8. Periodische Bewegungen 8.1 Schwingungen 8.1.1 Harmonische Schwingung 8.1.2 Schwingungsenergie 9.1.3 Gedämpfte Schwingung 8.1.4 Erzwungene Schwingung
8. Periodische Bewegungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen Mit Schwingungsdauer (Periode, Periodendauer) T Welle Schwingung breitet sich im Raum aus Zustand y wiederholt sich in Raum und Zeit Raumperiode = Wellenlänge λ Zeitperiode = Schwingungsdauer T Ebene Welle
Beispiele Schwingung eines Pendels Schwingung eines Quarzkristalls Schwingung elektrischer Ladungen Schallwellen (Schwingung von Luftmolekülen) Elektromagnetische Wellen (Schwingung elektromagnetischer Felder) 8.1 Schwingungen Man unterscheidet: Harmonische Schwingung (z.b. freie Schwingung) Gedämpfte Schwingung (z.b. durch Reibung) Erzwungene Schwingung (durch äußere Kraft)
8.1.1 Harmonische Schwingung Es gilt: - Jedes Objekt ist schwingungsfähig. - Harmonische Schwingung bei Auslenkung aus stabilem Gleichgewicht ( Mechanik ) Harmonische Schwingung ist bestimmt durch zwei Größen: 1. Es wirkt Kraft immer in Richtung Gleichgewichtslage = Rückstellkraft 2. Es wirkt Trägheit des Systems.
Mögliche Beschreibung: x(t) = Acos (ωt + δ) Man definiert: Schwingungsdauer T = zeitliche Periode Man definiert: (Eigen-)Frequenz f = Schwingungen pro s Man definiert: Amplitude A = maximale Auslenkung/Wert von x(t) Amplitude
Beispiel Federschwingung Kraft der Feder: F = - kx k: Federkonstante Es gilt: - Kraft ist proportional zur Auslenkung (Elongation). - Kraft ruft nach Newton II Beschleunigung hervor: Es gilt allgemein: Jede harmonische Schwingung lässt sich durch Dgl. beschreiben: Lösung der Dgl:
Frage: Welche Bedeutung hat ω (Eigenfrequenz)? Antwort: ω = Kreisfrequenz Ja was denn nun????? Es gilt: Zusammenhang mit Schwingungsdauer T Beweis: Es gilt: Man definiert: Frequenz f ω = 2 πf Ach so!!!
Allgemein gilt: (1) Amplitude A und Phasenverschiebung δ werden durch Anfangsbedingungen gegeben: Mit (1) und (2) gilt: (2) Für Amplitude gilt: Ja?
Beispiel Mathematisches Pendel (masseloser Faden mit Punktmasse) Es wirkt Kraft F auf Masse m Nach 2. Newtonschen Gesetz gilt: a (t) =? θ (t) =? a = f(θ) =?
Aufgabe: a = f(θ) =...???
Frage: Beschreibt harmonische Schwingung? Nein!!! Aber für kleine Winkel θ gilt: Der Vergleich mit liefert Eigenfrequenz des Oszillators Oder Schwingungsdauer Somit lautet Lösung der Schwingungsgleichung
Fragen: Ist allgemeine Lösung von? Ist T unabhängig von Amplitude? Ist T unabhängig vom Koordinatensystem? Ist T unabhängig vom Bezugssystem? Ist T unabhängig von der Temperatur?
8.1.2 Schwingungsenergie (harmonisch) Beispiel: Federschwingung Für harmonische Schwingung gilt: Für potentielle Energie gilt: Für kinetische Energie gilt: Für Gesamtenergie gilt:
8. Periodische Bewegungen Vergleich Federschwingung Schwingkreis
9.1.3 Gedämpfte Schwingung Es gilt: r: Reibungskoeffizient k: Federkonstante Bewegungsgleichung allgemein
Lösung der Bewegungsgleichung: Man unterscheidet 3 Fälle: 1. Schwingfall (schwache Dämpfung) 0 2. Kriechfall (starke Dämpfung) 0 0 3. Aperiodischer Grenzfall
8.1.4 Erzwungene Schwingung Bewegungsgleichung: Lösung: Mit: