Mathematik für Physiker Band 2 Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik Von Dr. rer. nat. Helmut Fischer und Prof. Dr. rer. nat. Helmut Kaul Universität Tübingen Mit zahlreichen Figuren, Aufgaben und Beispielen B.G.Teubner Stuttgart 1998
Inhalt Kapitel I Übersicht 1 Beispiele für Differentialgleichungsprobleme 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 11 2 Partielle Differentialgleichungen 13 3 Was bedeutet Lösung einer Differentialgleichung"? 21 4 Die Schrödinger-Gleichung 22 Kapitel II Gewöhnliche Differentialgleichungen 2 Grundlegende Theorie 1 Das allgemeine Anfangswertproblem 25 2 Das Anfangswertproblem als Integralgleichung 27 3 Die Standardvoraussetzung für DG-Systeme 28 4 Kontrollierbarkeit und Eindeutigkeit von Lösungen 30 5 Existenz von Lösungen 32 6 Zum Definitionsintervall maximaler Lösungen 36 7 Differenzierbarkeitseigenschaften von Lösungen 42 3 Allgemeine lineare Theorie 1 Lineare Systeme 53 2 Zur Berechnung von e ia 57 3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 65 4 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1 Problemstellung 68 2 Sturm-Liouville-Form und Fundamentalsysteme 69 3 Potenzreihenentwicklungen von Lösungen 72 4 Reihendarstellung von Lösungen in singulären Randpunkten... 77 5 Einführung in die qualitative Theorie 1 Autonome Systeme 95 2 Phasenportraits linearer Systeme in der Ebene 102 3 Die Differentialgleichung x = F(x) 106 4 Stabilität von Gleichgewichtspunkten 114 5 Die direkte Methode von Ljapunow 117 6 Die Sätze von Liouville und Poincare-Bendixson 125
6 Inhalt Kapitel III Partielle DG, elementare Lösungsmethoden 6 Separationsansätze und Fourierreihen 1 Die schwingende Saite I 130 2 Fourierreihen 134 3 Die schwingende Saite II 145 4 Wärmeleitung im Draht 153 5 Das stationäre Wärmeleitungsproblem für die Kreisscheibe 161 7 Die Charakteristikenmethode für DG 1. Ordnung 1 Die quasilineare Differentialgleichung 169 2 Die allgemeine Differentialgleichung JP(X,M, V«) =0 180 3 Wellenfronten und Lichtstrahlen 188 4 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 196 Kapitel IV Hilfsmittel aus der Analysis 8 Lebesgue Theorie und L p Räume 1 Eigenschaften des Lebesgue-Integrals 198 2 Die Räume L p (fi) 209 3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 216 9 Hilberträume 1 Beispiele für Hilberträume 218 2 Abgeschlossene Teilräume und orthogonale Projektionen 222 3 Dichte Teilräume 229 4 Vollständige Orthonormalsysteme 230 10 Glättung von Funktionen, Fortsetzung stetiger Funktionen 1 Testfunktionen 239 2 Faltung mit Testfunktionen 241 3 Glättung von Funktionen 243 4 Das Fundamentallemma der Variationsrechnung 249 5 Fortsetzung stetiger Funktionen, die Räume C k (Q) 251 11 Gaußscher Integralsatz und Greensche Formeln 1 Untermannigfaltigkeiten des R" 254 2 Integration auf Untermannigfaltigkeiten 263 3 Der Gaußsche Integralsatz 269 4 Die Greenschen Identitäten 272 5 Der Laplace Operator in krummlinigen Koordinaten 276
Inhalt 7 12 Die Fouriertransformation 1 Zielsetzung 280 2 Die Fouriertransformation auf L (K.") 283 3 Die Fouriertransformation auf,5? und L 2 289 4 Anwendungen 298 13 Schwache Lösungen und Distributionen 1 Schwache Lösungen von Differentialgleichungen 302 2 Distributionen 305 3 Konvergenz von Distributionenfolgen 308 4 Differentiation von Distributionen 310 5 Grundlösungen 314 6 Die Fouriertransformation für temperierte Distributionen 317 Kapitel V Die drei Grundtypen linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung 14 Randwertprobleme für den Laplace Operator 1 Übersicht 324 2 Eigenschaften des Laplace-Operators 325 3 Eindeutigkeit von Lösungen 345 4 Existenz von Lösungen: Perron-Methode 348 5 Existenz von Lösungen: Integralgleichungsmethode 351 6 Existenz von Lösungen: Variationsmethode 358 15 Eigenwertprobleme für den Laplace Operator 1 Entwicklung nach Eigenfunktionen des Laplace-Operators 371 2 Geometrische Eigenschaften von Eigenwerten und -funktionen... 