Gliederung. Einleitung und Grundegriffe. Endliche utomten 2. Formle Sprchen 3. Berechenrkeitstheorie 4. Komplexitätstheorie E: diversion.. Grundlgen.2..3. Grenzen endlicher utomten /2, S. 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Prolemstellung Gegeen seien eine Sprche L und ein endlicher utomt mit L() = L. Frge: Git es einen kleineren ( zgl. der nzhl der ustände ) endlichen utomten mit L( ) = L?... relevnte Frgestellung, weil mn evtl. esser versteht ls mn Speicherpltz und/oder Rechenufwnd sprt, wenn mn nstelle von enutzt, und üer die Verkleinerung von utomten später eine Möglichkeit geschffen wird, zu prüfen, o zwei utomten diesele Sprche kzeptieren. /2, S. 2 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
ein Beispiel Sei Σ = {, }. Sei L = { w Σ* w ist Binärdrstellung einer durch 4 teilren ntürlichen hl }. (Führende Nullen seien erlut.) und sind endliche utomten mit L() = L zw. L( ) = L. z z z 2 z' z' z z 3 z' 2 Ds knn mn drn sehen, dss eide utomten genu ds Wort und lle --Folgen mit Suffix kzeptieren. /2, S. 3 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
lgorithmische ufge zulässige Einge: ein endlicher utomt, in dem jeder ustnd vom Strtzustnd us erreichr ist zulässige usge: ein endlicher utomt mit folgenden zwei Eigenschften: () L( ) = L() (2) Es git keinen endlichen utomten mit L( ) = L(), der weniger ustände ls ht. Hinweis: ustände, die vom Strtzustnd us nicht erreichr sind, knn mn edenkenlos streichen (gleiche Sprche, weniger ustände). Dies wird jetzt eim Minimieren stets ls erledigt vorusgesetzt! Beispiel: z z /2, S. 4 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Einschu: lte und neue Sprchen rund um einen utomten Erinnerung: Die Menge K (z) ller Wörter, die den utomten von z nch z ringen, wurde definiert ls K (z) = { w Σ* δ*(z,w) = z }. Die Menge L(,z) zw. L (z) ller Wörter, die den utomten von z in einen kzeptierenden ustnd ringen, ist L (z) := { w Σ* δ*(z,w) F }. u L (z) gehören genu lle Wörter, die kzeptieren würde, wenn z der Strtzustnd wäre. Erinnerung: Die Menge L() ller Wörter, die den utomten von z in einen kzeptierenden ustnd ringen, ist L() = { w Σ* δ*(z,w) F } = L (z ). lso ist L() = L (z ). Merkregel: K (z) : nch z kommen L (z) : leving z / z verlssen /2, S. 5 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Einschu: Sprchen rund um einen utomten usmmenhänge K (z) L (z) z z F L() L() = U z F K (z) L() = L (z ) nsttt z L (z) ist die Sprche des utomten mit = [,Σ, z,f,δ] K (z) ist die Sprche des utomten mit = [,Σ,z, {z},δ] nsttt F /2, S. 6 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Einschu: Sprchen rund um einen utomten Verständnistest: Frge K (z) L (z) z z F L() Welche usmmenhänge estehen zwischen K (z) L (z) und L()? /2, S. 7 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Einschu: Sprchen rund um einen utomten Verständnistest: ntworten Welche usmmenhänge estehen zwischen K (z) L (z) und L()? Die Wörter in K (z) L (z) führen vom Strtzustnd üer z zu einem kzeptierenden ustnd, gehören lso zu L(): K (z) L (z) L() L() = U z K (z) L (z) ( Sonderfälle üerlegen: z=z, z F) Wenn K (z) L (z) leer ist, ist K (z) leer, lso vom Strtzustnd us z unerreichr, oder L (z) ist leer, lso von z us F unerreichr, (oder eides). /2, S. 8 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
ustndsäquivlenz Die ustände z und z heißen äquivlent, kurz z z, gdw. L (z) = L (z ) gilt. Grundidee der Minimierung Vorschu Bestimme ustände, die äquivlent sind, und ersetze diese jeweils durch einen ustnd. z z z 2 {z,z 2 } utomt? (J!) {z } z z 3 {z,z 3 } Prolem: Wenn L [z] unendlich ist, wie knn mn Äquivlenz mit endlichem ufwnd prüfen? /2, S. 9 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
