Übergng SI-SII konkretisiert m Unterrichtsvorhben zu exponentiellen Wchstumsprozessen Autoren: Dr. V. Schubert Arbeitsgruppe Mterilentwicklung QUA-LiS NRW Juni 204 Kurzbeschreibung Ds vorliegende Konzept eines Unterrichtsvorhbens zu exponentiellen Wchstumsprozessen beschäftigt sich mit der Problemtik, im Bereich des Potenzklküls die Anschlussfähigkeit zwischen Sekundrstufe I und II herzustellen, ohne dfür eine isolierte Unterrichtsreihe vorzusehen. Vielmehr wird versucht, die Potenzrechenregeln genetisch in eine Unterrichtsreihe über exponentielle Wchstumsprozesse einzubinden und den im Schülerdenken stärker vernetzten Funktionsbegriff ls Leitidee zu nutzen. Dzu werden 6 Unterrichtseinheiten im Gesmtumfng von 8 Unterrichtsstunden à 45 Minuten vorgestellt. Zusätzlich wird es erforderlich sein, lgebrische Rechentechniken durch differenzierende, individuelle Zustzngebote us Aufgbensmmlungen dignosegestützt zu üben. Kürzungen sind bei den beiden letzten Unterrichtseinheiten ohne Gefährdung des Kerns möglich, d ds Them in der Qulifiktionsphse wiederufgegriffen wird. Als weitere Mterilien werden unterrichtsbegleitende Dignosebögen beigegeben, die den unverzichtbren Selbstlernprozess unterstützen sollen. Idelerweise wird diese Arbeit durch ein koordiniertes Vorgehen in den Vertiefungskursen unterstützt, d gerde die us fchlicher Sicht schwächeren Schülerinnen und Schüler zugleich eine weniger gut usgeprägte Selbstlernkompetenz mitbringen und dher zusätzlicher, uch methodischer Unterstützung bedürfen. Abgerundet wird ds Angebot durch eine uf die Unterrichtsreihe bgestimmte Leistungsüberprüfung. Der Rolle des GTR soll insoweit besondere Bechtung geschenkt werden, ls die Lernenden in den meisten Fällen noch wenig Erfhrung im Einstz des Gerätes zum Zeitpunkt des Unterrichtsvorhbens hben dürften. Dher wird jeweils ufgezeigt, wo bestimmte Funktionlitäten in Verknüpfung mit dem neuen Them erlernt werden können. Als weitere prozessbezogene Kompetenz steht ds Modellieren besonders im Fokus. Es wird sichergestellt, dss sowohl prktisch relevnte, diskrete und kontinuierliche Wchstumsprozesse (Verzinsung, Vermehrung von Pflnzen) ls uch Zerfllsprozesse (Infltion, Bierschumzerfll) eine Rolle spielen. Dem Bierschumzerfll wurde der Vorzug vor dem rdioktiven Zerfll gegeben, um eine kritische Diskussionen der Modellierung usdrücklich nzuregen. QUA-LiS NRW Seite von 27
Übersicht über die Unterrichtseinheiten. Ds Prinzip exponentiellen Wchstums errbeitet n einem Gednkenexperiment (Einzelstunde). 2. Vergleich von exponentiellem und linerem Wchstums m Beispiel von Verzinsung mit dem Ziel, den Begriff des Wchstumsfktors zu errbeiten (Doppelstunde). 3. Beschreibung eines kontinuierlichen Wchstumsprozesses durch eine Exponentilfunktion ls Zugng zur kontextgestützten Deutung nicht-ntürlicher Potenzen (Einzelstunde). 4. Modellierung einer Messreihe durch eine Exponentilfunktion m Beispiel des Bierschumzerflls (Einzelstunde). 5. Eine Funktionenwerksttt zu Exponentilfunktionen (Doppelstunde). 6. Wie mn eine Exponentilfunktion durch zwei Punkte legt (Einzelstunde). QUA-LiS NRW Seite 2 von 27
Didktische Hinweise Lehrplnbezug Dignose Kurzbeschreibung Unterrichtsmteril Leistungsüberprüfung Didktische Hinweise Problemnzeige und Intentionen Die vorgelegte Reihe setzt die Lehrplnvorgbe Schülerinnen und Schüler beschreiben Wchstumsprozesse mithilfe linerer Funktionen und Exponentilfunktionen so um, dss ein Schwerpunkt im Bereich des Modellierens gesetzt wird und zugleich wichtige Grundfunktionen des GTR im Bereich der Tbellenklkultion genutzt werden. Eine weitere Intention besteht drin, dieses Unterrichtsvorhben n den Anfng der Einführungsphse zu setzen und dbei eine Schwierigkeit nzugehen, die sich durch den Übergng us dem verkürzten Bildungsgng G8 m Gymnsium sowie us Grundkursen n den Gesmtschulen ergibt. Es ist möglich, dss Schülerinnen und Schüler die Potenzrechenregeln nicht mehr utomtisch in die gymnsile Oberstufe mitbringen. Allenflls die Grundvorstellung Potenz zählt Fktoren, die in der Regel = ( m, n IN) zum Ausdruck kommt, knn wohl vorusge- m n m+ n setzt werden. Klfft hier lso eventuell eine Anpssungslücke zwischen den Kernlehrplänen? Wie knn sie geschlossen werden? Ein Blick uf die Inhlte der Q-Phse lässt erkennen, dss Potenzrechenregeln im Umgng mit gnzrtionlen Funktionen eine Nebenrolle spielen und dfür eher im Bereich der us Anwendersicht relevnteren Exponentilfunktionen benötigt werden. Dher sollen sie uch hier in dieses Them integriert werden. Didktische Begründung des Konzeptes Es ht sich bei der Durchführung ähnlich ufgebuter Unterrichtsvorhben gezeigt, dss Schülerinnen und Schüler innerhlb des Thems Exponentielles Wchstum gut in der Lge sind, Potenzrechenregeln mit Frgestellungen im Kontext zu vernetzen und in neuen Kontexten nzuwenden. Dgegen bieten die Potenzfunktionen keine vergleichbr guten Möglichkeiten. Auch wenn Potenzfunktionen in der Systemtik trditionell vor den Exponentilfunktionen stehen, gibt diese Reihenfolge kein didktisches Vorgehen vor. Lernende betrchten Terme der Art x oder x grundsätzlich nicht unterschiedlich, wenn ihnen der funktionle Aspekt fehlt, der üblicherweise x in die Rolle der Vriblen und in die Rolle eines Prmeters zwingt. Diese Doppelbödigkeit mcht eine Schwierigkeit des bstrkten Umgnges mit Potenztermen us, die durch die klre Entscheidung zugunsten einer funktionlen Betrchtung f : x ein Stück weit behoben wird. Die Funktionen werden im Unterrichts- x vorhben ls einprmetrige Funktionsschr mit dem GTR nlysiert. Die Bestimmung einer geeigneten Bsis ist eine der grundlegenden Aufgbenstellungen sowohl im Modellierungs- ls uch im innermthemtischen Problemlösebereich. Bildungswert des Potenzklküls Ds beschriebene Vorgehen entspricht dem in NRW prktizierten Vorgehen, den Kompetenzbereich K5 der Bildungsstndrds Mit Mthemtik symbolisch / forml / technisch umgehen in lle übrigen Bereiche zu integrieren. Ein zu weit gehender Verzicht uf den Potenzklkül würde zweifelsohne den Spielrum in den Bereichen des Modellierens, Problemlösens und Argumentierens in der Anlysis deutlich einengen. Drüber hinus knn dem Potenzklkül ein eigener Bildungswert im Sinne der zweiten Winterschen Grunderfhrung QUA-LiS NRW Seite 3 von 27
