ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 18 Mathematik I (Analysis) D C Aufgabe 1 [6 Punkte] Bestimmen Sie den Winkel α im Trapez ABCD. 5 α. A 1 Aufgabe [1 Punkte] Geben Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungen in! an. 6%. B a) e x = e x + b) x +1 x x = x 1 x + x 3 c) ln( x + ) + ln( x) = ln( 3x 1) Aufgabe 3 [1 Punkte] Sei z 1, z, z 3,... eine unendliche geometrische Folge in! und sei q = z n+1 z n für alle n!. Bekannt sind die ersten zwei Folgenglieder: z 1 = 4 + i, z = 1.5 +.5i a) Bestimmen Sie q. b) Ab welchem n! ist der Abstand zwischen z n und dem Ursprung in der Gauss schen Zahlenebene kleiner als.1? c) Ausgehend vom Ursprung werden die Strahlen a 1, a, a 3,... gezeichnet, die jeweils durch z 1, z, z 3,... gehen. Existiert ein m!, so dass die Strahlen a n und a n+m für alle n! jeweils aufeinander zu liegen kommen? Wenn ja: Bestimmen Sie m. Wenn nein: warum nicht? Aufgabe 4 [1 Punkte] An den Graphen der Funktion f(x) = x +1 wird im ersten und im zweiten Quadranten je eine Tangente gelegt. Das bezüglich der y-achse symmetrische Dreieck, welches von den zwei Tangenten und von der x-achse definiert wird, soll minimale Fläche haben. Bestimmen Sie diese kleinste Fläche. f(x)x Aufgabe 5 [16 Punkte] Gegeben ist die Funktion f n ( x) = x n e x n! ( ). a) Setzen Sie zunächst n = 1. Bestimmen Sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von ( x) und skizzieren Sie den Funktionsgraphen. Berechnen Sie anschliessend die Fläche im dritten Quadranten, welche vom Graphen von x ( ) und von der x-achse eingeschlossen wird. b) Sei nun n eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass f n ( x)dx = n! Beachte! Für alle n! gilt: lim x x n e x =
Lösungen Mathematik I (Analysis) Herbst 18 Die Note N berechnet sich für die Punktzahl p gemäss der Formel N = 1+ p, wobei auf halbe Noten zu 11 runden ist (Viertelnote aufrunden). Lösung 1 D α C 5 x. A α. 1 B Im Dreieck ABC: cos(α) = 1 x Im Dreieck ACD: tan(α) = 5 x Daraus folgt: 1 cos(α) = 5 tan(α) 1tan(α) = 5cos(α) sin(α) cos(α) = cos(α) sin(α) = cos (α) sin(α) = 1 sin (α) sin (α) + sin(α) 1= sin(α) = 1.414 oder sin(α) = 1+.414 α 4.47
Lösung.a e x = e x + ( e ) x = e x + Substitution: e x = y y y = y 1, = ± 4 + 8 = 1± 3 y 1 = 1+ 3.73... oder y = 1 3.73... x 1 = ln y 1 ( ) 1.5... ( ) ist nicht definiert.) ( ln y Lösungsmenge: L = { ln( 1+ 3) } = { 1.5... } Lösung.b x +1 x(1 x) = x 1 (x + 3)(x 1) Gemeinsamer Nenner: GN = x(x + 3)(x 1) (x +1)(x + 3) = x(x 1) x 5x 3 = x 1x = 4x 7x + 3 Definitionsmenge: D =! \ { 1.5 ; ; 1} = (4x 3)(x 1) x =.75 oder x = 1 Lösungsmenge: L = {.75}
Lösung.c ln( x + ) + ln( x) = ln( 3x 1) ln( x x + x) = ln( 3x 1) x x + x = 3x 1 x 3 = x 1 x 3 = x x +1 x 3 x + x 1= x ( x 1) + x 1 ( ) = ( x +1) ( x 1) = x = 1 Kontrolle: ln 1 + + ln 1? = ln 3 1 1? ln( 3) + ln(.5) = ln(.5 ) f ln( 1.5) = ln(.5) Lösungsmenge: L = { }
