Methode der finiten Elemente

PROF. DR. 0. C. ZIENKIEWICZ Methode der finiten Elemente MIT 214 BILDERN CARL HANSER VERLAG MÜNCHEN WIEN 1975

Inhaltsverzeichnis 1. Vorbetrachtungen Steiligkeit von Konstruktionen Netzwerkanalyse 1.1. Einleitung 17 1.2. Das Bauelement 18 1.3. Untersuchung des Gesamtsystems 22 1.4. Koordinatentransformation... 25 1.5. Verzweigte Stromkreise und Rohrsysteme 26 1.6. Das allgemeine Schema 28 2. Finite Elemente des elastischen Kontinuums Ansatz für die Verschiebung 2.1. Einleitung 30 2.2. Bestimmung der Charakteristika finiter Elemente 31 2.2.1. Verschiebungsfunktion 31 2.2.2. Verzerrungen 33 2.2.3. Spannungen 33 2.2.4. Ersatz-Knotenkräfte 34 2.2.5. Verallgemeinerte Bedeutung der Verschiebungen, Verzerrungen und Spannungen 37 2.3. Verallgemeinerung auf den gesamten Bereich ohne Verwendung innerer Knotenkräfte 37 2.4. Der Verschiebungsansatz als Energieminimierungs-Verfahren... 39 2.5. Konvergenzkriterien 41 2.6. Verschiebungsfunktionen mit Unstetigkeiten zwischen den Elementen... 42 2.7. Schranke der Formänderungsenergie in einem Verschiebungsverfahren 42 2.8. Direkte Minimierung 43 8. Verallgemeinerung des Verfah- rens der flniten Elemente 3.1. Allgemeine Variationsprobleme.. 44 3.2. Konvergenzkriterien 46 3.3. Knotenfreie Variable 47 3.4. Alternativ-Verfahren zur Methode der finiten Elemente 49 3.5. Erstes Beispiel: Die PoissoNsche Differentialgleichung 51 3.5.1. Minimum des Funktionais.... 52 3.5.2. Verfahren des gewichteten Restes 53 3.6. Zweites Beispiel: Die laminare Strömung 54 3.7. Schlußbemerkungen 57 4. Ebener Spannungszustand und ebener Verzerrungszustand 4.1. Einleitung 58 4.2. Charakteristika des Elementes.. 59 4.2.1. Verschiebungsfunktionen.... 59 4.2.2. Verzerrung.. \ 60 4.2.3. Anfangsverzerrungen (thermisch bedingte Verzerrungen) 61 4.2.4. Elastizitätsmatrix 63 4.2.5. Steifigkeitsmatrix 65 4.2.6. Knotenkräfte zufolge der Anfangsverzerrung 66 4.2.7. Volumenkräfte 66 4.2.8. Potential der Volumenkraft... 67 4.2.9. Spannungsbestimmung 68 4.3. Beispiele Abschätzung der Genauigkeit 68 4.4. Praktische Anwendung..... 71 4.5. Ebener Verzerrungszustand eines inkompressiblen Werkstoffes... 82 5. Rotationssymmetrischer Spannungszustand 5.1. Einleitung 83 5.2. Charakteristika des Elementes.. 84