mthemtische Gegenstände und Schverhlte, repräsentiert in Sprche, Symbolen, Bildern und Formeln, ls geistige Schöpfungen, ls eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen zugeschrieben werden. Bei der Wiederufnhme des Thems Exponentielles Wchstum nch der Differenzierung in Grund- und Leistungskurse knn diese Grunderfhrung dem jeweiligen Bildungsweg gemäß vertieft werden. Dignose und Üben Bei der Durchführung ähnlich ufgebuter Unterrichtsvorhben wurde deutlich, dss ein erfolgreicher Umgng mit Potenzrechenregeln im Kontext von Exponentilfunktionen nicht utomtisch sicherstellt, dss eine Anwendung in bstrkter Form ußerhlb des Kontextbezuges gelingt, schon weil der funktionle Aspekt schnell verloren geht. Ddurch entsteht die Gefhr, dss die Übertrgbrkeit der erworbenen Kompetenzen in ndere Unterrichtszusmmenhänge eingeschränkt bliebe, wenn ds Verständnis des ngewendeten Klküls nicht durch eigene Aufgbenformte gesichert würde. Eventuell blockieren bereits tiefergehende Unsicherheiten im Umgng mit Termen (Vriblenverständnis) den Erfolg. Genueren, individuell differenzierten Aufschluss über Vorkenntnisse liefert eine Eingngsdignose. Sie soll Grundlge eines den Unterricht begleitenden Übungsprozesses sein, der uf die gängigen Übungsufgben us älteren Büchern der ehemligen Stufe 0 des Gymnsiums oder uch ktuellen Lehrwerken der Stufe 9 (GY) bzw. 0 (GES) sowie Mterilien der Schulbuchverlge zurückgreifen knn. Keinesflls verspricht isoliertes Vorrtslernen losgelöst vom Unterrichtsvorhben über exponentielles Wchstum nchhltigen Erfolg und wird uch durch den Kernlehrpln SII nicht unterstützt. Orgnisieren lässt sich der Übungsprozess, indem mn z.b. eine von drei Wochenstunden dfür vorsieht sowie entsprechende Wochenhusufgben stellt. Der Vertiefungskurs knn einen Teil der zeitlichen Belstung uffngen. Potenzrechenregeln konkret Im Folgenden werden die Potenzrechenregeln wie folgt bennnt: P: x y x y = + P2: b = ( b ) x x x x P3: ( ) y xy = P4: x = x Hinzu kommt eine Vernetzung mit Wurzeln ls spezielle Regel P5: n n = ( n IN) P5 soll in der 3. Unterrichtseinheit entdeckt werden und ist ein Schlüssel dfür, wie schnell die Lernenden Zugng zu der Idee gleicher Zeitrum, gleicher Änderungsfktor finden. Ntürlich ist es im Sinne eines reduzierten Axiomensystems möglich, P4 mit P3 us dem Spezilfll = zu gewinnen oder gleich us P bzuleiten. Jedoch wird dieses deduktive Vorgehen nicht der didktische Zugng sein, bei dem die kontextbezogene Strtegie einen Wchstumsprozess rückwärts verfolgen die Grundvorstellung der Division nspricht (3. Unterrichtseinheit). Grundsätzlich sollten bei der Auswertung von Übungen uch die formle Bedeutung der Regeln und ihr innerer Zusmmenhng exemplrisch ngesprochen werden. So knn z.b. verstnden werden, wie P3 für ntürliche Exponenten us P folgt, wenn mn rechnet: ( ) 3 4 4 4 4 4+ 4+ 4 4 3 = = =. QUA-LiS NRW Seite 4 von 27
Eine Sonderstellung nimmt die Regel P2 ein. Sie wird innerhlb eines Wchstumsprozesses mit festem Wchstumsfktor nicht benötigt. Dher wurde eine Aufgbe (2. Unterrichtseinheit, Aufgbe 2) ufgenommen, die es erlubt, uch diese Regel im Kontext zu entdecken. Auf eigene Regeln mit Quotienten und Differenzen wird nicht nur mit Blick uf ein möglichst reduziertes Regelsystem verzichtet, sondern uch, weil die gennnten Rechenrten i.d.r. nur im Zusmmenhng mit Umkehrufgben uftreten. In der vorliegenden Reihe wird n gegebener Stelle (3. und 4. Unterrichtseinheit) ds Problem im Kontext mit der Regel P4 gelöst. QUA-LiS NRW Seite 5 von 27
Didktische Hinweise Lehrplnbezug Dignose Kurzbeschreibung Unterrichtsmteril Leistungsüberprüfung Unterrichtsmteril. Unterrichtseinheit Ds Prinzip exponentiellen Wchstums errbeitet n einem Gednkenexperiment (Einzelstunde) Mteril Eine vollständige Verpckungseinheit 500 Stück Kopierppier, ggf. Fehlkopien zum Experimentieren. Aufgbe ) Flte ein DIN A4-Bltt Ppier so oft wie möglich und miss die Dicke des Ppierstpels. Gib die Dicke n, die sich nch ein [zwei, drei] weiteren, theoretisch denkbren Fltungen ergeben müsste. Die nchstehenden Aufgben sind ls Gednkenexperiment einzuordnen. b) Nutze den Stpel Kopierppier, um eine Vorhersge über die Dicke des Ppierstpels nch 0-, 20-, 30- und 40-mligem Flten zu mchen. c) Berechne, wie oft mn mindestens flten müsste, um die Höhe des Eiffelturms (324 m) zu übertreffen. Ziel der Sicherung Die chrkteristische Zunhme exponentieller Wchstumsprozesse soll in dem gewählten Kontext eindrücklich deutlich werden, wobei die Modellhftigkeit durch die Betonung der Grenzen zwischen Experiment und seiner gednklichen Fortsetzung offen ngesprochen wird. Die im Zusmmenhng mit Fermi-Aufgben geübten Kompetenzen des Schätzens, Messens, Umwndelns von Einheiten und Überschlgens können genutzt werden. Gesichert wird zunächst die Regel P. Eine Überschlgsrechnung