kompliziertere Symmetriebedingungen, Zerlegung des Signals in gerade und ungerade Signalanteile erforderlich Symmetriebedingungen erlauben die Berechnung des Spektrums eines konjugiert komplexen Signals ( ) ( ) x t X ( ) ( ) ( g ) ( u ( )) ( g ( )) ( u ( )) x t = Re x t + Re x t + j Im x t + jim x t ( ) ( ) ( g ) ( u ( )) ( g ( )) ( u ( )) X = Re X + Re X + jim X + jim X Eigenschaft wird bei der Berechnung der Leistung von Signalen genutzt Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4
Beispiel: Fourier-Transformation Fourier-Transformation der Sprungfunktion Sprungfunktion ist nicht absolut integrierbar, so dass die Berechnung über die Definitionsgleichung der Fourier-Transformation ausscheidet Berechnung des Spektrums nach Aufteilung in zwei Summenden mit bekannten Korrespondenzen x t t sgn t 2 2 ( ) = ( ) = + ( ) Einsetzen der Funktion in die Definitionsgleichung der Fourier-Transformation X sgn t e dt e dt sgn t e dt X X 2 2 2 2 jt jt jt ( ) = + ( ) = + ( ) = ( ) + ( ) Spektrum der konstanten Zahl /2 ergibt sich zu X ( ) = ( ) 2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5
Spektrum X() Signal x(t) Beispiel: Fourier-Transformation Fourier-Transformation der Sprungfunktion Spektrum der Signum-Funktion errechnet sich mit der Dualität von Zeit- und Frequenzbereich und der Korrespondenz der Hyperbelfunktion zu ( ) ( ) X t 2 x j sgn t ( ) X2 ( ) = 2 j = 2 j Spektrum der Sprungfunktion zu ( ) ( ) ( ) ( ) X X X = + 2 = + j Zeit t Kreisfrequenz Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6