380 3 Eigenwerte und Eigenfunktionen auf Kugeln 381 16 Die Wärmeleitungsgleichung 1 Bezeichnungen, Problemstellungen 399 2 Eigenschaften des Wärmeleitungsoperators 400 3 Das Anfangswertproblem 405 4 Das Anfangs-Randwertproblem 412 17 Die Wellengleichung 1 Bezeichnungen, Problemstellungen 427 2 Eigenschaften des d'alembert-operators 428 3 Das Anfangswertproblem 440 4 Das Anfangs-Randwertproblem 451
8 Inhalt Kapitel VI Mathematische Grundlagen für die Quantenmechanik 18 Mathematische Fragen zur Quantenmechanik 1 Ausgangspunkt, Zielsetzung, Wegweiser 461 2 Beugung und Interferenz von Elektronen 463 3 Dynamik eines Teilchens unter dem Einfluß eines Potentials... 465 4 Das mathematische Gerüst der Pionier-Quantenmechanik 469 19 Maß und Wahrscheinlichkeit 1 Diskrete Verteilungen 475 2 Erwartungswert und Streuung einer diskreten Verteilung 481 3 Varianz und Streuung einer diskreten Verteilung 484 4 Verteilungen mit Dichten 488 5 cr-algebren und Borelmengen 491 6 Eigenschaften von Maßen 494 7 Konstruktion von Maßen durch Fortsetzung 497 8 Das Lebesgue-Maß 500 9 Wahrscheinlichkeitsmaße auf R 504 20 Integration bezüglich eines Maßes 1 Das Konzept des /x-integrals 509 2 Das /i-integral für Elementarfunktionen 510 3 Meßbare Funktionen 515 4 Das /i-integral 520 5 Vertauschbarkeit von Limes und Integral 526 6 Das ^i-integral für Wahrscheinlichkeitsmaße auf TR, 531 7 L p -Räume und ihre Eigenschaften 539 8 Dichte Teilräume und Separabilität 543 21 Spektrum und Funktionalkalkül symmetrischer Operatoren 1 Beschränkte Operatoren und Operatornorm 548 2 Beispiele 551 3 Die C*-Algebra if(jt) 557 4 Konvergenz von Operatoren 563 5 Das Spektrum beschränkter Operatoren 569 6 Analytizität der Resolventen, Folgerungen für das Spektrum... 576 7 Der Funktionalkalkül für symmetrische Operatoren 581 8 Positive Operatoren und Zerlegung von Operatoren 590 9 Erweiterung des Funktionalkalküls 592
Inhalt 9 22 Der Spektralsatz für beschränkte symmetrische Operatoren 1 Spektralzerlegung und Spektralsatz 597 2 Beispiele 604 3 Diagonalisierung beschränkter symmetrischer Operatoren 606 4 Spektralzerlegung kompakter symmetrischer Operatoren 618 5 Anwendung auf Rand-Eigenwertprobleme 627 6 Der allgemeine Zustandsbegriff 634 23 Unbeschränkte Operatoren 1 Definitionen und Beispiele 643 2 Abgeschlossene Operatoren 648 3 Der Abschluß gewöhnlicher Differentialoperatoren 652 4 Der adjungierte Operator 660 5 Spektrum und Resolvente 665 6 Zur praktischen Bestimmung des Spektrums 672 24 Selbstadjungierte Operatoren 1 Charakterisierung selbstadjungierter Operatoren 677 2 Wesentlich selbstadjungierte Operatoren 681 3 Symmetrische Operatoren mit diskretem Spektrum 683 4 Störung wesentlich selbstadjungierter Operatoren 692 25 Der Spektralsatz und der Satz von Stone 1 Spektralzerlegung und Funktionalkalkül 700 2 Ausführung der Beweise 711 3 Selbstadjungierte Operatoren und unitäre Gruppen 715 4 Hilbertraumtheorie und Quantenmechanik 723 Namen und Lebensdaten 732 Literaturverzeichnis 734 Symbole und Abkürzungen 744 Index 746