5. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 5.. Eiführug Ereigisse sid oft icht geau vorhersagbar. Ma weiß vorher icht sicher, ob sie eitrete werde. Solche Ereigisse et ma zufällig. Beispiele: Müzwurf (Kopf oder Zahl) Roulette Bredauer eier Glühbire Wettervorhersage Ufälle i eiem bestimmte Zeitraum Ufälle auf eiem bestimmte Streckeabschitt Das Maß für die Erwartug, mit der ei beliebiges Ereigis E eitritt, et ma Wahrscheilichkeit P(E). (P... probability, egl.) Die Agabe eier kokrete Zahl für die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ist problematisch, da es bis jetzt keie eideutige mathematische Defiitio vo Wahrscheilichkeit gibt. Es gibt ur für gewisse Fälle Regel, wie ma Ereigisse sivolle Wahrscheilichkeite zuorde ka. Das Agebe vo Wahrscheilichkeite ist daher am eheste mit dem physikalische Messe eier Größe vergleichbar. Der Meßwert ist immer mit eiem bestimmte Meßfehler behaftet ud hägt immer vo de Meßmethode bzw. vom Iformatiosstad ab. Es ist sogar umstritte, ob es überhaupt eie objektiv existierede geaue Wert für die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses gibt. Somit ist die Aahme eies Wertes für die Wahrscheilichkeit eie ützliche Fiktio, um damit weitere Aussage bereche zu köe. Ausgagspukt für die Wahrscheilichkeitstheorie war die Theorie der Glückspiele, die vo Blaise PASCAL begrüdet ud vo Jakob BERNOULLI (654-705) sowie vo Pierre Simo de LAPLACE (749-827) weiteretwickelt wurde ud schließlich zur achstehede Wahrscheilichkeitsdefiitio führte. - 06 -
Laplace Wahrscheilichkeit für ei Ereigis E (klassische Wahrscheilichkeit, Wahrscheilichkeit als relativer Ateil): PE ( ) Azahl der für E güstige Fälle Azahl der mögliche Fälle Diese Defiitio gilt ur uter bestimmte Voraussetzuge ud für ur für bestimmte Ereigistype. Sie ist aber für ei erstes Verstädis für de Begriff der Wahrscheilichkeit sehr zweckmäßig. Auf die geauere Radbediguge wird im Verlauf der weitere Abschitte och im Detail eigegage. Beispiel: Ermittel Sie die Wahrscheilichkeit, beim Würfel eie ugerade Zahl zu erhalte. Ermittel der güstige Fälle: G { 35 ; ; }; z( G) 3 Ermittel der mögliche Fälle: M { 23456 ; ; ; ; ; }; z( M) 6 Berechug der Wahrscheilichkeit: 3 PE ( ) 05, 6 Die Wahrscheilichkeit ist 0,5; das etspricht 50%. Das Ergebis im obige Beispiel ist leicht ohe mathematische Mittel achvollziehbar. I viele Fälle - ma deke a das Zahlelotto 6aus 45 - ist es icht oder ur mit großem Aufwad möglich, die Azahl der güstige ud mögliche Fälle zu ermittel, z.b. die Azahl der richtige Dreier. Daher beschäftigt sich der erste Abschitt i diesem Kapitel mit dem Ermittel derartiger Azahle, mit der sogeate Kombiatorik. Die Kombiatorik ist die Kust des Zähles ohe tatsächlich zu zähle ud ist somit ei Hilfsmittel für die Wahrscheilichkeitsrechug. Vor allem bei mehrstufige Versuche - d.h. Versuche, die aus mehrere Teilversuche bestehe, die acheiader oder gleichzeitig durchgeführt werde - trete oft verschiedee Ereigisse auf mit jeweils gleicher Wahrscheilichkeit. Für die Agabe der Wahrscheilichkeit ist die Ketis der geaue Zahl aller mögliche Ereigisse ötig. Das Aufschreibe ud Abzähle aller Ereigisse ist aber besoders bei großer Versuchszahl überaus mühsam ud ka wesetlich eifacher durch kombiatorische Formel ersetzt werde. - 07 -
5.2. Kombiatorik (a) Der Begriff Faktorielle Da Berechuge im Rahme der Kombiatorik immer wieder zu eier bestimmte Produktbildug führe, soll die folgede vereifachte Schreibweise am Begi dieses Abschitts stehe. Das Produkt 2 3...( 2) ( ) i! i heißt Faktorielle oder Fakultät. Beispiel: 6! 6 5 4 3 2 720 Tascherecher mit x! - Taste köe üblicherweise bis 69! reche; 70! ist bereits eie so große Zahl, daß sie auch uter Zuhilfeahme der Expoetialschreibweise auf Tascherecher icht mehr ausgegebe werde ka. Defiitio: 0! Satz: ( )!! Beweis des Satzes: l.s.: ( )! 2...( 2) ( ); ( )! 2...( 2) ( ) r.s.:! 2...( 2) ( ) ud daher l.s. r.s. Beispiel: Zeige Sie, daß ( + )!! ( + )! +! + 2 gilt. ( + )! ( + )! ( + )!! ( + )! +! [ ] [ ]! +! + + + 2 Beispiel: Bereche Sie 95! 93! 95 94 93! 93! 95 94 8930-08 -
(b) Permutatioe Permutatioe (permutare, lat.... vertausche) sid Vertauschuge vo Elemete. Abhägig davo, ob die Elemete alle uterschiedlich sid oder icht, spricht ma vo Permutatioe mit oder ohe Wiederholug.. Fall: Permutatio vo verschiedee (d.h. uterscheidbare) Elemete Beispiel: Wieviele Möglichkeite gibt es, 0 Persoe i eier Reihe aufzustelle? Für de erste Platz stehe 0 Persoe zur Verfügug 0 Möglichkeite Für de zweite Platz stehe 9 Persoe zur Verfügug 9 Möglichkeite Für de dritte Platz stehe 8 Persoe zur Verfügug 8 Möglichkeite... Für de zehte (letzte) Platz steht ur och Perso zur Verfügug Möglichkeit Isgesamt 0 9 8 7... 2 0! verschiedee Möglichkeite Es gibt0! Möglichkeite Die Tatsache, daß es sich um Permutatioe lauter verschiedeer Elemete hadelt, bezeichet ma als Permutatio ohe Wiederholug. Die Azahl der Permutatioe vo Elemete ohe Wiederholug ist P! 2. Fall: Permutatio vo Elemete, vo dee jeweils k, k 2,... k m icht uterscheidbar sid Beispiel: 7 Mäer, 4 Fraue ud 5 Kider solle uterschiedlich i eier Reihe aufgestellt werde, wobei icht zwische de eizele Mäer, Fraue ud Kider uterschiede werde soll. 7 + 4 + 5 6 Bei dieser Aufgabe sid icht alle 6! 2,092279 0 3 Möglichkeite der Aordug wirklich verschiede, de es gibt 7! Möglichkeite, bei dee ur die Mäer utereiader Plätze tausche ud somit icht die Gesamtaordug vo Mäer i Platzbezug auf Fraue ud Kider geädert wird. Aaloges gilt für 4! Möglichkeite der Fraueplatzwechsel ud 5! Möglichkeite des Kiderplatzwechsels. - 09 -
Es gibt also ur 6! 7! 4! 5! 44440 mögliche Aorduge vo Mäer, Fraue ud Kider, die i dieser Aufgabe wirklich als verschiede azusehe sid. Gilt k + k +... + k, so gibt es also 2 wiederhole. m! k! k2!... k m! verschiedee Permutatioe, we sich Elemete Die Azahl der Permutatioe vo Elemete mit Wiederholug ist k k km P, 2,...,! 2 k! k!... k! m mit k + k +... + k 2 m Zusammefassed sid folgede Eigeschafte für das Awede der Formel für Permutatioe typisch: - Aus Elemete werde alle Elemete eibezoge aus - Die Reihefolge der Aordug der Elemete ist etscheided Reihefolge: ja - Abhägig vo der Uterscheidbarkeit der Elemete gibt es Permutatioe mit ud ohe Wiederholuge Wiederholug: ja / ei (c) Variatioe Will ma aus eier Gesamtheit vo verschiedee Elemete geordete Stichprobe bestehed aus k Elemete etehme, so spricht ma vo Variatioe. Abhägig davo, ob die eizele Elemete zwische de Ziehuge zurückgelegt werde, spricht ma vo Variatioe mit oder ohe Wiederholuge.. Fall: Variatioe ohe Wiederholug Beispiel: I eiem Verei solle aus 20 Persoe die Ämter des Obmas, des Stellvertreters, des Schriftführers ud des Kassiers besetzt werde. Wieviele Möglichkeite gibt es? Für de Obma gibt es afags 20 Möglichkeite aus de 20 Persoe zu wähle. Da es keie Doppelbesetzuge gebe ka, gibt es für de Stellvertreter u ur och 9 Möglichkeite, da weiterführed für de Schriftführer ur och 8 Möglichkeite ud letztedlich für das Amt des Kassiers - 0 -
stehe och 7 Persoe zur Verfügug. Es gibt als 20 9 8 7 6280 Möglichkeite zur Besetzug der Poste. 20! Verwedet ma die Fakulätsschreibweise, ergibt sich: 20 9 8 7 6! 20! ( 20 4)! Will ma aus eier Gesamtheit vo verschiedee Elemete geordete Stichprobe bestehed aus k (k<) Elemete etehme ud legt die Etommee icht zurück, so gibt es also! ( )...( k+ ) verschiedee geordete Stichprobe vom Umfag k. ( k)! Die Zahl der Variatioe vo k Elemete aus Elemete ohe Wiederholug ist: V k! ( k)! 2. Fall: Variatioe ohe Wiederholug Beispiel: Aus eier Gruppe vo 0 Persoe solle für 3 kleiere Aufgabe eizele Persoe ausgewählt werde. Wieviele Möglichkeite gibt es dafür, we theoretisch auch ei ud dieselbe Perso alle 3 Aufgabe überehme ka? Für die erste Aufgabe gibt es 0 Möglichkeite aus de 0 Persoe zu wähle. Für die zweite Aufgabe ka wieder aus alle 0 Persoe gewählt werde, es gibt es wieder 0 Möglichkeite. Da jede der erste 0 Möglichkeite mit de zweite 0 Möglichkeite kombiiert werde ka, gibt es bis hierher also 0 0 00 Möglichkeite. Da es für die dritte Aufgabe wieder 0 Möglichkeite gibt, köe die 00 bisherige Fälle mit jeder dieser 0 letzte Möglichkeite kombiiert werde. Isgesamt gibt es also 0 0 0 0 3 000 Möglichkeite. Es gibt 000 Möglichkeite. Die Zahl der Variatioe vo k Elemete aus Elemete mit Wiederholuge ist: w V k k - -
Beispiel: Wieviele Möglichkeite gibt es, eie Totoschei auszufülle? 3 Elemete Tips: Tip ; Tip 2; Tip X; 3 2 Stichprobe Spiele; k2 3 2 5344 Möglichkeite Zusammefassed sid folgede Eigeschafte für das Awede der Formel für Variatioe typisch: - Aus Elemete werde k Elemete eibezoge k aus - Die Reihefolge der Aordug der Elemete ist etscheided Reihefolge: ja - Abhägig vo der Möglichkeit des mehrmalige Vorkommes der Elemete gibt es Variatioe mit ud ohe Wiederholuge Wiederholug: ja / ei (d) Kombiatioe Bei ugeordeter Stichprobe kommt es icht auf die Reihefolge der ausgewählte Elemete a, d.h. die Auswahl a-b-c ist idetisch mit der Auswahl b-a-c oder a-c-b usw. Eie Stichprobe dieser Art bezeichet ma als Kombiatio. Abhägig davo, ob die eizele Elemete zwische de Ziehuge zurückgelegt werde, spricht ma vo Kombiatioe mit oder ohe Wiederholuge.. Fall: Kombiatioe ohe Wiederholug Die Zahl der Variatioe vo k Elemete aus Elemete ist durch V k gegebe. Ist u die Reihefolge der Aordug der k Elemete icht wesetlich, so sid all jee Variatioe idet, die aus deselbe k Elemete bestehe. Bei k ausgewählte verschiedee Elemete gibt es k! Möglichkeite, diese Elemete zu vertausche (permutiere). Daher bestimme jeweils k! geordete Stichprobe ei ud dieselbe ugeordete Stichprobe. Dividiert ma also die Zahl der Variatioe durch k!, so erhält ma die! Zahl der etsprechede Kombiatioe ud daher. ( k)! k! Die Zahl der Kombiatioe vo k Elemete aus Elemete ohe Wiederholug ist: K k! ( k)! k! - 2 -
Beispiel: 6 Persoe sitze bei eier Tischrude ud trike Sekt. Wie oft klige die Gläser, we sie eiader alle zuproste? Es werde jeweils Stichprobe vom Umfag 2 ohe Wiederholug ausgewählt, da je zwei Persoe miteiader astoße, aber iemad mit sich selbst. Außerdem gilt a-b ist b-a ud es hadelt sich daher 2 um eie ugeordete Stichprobe mit 6, k 2: K 6! 6 7! 4! 5 Die Gläser klige 5 mal. De Bruch! ( k)! k! schreibt ma der Kürze wege oft auch als (gesproche: über k ) ud et k diese Ausdruck Biomialkoeffiziet, worauf im Abschitt Biomischer Lehrsatz äher eigegage wird. Biomialkoeffiziet:! ( k)! k! k Satz: k k Beweis des Satzes: l.s.: k! ( k)! k! ; r.s.:!! ; l.s. r.s. k ( ( k))!( k)! k!( k)! Beispiel: Wieviele Möglichkeite gibt es, eie 6 aus 45 -Lottoschei auszufülle? Die Reihefolge der 6 gezogee Kugel ist egal (ugeordete Stichprobe). Die eizele Kugel werde 6 45 45 icht zurückgelegt (ohe Wiederholug). Daher ist 45, k6: K 45 845060 6! 39! 6! Es gibt 845060 Möglichkeite. Beispiel: Wieviele richtige Dreier ka es ach eier Lottoziehug gebe? Es stellt sich also vorerst die Frage, auf wieviele Arte ma 3 Zahle aus de 6 richtige ziehe ka. Diese Azahl ka ma mit alle Möglichkeite kombiiere, die es gibt, um die weitere 3 Zahle aus de 6 39 verbleibede 39 urichtige Zahle. Die gesuchte Azahl ist daher: 20 939 82780 3 3 Es gibt 82780 mögliche Dreier. - 3 -
2. Fall: Kombiatioe mit Wiederholug De Fall eier ugeordete Stichprobe aus eier Gesamtheit vo Elemete mit Zurücklege ka ma auf de Fall eier ugeordete Stichprobe aus eier größere Gesamtheit ohe Zurücklege zurückführe. Zieht ma ämlich aus eier Gesamtheit vo Elemete k mal mit Zurücklege, so muß ma k Mal das gezogee Elemet wieder zurücklege, um dieselbe Ausgagsgesamtheit wieder herzustelle. Es ist daher gedaklich sivoll, vo Afag a k zusätzliche Elemete der Gesamtheit hizuzufüge ud k Mal aus dieser eue Gesamtheit ohe Zurücklege zu ziehe. Die eue Gesamtzahl beträgt da +k. Die Zahl der Kombiatioe vo k Elemete aus Elemete mit Wiederholug ist: w K k + k ( + k )! k ( )! k! Beispiel: Wieviele Wurfkombiatioe sid beim Würfel mit zwei gleichartige Würfel möglich? Ermittlug durch Aufzähle: 6-6 5-5 5-6 4-4 4-5 4-6 3-3 3-4 3-5 3-6 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 - -2-3 -4-5 -6 Berechug als ugeordete Stichprobe mit 6, k 2 mit mit Wiederholug: w 2 6+ 2 7 K 6 2 2 2 Zusammefassed sid folgede Eigeschafte für das Awede der Formel für Kombiatioe typisch: - Aus Elemete werde k Elemete eibezoge k aus - Die Reihefolge der Aordug der Elemete ist icht etscheided Reihefolge: ei - Abhägig vo der Möglichkeit des mehrmalige Vorkommes der Elemete gibt es Kombiatioe mit ud ohe Wiederholuge Wiederholug: ja / ei - 4 -
(e) Biomischer Lehrsatz Der Biomische Lehrsatz befaßt sich mit de Poteze vo Biome, d.h. dem Ausreche des Ausdrucks (a+b) ud de dabei auftretede Koeffiziete. Es gilt: (a+b) 0 (a+b) a + b (a+b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a+b) 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a+b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4... Schreibt ma u ur die Koeffiziete uter Weglasse der Ausdrücke a i b k utereiader, so erhält ma das sogeate Pascalsche Dreieck (ach Blaise Pascal 623-662): 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6............. Es ergebe sich dabei die eizele Zahle der jeweils folgede Zeile als Summe der zwei darüber stehede Zahle. Die Produkte a i b k bestehe aus Faktore, ämlich i Faktore vom Wert a ud k Faktore vom Wert b: ab a2 4 a... 34 a b2 4 b... 34 b i mal k mal i k Die Koeffiziete vor diese Produkte gebe die Azahl der verschiedee Möglichkeite a, bei dee der Faktor a i-mal ud der Faktor b k-mal auftritt, z.b. bedeutet 6a 2 b 2, daß es die 6 Möglichkeite aabb, abba, abab, baba, baab, bbaa gibt. Die Azahl dieser Möglichkeite ist die Azahl eier Permutatio mit Wiederholug; d.h. 4 Elemete, wobei jeweils 2 ud 2 Elemete icht uterscheidbar sid, also k 2 ud k 2 2. Daher gilt i diesem Fall: 4! 4 3 6 2! 2! 2-5 -
Allgemei gilt daher, daß es im Falle a i b k mit i+k die Zahl! i! k! a mögliche Produkte gibt. Da i k gilt, läßt sich diese Azahl (also der Koeffiziet vo a i b k ) auch umforme zu:! k!( k)! k De Ausdruck (gesproche: über k ) et ma Biomialkoeffiziet, weil er zum Bereche der k Koeffiziete beim Poteziere eies Bioms diet. Das Pascalsche Dreieck ka daher auch mit Hilfe der Biomialkoeffiziete ageschriebe werde: 0 0 0 2 2 2 0 2 3 3 3 3 0 2 3 4 4 4 4 4 0 2 3 4......... Auf diese Art läßt sich leicht eie allgemeie Formel für (a+b) agebe: Biomischer Lehrsatz: ( a+ b) ab a b... ab + + + + 0 ab 0 0 k a k k k 0 b Es gilt immer 0 ud k. Daher ist das Pascalsche Dreieck symmetrisch. k Beispiel: Eie Müze hat zwei Seite: Kopf (K) ud Zahl (Z). Wieviele Möglichkeite gibt es, bei 20 Müzwürfe geau 3 mal die Zahlseite zu werfe? Es ist somit die Azahl der Ergebisse mit 3 mal Z ud 7 mal K, also die Produkte Z 3 K 7, gesucht. Daher ist 20, k 7 ud es ergibt sich: 20 20 20 40 7 3! 7! 3! Es gibt 40 Möglichkeite. - 6 -
5.3. Begriff der Wahrscheilichkeit (a) Begriff der Laplacesche Wahrscheilichkeit I der Eileitug zu diesem Kapitel wurde bereits die klassische Defiitio der Wahrscheilichkeit ageführt. Laplace Wahrscheilichkeit für ei Ereigis E (klassische Wahrscheilichkeit, Wahrscheilichkeit als relativer Ateil): PE ( ) Azahl der für E güstige Fälle Azahl der mögliche Fälle Aders formuliert bedeutet das: Es sei M eie edliche Mege (Grudmege) ud G M (G Teilmege vo M). Als Wahrscheilichkeit dafür, daß ei aus M zufällig ausgewähltes Elemet zu G gehört, ka ma de relative Ateil vo G i M ehme. P (das zufällig ausgewählte Elemet gehört zu M) zg ( ) zm ( ) z(g)... Azahl der Elemete vo G; z(m)... Azahl der Elemete vo M Da z(g) kleier als z(m) folgt daraus: 0 P(E) Für die Wahrscheilichkeit P(E) eies beliebige Ereigisses E gilt: 0 P(E) Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, mit eiem übliche Spielwürfel eie 2er oder 6er zu würfel? Ermittel der güstige Fälle: G { 26 ; }; z( G) 2 Ermittel der mögliche Fälle: M { 23456 ; ; ; ; ; }; z( M) 6 Berechug der Wahrscheilichkeit: 2 PE ( ) 033, 6 Die Wahrscheilichkeit ist 0,33; das etspricht 33%. Die obige Wahrscheilichkeits- Defiitio gilt jedoch ur uter eier gaz bestimmte Voraussetzug, ämlich, daß alle Eizelereigisse gleichmöglich ud daher also gleichwahrscheilich sid. - 7 -
Solche gleichwahrscheiliche Ereigisse trete i sogeate Laplace-Experimete auf ud werde üblicherweise mit Zufallsgeräte (Laplace-Geräte) erzielt, wie sie bei Glücksspiele verwedet werde; z.b. Würfel; Roulette; gleichartige Zettel i eier Losure; gleichartige Kugel beim Lotto 6 aus 45 ; Glücksrad usw. Bei eiem Laplacesche Experimet tritt jedes der ( 2; N) mögliche Versuchsergebisse E mit der gleiche Wahrscheilichkeit P( E) auf. Beispiele: Würfel mit 6 mögliche Ergebisse. P( ) P( 2) P( 3) P( 4) P( 5) P( 6) 6 Lotto mit 45 Kugel P( ) P( 2)... P( 44) P( 45) 45 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, eie Totoschei richtig (Totozwölfer) auszufülle, we ma vo Fußball keie Ahug hat? Es gibt 3 2 5344 (siehe vorige Abschitt) Möglichkeite eie Totoschei auszufülle, die alle gleich wahrscheilich sid. Da ur eie Möglichkeit richtig ist, gilt: 6 P(Totozwölfer) 88676, 0 0, 000 0088 5344 Jemad hat eie schwarze Socke a ud versucht im fistere Zimmer aus eier Lade, i der völlig durcheiader 9 schwarze, 8 blaue ud 0 braue Socke liege, de richtige herauszuehme. Mit welcher Wahrscheilichkeit wird ihm das gelige? Jede Wahl (Zug) eies der 27 Socke ist gleich wahrscheilich; 9 schwarze Socke sid güstige Fälle. 9 P(schwarz) 03, & $ 333, & % 27 3-8 -
