Mathematik für Physiker

Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Lehrbuch Band 1

Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch 2 Bände Leitprogramm 3 Bände Entwickelt und evaluiert vom Bildungstechnologischen Zentrum Wiesbaden und Mitgliedern des Instituts für Didaktik der Physik der Universität Frankfurt Projektleitung: Klaus Weltner

Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch Band 1 verfaßt von Klaus Weltner, Hartmut Wiesner, Paui-Bernd Heinrich, Peter Engelhardt, Helmut Schmidt Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

Dr. Klaus Weltner ist Professor für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik. Dr. Hartmut Wiesner ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt Stud. Ass. Paui-Bernd Heinrich ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Bildungstechnologischen Zentrum Wiesbaden. Dipi.-Phys. Peter Engelhardt ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt. Dr. Helmut Schmidt ist Professor für Didaktik der Physik an der Pädagogischen Hochschule Bonn. 1975 Alle Rechte vorbehalten bv Springer Fachmedien Wiesbaden 1975 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig, 1975 Die Vervielfältigung und Übertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. Im Einzelfall muß über die Zahlung einer Gebühr für die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt für die VervielfältigunQ durch alle Verfahren einschließlich Speicherung und jede Übertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bänder, Blatten und andere Medien. Umschlaggestaltung: Peter Mory, Wolfenbüttel ISBN 978-3-528-03051-3 ISBN 978-3-662-25344-1 (ebook) DOI 10.1007/978-3-662-25344-1

- 5 - VoRWORT Lehrbuch (2 Bände) und Leitprogramme (3 Bände) "Mathematik des Physikers" sind in erster Linie für Studienanfänger des ersten und zweiten Semesters geschrieben. Es werden diejenigen Mathematikkenntnisse vermittelt, die für das Grundstudium der Experimentalphysik benötigt werden. Das Lehrbuch kann unabhängig von den Leitprogrammen benutzt werden. Die Leitprogramme sind neuartige Studienhilfen und haben nur Sinn im Zusammenhang mit dem Lehrbuch. Lehrbuch und Leitprogramme eignen sich vor allem zur Unterstützung des Selbststudiums, zur Vorbereitung des Studiums und als Grundlage für einführende mathematische Ergänzungsveranstaltungen neben der Experimentalphysik-Vorlesung. In der Einleitung werden diese Gedanken weiter ausgeführt. Lehrbuch und Leitprogramme entstanden in den Jahren 1971 bis 1974 im Rahmen eines Projektes, an dem Angehörige des Instituts für Didaktik der Physik der Universität Frankfurt und des Bildungstechnologischen Zentrums (BTZ) Wiesbaden beteiligt waren. Lehrbuch und Leitprogramme wurden im regulären Studiengang, vor allem der Lehramtskandidaten Sekundarstufe I, in drei Studienjahren verwendet und nach jeder Benutzung aufgrund der Erfahrungen und Rückmeldungen der Studenten gründlich revidiert. Das Konzept des Leitprogramms, das selbständige Studium eines Lehrbuchs durch ausführliche Studienanleitungen, Hilfen und Zusatzerläuterungen zu unterstützen, fand bei den Studenten eine erfreuliche Zustimmung. Nicht unerheblich trug dazu bei, daß die Technik der Leitprogramme eine Individualisierung der Hilfen aufgrund unterschiedlicher Vorkenntnisse, unterschiedlicher Lerngeschwindigkeiten und Lernschwierigkeiten ermöglichte. Natürlich sind weitere Verbesserungen möglich; niemandem ist dies klarer als den Autoren. Konkrete Vorschläge der Leser sind erwünscht und werden bei künftigen Auflagen nach Möglichkeit berücksichtigt. Entwicklung, Abstimmung, Erprobung und mehrfache Revision sind das Ergebnis einer Teamarbeit. Die Reihenfolge der Autoren im Titel berücksichtigt die jeweils eingebrachten Arbeitsanteile.