bei b) ergibt sich us der Ttsche, dss nch 0-fchem Flten 024 0 3 Lgen Ppier in etw die Dicke von dm ufweisen. Drus knn geschlossen werden, dss nch 20-fchem Flten 0 6 Lgen einen c. 00 m dicken Stpel und nch 30- fchem Flten 0 9 Lgen einen c. 00 km dicken Stpel bilden. So werden die Grundkenntnisse über ds Rechnen mit Zehnerpotenzen uch rektiviert. Dies wird uch ddurch unterstützt, dss die Zhl 2 40 vom Rechner in der wissenschftlichen Schreibweise ngezeigt wird. Ds Vorgehen knn durch die Regel P3 beschrieben werden, z. B.: 40 0 4 3 4 2 2 = (2 ) (0 ) = 0. Der Fehler bei der Überschlgsrechnung liegt noch unter 0 %. Um den Modellierungsspekt ufzugreifen, sollte der Fehlvorstellung begegnet werden, durch Vergrößerung des Ppierformtes ließe sich die Zhl möglicher Fltungen nennenswert steigern. QUA-LiS NRW Seite 6 von 27
2. Unterrichtseinheit Vergleich von exponentiellem und linerem Wchstums m Beispiel von Verzinsung mit dem Ziel, den Begriff des Wchstumsfktors zu errbeiten (Doppelstunde) Aufgbe Zur Geburt hben Konstntins Großeltern ihrem Enkel einen Sprbrief über K 0 = 5. 000 mit 8-jähriger Lufzeit geschenkt, um ihn dmit später einml in der Studentenzeit zu unterstützen. Dmls gb es Jhreszinsen von 5 %. Die Zinsen wurden m Jhresende dem Kpitl des Sprbriefes zugeschlgen und in der Folgezeit mitverzinst. Julis Großeltern hben bei Julis Geburt K 0 = 5. 000 zum Festzins von 5 % für 8 Jhre bei ihrer Bnk ngelegt und ihrem Enkelkind ein leeres Sprschwein mitgebrcht. Seitdem schenken sie Juli jedes Jhr zum Geburtstg die Zinserträge. Dieses Geld wird dnn feierlich in dem Sprschwein versenkt. Zum 8-ten Geburtstg drf Juli ds Sprschwein schlchten und soll dnn uch ds frei werdende Kpitl K 0 für eine größere Anschffung erhlten. Um die Erträge dieser beiden Geldnlgen (Sprbrief versus Sprschwein) zu vergleichen, stelle ds dem jeweiligen Kind gehörende Kpitl K n nch n Jhren in einer Tbelle dr. Abbildung : Julis Sprschwein [] Ziel der Sicherung In der Aufgbe knn der Zinsstz vriiert werden. Eine weitere Öffnung ist möglich, wenn mn die beiden Sprbriefe mit unterschiedlichen Zinssätzen usstttet. Die tbellrische Gegenüberstellung mit dem GTR knn noch durch eine grphische Drstellung unterstützt werden. Entscheidend ist es, den Unterschied eines festen Wchstumsfktors und eines festen Summnden zu verdeutlichen. Dies knn grphisch durch entsprechend beschriftete Stufen verdeutlicht werden, welche beim lineren Wchstum ls Steigungsdreiecke zu deuten sind. Bei der Verdichtung der Ergebnisse uf die Formeln K 0 ( ) n n = K + p und Kn = K0 ( + p n) können die Vriblen uch z. T. ls Zhlenwerte belssen werden. Aufgbe 2 Der sogennnte Relwert eines Geldbetrges, lso seine Kufkrft, wird durch die Infltion ständig vermindert. Dies wird usgeglichen, indem mn ds Geld rbeiten lässt. Die einfchste Möglichkeit stellt die Anlge bei einer Bnk dr, welche ds Geld investiert und dem Sprer eine Leihgebühr in Form von Zinsen entrichtet. Ddurch steigt zumindest der Nominlwert, lso der uf dem Ppier des Kontouszugs stehende Wert. Berechne für die kommenden 0 Jhre den Nominlwert und den Relwert eines thesurierend ngelegten Kpitls K 0 = 2. 000 unter der Bedingung, dss die Infltionsrte bei 3 % und der Zinsstz bei 4 % [3 %, 2 %] liegen. Vergleiche die Ergebnisse für unterschiedliche Zinssätze. QUA-LiS NRW Seite 7 von 27
Gib n, um welchen Fktor und um welchen Prozentstz sich der Nominlwert bzw. der Relwert unter diesen Bedingungen nch n Jhren vermehrt [vermindert]. Wie lässt sich der Relwert nch n Jhren us dem Nominlwert berechnen? Ziel der Sicherung Die Lernenden können die Entwicklung des Relwertes berechnen, indem sie die Wchstumsfktoren für Infltion und Verzinsung in jedem Jhr uf ds Kpitl nwenden. Der Vergleich mit dem Nominlwert nch n Jhren legt die Frge nhe, welcher Fktor den Relwert us dem Nominlwert hervorgehen lässt. So knn gesichert werden: n n n 2000 (, 04 0,97) = 2000, 04 0,97 (Regel P2). Diese Regel findet sonst n keiner nderen Stelle des Unterrichtsvorhbens einen Pltz. Die Aufgbe ermöglicht uch eine erste, frühzeitige Auseinndersetzung mit exponentiellen Zerfllsprozessen und der Erfhrung, dss sich Wchstumsfktoren kleiner ls genuso wie solche über hndhben lssen. Dbei knn ein bereits in Klsse 7 themtisierter kognitiver Konflikt wiederufgegriffen werden: Eine Infltion von 3 % wird nicht durch Zinsen in Höhe von 3 % usgeglichen (Verweis uf die 3. binomische Formel). [] Quellennchweis: http://pixby.com/de/sprschwein-penny-bnk-sprdose-463/, letzter Zugriff m 3.05.204 QUA-LiS NRW Seite 8 von 27
3. Unterrichtseinheit Beschreibung eines kontinuierlichen Wchstumsprozesses durch eine Exponentilfunktion ls Zugng zur kontextgestützten Deutung nicht-ntürlicher Potenzen (Einzelstunde) Aufgbe,. Teil Mit 68.870 km² Fläche ist der Viktorisee der größte See in Afrik und nch dem Kspischen Meer und dem Oberen See uch der drittgrößte See (und der zweitgrößte Süßwssersee) der Erde. Er ist etw so groß wie Irlnd. Neben nderen Umweltproblemen leidet der See drunter, dss er von Wsserhyzinthen überwuchert wird. Die überwucherte Fläche vergrößert sich ohne Gegenmßnhmen im Mont uf ds dreifche. Dbei wird vereinfchend von jhreszeitlichen Schwnkungen bgesehen. ) Fülle Tbelle us ( Mont = 30 Tge). Wähle eine geeignete Einheit und runde uf gnzzhlige Werte (Hilfe: h 00 m 00 m ). Stelle die zugehörigen Rechnungen mit den exkten Ergebnissen übersichtlich im Heft dr. Tbelle Zeit t 0 3 Mont 2 Mont Mont 2 Monte 7 Monte Fläche A 200 m² b) Bestimme, wie groß die überwucherte Fläche einen Mont vor Beginn der Messungen wr. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Aufgbe, 2. Teil c) Fülle Tbelle 2 us ( Mont = 30 Tge). Wähle eine geeignete Einheit und runde uf gnzzhlige Werte (Hilfe: h 00m 00m ). Stelle die zugehörigen Rechnungen mit den exkten Ergebnissen übersichtlich im Heft dr. Tbelle 2 Zeit t t = 0 Tg 2 Tge 5 Tge 0 Tge 365 Tge Fläche A d) Beschreibe ds Wchstum der Fläche, die durch Hyzinthen bedeckt ist, durch eine Exponentilfunktion t A( t ) = 200, wobei die Zeit t in Monten zu messen ist. t Berechne A( 2,5) und interpretiere ds Ergebnis mit Blick uf die Sitution des Viktorisees. Zum Üben und Vertiefen: e) Berechne, wie groß eine von Hyzinthen bedeckte Fläche sein müsste, die sich binnen eines Jhres uf den gesmten See usweiten würde. f) Wenn schon % des Viktorisees mit den Hyzinthen überwuchert sind, so duert es 26 Tge, bis der See zugewuchert ist. Bestätige diese Aussge durch eine Rechnung. QUA-LiS NRW Seite 9 von 27
Ziel der Sicherung Die problemorientierte Errbeitung des exponentiellen Wchstumsmodells im. Aufgbenteil stellt die Bedeutung nicht ntürlicher Exponenten in den Mittelpunkt. Methodisch bietet sich ein Dreischritt (ich du wir) n. Der zweite Teil der Aufgbe drf erst später verteilt werden, d sonst ds fertige Modell vorweggenommen wird und die Schüler nur noch schwer zu 2 bewegen sind, den Sinn der Festsetzung = (Regel P5) zu reflektieren. Es soll deutlich 2 2 2 2 werden, dss die Rechnung = = + (P) sowohl us dem Kontext herus sinnvoll ist ls uch einem innermthemtischen Permnenzprinzip genügt. Weitere Beispiele bieten ( + 2 ) 3 2 2 2 3 sich n: = und = ( ) (P3). In Teilufgbe b) lösen die Lernenden ds Problem durch Rückwärtsrechnen, lso durch Division. Dieses Vorgehen wird unter d) wiederufgegriffen, um Potenzen mit negtiven Exponenten zu definieren. Im 2. Aufgbenteil wird unter c) zunächst die Verllgemeinerung n n = (P5) von n = 2 uf n n k n n 30 vorgenommen. Drus knn die Definition bgeleitet werden: = ( ) =. Diese Festlegung scheint nch dem Mechnismus des Hyzinthenwchstums plusibel und genügt forml einem Potenzgesetz (P3). = (P4) zu definie- Die Teilufgbe d) erlubt mit Bezug uf b) negtive Potenzen durch 2,5 200 ren. Dementsprechend ist A( 2,5) = 200 3 =. 2,5 3 k Im ersten Zugriff genügt in der Aufgbe eine exemplrische Sicherung ller ngesprochenen Potenzrechenregeln. Die weiteren Bestimmungsufgben e), f) zum Üben und Vertiefen fordern die Problemlösekompetenz und speziell den richtigen Umgng mit Einheiten herus. Dbei können Abweichungen, die sich us der Verwendung des montlichen Wchstumsfktors in 2. Potenz und des täglichen Wchstumsfktors in 365. Potenz ergeben, unter dem Aspekt diskutiert werden, dss kleine Abweichungen bei der Modellierung zu beträchtlichen Abweichungen bei Vorhersgen mit dem Modell führen können. In Teil f) knn mn betonen, dss die Größe des Sees us der Rechnung herusfällt, lso eine reine Aussge über Wchstumsfktoren gemcht wird. Eine kritische Betrchtung des Modells ist in dieser Aufgbe zwr möglich, würde jedoch den zeitlichen Rhmen sprengen. Auch liegt der Fokus uf dem Ziel, die grundlegenden Eigenschften des für die Lernenden neuen mthemtischen Modells im gegebenen Kontext soweit zu verstehen, dss ein Trnsfer uf ndere Kontexte möglich wird. k QUA-LiS NRW Seite 0 von 27
4. Unterrichtseinheit Modellierung einer Messreihe durch eine Exponentilfunktion m Beispiel des Bierschumzerflls (Einzelstunde) Mteril Ein Dtenstz oder ein (ggf. selbst erstelltes) Versuchsprotokoll zum Auswerten. Unterstützend knn eine Abbildung zum Einstz kommen. Abbildung 2: Zerfll einer Schumkrone. Bildquelle und Rechte: U. Brinkmnn, Gymnsium Rhden Ds Biergls in der Abbildung wurde im Abstnd von einer Minute ufgenommen. Ds Bild knn ls Hintergrundbild uf der Arbeitsfläche im GTR hinterlegt werden. Bei der Aufnhme von eigenen Messwerten ist zu bechten, dss die Schumkrone keine festliegende Untergrenze ht, sondern der Flüssigkeitsspiegel zumindest zu Beginn erkennbr nsteigt. In der Bildsequenz ist dieser Effekt miniml. Wer genu hinsieht, erkennt, dss der Eindruck eines Grphen us Schumsäulen nur erzeugt werden konnte, indem ds erste Gls in der Fotomontge leicht ngehoben wurde. QUA-LiS NRW Seite von 27
Aufgbe In einem Biergls wurde die Höhe der Schumkrone beginnend etw eine hlbe Minute nch dem Einschenken gemessen. Zeit / min 0 2 3 4 5 6 7 8 Höhe / cm 5,8 4,6 3,5 2,5,8,6,2,,0 ) Lege mit dem GTR eine Tbelle in Splten n, in der zusätzlich zu den Messwerten in einer dritten bzw. vierten Splte die Differenzen bzw. Quotienten ufeinnderfolgender Schumhöhen bzulesen sind. Beurteile nhnd der Differenzen bzw. Quotienten, wie gut sich die gemessene Schumhöhe ls Funktion der Zeit durch eine linere bzw. exponentielle Funktion beschreiben lässt. b) Erstelle mit dem GTR us den Messwerten ein Digrmm. Zeichne in dieselbe Grphik einen Funktionsgrphen, welcher sich möglichst gut n ds us den Messwerten erstellte Digrmm npsst. c) Vergleiche die diskutierten (und ggf. weitere infrge kommende) Modelle uch mit Blick uf die Bruchbrkeit zur Prognose des weiteren Verlufs des Schumzerflls. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vertiefungsufgben t d) Forme die unter b) ermittelte Exponentilfunktion h( t ) c so um, dss die Einheiten s und mm verwendet werden. Lässt mn die Bildfolge der Biergläser ls Dumenkino rückwärts lufen, so erhält mn den Eindruck einer wchsenden Schumkrone. e) Bestimme den zugehörigen Wchstumsfktor. QUA-LiS NRW Seite 2 von 27
