WHRSCHINLICHKITSRCHNUNG It is remarkable that a science which began with the consideration of games of chance should have become the most important object of human knowledege... The most important questions of life are, for the most part, really only problems of probability. Pierre Simon de Laplace Theorie nalytique des Probabilities, 1812 Zufall und rkenntnis Klassischer wissenschaftstheoretischer Fortschrittsglauben: Unsicherheit und Unschärfe (Zufall) können durch fortschreitende wissenschaftliche rkenntnis reduziert werden Demokrit: Die Natur ist in ihrer Grundlage streng determiniert Zufälliges entspricht dem Nichterkannten pikur: Der Zufall ist immanenter estandteil der Natur der rscheinungen unserer Welt Statistik für SoziologInnen 1 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 2 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Zweifel am deterministischen Weltbild Das Gewebe dieser Welt ist aus Notwendigkeit und Zufall gebildet; die Vernunft des Menschen stellt sich zwischen beide und weiß sie zu beherrschen; sie behandelt das Notwendige als den Grund ihres Daseins; das Zufällige weiß sie zu lenken, zu leiten und zu nutzen,... Johann Wolfgang von Goethe Dissertation von Karl Marx (181) über den Unterschied in der Naturphilosophie Demokrits und pikurs Paradigmenwechsel im 20.Jahrhundert rkenntnisse der theoretischen Physik "xistenz der Wahrscheinlichkeit in der Natur" Thermodynamik (oltzmann) ewegungen von Molekülen werden nicht durch Gesetze der Newtonschen Mechanik sondern durch Wahrscheinlichkeitsgesetze gesteuert Quantenmechanik (Heisenberg) Radioaktivität: freie Neutronen zerfallen zufällig Ihre nzahl gehorcht jedoch einem bestimmten Gesetz instein: "Gott würfelt nicht" Statistik für SoziologInnen inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Unschärferelation der Quantenmechanik Grundpostulat der modernen Physik: Die lementarvorgänge im materiellen Geschehen entziehen sich grundsätzlich einer exakten raumzeitlichen Darstellung. Voraussagen über Ort und Geschwindigkeit der kleinsten Partikeln haben immer nur den Charakter von Wahrscheinlichkeitsaussagen. Werner Heisenberg Wahrscheinlichkeit und iologie volution: umweltbedingt kommt es zu zufälligen Änderungen des Genotyps crossing over Mutuation volution ist keine ntwicklung von primitiven zu komplexen Lebensformen sondern eine ntwicklung von weniger angepaßten rten zu besser angepaßten Die Rolle des Zufalls für moderne iologie und Genetik ==> M. igen "Das Spiel Die Rolle des Zufalls für moderne Physik und iologie ==> L. Tarassow Wie der Zufall will? - Vom Wesen der Wahrscheinlichkeit Statistik für SoziologInnen inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 1
ngela Merkel in einem Interview 12/200 Unsere Gesellschaft muss stärker lernen, Risiken zu bewerten, ganz generell gesprochen. Das Leben mit der Chance und dem Risiko ist ein wichtiges gesellschaftliches Problem. Ich finde es in einer komplexer werdenden Welt auch wichtig, Kinder bereits frühzeitig an solche bwägungen heranzuführen, die sie später immer wieder vornehmen müssen. Im Kindergarten und in der Schule können Kinder spielerisch lernen, was Wahrscheinlichkeit und Risiko bedeuten. Definitionen - 1 Kalkulatorische rfassung des Phänomen Zufalls Zufallsvorgang Vorgang mit ungewissem usgang Zufallsexperiment s gibt mehrere mögliche rgebnisse des Vorgangs Das rgebnis bei einer Durchführung ist nicht mit Sicherheit vorhersehbar Der Vorgang ist unter den gleichen Randbedingungen wiederholbar Statistik für SoziologInnen 7 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 8 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung estimmung der Wahrscheinlichkeit Statistische Wahrscheinlichkeit für das intreten eines reignisses ist jener Wert bei dem sich die relative Häufigkeit bei einer wachsenden Zahl von Versuchswiederholungen stabilisiert (Mises) Das Prinzip "günstige Fälle" dividiert durch alle "mögliche Fälle" im Rahmen eines Modells gleicher Wahrscheinlichkeiten für die inzelereignisse (Laplace) Das Konzept subjektiver Wahrscheinlichkeiten (de Finetti) Definitionen in möglicher usgang (mögliches rgebnis) eines Zufallsexperiments wird als lementarereignis bezeichnet. e1, e2,... Die Menge aller lementarereignisse eines Zufallsexperiments wird als rgebnismenge oder Stichprobenraum bezeichnet. ={e1, e2,...