(b) Begriff der statistische Wahrscheilichkeit I de meiste Versuche ud Wahrscheilichkeitsprobleme liege keie symmetrische Zufallsgeräte vor ud es ist somit meist keie Gleichwahrscheilichkeit gegebe. I solche Fälle machte scho Beroulli de Vorschlag, Versuchsreihe durchzuführe ud aus der relative Häufigkeit eies Ereigisses (siehe Kapitel Statistik) auf die Wahrscheilichkeit vo diesem Ereigis zu schließe. Tritt ei Ereigis E uter Versuche eier Versuchsreihe (Zufallsversuch mehrmals uter gleiche Bediguge durchgeführt) k-mal ei, so gilt für die relative Häufigkeit des Ereigisses E uter diese k Versuche: h ( E) A Laplace-Experimete läßt sich zeige, daß mit wachsedem, d.h. bei eier sehr große Versuchszahl, gilt: h( E) zg ( ) zm ( ) PE) ( So läßt sich z.b. durch eie große Azahl vo Versuche überprüfe, ob ei Würfel gezikt ist oder ei Rouletterad urud läuft (alle gefallee Zahle pro Roulettetisch werde gespeichert ud regelmäßig per Computer ausgewertet. Jede Zahl muß dabei mit der Wahrscheilichkeit /37 auftrete). Aus dieser Erfahrug läßt sich aus der relative Häufigkeit die Wahrscheilichkeit äherugsweise für große bestimme: P(E) h (E) Beroulli kote diese Regel durch das Gesetz der große Zahle mathematisch utermauer. Es gilt: lim Ph ( [ P ε; P+ ε]) Obiger Satz bedeutet, daß die Wahrscheilichkeit dafür, daß die relative Häufigkeit eies Ereigisses i eier beliebig kleie Umgebug vo P, der Wahrscheilichkeit des Ereigisses, liegt, mit wachsedem gege strebt, d.h. 00%ig wird. Die relative Häfigkeit eies Ereigisses stabilisiert sich mit zuehmeder Versuchszahl um de Wert P. Beispiel: Eie Befragug vo 0 000 Autofahrer ergab, daß 5248 bisher ufallfrei uterwegs ware. Mit welcher Wahrscheilichkeit ist ei zufällig auf der Straße ausgewählter Autofahrer bisher ufallfrei? 5248 h 0000 (ufallfrei) 0000 0, 5248 P(ufallfrei) 0,5248 $ 52,48%. - 9 -
(c) Begriff der Wahrscheilichkeit als subjektives Vertraue I der Praxis ergibt sich oft das Problem, daß eie Wahrscheilichkeit agegebe werde soll, ohe daß ma sich auf eie relative Ateil oder eie relative Häufigkeit berufe ka. Beispiel: Ei Medikamet wurde bisher ur i Tierversuche getestet, u soll eie Wahrscheilichkeit dafür agegebe werde, daß dieses Medikamet auch dem Mesche hilft. Ma ka sich dabei ur auf bisherige Erfahruge ud Eischätzuge diverser Experte stütze ud selbstverstädlich auf die Testergebisse aus de Tierversuche. Trotzdem ka die daraus gestellte Progose sich schließlich als völlig falsch herausstelle (sowohl im positive wie auch im egative Si). I diesem Fall wird als Wahrscheilichkeit eies Ereigisses E der Grad des subjektive Vertraues i das Eitrete vo E heragezoge. (d) Axiomatische Wahrscheilichkeitsdefiitio Wie scho aus de Defiitioe der Wahrscheilichkeit als relativer Ateil oder als relative Häfigkeit ersichtlich ist, ist die Wahrscheilichkeit immer eie Zahl zwische 0 ud. Es zeigt sich somit, daß es trotz des Fehles eier eideutige Wahrscheilichkeitsdefiito eiige allgemeigültige Gesetze für Wahrscheilichkeite gibt. Der Russe Adrej Nikolajewitsch KOLMOGOROW (903-987) veröffetlichte 933 eie sehr allgemeie Wahrscheilichkeitsdefiitio, die sich auf drei Axiome (Vorschrifte) stützt. Kolmogorow erklärt die Wahrscheilichkeit als Fuktio P: E P(E), welche folgede Axiome geügt (Ω ist diesem Zusammehag der sogeate Ergebisraum bzw. die Ergebismege, also die Mege aller mögliche Versuchsausgäge): Wahrscheilichkeitsaxiome vo Kolmogorow:. P(E) 0 (Nichtegativität) 2. P(Ω) 3. We E E 2 { }, da folgt P(E E 2 ) P(E )+P(E 2 ) Aus diese Axiome lasse sich fast alle wesetliche Regel für das Reche mit Wahrscheilichkeite leicht herleite. - 20 -
5.4. Reche mit Wahrscheilichkeite (a) Begriffserklärug Die Mege Ω aller Ausfälle bzw. Ergebisse eies Zufallsexperimets (Versuchs) heißt Ergebismege bzw. Ergebisraum bzw. Ausfallsmege. Beispiele: Würfel: Ω{ 23456 ; ; ; ; ; } Roulette: Ω{ 02 ; ; ;...; 3536 ; } Müzwurf: Ω { K; Z } Köpergröße eies Neugeboree i cm: Ω [ 40; 60 ] (d.h. uedlich viele Möglichkeite, falls ma icht auf cm rudet) Aus eier Lade mit 9 schwarze, 8 blaue ud 0 braue Socke wird gezoge: Ω {schwarz; blau; brau} Die Ergebismege hägt davo ab, was ma als Ergebis eies Versuchs asieht. Im letzte Beispiel köte die Ergebismege auch folgedermaße als gewählt Ω {schwarz; icht schwarz} werde, we ämlich im spezielle ei schwarzer Socke beötigt würde. Ei Ereigis wird durch eie Teilmege E des Ergebisraumes Ω beschriebe. Umgekehrt etspricht auch jeder Teilmege vo Ω ei Ereigis. Die Azahl der Teilmege vo Ω ist daher die Zahl aller mögliche Ereigisse. Ethält Ω k Elemete (d.h. k verschiedee Ausfälle), da gibt es 2 k Ereigisse. Besitzt die Teilmege ur ei Elemet, d.h. das Ereigis tritt ur bei eiem Ausfall ei, da heißt es Elemetarereigis. Ist die Teilmege die leere Mege, d.h. das Ereigis tritt bei keiem Ausfall ei, da spricht ma vo eiem umögliche Ereigis ud es gilt: P({ }) 0 Ist die Teilmege die gesamte Ergebismege Ω, so tritt das Ereigis bei jedem Ausfall des Versuchs ei ud ma spricht vo eiem sichere Ereigis. Es gilt (siehe auch 2. Axiom vo Kolmogorow): P(Ω) - 2 -
Beschreibt das Ereigis E eie Teilmege vo Ω ud ist die Teilmege E 2 eies adere Ereigisses gleich der Komplemetärmege vo E, da heißt E 2 das Gegeereigis vo E, bzw. E das Gegeereigis vo E 2. Es gilt: E 2 E ; E E 2 Ω; E E 2 { } Das Gegeereigis tritt geau da ei, we das Ereigis icht eitritt; Ereigis ud Gegeereigis köe iemals gleichzeitig eitrete. Aus dem 3. Axiom vo Kolmogorow läßt sich die Wahrscheilichkeit für das Gegeereigis herleite. E, E seie Ereigis ud Gegeereigis mit E E { }: P(E E ) P(E)+P(E ) Aus E E Ω ud P(Ω) folgt da P(E)+P(E ) ud somit: P(E ) P(E) Die Wahrscheilichkeit des Gegeereigisses E zum Ereigis E beträgt: P(E ) P(E) Statt E ka für das Gegeereigis auch E (gesproche: o E ) geschriebe werde. Beispiel: Gebe Sie die Ergebismege beim Würfel, sowie alle Elemetarereigisse a. Nee Sie dazu ei umögliches Ereigis bzw. ei sicheres Ereigis. Wie lautet das Gegeereigis zum Ereigis Es kommt eie Zahl kleier als 3 ud welche Wert habe die Wahrscheilichkeite vo E ud E? Ergebismege Würfel: Ω{ 23456 ; ; ; ; ; } Elemetarereigisse: E { }; E { 2}; E { 3}; E { 4}; E { 5}; E { 6} 2 3 4 5 6 umögliches Ereigis: Es kommt die Zahl 7 sicheres Ereigis: Es kommt eie gaze Zahl größer als Null ud kleier als Siebe Gegeereigis: E Es kommt eie Zahl 3 ; E {;2}; E {3;4;5;6} Wahrscheilichkeite: 2 PE ( ) ; PE ( ) 2 6 3 3 3-22 -
(b) Ereigisalgebra Da Ereigisse durch Teilmege der Ergebismege Ω beschriebe werde, ka ma Recheregel für Mege auch auf Ereigisse awede. Die achfolgede Sätze köe daher aus der Megealgebra abgeleitet werde. Das Ereigis E E 2 tritt geau da ei, we E ud E 2 eitrete. Ereigisse, die icht gleichzeitig eitrete köe, heiße uvereibar; sie schließe eiader aus ud es gilt: E E 2 { }, we E ud E 2 uvereibar. Gegeereigisse sid daher uvereibar. Uvereibare Ereigisse: E E 2 { } Das Ereigis E E 2 tritt geau da ei, we E oder E 2 eitrete (midestes eies tritt ei). We E E 2 (Ereigis E zieht Ereigis E 2 ach sich, d.h. we E eitritt, tritt automatisch auch E 2 ei), da gilt: P(E ) P(E 2 ) Beweis: We E E 2, da gibt es ei E 3 mit E E 3 E 2 ud E E 3 { }; E 3 ist also das Gegeereigis zu E i Bezug auf E 2. Nach dem 3. Axiom vo Kolmogorow gilt da: P(E )+P(E 3 ) P(E 2 ) ud ach dem. Axiom: P(E 3 ) 0; P(E 2 ) P(E ) ud somit: P(E ) P(E 2 ) Beispiel: Ma betrachtet Ergeigisse beim Würfel: E : Es kommt oder 3 ; E 2 : Es kommt eie Zahl kleier 4 ; E 3 : Es kommt eie ugerade Zahl. Beschreibe Sie sowohl mit Worte als auch mit Hilfe vo E, E 2, E 3,, ud die folgede Ereigisse ud gebe Sie alle Wahrscheilichkeite a. Gebe Sie weiters a, welches Ereigis welches adere ach sich zieht. - Alle drei Ereigisse trete ei - Keies der Ereigisse tritt ei - E ud E 2 trete ei, E 3 aber icht - Midestes ei Ereigis tritt ei - E ud E 3 trete icht ei, E 2 tritt ei - 23 -
Alle drei Ereigisse E, E 2, E 3 sid Ereigisse des Ergebisraumes Ω {;2;3;4;5;6}. E { 3 ; }; E2 { 23 ; ; }; E3 { 35 ; ; } 2 3 3 PE ( ) ; PE ( 2) ; PE ( 3) 6 3 6 2 6 2 Alle drei Ereigisse trete ei: E E2 E3 E PE ( E E) 2 3 3 Keies der Ereigisse tritt ei: ( E E2 E3) { 235 ; ; ; } { 46 ; } Es kommt die Zahl 4 oder 6 4 2 PE ( E2 E3) ; P([ E E2 E3] ) 2 6 3 3 3 E ud E 2 trete ei, E 3 aber icht: E E2 E3 {}; umögliches Ereigis PE ( E E ) 2 3 0 Midestes ei Ereigis tritt ei: E E2 E3 { 235 ; ; ; } 4 PE ( E2 E3) 6 2 3 E ud E 3 trete icht ei, E 2 tritt ei: E E2 E3 { 2} PE ( E E ) 2 3 6 Da E E 2 ud E E 3, zieht E sowohl E 2 als auch E 3 ach sich. Das Erreche vo Wahrscheilichkeite zusammegesetzter Ereigisse ist ur da ach allgemeie Formel relativ eifach, we der Durchschitt der Ereigisse leer ist (siehe 3. Axiom vo Kolmogorow) bzw. we die Ereigisse voeiader uabhägig sid. Da es icht immer möglich ist, alle Ereigis-mege (wie im vorige Beispiel) azugebe, ist ma bestrebt, die Wahrscheilichkeite zusammege-setzter Ereigisse aus de Wahrscheilichkeite der eizele Ereigisse zu bereche. - 24 -
(c) Bedigte Wahrscheilichkeit Wahrscheilichkeite vo Ereigisse köe durch zusätzliche Iformatioe geädert werde. Sie häge vom Iformatiosstad ab. Somit ka sich die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses E äder, we bekat ist, daß ei Ereigis E 2 bereits eigetrete ist. Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses E uter der Voraussetzug (Bedigug) eies adere Ereigisses E 2 heißt bedigte Wahrscheilichkeit P(E E 2 ) ud es gilt: PE ( E2) PE ( E2) PE ( ) 2 Die Berechug vo P(E E 2 ) ist aus der Laplace-Wahrscheilichkeit erklärbar, de durch die Voraussetzug des Eitretes vo E 2, sid ur och die Elemete vo E 2 mögliche Elemete ud die güstige Fälle liege i E E 2. Beispiel: 250 Studetie ud 330 Studete besuchte eie Vorlesug. Isgesamt habe 55% aller Studierede die zugehörige Prüfug bestade. 85 davo ware Studete. Bereche Sie folgede Wahrscheilichkeite: - Ei beliebig herausgegriffeer Studiereder ist mälich - Ei beliebig herausgegriffeer Studiereder hat icht bestade - Eie beliebig herausgegriffee Studeti hat bestade - Ei beliebig herausgegriffeer erfolgreicher Absolvet ist weiblich - Ei beliebig herausgegriffeer Studiereder ist ei icht erfolgreicher Studet - Ei beliebig herausgegriffeer Studiereder ist weiblich Zur Ermittlug der gesuchte Wahrscheilichkeite legt ma folgede Elemetarereigisse fest: E : mälich ; E 2 : weiblich mit E 2 E E 3 : bestade ; E 4 : icht bestade mit E 4 E 3-25 -