- 6 - Bei der Bearbeitung der in die Leitprogramme integrierten Anleitungen zu Lern- und Studiertechniken unterstützte mich Herr Dipl.-Psych. G. Kanig (BTZ), die Zeichnungen wurden von Herrn Dipl.-Phys. P. Engelhardt und Frau R. Leckl angefertigt. Das Mathematiklehrbuch ist vorwiegend von Physikern geschrieben. Für wertvolle Hinweise und Formulierungen danke ich Herrn Dr. Mrowka, Universität Frankfurt, Fachbereich Mathematik. Wichtige Korrekturen gab eine Arbeitsgruppe um Prof. Dr. B. Rollett, Gesamthochschule Kassel. Besonders bei der Entwicklung der Leitprogramme waren die Anregungen der Studenten hilfreich, die sie im Rahmen ihres Studiums benutzten. Nur wer je ein mit derartig viel Detailarbeit verbundenes Projekt durchgeführt hat, kann den Umfang der mit der Herstellung und Korrektur verbundenen Arbeiten schätzen. Ohne die Hilfe der Herren Dr. s. Wittig, Dipl.-Math. P. Eggenaperger und Dipl. Phys. I. Heidelberg (BTZ) sowie der Herren P.Keitel und B. Schuhmacher (Universität Frankfurt) wären weder die mit dem Projekt verbundenen hochschuldidaktischen Untersuchungen noch die endgültige Fertigstellung möglich gewesen. Wertvolle Unterstützung bei der Organisation und an der Schreibmaschine leisteten Frau Ch. Kehrhahn, Frau M.Müller und Frau H. Sieher (BTZ). Allen hier genannten und vielen nichtgenannten Mitarbeitern danke ich herzlich. Klaus Weltner Im September 1974 Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik

- 7 - INHALT EINLEITUNG 13 FUNKTIONSBEGRIFF, EINFACHE FUNKTIONEN, TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 19 1.1 Der mathematische Funktionsbegriff und seine Bedeutung für die Physik 19 1.1.1 Zusammenhänge in der Physik und ihre mathematische Beschreibung 1.1.2 Der Funktionsbegriff 1.2 Koordinatensystem, Ortsvektor 23 1.2.1 Bestimmung der Lage eines Punktes bei gegebenen Koordinaten 24 1.3 Graphische Darstellung von Funktionen 25 1.3.1 Ermittlung des Graphen aus der Funktionsgleichung für die Gerade 27 1.3.2 Bestimmung der Funktionsgleichung einer Geraden aus ihrem Graphen 29 1.3.3 Graphische Darstellung von Funktionen 29 1.3.4 Veränderung von Funktionsgleichungen und ihrer Graphen 32 1.4 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen 34 1.4.1 Einheitskreis 34 1.4.2 Sinusfunktion 35 1.4.3 Kosinusfunktion 43 1.4.4 Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion 44 1.4.5 Tangens, Kotangens 45 1.4.6 Additionstheorem, Superposition von trigonometrischen Funktionen 46 Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen 50 Tabelle spezieller Funktionswerte 50 Ubungsaufgaben 51 Lösungen 53 19 20 2 POTENZEN, LOGARITHMUS, UMKEHRFUNKTION 2.1 Potenzen, Exponentialfunktion 2.2 2. 1 1 2. 1 2 2. 1. 3 Potenzen Rechenregeln für Potenzen Exponentialfunktion Logarithmus, Logarithmusfunktion 2.2.1 Logarithmus 2.2.2 Rechenregeln für Logarithmen 2.2.3 Logarithmusfunktion 56 56 56 57 59 63 63 67 70