} ine Teilmenge der rgebnismenge heißt reignis. in reignis tritt ein, wenn ein rgebnis beobachtet wird, das zu gehört. Statistik für SoziologInnen 9 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 10 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung reignis als Teilmenge von : ist ein Teilereignis von : Teil von Statistik für SoziologInnen 11 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 12 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 2
Komplementärereignis Durchschnitt von und ' ' = Nicht ={e e und e } sowohl als auch Statistik für SoziologInnen 1 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 1 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vereinigung von und Differenzmenge ohne ={e e oder e }oder (aber nicht exklusiv) Statistik für SoziologInnen 1 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung \ ={e e und nicht e } ohne eachte: \ = ' Statistik für SoziologInnen 1 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung xklusives Oder Wahrscheinlichkeitsmaß in Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine bbildung, die allen möglichen lementarereignissen eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet und dabei den xiomen von Kolmogorov genügt. Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen reignisses ergibt sich durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten jener lementarereignisse, i die in enthalten sind. ( ') (' ) = ( ) \ ( ) entweder oder Positivität 0 P() 1 Normierung P() = 1 dditivität P( 1 2 )=P( 1 )+P( 2 ) falls 1 2 = Statistik für SoziologInnen 17 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 18 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
infache eispiele ine Münze wird einmal geworfen lementarereignisse: Kopf, dler P(K) = 1/2 P() = 1/2 =K P(K ) = 1/2 + 1/2 = 1 ine Münze wird zweimal geworfen lementarereignisse: KK, K, K, P(KK) = P(K) = P(K) = P() = 1/ Zusammengesetztes reignis: X = "zwei gleiche rgebnisse" X = {KK, } = P(X) = 1/ + 1/ = 1/2 eispiel: Würfelwurf mögliche lementarereignisse 1, 2,,,, P(1) = P(2) = P() = P() = P() = P() = 1/ P() = 1/ + 1/ + 1/ + 1/ + 1/ + 1/ = 1 (Zusammengesetzte) reignisse... gerade ugenzahl ={2,, } P() = 1/ + 1/ + 1/ = /... ugenzahl < ={1, 2} P() = 1/ + 1/ = 2/ Statistik für SoziologInnen 19 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 20 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Komplementbildung beim Würfelwurf-eispiel '... ungerade ugenzahl ' = {1,,,} ' = \ P(') = P() - P() = 1 - / = / Durchschnittsbildung beim Würfelwurf-eispiel... gerade ugenzahl und ugenzahl kleiner = {2} P( ) = 1/ ' Statistik für SoziologInnen 21 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 22 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Differenzmenge beim Würfelwurf-eispiel \... gerade ugenzahl ohne den ugenzahlen kleiner \ = {, } P( \ ) = P() - P( ) = 2/ Vereinigung beim Würfelwurf-eispiel Gerade ugenzahl oder ugenzahl kleiner als = {1, 2,, } P( ) = P() + P() - P( ) P( ) = / + 2/ - 1/ = / Statistik für SoziologInnen 2 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 2 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