Um eie Verküpfug mehrer Ereigisse zu veraschauliche ka ma eie Vierfeldertafel zu Hilfe ehme. Hierbei gilt: 55% vo 580 sid 39 erfolgreiche Studierede. Studet Studeti gesamt bestade 85 39-8534 39 icht bestade 330-8545 250-346 580-3926 gesamt 330 250 580 Allgemei beihaltet eie Vierfeldertafel folgede Felder: E E 2 E gesamt E 3 z(e E 3 ) z(e 2 E 3 ) z(e 3 ) E 4 E 3 z(e E 4 ) z(e 2 E 4 ) z(e 4 ) gesamt z(e ) z(e 2 ) z(e E 2 ) z(e 3 E 4 ) oder statt der Mächtigkeite der Mege auch die Wahrscheilichkeite: E E 2 E gesamt E 3 P(E E 3 ) P(E 2 E 3 ) P(E 3 ) E 4 E 3 P(E E 4 ) P(E 2 E 4 ) P(E 4 ) gesamt P(E ) P(E 2 ) Daraus erhält ma die Zeile- bzw. Spaltesummeregel (mit E 2 E ud E 4 E 3 ): P(E E 3 )+ P(E E 3 ) P(E 3 ) ud P(E E 3 )+ P(E E 3 ) P(E ) Somit ergibt sich für das Beispiel: Studiereder ist mälich: P(mälich) P(E ) 330 580 Studiereder hat icht bestade: P(icht bestade) P(E 4 ) 26 580 0, 057 045, Studeti hat bestade: P(bestade uter der Bedigug Studeti ) 34 P(E 3 E 2 ) 250 0, 536-26 -
Erfolgreicher Absolvet ist weiblich: P(weiblich uter der Bedigug bestade ) 34 P(E 2 E 3 ) 39 Studiereder ist ei icht erfolgreicher Studet: P(icht bestade ud Studet) 45 P(E 4 E ) 580 Studiereder ist weiblich: P(weiblich) P(E 2 ) 250 580 042, 025, 0, 43 Aus de Beispiele erket ma, daß P(E 3 E 2 ) P(E 2 E 3 ). Es gilt: Satz vo BAYES PE ( E ) 2 PE ( E ) PE ( ) 2 2 PE ( ) Beweis: PE ( E2) PE ( E2) PE ( ) 2 ud P( E E ) P( E E ) P( E ) 2 2 2 PE ( 2 E) PE ( E2) PE ( E2) PE ( 2) PE ( 2 E) PE ( ) PE ( ) PE ( ) Abhägig vo de Wahrscheilichkeite spricht ma davo, daß ei Ereigis ei aderes begüstigt oder beachteiligt. E 2 begüstigt E : P(E E 2 ) > P(E ) E 2 beachteiligt E : P(E E 2 ) < P(E ) We P(E E 2 ) P(E ) ud P(E 2 E ) P(E 2 ) gilt, da sid die Ereigisse E ud E 2 voeiader uabhägig. Regel vo der totale Wahrscheilichkeit: P(E E 2 )+ P(E E 2 ) Beweis: PE ( E2) PE ( E2) PE ( ) 2 PE ( E2) ud P( E E2) PE ( ) 2 PE ( E2) + PE ( E2) PE ( 2) PE ( E2) + PE ( E2) PE ( ) PE ( ) 2 2-27 -
(d) Multiplikatiossatz Aus der bedigte Wahrscheilichkeit folgt die Produktregel der Wahrscheilichkeitsrechug: P(E E 2 ) P(E 2 E ) P(E ) P(E E 2 ) P(E 2 ) Die Wahrscheilichkeit dafür, daß sowohl E als auch E 2 eitritt, ist also das Produkt aus der bedigte Wahrscheilichkeit ud der Wahrscheilichkeit für die Bedigug. Multiplikatiossatz: Die Wahrscheilichkeit für das Eitreffe der Ereigisse E ud E 2 ist gegebe durch: P(E E 2 ) P(E 2 E ) P(E ) P(E E 2 ) P(E 2 ) Sid E ud E 2 voeiader uabhägige Ereigisse, d.h. P(E E 2 ) P(E ) bzw. P(E 2 E ) P(E 2 ), da hat die Multiplikatiosregel die Form: P(E E 2 ) P(E ) P(E 2 ) Beispiel: Aus eier Ure mit 3 blaue ud 5 rote Kugel wird zweimal gezoge. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, im zweite Zug eie blaue Kugel zu ziehe mit Zurücklege der erste gezogee Kugel ud ohe Zurücklege dieser erste Kugel. Die Ereigismege E ist: E {blau-blau; rot-blau} Ziehug mit Zurücklegug: 3 5 Für die. Ziehug gilt: Pblau ( ) ; Prot ( ) 8 8 Für die 2. Ziehug gilt, da wieder alle Kugel zur Verfügug stehe: 3 3 P( blau blau) ; P( blau rot ) 8 8 Hierbei ist P(blau blau) bzw. P(blau rot) die Wahrscheilichkeit für das Ziehe eier blaue bzw. rote Kugel bei der 2. Ziehug, uter der Bedigug, daß im erste Versuch auch eie blaue gezoge wurde. Wahrscheilichkeit für des Ereigis E: P( E ) P( blau blau oder rot blau) P( blau blau) + P( rot blau) P( blau) P( blau blau) + P( rot ) P( blau rot ) - 28 -
3 3 5 3 24 PE ( ) + 0, 375 8 8 8 8 64 Ziehug ohe Zurücklegug: 3 5 Für die. Ziehug gilt: Pblau ( ) ; Prot ( ) 8 8 2 Für die 2. Ziehug gilt abhägig vo der. Ziehug: P( blau blau) ; P( blau rot ) 7 3 7 Wahrscheilichkeit für des Ereigis E: P( E ) P( blau blau oder rot blau) 3 2 5 3 2 + 0, 375 8 7 8 7 56 Im Fall Ziehe mit Zurücklege ist die 2. Ziehug vo der. Ziehug uabhägig. Im Fall Ziehe ohe Zurücklege die 2. Ziehug vo der. Ziehug abhägig. I mehrstufige Versuche mit mehr als zwei Stufe muß zur Produktregel für zwei Ereigisse eie Verallgemeierug gefude werde. Verallgemeierte Multiplikatiosregel: Sid E, E 2,... E Ereigisse eies Versuches ( 2), so gilt:. Stufe P(E ) Eitreffe des Ereigisses E 2. Stufe P(E 2 E ) Eitreffe des Ereigisses E ud E 2 3. Stufe P(E 3 E E 2 ) Eitreffe des Ereigisses E, E 2 ud E 3....... Stufe P(E E E 2... E - ) Eitreffe des Ereigisses E, E 2,... ud E Daher ergibt sich: P(E E 2... E ) P(E ) P(E 2 E ) P(E 3 E E 2 )... P(E E E 2... E - ) Verallgemeierter Multiplikatiossatz für Ereigisse: P(E E 2... E ) P(E ) P(E 2 E ) P(E 3 E E 2 )... P(E E E 2... E - ) - 29 -
(e) Additiossatz Aus dem 3. Axiom vo Kolmogorow ist bereits bekat: Sid E ud E 2 eiader ausschließede (d.h. uvereibare) Ereigisse des selbe Versuchs, da gilt: P(E E 2 ) P(E ) + P(E 2 ) mit E E 2 { } Aus diesem Gesetz ergibt sich leicht die Erweiterug des Additiossatzes für uvereibare Ereigisse. Schließe je zwei der Ereigisse E, E 2,..., E eiader aus, so gilt: P(E E 2... E ) P(E ) + P(E 2 ) +... + P(E ) Das Ereigis E E 2... E tritt geau da ei, we midestes eies der Ereigisse E, E 2,... E eitritt. I viele Fälle sid die eizele Ereigisse jedoch icht ausschließed ud erforder daher eie Verallgemeierug der Additiosregel. Für die Wahrscheilichkeit, daß das Ereigis E oder das Ereigis E 2 eitritt gilt: P(E E 2 ) P(E ) + P(E 2 ) P(E E 2 ) Additiosatz: Die Wahrscheilichkeit, daß midestes eies - E oder E 2 - vo zwei Ereigisse E, E 2 eitritt, ist gegebe durch: P(E E 2 ) P(E ) + P(E 2 ) P(E E 2 ) Die Wahrscheilichkeit des Durchschitts (E E 2 ) muß ei Mal abgezoge werde, da dieser Durchschitt sowohl i E als auch i E 2 ethalte ist. Diese allgemeie Formel ethält auch de Spezialfall für E E 2 { }: P(E E 2 ) P(E ) + P(E 2 ) Beispiel: Roulette (37 Felder) E : Impair (ugerade) {;3;5;7;...;33;35} E 2 : Noir (schwarz) {2;4;6;8;0;;3;5;7;20;22;24;26;28;29;3;33;35} Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß ugerade oder schwarz kommt oder sogar beides. Gesucht ist also die Wahrscheilichkeit P(E E 2 ). P(E E 2 ) {;2;3;4;5;6;7;8;9;0;;3;5;7;9;20;2;22;23;24;25;26;27;28;29;3;33;35} - 30 -
28 PE ( E2) 0, 757 37 8 Berechug mittels Additiossatz: PE ( ) ; PE ( 2) 37 8 37 Die Wahrscheilichkeite sid icht 0,5, weil die Zahl Null auch mitspielt, aber keie Farbe hat ud beim Roulette weder zu de gerade och zu de ugerade gezählt wird. E E 2 {;3;5;7;29;3;33;35} PE ( E ) 2 8 8 8 PE ( E2) + 37 37 37 8 37 28 37 Die Additosregel läßt sich aus deselbe Überleguge, die für zwei Ereigisse gelte, auch auf drei ud mehrere Ereigisse erweiter. Sie wird aber im Falle eiader icht ausschließeder Ereigisse immer komplizierter. Für die Wahrscheilichkeit z.b. vo E oder E 2 oder E 3 gilt folgede Ei- ud Ausschaltformel : P(E E 2 E 3 ) P(E )+P(E 2 )+P(E 3 ) P(E E 2 ) P(E E 3 ) P(E 2 E 3 )+P(E E 2 E 3 ) Wie achfolgedes Diagramm zeigt ist E E 2 E 3 sowohl i E E 2 als auch i E E 3 als auch i E 2 E 3 ethalte. Dieser Durchschitt wird mit E, E 2 ud E 3 drei Mal addiert, mit E E 2, E E 3 ud E 2 E 3 drei Mal subtrahiert ud muß daher ei Mal wieder hizugefügt werde. - 3 -
5.5. Baumdiagramme mehrstufiger Versuche Besteht ei Versuch aus mehrere Teilversuche, so liegt ei mehrstufiger Versuch vor, ud es ist oft vo Vorteil, die Abläufe der Teilversuche a Had eies Baumdiagramms graphisch darzustelle. Die Kate eies Baumdiagramms weise vo eiem Startpukt zu de mögliche Ergebisse (Ausfälle) des Versuchs. Jedem Pfad i eiem Baumdiagramm etspricht ei Ausfall des Versuchs. Es gibt so viele Ausfälle des Versuchs wie Pfade im Graphe. Zu de eizele Teilversuche werde jeweils die Wahrscheilichkeit ageschriebe. Beispiel: Eie Müze (Z;K) wird drei Mal geworfe. Stelle Sie alle mögliche Ausfälle des Versuchs dar. Wieviele sid es? Mit welcher Wahrscheilichkeit tritt jeder dieser Ausfälle ei? Ausgagssituatio:. Wurf: 2. Wurf: 3. Wurf: Jeder Teilversuch hat 2 Ausfälle - es gibt 3 Teilversuche: 2 2 2 2 3 8 Da jeder Ausfall gleichwahrscheilich ist, ist die Wahrscheilichkeit: PE ( ) 8 Es gilt folgeder Satz: Besteht ei Versuch aus k Teilversuche, die tatsächlich oder i Gedake acheiader ausgeführt werde ud seie, 2, 3,..., k die Azahl der Ausfälle der Teilversuche, so hat der Gesamtversuch 2 3... k Ausfälle. - 32 -
Beispiel: Eie Autotype ist i zwei Motorstärke (M ;M 2 ) mit oder ohe Klimaalage (K ;K 2 ), mit drei verschiedee Sitzbezüge (S ;S 2 ;S 3 ) ud i 4 Farbe (F ;F 2 ;F 3 ;F 4 ) erhältlich. Wieviele Ausführuge sid möglich? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit bei zufälliger Auswahl eie bestimmte Ausführug zu erhalte? Ausgagssituatio:. Auswahl PM ( ) 2 : 2. Auswahl PK ( ) 2 3. Auswahl PS) ( 3 : 4. Auswahl PF ( ) 4 : Azahl der verschiedee Ausführuge: 2 2 3 4 48 Jede Ausführug ist gleichwahrscheilich. Daher beträgt die Wahrscheilichkeit für eie bestimmte Ausführug: 48 Die Wahrscheilichkeit für eie bestimmte Ausführug - z.b. mit der erste Motorstärke M mit Klimaa-lage K, Sitzbezug S 2 ud Farbe F 3 - läßt sich auch aus de Pfadwahrscheilichkeite bereche: PM ( K S2 F3) 2 2 3 4 48 Nicht immer sid alle Ausfälle gleichwahrscheilich ud es ist daher icht möglich aus der Gesamtzahl der Ausfälle auf die Eizelwahrscheilichkeit zu schließe. Da das Baumdiagramm die Wahrscheilichkeite der Teilversuche ethält, ka ma auch ach de Recheregel für Wahrscheilichkeite die Wahrscheilichkeit eies Ausfalls erreche. - 33 -