Ziel der Sicherung Die ersten drei Teilufgben sind vor llem unter Modellierungsspekten zu betrchten. Die Vertiefungsufgben sollen seprt usgegeben werden, dmit keine zu frühe Festlegung uf ein exponentielles Modell hindurchschimmert. Teilufgbe ) soll bewusst nur uf Grundlge der Dten gestellt werden, um eine Suggestion des nzuwendenden Modells durch eine Grphik oder die Fotomontge zu vermeiden. D die Modellierung im Umfeld des Thems schwerlich ls offen ngesehen werden knn, werden die beknnten Modelle vorgegeben. Dss Lernende uch Potenzfunktionen ins Spiel bringen, erscheint nur dnn whrscheinlich, wenn zuvor diese Funktionen in entsprechender Breite behndelt wurden. Der Fokus liegt druf, einerseits die Differenzen und ndererseits die Quotienten zu untersuchen, um noch einml ds grundlegende Prinzip lineren und exponentiellen Wchstums - nun uch bei fllenden Funktionen - zu verdeutlichen: Eine Größe entwickelt sich exponentiell wchsend bzw. fllend, wenn sie sich in festen Zeitintervllen um einen festen Fktor vergrößert bzw. vermindert. Sowohl Differenzen ls uch Quotienten erweisen sich im vorliegenden Fll über ds Mß von Messfehlern hinus ls schwnkend, so dss llein uf Grund der Dtenlge keines der Modelle die Relität zufriedenstellend beschreibt. Jedoch deutet ein mit dem GTR us der Tbelle erstelltes Säulendigrmm eher in Richtung eines exponentiellen Zerflls. Unter c) kommt ds uf die Asymptotik der Exponentilfunktion zielende qulittive Argument hinzu, dss die Schumhöhe nicht negtiv werden knn. Der GTR soll bei der unter b) intendierten Regression nch Augenmß dzu beitrgen, Exponentilfunktionen f( x) = c mit unterschiedlicher x Bsis und unterschiedlichem Streckfktor c zu erkunden. Dies bereitet die nchfolgende Funktionenwerksttt (5. Unterrichtseinheit) vor. Hilfreich ist der Einstz des Schiebereglers. Ein mögliches Ergebnis ist in der Abbildung 3 drgestellt. Es ist dmit zu rechnen, dss die Lernenden nur den Wchstumsfktor vriieren, d ihnen der Anfngswert (im Rhmen der Messgenuigkeit) ls gegeben erscheint, während sie in den nderen Fällen eine gewisse Zufälligkeit unterstellen. Mit dem Hintergrundbild der relen Biergläser knn noch enger m Versuch gerbeitet werden (siehe Abbildung 4). Abbildung 3: Einstz von Schiebereglern zur Anpssung von Messwerten. Abbildung 4:Hintergrundbild zur Vernetzung von Funktion und Relsitution. QUA-LiS NRW Seite 3 von 27
Abbildung 5: Vergleich zwischen exponentieller Regression (oben) und linerer Regression (unten) Zur Modellkritik Der Vergleich zwischen exponentieller und linerer Regression (Abbildung 5) zeigt deutliche Vorteile uf Seiten der ersteren. Die Vorstellung einer festen Zerfllsquote wird häufig durch ein idelisiertes Relmodell unterstützt. Dbei wird ngenommen, dss ein zufälliges Zerpltzen der Schumbläschen unter räumlich und zeitlich homogenen Bedingungen mit einer für feste Zeitintervlle konstnten Whrscheinlichkeit erfolgt. Dieses z. B. beim rdioktiven Zerfll ttsächlich zutreffende Modell erweist sich jedoch nur ls näherungsweise richtig, weil die postulierten Homogenitätsbedingungen nicht erfüllt sind und sich unterschiedliche Zerfllsmechnismen überlgern. Im Sinne des Modellierungszirkels könnte mn ds Modell z. B. durch Einführung einer Zeitbhängigkeit des Zerfllsfktors modifizieren oder zwei exponentielle Zerfllsvorgänge überlgern, nsttt zu optisch besseren, ber rein deskriptiven Vrinten Zuflucht zu nehmen. Diese weiterführenden Überlegungen können im Rhmen der Binnendifferenzierung oder der Fortsetzung des Thems in der Q-Phse in den Unterricht einfließen. Zum physiklischen Hintergrund des Bierschumzerflls gibt es eingehende Untersuchungen. 2 Bei der Aufnhme von Messwerten ist zu bechten, dss die Schumkrone keine festliegende Untergrenze ht, sondern der Flüssigkeitsspiegel zumindest zu Beginn erkennbr nsteigt. In der Bildsequenz wurde dieses Problem durch leichtes Anheben des ersten Glses gelöst, um die Möglichkeit einer Anpssung der relen Schumhöhen durch Funktionsgrphen zu schffen. Seprt ist ein Arbeitsbltt mit einer Bildsequenz hinterlegt, bei der eine schneller zerfllende Schumkrone und ein deutliches Ansteigen der Schumuntergrenze zu beobchten sind. Heike Theyßen: Mythos Bierschumzerfll, Ein Anlogon für den rdioktiven Zerfll?, in: Physik und Didktik in Schule und Hochschule 2/8 (2009), S. 49-57 2 Thoms Wilhelm (Lehrstuhl für Physik und ihre Didktik, Julius-Mximilins-Univ. Würzburg): Der Bierschumzerfll, http://www.thoms-wilhelm.net/vortrege/bierschumzerfll.pdf, eingesehen m.3.204 QUA-LiS NRW Seite 4 von 27
Zu den Vertiefungsufgben Neu ist in d), dss der Wchstumsfktor n die vorgeschriebene Zeiteinheit s nzupssen ist. Es ist dnn b= der schon beknnte Wchstumsfktor für 60 Sekunden. Hiermit 60 werden ds Wurzelziehen (P5) und die Arbeit mit dem Potenzgesetz (P3) wiederholt. Mögliches Vorgehen: ( ) 60 60 60 60 60 b = = =. Mn knn den Einheitenwechsel von min uf s = 60 min uch in der Funktionsgleichung vornehmen, indem mn den Streckfktor vor 60 ds Argument setzt (Vernetzung mit Trnsformtionen). (P3) untermuert werden. Es gilt: ( ) ( ) Der unter e) verfolgte Grundgednke, exponentiellen Zerfll und exponentielles Wchstum durch Zeitumkehr in Beziehung zu setzen, soll zur Vertiefung der Vernetzung von Potenzund Bruchrechnung führen. Die nhe liegende Lösung, den gesuchten Wchstumsfktor durch Rückwärtsrechnen mit dem Kehrwert zu ermitteln, soll in der Sicherung durch Regel t t t h( t) = c = c = c. Dies wird in der nchfolgenden 5. Unterrichtseinheit noch mit der Spiegelung des Grphen n der y-achse in Verbindung gebrcht. QUA-LiS NRW Seite 5 von 27