xklusives Oder beim Würfelwurf-eispiel ntweder gerade ugenzahl oder ugenzahl kleiner als ( ) \ ( ) = {1, 2,, } \ {2} = {1,, } P( ) - P( ) = / - 1/ = / eispiel zur reignisalgebra lter <=2 >2 Gesamt männlich 20 0 0 weiblich 0 10 0 Gesamt 0 0 100 2 Merkmale: Geschlecht, lter...(geschlecht = männlich)... n()=0...h()=0,0...(geschlecht = nicht männlich) (Geschlecht = weiblich)... n( )=0... h( )=0,0...(lter <= 2)... n()=0... h()=0,0...(lter > 2)... n( )=0... h( )=0,0 Statistik für SoziologInnen 2 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 2 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung eispiel zur reignisalgebra lter <=2 >2 Gesamt männlich 20 0 0 weiblich 0 10 0 Gesamt 0 0 100 eispiel zur reignisalgebra lter <=2 >2 Gesamt männlich 20 0 0 weiblich 0 10 0 Gesamt 0 0 100 Durchschnitt (Geschlecht = männlich) und (lter <= 2) n( )=20...h( )=0,20 Vereinigung (Geschlecht = männlich) oder (lter <= 2) n( )=90 (ergibt sich aus 20+0+0) h( )=0,90 Statistik für SoziologInnen 27 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 28 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung eispiel zur reignisalgebra lter <=2 >2 Gesamt männlich 20 0 0 weiblich 0 10 0 Gesamt 0 0 100 eispiel zur reignisalgebra lter <=2 >2 Gesamt männlich 20 0 0 weiblich 0 10 0 Gesamt 0 0 100 Differenzmenge \ (Geschlecht = männlich) ohne (lter <= 2) n( \ )=0...h( \ )=0,0 Statistik für SoziologInnen 29 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung xklusives Oder ( ) \ ( ) = ( ) ( ) entweder (Geschlecht = männlich) oder (lter <= 2) n( )=70 (ergibt sich aus 0+0) h( )=0,70 Statistik für SoziologInnen 0 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
infache Regeln der Mengenalgebra ( )' = ' ' Gesetz von de Morgan Nicht ( oder ) = (Nicht ) und (Nicht ) ( )' = ' ' ' ' nwendung von De Morgan im Würfelbeispiel = {2,, } = {1, 2} ( )' = ' ' Nicht (gerade ugenzahl oder Zahl kleiner ) = Nicht (gerade ugenzahl) und Nicht (Zahl kleiner ) linke Seite: ( )' = {1, 2,, }' = {, } rechte Seite: ' ' = {1,, } {,,, } = {, } Statistik für SoziologInnen 1 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen 2 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung nwendung von De Morgan lter <=2 >2 Gesamt männlich 20 0 0 weiblich 0 10 0 Gesamt 0 0 100 nwendung von De Morgan lter <=2 >2 Gesamt männlich 20 0 0 weiblich 0 10 0 Gesamt 0 0 100 Negation der Vereinigung Negation des Durchschnitts Nicht( ) = Nicht((Geschlecht = männlich) oder (lter <= 2))= ((Geschlecht = nicht männlich) und (lter > 2)) Nicht( ) = Nicht((Geschlecht = männlich) und (lter <= 2))= ((Geschlecht = nicht männlich) oder (lter > 2)) n(nicht( ))=10...h(Nicht( ))=0,10 n(nicht( ))=80...h(Nicht( ))=0,80 n( ) =10 n( ) =80 (ergibt sich aus 0+0+10) Statistik für SoziologInnen inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsauswahlen aus endlichen Grundgesamtheiten In der statistischen Praxis kommt dem Ziehen von Stichproben größte edeutung zu, da in vielen Fällen die Untersuchung der Grundgesamtheit zu teuer oder prinzipiell unmöglich ist. Ziel ist es dabei aus der nalyse der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen Stichprobenmodelle Grundgesamtheit mit N unterscheidbaren Objekten Stichprobe von n Objekten Ziehen mit Zurücklegen bzw. Ziehen ohne Zurücklegen erücksichtigung der nordnung bzw. keine erücksichtigung der nordnung Statistik für SoziologInnen inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik für SoziologInnen inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Überblick über Stichprobenmodelle Mit Zurücklegen Ohne Zurücklegen Mit erücksichtigung der nordnung (Variationen) N* = Nn I N* = N (N-1)... (N-(n-1)) II falls n=n: N! (Permutation) Ohne erücksichtigung der nordnung (Kombinationen) N+ n 1 N* = n III N* = N (N-1)... (N-(n-1))/n! N N* = n IV Statistik für SoziologInnen 7 inführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 7