. Pfadregel: Die Wahrscheilichkeit eier geordete Stichprobe (eies Ausfalls) ist das Produkt aller Wahrscheilichkeite lägs des zugehörige Pfades im Baumdiagramm. Geaugeomme stehe im Baumdiagramm ur beim erste Teilversuch Wahrscheilichkeite, bei de folgede Teilversuche sid es bedigte Wahrscheilichkeite. Nur im Falle, daß die beide Teilversuche voeiader uabhägig sid (siehe obige Beispiele) sid die Wahrscheilichkeite im weitere Verlauf des Baumes gleich de Wahrscheilichkeite der Elemetarereigisse der weitere Teilversuche. Hat ei Teilereigis E die Ausfälle (A,A ) ud ei Teilereigis E 2 die Ausfälle (B,B ) so sieht das Baumdiagramm folgedermaße aus: Ausgagssituatio:. Stufe E : 2. Stufe E 2 : Die Wahrscheilichkeit für die vier Ausfälle ist also ach der. Pfadregel: P(A B) P(A) P(B A) P(A B) P(A ) P(B A ) P(A B ) P(A) P(B A) P(A B ) P(A ) P(B A ) Die Wahrscheilichkeit für das Elemetarereigis B des zweite Teilversuchs ist etlag eies Pfades icht erkebar. Es führe ämlich zwei Pfade zum Ereigis B. Die Ausfälle etlag verschiedeer Pfade sid uvereibare Ereigisse, daher ka die vereifachte Additiosregel zur Awedug gebracht werde. 2. Pfadregel: Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ist die Summe der zugehörige Pfadwahrscheilichkeite. Recherisch bedeutet dies für P(B): P(B) P(A B) + P(A B) P(A) P(B A) + P(A ) P(B A ) - 34 -
Beispiel: Es wurde ei Test zur Erkeug eier bestimmte Krakheit etwickelt. I 98% aller Krakheitsfälle ist das Testergebis positiv. Allerdigs zeigt der Test mit 0,8% Wahrscheilichkeit auch ei positives Resultat, obwohl die utersuchte Perso gesud ist. Aus statistische Erhebuge schätzt ma, daß 3% der Bevölkerug a der Krakheit leide. Bereche Sie folgede Wahrscheilichkeite: - Eie zufällig herausgegriffee Perso hat positive Test ud ist krak. - Ei zufällig herausgegriffeer Kraker hat egative Test. - Eie zufällig herausgegriffee Perso hat egative Test. - Eie zufällig herausgegriffee Perso mit egativem Test ist krak. Ma ket aus der Agabe: P(positiv krak) 0,98 ud daher P(egativ krak) 0,98 0,02 P(positiv gesud) 0,008 ud daher P(egativ gesud) 0,002 0,992 P(krak) 0,03 ud daher P(gesud) 0,03 0,97 Baumdiagramm:. Stufe tatsächlicher Gesudheitszustad: 2. Stufe Testergebis: - P(positiv krak) 0,03 0,98 0,0294 Mit 2,94%iger Wahrscheilichkeit ist eie Perso krak ud hat ei positives Testergebis. - P(egativ krak) 0,02 Mit 2%iger Wahrscheilichkeit ist der Test eies Krake egativ. - P(egativ) P(krak egativ) + P(gesud egativ) 0,03 0,02 + 0,97 0,992 0,0006 + 0,96224 0,96284 Mit 96,28%iger Wahrscheilichkeit ist das Testergebis egativ. d) P(krak egativ) P( krak egativ ) P( egativ ) 003, 002, 0, 96284 0, 00062 Mit ur 0,06 %iger Wahrscheilichkeit wird mit dem Test diese Krakheit icht erkat (d.h. das Testergebis ist egativ - trotzdem ist die Perso krak). - 35 -
Mehrstufige Versuche, i dee die weitere Teilversuche vo de voragegagee abhägig sid, sid vergleichbar mit dem Ziehe aus eier Ure ohe Zurücklege. Mehrstufige Versuche, i dee die weitere Teilversuche voeiader uabhägig sid, köe mit dem Ziehe aus eier Ure mit Zurücklege (immer die gleiche Ausgagssituatio) vergliche werde. We die Azahl der Teilversuche sehr groß ist ud auch die Zahl der Ausfälle der Teilversuche hoch ist, wird das Baumdiagramm recht uübersichtlich. Will ma eie gaz bestimmte geordete Stichprobe, so geügt es, ur diese eie Pfad aufzuschreibe. Will ma jedoch eie ugeordete Stichprobe, so ergebe mehrere gleichwahrscheiliche Pfade das gewüschte Ergebis. I solche Fälle ka ma sich oft mit kombiatorische Methode weiterhelfe ud die Azahl der Pfade mit demselbe Ergebis erreche. Beispiel: Aus eier Lade mit 0 blaue, 5 rote ud 6 grüe Butstifte wird 3 Mal blid gezoge. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit eie rote, eie blaue ud eie grüe Stift zu ziehe mit Zurücklege bzw. ohe Zurücklege? Baumdiagramm:. Ziehug: 2. Ziehug: 3. Ziehug: Es gibt 6 güstige Pfade. Diese Azahl ergibt sich außer durch Abzähle im Baumdiagramm auch aus de Permutatioe der 3 verschiedee Elemete b,r,g: 3! 3 2 6 0 5 Versuch mit Zurücklege: es gilt immer P( blau) ; P( rot ) ; P( grü) 2 2 0 5 6 Wahrscheilichkeit für eie Pfad: P(blau rot grü) 2 2 2 6 2 0, 0324 Wahrscheilichkeit für alle 6 Pfade: P(blau, rot, grü i bel. Reihefolge) 6 0, 0324 0, 944 Versuch ohe Zurücklege: - 36 -
Das Baumdiagramm für de Fall ohe Zurücklege sieht gleich aus, ur die Wahrscheilichkeite für die zweite ud dritte Ziehug äder sich, da diese Teilversuche jeweils vo der voragegagee Ziehug abhäge. Die Zahl der i der Lade befidliche Butstifte ädert sich ämlich mit jedem Zug ud damit die Azahl der mögliche Fälle. Es gilt für eie Pfad: 0 5 6 300 P(blau rot grü) 2 20 9 9 20 2 5 0 6 300 P(rot blau grü) 2 20 9 9 20 2 6 5 0 300 P(grü rot blau) 2 20 9 9 20 2 0 6 5 300 P(blau grü rot) 2 20 9 9 20 2 5 6 0 300 P(rot grü blau) 2 20 9 9 20 2 6 0 5 300 P(grü blau rot) 2 20 9 9 20 2 Wahrscheilichkeit für alle 6 Pfade: 300 P(blau, rot, grü i bel. Reihefolge) 6 9 20 2 0, 2256 Diese Aufgabe läßt sich auch auf rei kombiatorischem Weg löse. Versuch ohe Zurücklege: Vorerst geht es darum, aus 2 Stifte 3 auszuwähle, wobei icht zürückgelegt wird ud die Reihefolge egal ist. Die Azahl der Möglichkeite ist daher: w K 2 3 2 330 3 Güstige Fälle sid jedoch ur jee, bei dee je ei blauer, ei roter ud ei grüer Stift i beliebiger Reihefolge gezoge wird. Diese Azahl ist: 0 5 6 300 300 Die Wahrscheilichkeit beträgt daher: P( blau rot grü) 02256, 330-37 -
5.6. Wahrscheilichkeitsverteiluge (a) Zufallsvariable I de voragegagee Abschitte wurde jeweils die Wahrscheilichkeit eies bestimmte Ausfalls eies Zufallsversuchs berechet. Ei Zufallsversuch hat immer mehrere bzw. sogar uedlich viele Ausfälle. Ordet ma jedem mögliche Ausfall eideutig eie reelle Zahl zu, so et ma diese Zuordug eie Zufallsvariable. Eie (reelle) Zufallsvariable ist eie Fuktio, die jedem Ausfall eies Zufallsversuchs eie reelle Zahl zuordet. Eie Zufallsvariable X (Zufallsvariable werde üblicherweise mit Großbuchstabe bezeichet) ist also eie Größe, die - vom Zufall abhägig - reelle Zahle x i als Werte aimmt. Beispiele: für Zufallsvariable X Augezahl eies Würfels x i -Werte für X: x, x 2 2,... x 6 6 X Zahl der 6er bei 5maligem Würfel x i -Werte für X: x 0, x 2,... x 6 5 X Azahl der etdeckte Schmuggler a der Greze bei eier Stichprobe vom Umfag 4 x i -Werte für X: x 0, x 2,... x 5 4 X Füllmege eier 3kg Waschmittelpackug x i -Werte für X: x i [2,95;3,05] X Azahl der verdorbee Paradeiser bei zufälliger Etahme vo 4 Stück aus eiem Sack mit 0 Paradeiser, vo dee 2 verdorbe sid x i -Werte für X: x 0, x 2, x 3 2 Jede Wert x i immt die Zufallsvariable X mit eier bestimmte Wahrscheilichkeit P(X x i ) a. Die Wahrscheilichkeite für alle mögliche Werte x i et ma Wahrscheilichkeits-Verteilug der Zufallsvariable X. - 38 -
Im folgede werde für die obee agegebee Beispiele die Wahrscheilichkeite für die eizele x i - Werte berechet ud die Uterschiede zwische de eizele Zufallsvariable ud ihre Wahrscheilichkeitsverteiluge aufgezeigt. Beispiel: X Augezahl eies Würfels x i -Werte für X: x, x 2 2,... x 6 6 P( X ) ; P( X 2) ;...; P( X 6) 6 6 6 Bei dieser Verteilug hadelt es sich um eie sogeate Gleichverteilug, da jedem Ausfall die gleiche reelle Zahl zugeordet wird. Beispiel: X Zahl der 6er bei 5maligem Würfel x i -Werte für X: x 0, x 2,... x 6 5 P( X ), 5 0 0 409 6 P( X ), 5 5 0 409 6 6 P( X ), 5 5 2 0 608 2 6 6 P( X ), 5 5 3 0 0322 3 6 6 P( X ), 5 5 4 0 0032 4 6 6 P( X 5) 0, 000 6 5 4 2 3 3 2 4 5 Bei dieser Verteilug hadelt es sich um eie sogeate Biomialverteilug, da sich die eizele Wahrscheilichkeite etspreched der Etwicklug eies Bioms (a+b) erreche lasse. Im spezielle ist dabei a die Wahrscheilichkeit für das Eitreffe eies Ereigisses, b die Gegewahrscheilichkeit ud die Azahl der Versuchswiederholuge. - 39 -
Beispiel: X Azahl der etdeckte Schmuggler a der Greze bei eier Stichprobe vom Umfag 4 ; x i -Werte für X: x 0, x 2,... x 5 4 Um die Wahrscheilichkeite bereche zu köe muß ma vo eier bekate Wahrscheilichkeit ausgehe, die z.b. aus de Erfahruge der Zöller gewoe werde ka; z.b. jeder 00. Grezüberschreiter ist ei Schmuggler: P(Schmuggler) 00 P( X ), 99 0 0 9696 00 P( X ), 4 99 0 0388 00 00 P( X ), 4 99 2 0 0006 2 00 00 P( X ), 4 99 3 0 000004 3 00 00 3 P( X ), 4 0 0000000 00 4 3 2 2 4 Dieses Biomialverteilugsbeispiel verdeutlicht, daß diese Verteilug mit dem Ziehe aus eier Ure mit Zurücklege vergleichbar ist, da die Wahrscheilichkeit stets uverädert 0,0 ist. Beispiel: X Füllmege eier 3kg Waschmittelpackug x i -Werte für X: x i [2,95;3,05] Für dieses Beispiel sid ohe weitere Iformatio keie Wahrscheilichkeite für die (uedlich viele) x i -Werte ebar. Üblicherweise sollte jedoch die Wahrscheilichkeit bei der Sollmege 3kg am größte sei ud bei größere Abweichuge davo möglichst gege Null strebe. Der Graph dieser Verteilug verläuft ach der Gaußsche Glockekurve; es hadelt sich bei der Verteilug um eie sogeate Normalverteilug. - 40 -