5. Unterrichtseinheit Eine Funktionenwerksttt zu Exponentilfunktionen (Doppelstunde) Mteril x Die theoretische Beschreibung von Exponentilfunktionen in der Form f( x) = c ( x IR ) wurde in der 4. Unterrichtseinheit vorbereitet. Dbei ist die Bedeutung von = > ls f () f (0) 0 Wchstumsfktor und von c= f(0) > 0 ls Anfngswert oder Streckfktor deutlich geworden. Die folgenden Aufgben sollen zu gezielten Untersuchungen der Zusmmenhänge zwischen Funktionsterm und Funktionsgrph nregen. Zugleich werden Bsiskompetenzen im Gebruch des GTR geschult. Aufgbe : Funktionen beschreiben Zeichne mit dem GTR den Grphen der Funktion f ( ), 2 x x = im Bereich von -4 x +4. Erstelle im gleichen Bereich eine Wertetbelle. - Gib den Schnittpunkt mit der y-achse n. - Welche y-werte treten ls Funktionswert von f uf? - Wie verhält sich der Grph für große x-werte / für kleine x-werte? Aufgbe 2: Welche Rolle spielt die Bsis einer Exponentilfunktion? Zeichne zusätzlich zum Grphen von f noch den Grphen zu f ( ) 2 x = 2x. Übertrge die Zeichnung ls Skizze in dein Heft. - Welchen Punkt hben beide Grphen gemeinsm? - Für welche x-werte ist f( x) < f2( x)? - Ist es denkbr, dss noch ein zweiter Schnittpunkt existiert? Begründe! Trge in deine Skizze zusätzlich den Grphen zu f ( ) 3 x = 3x so ein, wie er deiner Meinung nch in Bezug uf die beiden nderen verlufen müsste. Überprüfe deine Vermutung mit dem GTR und formuliere eine Regelmäßigkeit. Aufgbe 3: Erkennst du ein Muster? Lösche lle Funktionen. Gib dnn ncheinnder folgende Pre f ( x), g ( x ) ein und lss dir die Grphen zeichnen. Schreibe deine Beobchtungen uf. Übertrge für ein Pr die Zeichnung ls Skizze in dein Heft. () f ( ) x = 2x (2) ( ), 5 x 4 f2 x = (3) f3( x) = 3 ( ) 2 g x = 0,5x g2( x) = 3 Erkläre deine Beobchtungen us der Kenntnis von Potenzrechenregeln. x i i g ( ) 3 x = 0,75x x QUA-LiS NRW Seite 6 von 27
Ziel der Sicherung Die Aufgbenformte gleichen grundsätzlich denen, die für linere Funktionen und ihre Grphen produktiv sind. Die drei Aufgben verfolgen die nchstehenden Zielsetzungen: Durch Vrition der Schrprmeter bzw. c knn mit dem GTR erkundet werden, wie diese Prmeter den Verluf der Funktionsgrphen qulittiv beeinflussen. Die Lgebeziehung zwischen zwei Exponentilfunktionen knn erklärt werden. x Die Spiegelsymmetrie zwischen den Grphen zu f( x) = c und knn entdeckt werden. gx ( ) = c x Weitere Aufgbenformte Hier bieten Schulbücher i. d. R. genügend Aufgben, die zu einer Lernumgebung zusmmengestellt werden können. Bewährt hben sich Problemufgben, bei denen Zuordnungen zwischen unsklierten Grphen und Funktionsgleichungen herzustellen sind. Zum exkten Ablesen der Prmeter und c us sklierten Grphen sind die Funktionswerte n den Stellen 0 und bequem. Kretive Probleme ergeben sich, wenn ds Sichtfeld uf einen nderen Bereich eingeschränkt wird. Weiterführend und vorbereitend uf die Q-Phse knn die Vrition des Wchstumsfktors durch Stuchung in x-richtung erzeugt werden, indem z.b. in f( x) 2 rx = ein Prmeter r vriiert wird. Hierbei bietet sich wieder die Gelegenheit, eine Potenzrechenregel (P3) zu themtisieren. Der Sonderfll = bietet Anlss zu klärenden Diskussionen. Wchstumsfktoren sollten zunehmend uch mit prozentulen Änderungen in Verbindung gebrcht werden. Dbei können die bereits in Jhrgngsstufe 7 themtisierten kognitiven Konflikte wiederufgegriffen werden, z. B.: Eine Infltion von p % wird nicht durch Zinsen in Höhe von p % usgeglichen (Verweis uf 3. binomische Formel, vgl. 2. Unterrichtseinheit). QUA-LiS NRW Seite 7 von 27
6. Unterrichtseinheit Wie mn eine Exponentilfunktion durch zwei Punkte legt (Einzelstunde). Aufgbe Ebenso wie eine Gerde mit einer Funktionsgleichung der Form gx ( ) = b+ mx ist uch eine Expo- x nentilfunktion mit einer Funktionsgleichung der Form f( x) = c durch zwei verschiedene Punkte uf dem Grphen eindeutig festgelegt. ) Bestimme der Reihe nch die Prmeter und c einer Exponentilfunktion, deren Grph durch die beiden gegebenen Punkte P, Q verläuft. () P(0 3), Q( 8) (2) P(2 2,7), Q(3 8,) (3) P(4 3,7), Q(5,5 0) (4) P(2,4 3,7), Q(5, 9,2). b) Vergleiche unterschiedliche Wege zur Lösung von Beispiel (4). c) Erkläre, wrum eine Exponentilfunktion mit einer Funktionsgleichung der Form f( x) = c durch Angbe zweier verschiedener Punkte uf dem Grphen eindeutig bestimmt ist. x QUA-LiS NRW Seite 8 von 27
Ziel der Sicherung Die vier Beispiele in ) sind didktisch gestffelt. Während (2) noch d hoc nhnd einer Skizze durch schrittweises Probieren (sogr im Kopf) zu lösen ist, muss mn bei (3) den Wchstumsfktor us dem Fktor,5 berechnen und dnn 4 Schritte von P zum Strtpunkt ( 0 c ) uf der y-achse zurückrechnen (3,7 geteilt durch 4 ). Um ds Ergebnis (4) f( x ) =, 65, 40 x zu bekommen, ht mn es schwerer, zum Strtpunkt ( 0 c ) zurückzurechnen. Dfür können die Lernenden unterschiedliche Strtegien entwickeln selbständig und mit geeigneten Impulsen (Möglichkeit eines Gruppenpuzzles bei b)).. Durch Verllgemeinern des zuvor benutzten Verfhrens. Mn rechnet sozusgen 2,4 2,4 2,4 Schritte zurück, teilt lso z.b. 3,7 durch, 40. 2. Durch Verschieben um 2,4 in x-richtung lässt sich ds Problem uf den bereits gelösten Spezilfll zurückführen, in dem P(0 c) uf der y -Achse liegt: f( x) 3, 7, 40 x 2,4 =. 3. Durch Einsetzen eines Punktes in f( x) = c, 40 x lässt sich eine Gleichung ufstellen und nch c uflösen. 4. Alterntiv können uch zwei Gleichungen mit zwei Unbeknnten c, ufgestellt und z. B. durch Division der Gleichungen gelöst werden. Besonders ds letzte Verfhren Nr. 4 soll in c) reflektiert werden und n ähnliche Erfhrungen mit lineren Gleichungssystemen erinnern. Leistungsstärkere Lernende können die Anlogien z.b. durch Abstrktion der Formel x2 x y 2 = y y2 y erweitern, die der beknnten Formel m= = ( y2 y) x x x x Solche strukturellen Überlegungen trgen zum Klkülverständnis bei. 2 2 entspricht. Für ndere Lernende ist es dgegen notwendig, durch Übung die Geläufigkeit des entwickelten Klküls zu verbessern. Dzu sind Vritionen wie negtive x-koordinten, Wchstumsfktoren < und vertuschte Punkte (Q links von P) geeignet. QUA-LiS NRW Seite 9 von 27