12 Inhaltsverzeichnis 5.2.1. Verschiebungsfunktion..... 84 5.2.2. Verzerrungen 85 5.2.3. Anfangsverzerrung (thermische Verzerrung) 86 5.2.4. Elastizitätsmatrix 87 5.2.5. Steifigkeitsmatrix 88 5.2.6. Äußere Knotenkräfte 90 5.2.7. Knotenkräfte zufolge einer Anfangsverzerrung 91 5.2.8. Volumenkräfte 91 5.2.9. Spannungsberechnung 92 5.3. Beispiele 94 5.4. Praktische Anwendungen.... 95 5.5. Unsymmetrische Beanspruchung. 96 6. Bäumlicher Spannungszustand 6.1. Einleitung 100 6.2. Charakteristika des Tetraeder- Elementes 101 6.2.1. Verschiebungsfunktionen.... 101 6.2.2. Verzerrungsmatrix 103 6.2.3. Elastizitätsmatrix 104 6.2.4. Steifigkeit, Spannung und Belastungsmatrizen 105 6.3. Elemente mit acht Knoten... 106 6.4. Beispiele und Schlußbemerkungen 106 7. Formfunktionen der Elemente Elementklassen 7.1. Einleitung 112 ZWEIDIMENSIONALE ELEMENTE 113 7.2. Rechteckige Elemente Vorbetrachtungen 113 7.3. Rechteckige Elemente SERENDIPITY-Klasse 116 7.4. Rechteckige Elemente LAGRANGEsche Klasse 118 7.5. Innere Knoten und knotenlose Variable 120 7.6. Eliminierung der inneren Variablen vor dem Zusammenfügen Unterstrukturen 122 7.7. Dreieckselemente 124 7.7.1. Flächen-Koordinaten 124 7.7.2. Formfunktionen 126 EINDIMENSIONALE ELEMENTE 128 7.8. Lineare Elemente 128 DREIDIMENSIONALE ELEMENTE.129 7.9. Rechteckige Prismen SEEENDIPITY-Klasse 129 7.10. Rechteckige Prismen LAGRAUGESche Klasse 131 7.11. Tetraeder-Elemente 131 7.11.1. Volumen-Koordinaten 131 7.11.2. Formfunktion 133 7.12. Andere einfache räumliche Elemente 133 7.13. Schlußbemerkungen 135 8. Gekrümmte, isoparametrisehe Elemente und numerische Integration 8.1. Einleitung KRUMMLINIGE KOORDINATEN 136 138 8.2. Die Anwendung von Formfunktionen bei der Aufstellung von Koordinatentransformationen.. 138 8.3. Die Kompatibilität der Elemente 140 8.4. Variation der unbekannten Funktionen bei verzerrten, krummlinigen Elementen Stetigkeitsforderungen 142 8.5. Erfüllung des Kriteriums der konstanten Ableitung 143 TRANSFORMATION. 145 8.6. Bestimmung der Elementmatrizen (Transformation in (-, rj-, C-Koordinaten) 145 8.7. Elementmatrizen Flächen- und Volumenkoordinaten 147 NUMERISCHE INTEGRATION 149 8.8. Numerische Integration eindimensional 149

Inhaltsverzeichnis 13 8.9. Numerische Integration Rechteck- oder Quader-Bereiche. 152 8.10. Numerische Integration Dreieck- oder Tetraeder-Bereich 153 8.11. Schlußbemerkungen 157 9. Anwendung der isoparametrischen Elemente in der zwei- und dreidimensionalen Spannungsberechnung 9.1. Einleitung 158 9.2. Erforderliche Genauigkeit der numerischen Integration 159 9.3. Ein Rechenvorteil der numerisch integrierten finiten Elemente.. 160 9.4. Einige praktische Beispiele der Berechnung zweidimensionaler Spannungszustände 162 9.5. Berechnung dreidimensionaler Spannungszustände 165 9.6. Einige allgemeine Bemerkungen über Elemente höherer Ordnung. 172 10. Plattenbiegung 10.1. Einleitung 175 10.2. Der Verschiebungsansatz des Plattenproblems 176 10.3. Stetigkeitsforderung für die Formfunktion 179 NICHTKONFORME FORMFUNKTIONEN.. 181 10.4. Rechteckelement mit Eckknoten. 181 10.4.1. Formfunktionen 181 10.4.2. Steifigkeits- und Belastungsmatrizen 183 10.5. Allgemeine Vierecks- und Parallelogrammelemente 187 10.6. Dreieckselement mit Eckknoten. 188 10.6.1. Formfunktion 188 10.6.2. Steifigkeits- und Belastungsmatrizen 191 10.7. Konvergenz bei nichtkonformen Elementen 191 10.8. Lösungsbeispiele 193 10.8.1. Rechteckelemente 193 10.8.2. Dreieckselemente Quadratische isotrope Platte 196 10.8.3. Einige praktische Anwendungen. 198 KONFORME FORM- FUNKTIONEN MIT KNOTEN- SINGULARITÄTEN 202 10.9. Allgemeine Bemerkungen.... 202 10.10. Singuläre Formfunktionen für das einfache Dreieckselement.... 202 10.11. Dreieckselement mit achtzehn Freiheitsgraden und konformen Formfunktionen 206 10.12. Konforme Viereckselemente... 206 10.13. Einige Lösungen mit konformen Elementen. 208 KONFORME FORMFUNK- TIONEN MIT ZUSÄTZLICHEN FREIHEITSGRADEN 209 10.14. HERMiTEsche Fprmfunktionen für das Rechteck 209 10.15. Dreiecke mit achtzehn und einundzwanzig Freiheitsgraden... 210 10.16. Schlußbemerkungen 212 11. Schalenmodelle aus ebenen Elementen 11.1. Einleitung 213 11.2. Steifigkeitsmatrix des ebenen Elementes in lokalen Koordinaten 215 11.3. Einführung von Globalkoordinaten Zusammenfügen der Elemente. 218 11.4. Einführung einer fiktiven Drehsteifigkeit 219 11.5. Lokale Richtungskosinus.... 221 11.5.1. Rechteckelemente 221 11.5.2. Dreieckselemente mit beliebiger Orientierung im Raum 222 11.6. Praktische Beispiele 225 11.7. Konvergenz 234 12. Rotationsschalen 12.1. Einleitung 235 12.2. Elementcharakteristika Rotationssymmetrische Belastung Geradlinige Elemente 237 12.3. Beispiele und Genauigkeit.... 239