Beispiel: X Azahl der verdorbee Paradeiser bei zufälliger Etahme vo 4 Stück aus eiem Sack mit 0 Paradeiser, vo dee 2 verdorbe sid x i -Werte für X: x 0, x 2, x 3 2 Ma weiß, daß 2 vo de vorhadee 0 Paradeiser verdorbe sid. Bei der Etahme jedes eizele Paradeisers ädert sich diese Voraussetzug. 4 0 Azahl der mögliche Etahme: K 0 20 4 2 8 0 4 P( X 0) 0, 3333 20 3 2 8 3 2 P( X ) 0, 5333 20 20 2 8 2 2 28 P( X 2) 0, 333 20 20 Bei dieser Verteilug hadelt es sich um eie sogeate hypergeometrische Verteilug. Diese Verteilug ist mit dem Ziehe aus eier Ure ohe Zurücklege vergleichbar. We X höchstes abzählbar viele (köe auch uedlich viele sei) diskret liegede Zahle x i aehme ka, da spricht ma vo eier diskrete Zufallsvariable mit diskreter Verteilug. Ka X alle Zahle eies bestimmte Itervalls aehme, so hadelt es sich um eie kotiuierliche (stetige) Zufallsvariable mit eier kotiuierliche (stetige) Verteilug. Die Eiteilug der Zufallsvariable i zwei Klasse, i die der diskrete ud die der stetige, etspricht der Eiteilug der Zufallsexperimete i solche, bei dee ma zählt (z.b. Augezahl beim Würfel; Azahl vo Kopf bei mehrmaligem Müzwurf; Zahl der Grippefälle im Witer) ud solche, bei dee gemesse wird (z.b. Läge vo Nägel; Masse vo Waschmittelpakete; Temperatur vo...). Eie etsprechede Darstellug fidet ma durch die sogeate Wahrscheilichkeitsfuktio. Die Fuktio f: R [0;], y P(X x i ), i N \ {0} heißt Wahrscheilichkeitsfuktio. - 4 -
(b) Erwartugswert, Variaz, Stadardabweichug Die statistische Wahrscheilichkeit errechet sich gestützt auf das Gesetz der große Zahle aus de relative Häufigkeite bei großer Versuchsazahl. Allgemei gilt für eie Zufallsvariable X mit de mögliche Werte x, x 2, x 3,... : Mit zuehmeder Azahl der Versuchsdurchführuge ähert sich jede relative Häufigkeit h(x i ) der Wahrscheilichkeit P(X x i ) ud somit die Häufigkeitsverteilug vo X der Wahrscheilichkeitsverteilug vo X. Daraus ergibt sich, daß es i der Wahrscheilichkeitsrechug auch äquivalete Größe zum statistische Mittelwert, zur empirische Variaz ud zur empirische Stadardabweichug gibt. Je läger eie Liste vo Variablewerte wird (durch oftmalige Versuchsdurchführug trete die Werte der Zufallsvariable mit größerer Häufigkeit auf), desto mehr ähert sich der Mittelwert der Liste dem sogeate Erwartugswert der Zufallsvariable µ E(X). Aalog zum Mittelwert x xi h ( xi ) i (siehe Statistik) berechet sich der Erwartugswert der Zufallsvariable X als Summe der Produkte aus de verschiedee Variablewerte x i ud ihre etsprechede Wahrscheilichkeite P(X x i ) p i. Erwartugswert der Zufallsvariable X: µ E(X) x p + x 2 p 2 + + x p x p i i i Der Erwartugswert muß dabei icht der wahrscheilichste Wert sei, schließlich muß auch x icht der häufigste Wert sei (der häufigste Wert ist der Modalwert bzw. Modus). Der Zufallsvariablewert mit der größte Wahrscheilichkeit, also die Maximumstelle vo Verteiluge, heißt dichtester Wert oder Modalwert M. Für de Media (Zetralwert) Z gilt: PX ( Z) 2 Die Summe der Wahrscheilichkeite für alle Variablewerte x i Z muß 0,5 ergebe. Bei symmetrische, stetige Verteiluge, die ur ei Maximum besitze (eigipfelige Verteiluge) falle Modus, Zetralwert ud Erwartugswert zusamme. - 42 -
Schiefe Verteiluge sid icht symmetrisch. Bei solche Verteiluge falle Erwartugswert, Modus ud Zetralwert i der Regel icht zusamme. Eie schiefe Verteilug ergibt sich z.b. we i eiem Produktiosprozeß gewisse Produkte, die bestimmte Midestaforderuge icht geüge, vo vorherei ausgeschiede werde. Symmetrische Verteilug: z.b. Normalverteilug (Gaußsche Glockekurve) Schiefe Verteilug: z.b. siehe achfolgedes Beispiel Beispiel: Ei veräderter Würfel hat 3 Seite mit 6 beschriftet ud je eie Seite mit, 2 bzw. 4. Bereche Sie für die Zufallsvariable Augezahl de Erwartugswert, de Modus ud de Media. x i -Werte für X: x, x 2 2, x 3 4, x 4 6 P( X ) ; P( X 2) ; P( X 4 ) ; P( X 6) 6 6 6 2 Erwartugswert: µ E( X) + + +, 6 2 4 6 6 6 4666 2 Modus: M 6 4 + 6 Media für -2-4-6-6-6: Z 5 ; P( X 5) + + 2 6 6 6 2 Ebefalls aalog zur Statistik lasse sich die Begriffe Variaz ud Stadardabweichug defiiere. - 43 -
Es sei X eie reelle Zufallsvariable mit dem Erwartugswert E(X). Da gilt für die Variaz V(X) σ 2 der Zufallsvariable X: V(X) E(X 2 ) [E(X)] 2 Die Zahl σ heißt Stadardabweichug vo X: σ VX ( ) Recherisch bedeutet dies: σ 2 V(X) (x µ) 2 p +(x 2 µ) 2 p 2 + +(x µ) 2 p (x 2 p +x 22 p 2 + +x 2 p ) µ 2 Beispiel: Bei eier Tombola werde 500 Lose verkauft. 250 Lose sid blau, die adere rot. Zuerst wird eie Farbe gezoge, aus welcher da der Hauptpreis vo S 0000,- gezoge wird. Bei der adere Farbe gewit jedes Los, ud zwar bei 50 Lose eie Preis im Wert vo 20,-, bei 50 Lose eie Preis im Wert vo 50,-, bei 30 Lose eie Preis im Wert vo 80,- ud bei 20 Lose eie Preis im Wert vo 00,-. Bereche Sie de Erwartugswert ud die Stadardabweichug der Zufallsvariable X Preis. Baumdiagramm: x i -Werte vo X: x 20, x 2 50, x 3 80, x 4 00, x 5 0 000, x 6 0 50 3 50 30 3 P( X 20) ; P( X 50) ; P( X 80) 2 250 0 2 250 0 2 250 50 20 249 249 P( X 00) ; P( X 0000 ) ; P( X 0 ) 2 250 25 2 250 500 2 250 500 µ 20 3 + + + + + 0 50 0 80 3 50 00 25 0000 250 0 249 500 2 3 σ 20 0 +50 2 0 +80 2 3 50 +00 2 25 +0000 2 500 +0 2 249 500-39,8 2 446 7, 39, 8 Der zu erwartede Gewi ist ca. S 40,-. Die Stadardabweichug ist so groß, daß es praktisch icht sivoll ist, de Erwartugswert als Progose für de Preis zu ehme. - 44 -
(c) Biomialverteilug Ei Versuch, der geau zwei Ausfälle E ud E hat, heißt Beroulli - Versuch. Ei Experimet, bestehed aus eier Folge vo Teilversuche, bei dem jeder Teilversuch geau zwei mögliche Versuchsausgäge besitzt ud jeder Versuch uter geau de gleiche Voraussetzuge abläuft, heißt -stufiges Beroulli-Experimet oder Beroulli-Kette. Die Wahrscheilichkeit der beide Ausfälle jedes Teilversuchs sid P(E) p ud P(E ) p. Die Zufallsvariable X sei die Azahl der eitretede Ereigisse E i eiem -stufige Beroulli- Experimet. Um die Verteilug der Zufallsvariable X zu ermittel, muß ma die Wahrscheilichkeit P(Xk), daß das Ereigis E geau k-mal eitritt (k ), bestimme. Die Wahrscheilichkeit, daß bei k Teilversuche jedesmal das Ereigis E eitritt, ist p k ; die Wahrscheilichkeit, daß bei k Teilversuche E icht eitritt (soder E ) beträgt ( p) k. Die Wahrscheilichkeit, daß bei de erste k Teilversuche E eitritt ud bei de restliche k Teilversuche E ergibt sich somit durch p k ( p) k ach der. Pfadregel. Bei isgesamt Teilversuche muß das Ereigis E aber icht gerade bei de erste k Teilversuche eitrete, soder bei irgedwelche k Teilversuche. Es existiere daher Möglichkeite, daß E geau k Mal ud E geau k Mal eitritt. Somit gilt k k k PX ( k) p ( q) k. Es liegt eie sogeate Biomialverteilug vor. Eie Zufallsvariable X heißt biomialverteilt mit de Parameter ud p, we gilt: k PX ( k) p ( q) k k Häufig wird diese Wahrscheilichkeit mit b ;p (k) bezeichet ud für spezielle ud p zur Vereifachug der recherische Ermittlug i Tabelle zusammegefaßt. Diese Tabelle sid jedoch ur für weige Spezialfälle (meist 0, 20 ud eiige p-werte zwische 0,0 ud 0,09) gegebe. Etwas häufiger zu gebrauche sid Tabelle für die Biomialkoeffiziete oder Tascherecher mit statistische Fuktiostaste. - 45 -
Beispiel: Wieviele Kider müßte eie Mutter midestes zur Welt brige, um mit midestes 95%iger Wahrscheilichkeit midestes eie Kabe zu bekomme, we aus statistische Erhebuge die Wahrscheilichkeit für eie Kabegeburt p0,52 gilt. E Kabe ; P(E) p 0,52 E Mädche P(E ) -p 0,48 Midestes Kabe bedeutet: Kabe oder 2 Kabe oder Kabe. Das Ereigis midestes Kabe ist daher ei sehr umfagreiches zusammegesetztes Ereigis, och dazu, wo die Gesamtzahl der Versuche ubekat ist: P(X ) P(X )+P(X 2)+ +P(X ) P X p p p p p ( ) ( ) ( )... ( p ) + + + 2 2 2 0 Das Gegeereigis zu midestes Kabe ist wesetlich eifacher, ämlich kei Kabe ( Mädche ). P( X ),,, 0 0 052 048 048 0 We die Wahrscheilichkeit für midestes Kabe 95% betrage soll, da ergibt sich für das Gegeereigis kei Kabe eie Wahrscheilichkeit < 0,95. 048, < 005, lg( 048, ) < lg( 005, ) > 408,... Die Mutter muß also mehr als 4 Kider (d.h. midestes 5 Kider) zur Welt brige, um mit midestes 95%iger Wahrscheilichkeit midestes eie Kabe zu bekomme. Beispiel: GALTON - Brett Ei Galto-Brett ist eie Versuchsaordug, die eie Biomialverteilug im Fall p 0,5 experimetell verifiziere ka. Dabei rollt oder fällt eie Kugel gege ei symmetrisches Hideris, welches sie mit gleicher Wahrscheilichkeit ach liks oder rechts ablekt. Die abgelekte Kugel trifft da auf die Mitte eies weitere symmetrische Hiderisses usw., bis sie schließlich ach eiem Zickzack - Weg durch + Hiderisse i eies der ute befidliche + Fächer gelagt. We sehr viele Kugel die Aordug durchlaufe, verhalte sich die Füllhöhe der eizele Fächer ugefähr wie die Biomialkoeffiziete k. - 46 -