Kurzbeschreibung Didktische Hinweise Unterrichtsmteril Lehrplnbezug Dignose Leistungsüberprüfung Lehrplnbezug Them: Beschreibung der Eigenschften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhbenbezogene Absprchen und Empfehlungen Inhltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Eigenschften von Potenzfunktionen mit gnzzhligen Exponenten sowie qudrtischen und kubischen Wurzelfunktionen beschreiben Wchstumsprozesse mithilfe linerer Funktionen und Exponentilfunktionen wenden einfche Trnsformtionen (Streckung, Verschiebung) uf Funktionen (Sinusfunktion, qudrtische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentilfunktionen) n und deuten die zugehörigen Prmeter Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren Die Schülerinnen und Schüler erfssen und strukturieren zunehmend komplexe Schsitutionen mit Blick uf eine konkrete Frgestellung(Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Schsitutionen in mthemtische Modelle (Mthemtisieren) Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler nutzen Tbellenklkultion, Funktionenplotter und grfikfähige Tschenrechner verwenden verschiedene digitle Werkzeuge zum Drstellen von Funktionen grfisch und ls Wertetbelle zielgerichteten Vriieren der Prmeter von Funktionen Algebrische Rechentechniken werden grundsätzlich prllel vermittelt und dignosegestützt geübt (solnge in diesem Unterrichtsvorhben erforderlich in einer von drei Wochenstunden, ergänzt durch differenzierende, individuelle Zustzngebote us Aufgbensmmlungen). Dem oft erhöhten Angleichungs- und Förderbedrf von Schulformwechslern wird ebenflls durch gezielte individuelle Angebote Rechnung getrgen. Hilfreich knn es sein, dbei die Kompetenzen der Mitschülerinnen und Mitschüler (z. B. durch Kurzvorträge) zu nutzen. Ein besonderes Augenmerk muss in diesem Unterrichtsvorhben uf die Einführung in die elementren Bedienkompetenzen der verwendeten Softwre und des GTR gerichtet werden. Als Kontext für die Beschäftigung mit Wchstumsprozessen können zunächst Ansprmodelle (insbesondere linere und exponentielle) betrchtet und mithilfe einer Tbellenklkultion verglichen werden. Für kontinuierliche Prozesse und den Übergng zu Exponentilfunktionen werden verschiedene Kontexte (z. B. Bkterienwchstum, Abkühlung) untersucht. Der entdeckende Einstieg in Trnsformtionen knn etw über ds Beispiel Sonnenscheinduer us den GTR-Mterilien erfolgen, lso zunächst über die Sinusfunktion. Anknüpfend n die Erfhrungen us der SI werden dnn qudrtische Funktionen (Scheitelpunktform) und Prbeln unter dem Trnsformtionsspekt betrchtet. Systemtisches Erkunden mithilfe des GTR eröffnet den Zugng zu Potenzfunktionen. QUA-LiS NRW Seite 20 von 27
Didktische Hinweise Lehrplnbezug Dignose Kurzbeschreibung Unterrichtsmteril Leistungsüberprüfung Dignose Hinweise zu den Dignosebögen Der Selbsteinschätzungsbogen zur Eingngsdignose nimmt Bezug uf die Potenzrechenregeln (P,..., P5), die teilweise in der Sekundrstufe I ngesprochen werden. Dies knn der Fll sein, wenn Fchschften sich entschließen, dies (zumindest für die Schülerinnen und Schüler der eigenen Schule) durch entsprechende Unterrichtsreihen m Ende der Sekundrstufe I sicherzustellen. Der Kernlehrpln SI sieht jedoch nur eine Beschränkung uf Zehnerpotenzen und ein grundsätzliches Verständnis der Potenzschreibweise vor. Die letzte Splte für Angben zum Selbstlernmteril ist noch entsprechend den vorhndenen Mterilien zu ergänzen. Für die Nchdignose wurde ein nloger Aufbu ohne diese Splte gewählt, wobei die Aufgben sich erkennbr eng n die Ausgngsdignose nschließen, um den Lernenden einen Vergleich zu erleichtern. Der zeitliche Abstnd schließt dbei reines Auswendig-Merken weitgehend us. Der zweite Dignosebogen knn zugleich uch ls Vorbereitung uf eine Leistungsüberprüfung genutzt werden. In beiden Fällen wurde uf eine Vernetzung mit der Bruchrechnung verzichtet, d hierfür in der vorliegenden Sequenz kein Bedrf besteht. Vielmehr sind Regeln, wie sich Potenzen in Bezug uf Zähler und Nenner verhlten, in den Potenzrechenregeln P2 und P4 impliziert. Stttdessen wurden uch Dezimlbrüche ls Bsen genommen, um den exemplrischen Chrkter der Zhlenbeispiele zu betonen. QUA-LiS NRW Seite 2 von 27
Selbsteinschätzungsbogen zum Them Potenzrechnung Eingngsdignose Nme: Hinweis: Der Dignosebogen ist ohne Hilfe eines Rechners uszufüllen. Kompetenzen D bin ich mir sicher. Ds knn ich. D bin ich fst sicher. Ich rechne noch einige Aufg- D bin ich unsicher. Ds übe ich noch weiter. Ds knn ich gr nicht. Selbstlernmteril. Ich knn die wissenschftliche Zhlenschreibweise in ds Stellenwertsystem übersetzen. 7 Aufgbe: 2,9 0 = 2. Ich knn ds Vorzeichen von Potenzen bestimmen. 365 Aufgbe: ( 0,7) ist positiv negtiv 3. Ich knn Produkte mithilfe von Potenzen zusmmenfssen. Aufgbe: ( 6) ( 6) ( 6) 7,5 7,5 ( 6) 7,5 = 4. Ich knn die Verzinsung eines Kpitls mithilfe von Potenzen eines Wchstumsfktors berechnen. Aufgbe: Gib einen Term für den Geldbetrg nch 8 Jhren n, wenn 5.000 zu einem festen Zinsstz von 4 % ngelegt werden und die Zinsen dbei stets dem Kpitl gutgeschrieben werden. 5. Ich knn Potenzen mit gleicher Bsis zusmmenfssen (Regel P). 3 7 Aufgbe: 4 4 4 = 6. Ich knn Potenzen mit gleichem Exponenten zusmmenfssen (Regel P2). 3 3 3 Aufgbe: 3 4, 2 ( 5) = QUA-LiS NRW Seite 22 von 27