mit endlichem ufwnd prüfr: k-ustndsäquivlenz Es sei = [,Σ,z,F,δ] ein endlicher utomt; es seien z, z ; es sei k N. Die Menge L k (z) ller Wörter der Länge k, die kzeptiert würden, wenn z der Strtzustnd wäre, ist definiert ls: L k (z) = { w Σ* δ*(z,w) F und w k }. Die ustände z und z heißen k-äquivlent, kurz z k z, gdw. L k (z) = L k (z ) gilt. grundlegender usmmenhng () Die ustände z und z sind genu dnn äquivlent, wenn sie für lle k =,, 2,... k-äquivlent sind.... weil jedes Wort irgendeine endliche Länge ht. /2, S. 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Beispiele für k-ustndsäquivlenz Klsseneinteilung zgl. -Äquivlenz: K = { { z }, { z,z 2,z 3,z } } L : {ε} z z z z 2 z 3 Klsseneinteilung zgl. -Äquivlenz: K = { { z }, { z,z 3 }, { z 2,z } } L : {ε,} {} Klsseneinteilung zgl. 2-Äquivlenz: K 2 = { { z }, { z,z 3 }, { z 2,z } } L 2 : {ε,,} {} {,} 3-äquivlent? 4-äquivlent? usw.... immer noch unendlich viele Prüfschritte? /2, S. 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
weitere usmmenhänge Es sei = [,Σ,z,F,δ] ein endlicher utomt; es seien z,z ; es sei k N. Die ustände z und z sind -äquivlent gdw. (2) entweder eide in F ( d.h. L [z] = L [z ] = {ε} ) klr oder eide nicht in F (d.h. L [z] = L [z ] = ). (3) Wenn die ustände z und z (k+)-äquivlent sind, so sind die die ustände z und z uch k-äquivlent.... weil die k lngen Wörter uch zu den k+ lngen gehören (4) Die ustände z und z sind (k+)-äquivlent gdw. für lle x Σ gilt, dss die ustände δ(z,x) und δ(z,x) k-äquivlent sind.... weil lles ws ich in mx. k+ Schritten erreichen knn, llem entspricht, ws ich in einem ersten und mx. k weiteren erreiche.* *) streng mthemtisch mit mehr Formeln, er nicht tiefsinniger. /2, S. 2 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Mengen / Reltionen (3) ist feiner ls hier im utomteneispiel für k= hen L = hen L ={ε} lle ustände z z z z 2 z 3 hen L = z z 3 z Kl = { { z }, { z,z 2,z 3,z } } L : {ε} hen L = {} z 2 z Kl = { { z }, { z,z 3 }, { z 2,z } } L : {ε,} {} hen L = {ε,} /2, S. 3 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
lgorithmisch nutzrer usmmenhng: Seien = [,Σ,z,F,δ] ein endlicher utomt, k N, K k und K k+ die durch k und k+ induzierten Klsseneinteilungen und K die durch induzierte Klsseneinteilung. Dnn gilt: K k = K gdw. K k = K k+. : Wegen (2): (k+)-äquivlent k-äquivlent. Mit K k = K: k-äquivlent äquivlent. Wegen(): äquivlent k-äquivlent. lso: (k+)-äquivlent k-äquivlent. : us z k+ z 2 folgt mit (4) uch δ(z,) k δ(z 2,) für lle Σ. Wegen K k = K k+ folgt δ(z,) k+ δ(z 2,) für lle Σ. usmmen mit z k+ z 2 folgt dnn wegen (4) uch z k+2 z 2 und nlog z k+3 z 2, z k+4 z 2 usw., lso wegen (2) uch z z 2. ruchkriterium: ufhören, sold keine echte Verfeinerung mehr: K k = K k+! /2, S. 4 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
( Teil ) Es sei = [,Σ,z,F,δ] ein endlicher utomt. k:=. /* Bestimmung der durch induzierten Klsseneinteilung */ Setze M, := F, M,2 := \ F und K = { M,,M,2 }. Nächster_Schritt: /* K k = { M k,,...,m k,n } ist eine Klsseneinteilung von in Klssen von k-äquivlenten uständen. Nun Bestimmung von K k+ */ Setze k := k+: Setze K k :=. /* Fülle nun K k mit Unterklssen der Klsseneinteilung K k-.*/ Für jedes i =,...,n: - Bestimme eine Klsseneinteilung H k,i von M k-,i in Klssen von k-äquivlenten uständen. /* z und z kommen in eine Klsse, flls für lle x Σ gilt: δ(z,x) und δ(z,x) gehören zu ein und derselen Klsse in K k- */ - Setze K k = K k H k,i. Flls K k = K k-, so setze K := K k, Stop; Wenn nicht, gehe zu Nächster_Schritt. /2, S. 5 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Beispiel z Klssen -äquivlenter ustände: K = { M,,M,2 } mit M, = { z 3,,z 6 } ; M,2 = { z,z,z 2, } z Klsseneinteilung H, für M, : δ(z 3,) = M, usw. z 2 z 3 \ Σ z 3 M, M, M, M, z 6 M, M, z 6 H, := {{ z 3,,z 6 }} = {M, }, d.h. M, wird nicht unterteilt. M, = { z 3,,z 6 }, /2, S. 6 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Beispiel z Klssen -äquivlenter ustände: K = { M,,M,2 } mit M, = { z 3,,z 6 } ; M,2 = { z,z,z 2, } z Klsseneinteilung H,2 für M,2 : z 2 z 3 z M,2 M,2 z M,2 M, z 2 M,2 M,2 M,2 M, z 6 H,2 = { M,2,M,3 } mit M,2 = { z,z 2 }; M,2 = { z, } /2, S. 7 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