E liks P(E) p 0,5 E rechts P(E ) p 0,5 k k X Azahl vo liks : P( X k) k k 2 2 2 Im äußerst like Fach ist k 0; die Wahrscheilichkeit dafür, daß eie Kugel i diesem Fach ladet ist somit: P( X ) 0 0 2 2 Im äußerst rechte Fach ist k ; die Wahrscheilichkeit dafür, daß eie Kugel i diesem Fach ladet ist somit: P( X ) 2 2 Im zweite Fach vo liks ladet die Kugel immer da, we sie Mal ach liks ud ur Mal ach rechts abgelekt wurde: P( X ) 2 2 Im zweite Fach vo rechts ladet die Kugel immer da, we sie Mal ach rechts ud ur Mal ach liks abgelekt wurde: P( X ) 2 2 Daraus erket ma, daß für p 0,5 ei Histogramm der Biomialverteilug symmetrisch zur Normale durch die Mitte bei k 2 ist. 0,35 0,3 Für z.b. 6 ergibt sich: P(Xk) 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 0 2 3 4 5 6 P( X 0) 0, 05; P( X ) 0, 094; P( X 2) 0, 234; P( X 3) 0, 325 P( X 4) 0, 234; P( X 5) 0, 094; P( X 6) 0, 05 Xk - 47 -
We ei Ereigis E bei eiem Teilversuch eier Beroulli-Kette mit der Wahrscheilichkeit p eitritt, so ist zu erwarte, daß es bei Teilversuche im Mittel p Mal eitritt. Es gilt für de Erwartugswert eier b ;p -verteilte Zufallsvariable X: E(X) µ p k k ( ) Beweis: EX ( ) xi pi k p ( p) p ( p) p ( p)... p k + + 2 2 0 2 + + 2! i k 0 2 p (( p) + ( ) p ( p) +... + p ) p (( p) + p) p Variaz ud Stadardabweichug biomialverteilter Zufallsvariable lasse sich ebefalls vereifache. Variaz eier b,p -verteilte Zufallsvariable X: V(X) σ 2 p ( p) Stadardabweichug: σ p ( p) µ ( p) Zum Bereche vo Biomialverteiluge ist es häufig vo Vorteil, de Zusammehag zur Verteilug des Gegeereigisses zu kee. Es gilt: b ;p (k) b,-p ( k); (0 k ) k k Beweis: b, p( k) ( p) p, ud da k k k, ist b k k k, p( ) ( p) p bp, ( k) k Für sehr große, d.h. sehr viele Teilversuche, wird das Erreche vo Biomialverteiluge äußerst mühsam. Es gibt aber zwei Verteiluge, die Poisso-Verteilug ud die Normalverteilug, die bei Grezforme der Biomialverteilug sid. Die Poisso-Verteilug eiget sich da, we die Wahrscheilichkeit sehr klei oder aber auch sehr groß (durch Vertausche vo E mit E ) ist: 0<p<0, oder 0,9<p< ud µ p (,p 0) kostat ist. Die Wahrscheilichkeit eier Poisso-Verteilug (Verteilug selteer Ereigisse) hat die Gleichug x µ µ π( x) lim bp, ( x) e x! Die Normalverteilug ist da eie hireiched geaue Approximatio der Biomialverteilug, we die Laplace-Bedigug σ 2 p ( p) > 9 erfüllt ist. Eie Normalverteilug ist durch die Wahrscheilichkeits- dichtefuktio fx ( ) e σ 2π 2 x p 2 σ gekezeichet (Gaußsche Glockekurve). - 48 -
(d) Hypergeometrische Verteilug Bei Beroulli-Experimete ud der Biomialverteilug war Bedigug, daß jeder Versuch uter deselbe Voraussetzuge abläuft, d.h. die Verteilug war vergleichbar mit dem Ziehe aus eier Ure mit Zurücklege. Bei viele Versuche ist diese Bedigug urealistisch ud daher vielmehr das Modell des Ziehe aus eier Ure ohe Zurücklege awedbar. I eier Ure mit N Kugel seie M Kugel durch eie Eigeschaft E (z.b. bestimmte Farbe) ausgezeichet. Aus der Ure werde Kugel zufällig ud ohe Zurücklege herausgegriffe. Die Wahrscheilichkeit, daß vo diese Kugel die Azahl X mit der Eigeschaft E gleich k ist, berechet sich mit folgeder Wahrscheilichkeitsfuktio: Eie Zufallsvariable heißt hypergeometrisch verteilt mit de Parameter N, M ud, we gilt: PX ( k) h( k) M N M k k N Die Formel läßt sich aus der Laplace-Wahrscheilichkeit herleite. Es solle k Kugel mit der Eigeschaft E, also aus de vorhadee M Kugel, gezoge werde ud daher gleichzeitig k Kugel aus de N-M adere Kugel. Die Zahl der güstige Ziehugsmöglichkeite ist also: Die Gesamtzahl aller mögliche Fälle ergibt sich durch -maliges Ziehe aus N Kugel mit: M N M k k N Für de Erwartugswert ud die Variaz der hypergeometrische Verteilug mit de Parameter N, M ud gelte folgede Formel: Erwartugswert bei eier hypergeometrische Verteilug EX ( ) µ M N Variaz bzw. Stadardabweichug: VX M 2 M N ( ) σ ; σ VX ( ) N N N - 49 -
Der Faktor N N heißt Edlichkeitskorrektur. Für N strebt dieser Faktor gege ud die Variaz wird idetisch mit jeer eier Biomialverteilug mit p M. N Die Biomialverteilug ka daher auch als Grezverteilug der hypergeometrische Verteilug aufgefaßt werde. We aus eier geüged große Grudgesamtheit (Umfag N) eie relativ kleie Stichprobe (Umfag ) ausgewählt wird, ka die hypergeometrische Verteilug durch die recherisch eifachere Biomialverteilug approximiert werde: Richtwert: 0, N Beispiel: Bereche Sie für das Zahlelotto 6 aus 45 die Gewiwahrscheilichkeit für: 6 Richtige 5 Richtige + Zusatzzahl 5 Richtige + eie falsche Zahl 4 Richtige + zwei falsche Zahle 3 Richtige + drei falsche Zahle kei Gewi - 6 Richtige: N 45; M 6; 6; k 6 6 39 6 0 P( X 6) 0, 0000002 45 8 45 060 6-5 Richtige + Zusatzzahl: Aus M 6 werde k 5 geomme, die eie Zusatzzahl wird auch gewählt ud aus de och vorhadee 38 Niete wird keie gewählt. 6 38 5 0 6 P( X 5 + ZZ) 0, 00000074 45 8 45 060 6-5 Richtige: Aus M 6 werde k 5 geomme, die eie Zusatzzahl wird icht gewählt ud aus de och vorhadee 38 Niete wird eie gewählt. - 50 -
6 38 5 0 228 P( X 5) 0, 00002799 45 8 45 060 6-4 Richtige: N 45; M 6; 6; k 4 6 39 4 2 5 74 P( X 4) 0, 00364 45 8 45 060 6-3 Richtige: N 45; M 6; 6; k 3 6 39 3 3 20 939 P( X 3) 0, 02244 45 8 45 060 6 - kei Gewi: Aus M 6 werde etweder k 0, k oder k 2 geomme, der Rest wird aus de Niete gewählt. P( X < 3) 6 39 0 6 45 6 6 39 6 39 5 2 4 + + 45 45 6 6 3262623 + 6 575757 + 5 8225 0, 9766 845060 Das heißt, daß ma mit 97,6% Wahrscheilichkeit ichts gewit! Der Erwartugswert beim Lotto 6 aus 45 für die Zufallsvariable Azahl der Richtige bestätigt dieses Ergebis: E( X) µ 6 6 08, 45-5 -
Beispiel: Aus eier Lieferug vo 00 Trasistore, vo der bekat ist, daß 3% der Trasistore defekt sid, werde zur Probe 0 Stück etomme. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß i der Stichprobe kei defekter Trasistor bzw. geau drei defekte Trasistore gefude werde. Bereche Sie die Aufgabe auch durch Approximatio mittels Biomialverteilug. 3% vo 00 Stück sid 3 defekte Trasistore i der gesamte Lieferug: N 00; M 3; 0 - kei defekter Trasistor: k 0 P( X 0 ) 3 97 0 0 00 0 97! 0! 90! 90 89 88 0, 7265 0! 87! 00! 00 99 98 Mit 72,65%iger Wahrscheilichkeit ist kei defekter Trasistor i der Stichprobe. - geau 3 defekte Trasistore: k 3 P( X 3) 3 97 3 7 00 0 97! 0! 90! 0 9 8 0, 00074 7! 90! 00! 00 99 98 Mit 0,07%iger Wahrscheilichkeit sid alle 3 defekte Trasistore i der etommee Stichprobe. Berechug mit Biomialverteilug: 0; p 0, 03 - kei defekter Trasistor: P( X ),,, 0 0 0 0 0 03 0 97 0 7374 0 - geau 3 defekte Trasistore: P( X ),,,,, 0 3 7 3 7 3 0 03 0 97 20 0 03 0 97 0 0026 3 Die Bedigug 0, N ist i diesem Beispiel gerade erfüllt, aber ma ka vor allem im zweite Teil der Aufgabe eie größere Uterschied zwische der Berechug mittels hypergeometrischer Verteilug ud Biomialverteilug erkee. - 52 -
Ahag: Übugsbeispiele zum 5. Kapitel 5/ Bereche Sie die Ergebisse folgeder Recheaufgabe: a) 69!! 78!! b) 6! 8! 6! c) 7! 6! 7! + 6! 9! d) 0! 4! 5/2 Vereifache Sie folgede Terme: a) ( + )!! ( + )! +! b) ( 2 )! ( 2)!( )! c) ( 2 )!!! d) ( k)! 5/3 Bereche Sie, auf wie viele Arte die Teilehmer Ihres Kurses versetzt werde köe. 5/4 Bereche Sie, auf wie viele Arte 4 Persoe i eiem Auto mit 4 Sitze Platz ehme köe, we a) jede im Besitz eies Führerscheis ist, b) drei Persoe im Besitz eies Führerscheis sid, c) zwei Persoe im Besitz eies Führerscheis sid, d) ur eie Perso im Besitz eies Führerscheis ist. - 53 -
5/5 Bereche Sie die Summe aller dreiziffrige Zahle, die sich aus de Ziffer 2, 3 ud 7 bilde lasse, we bekat ist, daß i jeder dieser Zahle alle drei Ziffer auftrete. 5/6 Bereche Sie die Azahl der Aordugsmöglichkeite vo 9 Glasperle auf eier Schur, we a) alle Perle verschiede gefärbt sid, b) 4 Perle dieselbe Farbe, die übrige 5 verschiede gefärbt sid, c) 4 Perle grü, 3 rot ud 2 blau gefärbt sid. 5/7 Bereche Sie die Azahl aller füfziffrige Zahle, die aus de Ziffer 4 ud 7 bestehe. 5/8 Bereche Sie die Azahl aller Morsezeiche mit 5 Elemetarzeiche, die aus 3 Pukte ud 2 Striche bestehe. 5/9 Bereche Sie die Azahl aller vierstellige Zahle, die sich mit de Ziffer bis 9 bilde lasse, we i jeder dieser vierstellige Zahle keie Ziffer mehrfach auftritt. 5/0 Bereche Sie die Azahl aller vierstellige Zahle, die a) gerade sid, b) durch 5 teilbar sid, c) zwische 5700 ud 5800 liege, d) die Ziffer ud 3 ethalte, we die Zahle aus lauter verschiedee Ziffer bestehe. 5/ I eier Jugedherberge sid 6 Zimmer mit je eiem Bett frei. Bereche Sie, auf wieviele Arte 4 Waderer auf diese Zimmer aufgeteilt werde köe. 5/2 Wieviele dreiziffrige Zahle aus verschiede Ziffer gibt es, we die Ziffer 0 icht a erster Stelle vorkomme soll? - 54 -
5/3 Wieviele Zahle gibt es beim Joker? 5/4 Bereche Sie die Azahl der Morsezeiche aus 5 Elemetarzeiche, die aus Pukte ud Striche bestehe. 5/5 Bereche Sie die Azahl der vierstellige Zahle, die sich aus de Ziffer bis 9 bilde lasse, we jede Ziffer auch mehrmals vorkomme darf. 5/6 Bei eiem Kombiatiosschloß sid die eizele Eistelluge durch dreiziffrige Zahle mit de Ziffer bis 9 möglich. Bereche Sie die Azahl der Eistelluge. 5/7 Wie groß ist die Ziffersumme aller zweiziffrige Zahle, die ur ugerade Ziffer ethalte? 5/8 Vereifache Sie folgede Terme: a) b) 2 + 5 + 3 c) k k d) k : k 5/9 Eiem Kaditate werde bei eier Prüfug 0 Frage vorgelegt, vo dee er drei wähle soll. Bereche Sie die Zahl der Wahlmöglichkeite. 5/20 I eiem Geschäftshaus sid 24 Telefoapparate. Bereche Sie, wie viele Verbiduge im Geschäftshaus hergestellt werde köe. 5/2 Am erste Kurstag begrüße alle Teilehmer eies Kurses eiader durch Hädeschüttel. Wie oft wurde bei 2 Teilehmer die Häde geschüttelt? - 55 -