7. Ich knn Potenzen von Potenzen zusmmenfssen (Regel P3). 6 Aufgbe: ( 3 ) 5 = 8. Ich knn Terme mit Potenzen entsprechend den drei Regeln P, P2, P3 zusmmenfssen. 4 3 x 7 4 x 2 = Aufgben: ( ) 6 2 6,7 k k = ( 0 7 ) 4 8 = 9. Ich knn flsche Termumformungen berichtigen und den Fehler erklären. 2 2 2 2 2 4 Aufgben: + 3 = ( + 3) + = ( ) 4 4 3x 2x = 2 x 5 = ( 2x 3 ) ( 2x 2 ) 0. Ich knn negtive Exponenten mithilfe der Division deuten (Regel P4). k 6 Aufgben: Schreibe ls Potenz: = 2k Schreibe ls Quotient und deute ls Aufgbe zur Zinsrechnung: 2500,05 7 =.. Ich knn Terme mit gnzzhligen Exponenten zusmmenfssen. 2 n 5 3n Aufgbe: 4,8 7 4,8 7 = 2. Ich knn (Qudrt-)Wurzeln us Produkten ziehen (Regeln P3, P5). Aufgben: Ziehe die Wurzel soweit wie möglich: 36 x = 6 3 x = 2 2 5 + x = QUA-LiS NRW Seite 23 von 27
Selbsteinschätzungsbogen zum Them Potenzrechnung Nchdignose Nme: Hinweis: Der Dignosebogen ist ohne Hilfe eines Rechners uszufüllen. Kompetenzen D bin ich mir sicher. Ds knn ich. D bin ich fst sicher. Ich rechne noch einige Aufgben. D bin ich unsicher. Ds übe ich noch weiter. Ds knn ich gr nicht.. Ich knn die wissenschftliche Zhlenschreibweise in ds Stellenwertsystem übersetzen. 5 Aufgbe: 3,64 0 = 2. Ich knn ds Vorzeichen von Potenzen bestimmen. 366 Aufgbe: (, 4) ist positiv negtiv 3. Ich knn Produkte mithilfe von Potenzen zusmmenfssen. Aufgbe: 8 8 ( 5,5) ( 5,5) 8 8 ( 5,5) = 4. Ich knn die Verzinsung eines Kpitls mithilfe von Potenzen eines Wchstumsfktors berechnen. Aufgbe: Gib eine Gleichung n, mit der sich berechnen lässt, wnn sich ein Geldbetrg verdoppelt ht, wenn er zu einem festen Zinsstz von 3 % ngelegt wird und die Zinsen dbei stets dem Kpitl gutgeschrieben werden. 5. Ich knn Potenzen mit gleicher Bsis zusmmenfssen (Regel P). 0 3 Aufgbe: 7 7 7 = 6. Ich knn Potenzen mit gleichem Exponenten zusmmenfssen (Regel P2). 4 4 Aufgbe: 2 ( 3,5) = 7. Ich knn Potenzen von Potenzen zusmmenfssen (Regel P3). 4 Aufgbe: ( ) 5 = 8. Ich knn Terme mit Potenzen entsprechend den drei Regeln P, P2, P3 zusmmenfssen. 2 2 Aufgben: ( x) ( x ) 8 8 = = 2k 2k+ 3 3 9. Ich knn flsche Termumformungen berichtigen und den Fehler erklären. 2 2 2 Aufgben: x 5 = ( x 5) 9 3 3 = ( 9 3 ) 2 QUA-LiS NRW Seite 24 von 27
0. Ich knn negtive Exponenten mithilfe der Division deuten (Regel P4). k 6 2 Aufgbe: Schreibe ls Potenz: 2 6 = 6. Ich knn Terme mit gnzzhligen Exponenten zusmmenfssen. 2 n 2 n 5 Aufgbe: 9 9 = 2. Ich knn (Qudrt-)Wurzeln us Produkten ziehen (Regeln P3, P5). Aufgbe: Ziehe die Wurzel soweit wie möglich: 3 49 x = QUA-LiS NRW Seite 25 von 27
Didktische Hinweise Lehrplnbezug Dignose Kurzbeschreibung Unterrichtsmteril Leistungsüberprüfung Leistungsüberprüfung Nme: Aufgbe Der Luftdruck p nimmt in der Atmosphäre mit steigender Höhe h über dem Meeresspiegel b, wobei h die Höhe in km über NN ngibt und p in hp gemessen wird. Die Tbelle zeigt mögliche Messwerte. Höhe h / km 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Luftdruck p / hp 05 935 890 85 774 736 68 64 587 564 h Die tbellierten Werte lssen sich mit einer Exponentilfunktion ph ( ) = p0 beschreiben. ) Berechne us den Messwerten zur Höhe h = und h = 4 einen Funktionsterm, der diese beiden Messwerte exkt wiedergibt. Runde p 0 uf gnze Zhlen und uf 4 Nchkommstellen genu. Im Folgenden soll der Funktionsterm ph ( ) = 03 0,8823 h verwendet werden. b) Erstelle mit dem GTR eine Tbelle zur Funktion ph ( ) = 03 0,8823 h und beurteile, wie gut sie zu den obigen Messwerten psst und ob bestimmte Veränderungen nötig sind. Dokumentiere deine Ergebnisse vollständig. c) Berechne, um wie viel Prozent der Luftdruck beim Aufstieg us dem Bsislger in 2800 m über NN uf 4700 m über NN bnimmt. d) Berechne, um wie viel Prozent der Luftdruck beim Abstieg pro km zunimmt. 8,848 h h e) Forme den Term ph ( ) = 03 0,8823 in die Stndrdform ph ( ) = p0 um. Nenne die verwendeten Regeln P,..., P5. Interpretiere die usgerechneten Größen p 0 und im Schzusmmenhng. Regeln: x y P: x y = + P2: b = ( b ) x P3: ( ) y xy = P4: x x x x = P5: x n n = ( n IN) QUA-LiS NRW Seite 26 von 27
Kompetenzrster zur Aufgbe zur Leistungsüberprüfung Aufg. Kompetenzen und Lösungshinweise ) Wchstumsfktor us 3 587 = ermitteln. 890 Punkte 2 Wchstumsfktor berechnen und runden: 0,8705. 2 Anfngswert p 0 us p() = p0 = 890 ermitteln. Anfngswert berechnen und runden: p 022. 0 b) Eine Tbelle erstellen und dokumentieren. 3 Feststellen, dss deutliche Abweichungen bei zu großen Funktionswerten uftreten. 2 Folgern, dss der Wchstumsfktor zu groß gewählt wurde. c) Höhendifferenz in km berechnen: 4,7 km 2,8 km =,9 km. Wchstumsfktor berechnen:,9 0,8823 0, 788. Abnhme in Prozent usdrücken: Der Luftdruck nimmt um 2 % b. d) Kehrwert des Abnhmefktors ls Wchstumsfktor für den rückwärts lufenden Prozess benutzen. Kehrwert von 0,8823 berechnen und in Prozent usdrücken: Der Luftdruck nimmt pro km um 3,3 % zu. e) Die Regeln P und P4 nennen und zur Umformung nwenden: 3 ph = =. 8,848 h 8,848 h h ( ) 03 0,8823 03 0,8823 0,8823 335,33 Ergebnis im Schzusmmenhng interpretieren: p0 = p(0) 335 ist der Luftdruck (in hp) uf 8848 m Höhe (uf dem Mt. Everest) zu Beginn des Abstiegs. = 0,8823,33 ist der Fktor für die Zunhme des Luftdrucks pro km beim Abstieg (vgl. d)). 2 Summe 23 QUA-LiS NRW Seite 27 von 27