14 Inhaltsverzeichnis 12.4. Gekrümmte Elemente und ihre Formfunktion 241 12.5. Ausdrücke für die Verzerrungen, Eigenschaften der gekrümmten Elemente 243 12.6. Zusätzliche knotenlose Variable. 246 13. Halbanalytische Verfahren Anwendung orthogonaler Punktionen 13.1. Einleitung 248 13.2. Der prismatische Stab 251 13.3. Dünnwandiges Kasten tragwerk.. 254 13.4. Platte und Kasten unter Biegebeanspruchung 255 13.5. Rotationssymmetrische Körper unter unsymmetrischer Belastung 256 13.6. Rotationsschalen mit nichtrotationssymmetrischer Belastung 259 13.7. Abschließende Bemerkungen.. 263 14. Die dicke Schale als Sonderfall des dreidimensionalen Problems 14.1. Einleitung 265 14.2. Geometrische Definition des Elementes 266 14.3. Das Verschiebungsfeld 268 14.4. Definition der Verzerrungen und Spannungen 269 14.5. Elementeigenschaften underforderliche Transformationen 271 14.6. Einige Bemerkungen zu den Spannungen 273 14.7. Sonderfall der rotationssymmetrischen dicken Schale 274 14.8. Sonderfall der dicken Platte... 277 14.9. Konvergenz 277 14.10. Beispiele 279 15. Stationäre Feldprobleme Wärmeleitung, elektrische Potentialverteilung, Strömungsprobleme 15.1. Einleitung 283 15.2. Das Extremwertproblem.... 284 15.3. Aufteilung in finite Elemente.. 286 15.3.1. Der allgemeine dreidimensionale Fall 286 15.3.2. Konvergenzbedingungen 288 15.3.3. Inhomogenität und Anisotropie. 288 15.3.4. Das zweidimensionale Problem.. 289 15.4. Beispiele Abschätzung der Genauigkeit. 291 15.5. Anwendungen aus der Praxis.. 295 15.6. Probleme der biharmonischen Gleichung Viskoses Fließen.. 304 15.7. Analogiebetrachtungen 307 15.8. Zusammenfassende Bemerkungen 307 16. Die Zeitabhängigkeit Grundansätze für instationäre Felder und dynamische Probleme 16.1. Einleitung 308 16.2. Direkte Formulierung der zeitabhängigen Probleme bei Unterteilung in räumliche finite Elemente 308 16.2.1. Die quasiharmonischen Gleichungen mit Zeitdifferentialen.... 308 16.2.2. Dynamisches Verhalten von elastischen Gebilden und linearer Dämpfung 310 16.2.3. Massen- oder Dämpfungsmatrizen für einige typische Elemente... 313 16.3. Gekoppelte Probleme 315 16.3.1. Gekoppelte Bewegung eines elastischen Gebildes in einer Flüssigkeit :. 316 16.3.2. Elastisches Verhalten von porösem, gesättigtem Material 318 16.4. Weitere Möglichkeit zur Bestimmung des zeitlichen Verlaufes.. 320 16.5. Rekursionsbeziehungen für die Lösung von Anfangswertproblemen Finite Zeitelemente 320 16.5.1. Probleme mit zeitlichen Ableitungen erster Ordnung 321 16.5.2. Probleme mit zeitlichen Ableitungen zweiter Ordnung 323 16.5.3. Gekoppelte Probleme......325 16.5.4. Einige Beispiele 325 16.6. Ein anderes instationäres Problem Die Sickerströmung bei freier Oberfläche 328 16.7. Zusammenfassung 329