Lösung 3.a Variante 1: q = 1.5 +.5i 4 i 8.5 + 8.5i = =.5 +.5i [ pt] 4 + i 4 i 16 +1 Variante : Sei q = a + bi ( 4 + i) ( a + bi) = 1.5 +.5i 4a b = 1.5 4b + a =.5 4( 4a 1.5) + a =.5 17a = 8.5 a =.5,b =.5 Lösung 3.b Der Betrag eines Produkts zweier komplexer Zahlen entspricht dem Produkt der Beträge der zwei komplexen Zahlen: q =.5 +.5 =.5 [.5 pt] z 1 = 4 +1 = 17 [.5 pt] z = 1.5 +.5 = 8.5 = z 1 q z 3 = z q = 8.5.5 = 4.5 Allgemein: z n = z 1 q n 1 = 17.5 n 1 = 17 n 1 Lösung: Sei m, so dass 17 <.1 n 1 17 =.1 m 1 17 = 1 6 m 1 m 1 = 17 1 6 ln m 1= log ( 17 1 ) ( 17 6 16 ) = ln( ) 4.19 n = 6
Lösung 3.c.5 q in Exponentialform: q =.5 e iρ, wobei ρ = arccos.5 (oder ρ = arcsin.5.5 = arcsin(.5 ) = π 4 ) = arccos(.5 ) = π 4 [ pt] ρ = π 4 entspricht einer Achteldrehung; somit ist die Antwort: ja, m = 8. [ pt]
Lösung 4 Sei y = mx + c die Tangente im ersten Quadranten und P( x y ) der Berührungspunkt der Tangente. Ableitung von f(x): f '(x) = x Steigung der Tangente in P( x y ) : m = x Bestimmung von c: x +1= y = ( x )x + c c = x +1 y = ( x )x + x +1 Schnittpunkt der Tangente mit den Koordinatenachsen: Mit der y-achse: x = y = x + 1 Mit der x-achse: y = = ( x )x + x +1 x = x +1 x Fläche des Dreiecks: A(x ) = x +1 x x +1 ( ) ( = x +1 ) x Ableitung: A'(x ) = ( x +1 ) x x x +1 ( ) [ pt] ( x ) Extrema: A'(x ) = = 8x x +1 ( ) ( x +1) = 4x ( x +1) 1= 3x x = ±.3 ±.577 Minimale Fläche: A(.3 ) = x = (.3 +1).3 = 8 3 1.5396 9.3.577 entspricht einem Minimum, da für x die Fläche des Dreiecks gegen unendlich geht; für x = 1 ist die Fläche des Dreiecks A(1) = > 1.5396.
Aufgabe 5.a Nullstellen: = x e x x = Ableitungen: Extrema: Wendepunkte: ( ) = x e x ( ) = 1+ x ( ) = + x ' x '' x ''' x ' x ( )' = 1 e x + x e x = e x ( 1+ x) (( ) e x )' = 1 e x + ( 1+ x) e = e x + x (( ) e x )' = 1 e x + ( + x) e = e x 3 + x ( ) = x = 1, y = e 1.37... ( ) > Min 1.37... '' 1 '' x ( ) [ pt] ( ) ( ) ( ) = x =, y = e.7... ( ) WP.7... ''' ( ) Partielle Integration: Mit Grenzwerten: Fläche: x e x dx = x e x 1 e x dx = x e x e x + k [ pt] u(x) = x v '(x) = e x x e x dx = x e x e x u'(x) = 1 v(x) = e x = ( ) ( 1 ) = 1 x e x dx = 1
Aufgabe 5.b Für alle n! hat die Funktion f n ( x) eine Nullstelle im Ursprung und die Asymptote y = für x. Induktionsanfang: (x)dx = 1 (siehe Teilaufgabe 5.a) Induktionsschritt: - Voraussetzung: f n (x)dx = x n e x dx = n! (*) - Behauptung: f n+1 (x)dx = x n+1 e x dx = ( n +1)! - Beweis (part. Integr.): x n+1 e x dx = x n+1 e x ( n +1) x n e x dx [ pt] u(x) = x n+1 v '(x) = e x u'(x) = ( n +1) x n v(x) = e x ( ) Mit Grenzwerten: x n+1 e x dx = x n+1 e x (*) = x n+1 e x oder (*) = x n+1 e x ( ) x n e x dx n +1 ( n +1) n! = ( n +1) n! + ( n +1) n! = + ( n +1) n! [ pt] Fläche: f n+1 (x)dx = x n+1 e x dx = ± ( n +1) n! = ( n +1)!