( Teil 2 ) Es sei = [,Σ,z,F,δ] ein endlicher utomt. Es sei K die Klsseneinteilung von in Klssen äquivlenter ustände. Der gesuchte minimle endliche utomt = [,Σ,z,F,δ ] mit L( ) = L(), der sog. Quotientenutomt, ergit sich wie folgt: Setze Σ := Σ Für jedes M K nimm einen ustnd z M in die Menge uf Setze z := z M mit z M /* Es git genu ein solches M. */ F := { z M M F } /* Eine Äquivlenzklsse kzeptiert, wenn einer Ihrer ustände kzeptiert.*/ Für jedes z M und jedes x Σ: - setze δ (z M,x) := z M mit M := { δ(z,x) z M } /* die Menge lle x-iele von uständen us M. Sie ist (zum Glück) immer selst eine Äquivlenzklsse */ /2, S. 8 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Beispiel z Klssen äquivlenter ustände: K = { M,M 2,M 3 } mit M = { z,z 2 }; M 2 = { z, }; M 3 = { z 3,,z 6 } z z 2 z 3 z M z M 2 z M 3, z 6 /2, S. 9 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Mnuelle Minimierung, hier ohne Mengenindizes (is zu 26 uständen OK) nhnd des vorigen Beispiels TEIL K z z z z z 2 z 3 z 2 z 3 z 2 z 3 z 2 z 6 Klssen \F, F enennen, z.b. mit und. Einträge: In welcher Klsse liegt der ustnd? z 6 z 6 z 6 /2, S. 2 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Mnuelle Minimierung, hier ohne Mengenindizes (is zu 26 uständen OK) nhnd des vorigen Beispiels TEIL 2 Klssenverfeinerung von K nch K usnhmsweise frlich mrkiert. K K z z z 2 z 3 Unterschiedliche ukunft unterschiedliche Teilklsse neu enennen. B B z 6 /2, S. 2 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Mnuelle Minimierung, hier ohne Mengenindizes (is zu 26 uständen OK) nhnd des vorigen Beispiels TEIL 3 z z z z z 2 z 3 z z K B B keine weitere ufspltung K= K ; Stop. z 2 z 2 z 2 B z 3 z 3 z 3 z 2 z 6 B z 6 z 6 z 6 z 6 /2, S. 22 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Mnuelle Minimierung, hier ohne Mengenindizes (is zu 26 uständen OK) nhnd des vorigen Beispiels TEIL 4 evtl. Klssen-Tellen neeneinnder, er nicht in flsche Telle schuen! K K z B z B z 2 B z 3 z 6 B nfngszustnd: z kz. ustände: Wo finden sich z 3,,z 6? In //, nur,, B z M z M 2 z M 3 /2, S. 23 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Eigenschften des und der Minimlutomten Es sei = [,Σ,z,F,δ] ein endlicher utomt mit n uständen, in dem jeder ustnd vom Strtzustnd us erreichr ist. Ds Ergenis der nwendung des uf liefert einen minimlen endlichen utomten mit L( ) = L() ( miniml in der nzhl der ustände ). Geeignet implementiert enötigt der O(n 2 ) viele Rechenschritte, um zu estimmen. Fkt: lle utomten mit der gleichen Sprche wie und mit der Minimlzhl von uständen (lso mit gleich vielen wie ) sind isomorph, d.h. sie unterscheiden sich höchstens in den Nmen der ustände. Dies liefert einen lgorithmus zur Prüfung, o zwei utomten die gleiche Sprche hen: Sie hen gleiche (genuer: isomorphe) Minimlutomten. Üerlegen Sie, wie Sie ds systemtisch prüfen (lssen) würden! /2, S. 24 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Beispiel zum Üen: Wir minimieren von Hnd z z z 2 z 3 /2, S. 25 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Beispiel zum Üen: Wir minimieren von Hnd z z z 2 z 3 z z z 2 z 3 z z 2 z 3 z /2, S. 26 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Beispiel zum Üen: Wir minimieren von Hnd z z z 2 z 3 z z z z 2 z 2 z 3 z 3 z /2, S. 27 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Beispiel zum Üen: Wir minimieren von Hnd z z z 2 z 3 z z Y z z 2 Y z 2 z 3 Y z 3 z Y /2, S. 28 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Beispiel zum Üen: Wir minimieren von Hnd, z z z 2 z 3 Y z z z Y z z 2 z 3 Y z 2 z 2 Y z 3 z 2 z 6 Y z 6 z 6 /2, S. 29 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik
Wrnung vor elietem Fehler nnhme: irgendein wischenergenis fst wie im vorigen Beispiel Nächste Klsseneinteilung? Y Y Y Y Y?? B!! Es wird immer feiner zerlegt und nicht erlegtes wieder zusmmengeklet! /2, S. 3 28 Prof. Steffen Lnge, Dr. Bernd Bumgrten - h_d/fi - Theoretische Informtik