Inhaltsverzeichnis 15 17. Die Zeitabhängigkeit - Halbanalytische Behandlung (Schwingung und Eigenwerte) 17.1. Einleitung 330 17.2. Lösung der dynamischen Grundgleichung bei periodischen Vorgängen 330 17.3. Eigenfrequenzen 331 17.4. Lösung des Eigenwertproblems.. 332 17.4.1. Allgemeine Bemerkungen.... 332 17.4.2. Freie Schwingungen 333 17.4.3. Methoden zur Ermittlung des Eigenwertes 333 17.5. Einige Beispiele zur Eigenwertbestimmung 335 17.5.1. Schwingungen von Platten.... 335 17.5.2. Schwingungen in einer Ebene.. 339 17.5.3. Schalenschwingungen 339 17.5.4. Die Wellengleichung Elektromagnetische und Strömungsprobleme 342 17.5.5. Gekoppelte Bewegung eines Gebildes in einer Flüssigkeit... 346 17.6. Instationäre Lösungen mit Hilfe von Eigenwerten Normiertes Eigenformverfahren 346 18. Nichtlineare Materialprobleme Plastizität, Kriechen, nichtlineare Feldprobleme 18.1. Einleitung 349 NICHTLINEARE STOFF- GESETZE IN DER FESTKÖRPERMECHANIK 350 18.2. Allgemeiner physikalischer Ansatz 350 18.2.1. Grundlagen 350 18.2.2. Methode der veränderlichen Steifigkeitsmatrix 351 18.2.3. Methode der Anfangsspannung.. 352 18.2.4. Methode der Anfangsverzerrung 353 18.2.5. Konvergenzverbesserung.... 354 18.3. Ein mathematisch fundiertes Verfahren 355 V18.4. Plastizität 358 18.4.1. Allgemeine Grundlagen 358 18.4.2. Bemerkungen zur Entwicklungstendenz 361 Anwendung des Verfahrens der Anfangsspannung bei Problemen der Plastizität 362 18.5. Material ohne Zugfestigkeit... 370 18.6. Geschichtetes Material und Passungselemente 373 18.7. Kriechen: Zeitabhängige Verzerrungen 375 18.7.1. Allgemeines 375 18.7.2. Abhängigkeit der Kriecherscheinung von der Vorgeschichte (Viskoelastizität) 376 18.7.3. Zustandsabhängige Kriechgesetze 379 18.8. Spezielle Approximation bei der Lösung von Kriechproblemen.. 382 18.9. Abschließende Bemerkungen.. 386 WEITERE NICHTLINEARE PROBLEME 387 18.10. Nichtlineare quasiharmonische Feldprobleme 387 18.11. Ausblick auf Erweiterungsmöglichkeiten 389 19. Geometrisch nichtlineare Probleme, große Verschiebungen und Stabilitätsprobleme 19.1. Einleitung 390 19.2. Allgemeine Betrachtungen... 391 19.2.1. Grundproblem 391 19.2.2. Iterationsprozesse 392 19.2.3. Stabilitätsproblem 393 19.2.4. Energetische Interpretation des Stabilitätskriteriums 394 19.2.5. Verformungsabhängige Kräfte.. 394 19.3. Große Durchsenkungen und Initial-Stabilität von Platten.. 395 19.3.1. Definitionen..._ 395 19.3.2. Berechnung von [ ].397 19.3.3. Berechnung von [K T ] 399 19.3.4. Große Durchsenkungen 400 19.3.5. Bifurkationsinstabilität 400 19.4. Schalen 402 19.5. Allgemeine Verfahren für große Verzerrungen und Verschiebungen 403 19.5.1. Herleitung der Matrix [B L ]... 405 19.5.2. Herleitung der Matrix [K T ]... 406 19.6. Abschließende Bemerkungen... 407

16 Inhaltsverzeichnis 20. Anwendung der elektronischen Rechentechnik 20.1. Einleitung 409 20.2. Finite-Elemente-System.... 410 20.3. Dateneingabe 413 20.3.1. Knotenpunktkoordinaten und Elementcharakteristika 413 20.3.2. Materialeigenschaften 413 20.3.3. Belastungen 414 20.3.4. Randbedingungen 414 20.4. Berechnung der Steifigkeitsmatrix 417 20.5. Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems 421 20.5.1. Das GAtrsssche Verfahren.... 422 20.5.2. Effektive Speicherplatzanordnung für Bandmatrizen 424 20.5.3. GAtrss-SEiDEL-Iteration 425 20.5.4. Weitere direkte Lösungsverfahren 426 20.5.5. Einige Weiterentwicklungen... 427 20.5.6. Anwendung der Randbedingungen 428 20.5.7. Beispiele 429 20.6. Berechnung der inneren Kräfte und Ausgabe der Ergebnisse... 433 20.7. Beispiel '. 435 20.8. Ausgabe der Ergebnisse 439 20.9. Eigenwertbestimmung durch Iteration 443 20.10. Abschließende Bemerkungen.. 447 Anhang 463 Literaturverzeichnis 475 Sachwortverzeichnis 493