5/22 Bereche Sie die Zahl der Diagoale eies regelmäßige -Ecks. 5/23 I eiem Kurs sid 7 mäliche ud weibliche Teilehmer. Bereche Sie die Azahl der Möglichkeite, eie Abordug zu wähle, a) die aus drei Teilehmer besteht b) die midestes eie weibliche Teilehmeri ethält, c) die geau eie Teilehmeri ethält. 5/24 Wie viele Wurfkombiatioe sid beim Würfel mit drei Würfel möglich? 5/25 Bereche Sie die Azahl der Kreise, die sich durch 25 Pukte eier Ebee lege lasse, we folgede Lage der Pukte zueiader eitritt: a) Geau 3 Pukte liege auf eier Gerade, b) Geau 4 Pukte liege auf eiem Kreis, c) Geau 0 Pukte liege auf eiem Kreis. 5/26 Wie lautet das vierte Glied vo (3a-2b) 5? 5/27 Wie lautet das füfte Glied vo x + 9? x 5/28 Wie heiße die Koeffiziete vo x 6 y 4 ud x 3 y 7 des Bioms (x+y) 0? 5/29 Zeige Sie mit Hilfe des biomische Lehrsatzes: a) b) 0 + + 2 +... + + 0 0 + 2... ( ) 2-56 -
5/30 Mit eiem Würfel wird eimal gewürfelt. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß a) die Augezahl ugerade, b) die Augezahl gerade, c) die Augezahl durch 3 teilbar, d) die Augezahl midestes 2 ist. 5/3 I eier Ure sid 0 Kugel, vo dee 4 rot ud 6 weiß sid. Mit eiem Griff werde 3 Kugel gezoge. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, daß alle Kugel rot bzw. weiß sid. 5/32 Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, mit eiem Würfel a) keie 6 zu werfe, b) dreimal hitereiader eie 6 zu werfe, c) dreimal hitereiader keie 6 zu werfe, d) bei dreimaligem Würfel midestes eie 6 zu werfe. 5/33 Bei eier Feier werde zwei Persoe für ei Spiel gewählt. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, daß a) die beide Sotagskider sid, b) weigstes eier a eiem Sotag gebore ist, c) keier a eiem Sotag gebore ist, d) der eie am Motag, der adere am Diestag gebore ist. 5/34 Aus eier Ure, i der sich Lose mit de Nummer bis 60 befide, wird willkürlich ei Los gezoge. Die Nummer des Loses sei durch 8 teilbar. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, daß die Nummer auch durch 6 teilbar ist? 5/35 Aus eier Ure, i der sich Lose mit de Nummer bis 60 befide, wird eie gerade Losummer gezoge. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, daß die Nummer auch durch 2 teilbar ist.? - 57 -
5/36 Die 628 Beschäftigte eies Uterehmes verteile sich folgedermaße auf die Gruppe Fraue-Mäer ud Raucher-Nichtraucher: 329 Mäer, davo 89 Raucher, 299 Fraue, davo 0 Raucher. Bereche Sie für folgede Ereigisse die Wahrscheilichkeite: a) Ei Beschäftigter ist Raucher, b) Ei mälicher Beschäftigter ist Raucher, c) Ei Raucher ist weiblich, d) Ei Beschäftigter ist weiblich, e) Ei weiblicher Beschäftigter ist Nichtruacher. 5/37 Eie Utersuchug vo 0000 Studete auf Geschlecht (weiblich-mälich) ud Augefarbe (blau-icht blau) führte zu folgedem Ergebis: 4295 Fraue, davo 076 mit blaue Auge sowie 420 Mäer mit blaue Auge. Bereche Sie für folgede Ereigisse die Wahrscheilichkeite: a) Ei Studet hat blaue Auge, b) Ei Studet ist mälich, c) Ei Studet mit blaue Auge ist mälich, d) Ei weiblicher Studet hat keie blaue Auge, e) Ei blauäugiger Studet ist weiblich. 5/38 Eie Versuchsperso soll aus drei Ure je eie Kugel ziehe. Die erste Ure ethält 2 weiße ud 20 schwarze Kugel, die zweite 5 weiße ud 5 schwarze, die dritte 6 weiße ud 2 schwarze. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit für das Ziehe vo a) drei weiße Kugel, b) midestes eier weiße Kugel, c) geau zwei weiße Kugle. 5/39 Aus eiem Beutel mit 4 weiße ud 6 schwarze Kugel werde mit eiem Griff 2 Kugle herausgeomme. Mit welcher Wahrscheilichkeit erhält ma eie weiße ud eie schwarze Kugel? - 58 -
5/40 Jemad spielt i drei Lotterie mit eiem Los. Die erste Lotterie hat bei 3000 Lose 500 Gewie, die zweite bei 2000 Lose 900 Gewie ud die dritte bei 4000 Lose 700 Gewie. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß der Spieler a) i alle drei Lotterie gewit, b) i midestes eier Lotterie gewit, c) i geau eier Lotterie gewit. 5/4 A Galilei wurde die Frage gerichtet, warum beim Werfe mit drei Würfel die Augesumme 9 ud 2 selteer vorkomme als die Augesumme 0 ud. Ist diese Afrage begrüdet? 5/42 Bei eier Epidemie erkrake 2% der Bevölkerug eier Stadt. Bei 4% der Erkrakte verläuft die Erkrakug tödlich. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß ei Bürger der Stadt vo der Epidemie befalle wird ud stirbt. 5/43 Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß i Familie mit drei Kider eie Familie a) ohe Mädche ist, b) mit eiem Mädche ist, c) mit 2 Mädche ist, d) mit drei Mädche ist, we die Geburt eies Kabe ud eies Mädches gleichwahrscheilich ist. 5/44 Bei der Produktio eies Artikels wurde durch eie Stichprobe festgestellt, daß 0% der Produktio als Ausschuß bezeichet werde muß ud vo de verbleibede 90% ur 30% als erste Qualität bezeichet werde ka. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß ei beliebig herausgegriffees Stück vo erster Qualität ist. 5/45 Zeige Sie, daß es leichter ist, bei viermalige Würfel mit eiem Würfel eie 6 zu werfe, als bei 24maligem Würfel mit zwei Würfel eie Doppelsechs zu werfe. - 59 -
5/46 Lege Sie für die Beispiele 5/30 bis 5/45 die jeweilige Zufallsvariable fest ud bestimme Sie die mögliche x i -Werte für diese Zufallsvariable. 5/46 Versuche Sie für die Beispiele 5/30 bis 5/45 die jeweilige Art der Wahrscheilichkeitsfuktio zu bestimme. 5/47 Bereche Sie de Erwartugswert für die mittlere Augesumme beim oftmalige Werfe zweier Würfel. 5/48 Ei Würfel hat 4 blaue ud 2 gelbe Seitefläche. Er wird so oft geworfe bis die obere Fläche gelbe Farbe hat, höchstes jedoch viermal. Bereche Sie de Erwartugswert für die Azahl der Würfe, die erforderlich sid, daß zum erste Mal die obere Fläche gelbe Farbe zeigt. 5/49 I eier Ure befide sich 7 Kärtche mit de Nummer bis 7. Der Ure werde 4 Kärtche mit eiem Griff etomme. Befide sich uter de gezogee Kärtche zwei mit gerade Nummer, so erhält der Spieler ÖS 0,-, aderfalls muß er ÖS 5,- bezahle. Ist zu diesem Glücksspiel zu rate? 5/50 Ei Würfel wird so oft geworfe, bis zum erste Mal eie Sechs auftritt, höchstes jedoch sechsmal. Bereche Sie de Erwartugwert für die Azahl der Würfe, die beötigt werde, um erstmals eie Sechs zu werfe. 5/5 Ermittel Sie für das Beispiel 5/47 de Modus ud de Media sowie Variaz ud Stadardabweichug. 5/52 Ermittel Sie für das Beispiel 5/48 de Modus ud de Media sowie Variaz ud Stadardabweichug. 5/53 Ermittel Sie für das Beispiel 5/49 de Modus ud de Media sowie Variaz ud Stadardabweichug. - 60 -
5/54 Ermittel Sie für das Beispiel 5/50 de Modus ud de Media sowie Variaz ud Stadardabweichug. 5/55 Ei Würfel wird füfmal geworfe. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit für das Ereigis E, daß a) geau eimal die Augezahl 6 geworfe wird, b) geau zweimal die Augezahl 6 geworfe wird, c) keimal die Augezahl 6 geworfe wird. 5/56 Eier Warelieferug vo 600 Stück wird eie Stichprobe vo 50 Stück etomme. Aus Erfahrug weiß ma, daß im Mittel 5% der Warestücke Ausschuß sid. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, daß i der Stichprobe a) kei Ausschuß ist, b) geau 3 Stück Ausschuß sid, c) midestes 3 Stück Ausschuß sid, d) höchstes 3 Stück Ausschuß sid. 5/57 Ei Kurs hat 5 Teilehmer. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, daß zwei Teilehmer am. März Geburtstag habe. 5/58 Aus eiem Kartespiel mit 52 Karte wird viermal eie Karte mit Zurücklege gezoge. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, daß a) geau 3 Herz gezoge werde, b) geau 4 Pik gezoge werde, c) midestes Karo gezoge wird. 5/59 Die Wahrscheilichkeit für die Geburt eies Mädches beträgt 0,48. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß bei de Familie mit 3 Kider uter de 3 Kider a) midestes ei Kabe ist, b) midestes ei Mädche ist. - 6 -
5/60 I eier Kiste mit 50 Stück Eier sid zwei Stück faul. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß ma bei der Etahme vo 0 Eier a) lauter gute Eier erhält, b) höchstes ei schlechtes Ei erhält. 5/6 Eiem Kartespiel werde acheiader füf Karte ohe Zurücklege etomme. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, daß sich uter de gezogee Karte a) zwei Dame befide, b) drei Dame befide, c) drei Dame ud zwei Köige befide. 5/62 Eie Stadtbibliothek hat 5000 eigeschriebee Leser, vo dee 40% Fraue sid. Jeder Leser hat eie Karteikarte. Ma etimmt 8 Karteikarte. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, daß vo de zufällig gewählte Karteikarte 3 Fraue ud 5 Mäerame trage. 5/63 Eiem Verei vo 20 Mitglieder gehöre 3 mit Name Maier a. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, daß eier durch das Los gewählte 4köpfige Abordug a) ei Maier, b) zwei Maier, c) alle drei Maier, d) kei Maier, e) midestes ei Maier f) höchstes zwei Maier agehöre? 5/64 Eier Sedug vo 400 Atriebswelle werde 40 etomme ud ihr Durchmesser gemesse. Aus Erfahrug weiß ma, daß 2% der Welle defekt sid. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, daß uter de etommee Welle keie Welle bzw. höchstes 3 Welle defekt sid. - 62 -