- 8-2.3 Umkehrfunktion (inverse Funktion), mittelbare Funktion 71 2.3.1 Umkehrfunktion oder inverse Funktion 71 2.3.2 Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion 74 der Exponentialfunktion 2.3.3 Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion 75 Ubungsaufgaben 77 Lösungen 79 3 DIFFERENTIALRECHNUNG 80 3. 1 Folge 3.1.1 3.1. 2 3. 1. 3 3.2 Stetigkeit und Grenzwert Die Zahlenfolge Grenzwert einer Zahlenfolge Grenzwert einer Funktion 3.3 Reihe und Grenzwert 3.3.1 Geometrische Reihe 3.4 Die Ableitung einer Funktion 3.4.1 Die Steigung einer Geraden 3.4.2 Die Steigung einer beliebigen Kurve 3.4.3 Der Differentialquotient 3.4.4 Physikalische Anwendung: Die Geschwindigkeit 3.4.5 Das Differential 3.5 Die praktische Berechnung des Differentialquotienten 99 3.5.1 Differentiationsregeln 99 3.5.2 Ableitung einfacher Funktionen 102 3.5.3 Die Differentiation komplizierter Funktionen 107 3.6 Höhere Ableitungen 110 3.7 Maxima und Minima 111 Differentiationsregeln Ableitung einfacher Funktionen Ubungsaufgaben Lösungen 4 INTEGRALRECHNUNG 121 4.1 Die Stammfunktion 121 4.1.1 Grundproblem der Integralrechnung 121 4.2 Flächenproblem und bestimmtes Integral 123 4.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Flächenfunktion als Stammfunktion von f(x) 126 4.4 Berechnung des bestimmten Integrals 129 4.4.1 Beispiele für das bestimmte Integral 131 80 80 81 85 88 89 91 92 92 92 95 96 98 115 115 116 11 9

- 9-4.5 Zur Technik des Integrierens 4.5.1 Verifizierungsprinzip 4.5.2 Stammintegrale 4.5.3 Konstanter Faktor und Summe 4.5.4 Integration durch Substitution 4.5.5 Partielle Integration 4.6 Rechenregeln für bestimmte Integrale 4.7 Substitution bei bestimmten Integralen 4.8 Mittelwertsatz der Integralrechnung 4.9 Uneigentliche Integrale 4.10 Arbeit im Gravitationsfeld Integrationsregeln und -techniken Tabelle der wichtigsten Grundintegrale übungsaufgaben Lösungen 134 134 135 136 137 139 140 142 144 144 146 148 149 150 153 5 VEKTORRECHNUNG I 5.1 Skalare und Vektoren 5.2 Addition von Vektoren 5.2.1 Summezweier Vektoren: Geometrische Addition 5.3 Subtraktion von Vektoren 5. 3. 1 5.3.2 Der Gegenvektor Differenz zweier Vektoren ~ und S: Geometrische Subtraktion 156 156 160 160 161 161 5.4 Komponente und Projektion eines Vektors 163 5.5 Komponentendarstellung im Koordinatensystem 165 162 5.5.1 Ortsvektor 165 5.5.2 Einheitsvektoren 165 5. 5. 3 Komponentendarstellung eines Vektors 166 5.5.4 Darstellung der Summe zweier Vektoren in Komponentenschreibweise 168 5.5.5 Differenz von Vektoren in Komponentenschreibweise 170 5.6 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 171 5.7 Betrag eines Vektors 172 übungsaufgaben 174 Lösungen 177

- 10-6 VEKTORRECHNUNG II SKALARPRODUKT, VEKTORPRODUKT 6.1 Skalarprodukt 6.1.1 Sonderfälle 6.1.2 Kommutativ- und Distributivgesetz 179 180 182 183 6.2 Kosinussatz 183 6.3 Skalares Produkt in Komponentendarstellung 184 6.4 Vektorprodukt 185 6.4.1 Drehmoment 185 6.4.2 Das Drehmoment als Vektor 187 6.4.3 Definition des Vektorprodukts 188 6.4.4 Sonderfälle 189 6.4.5 Vertauschung der Reihenfolge 190 6.4.6 Allgemeine Fassung des Hebelgesetzes 191 6.5 Vektorprodukt in Komponentendarstellung 191 Ubungsaufgaben 193 Lösungen 195 7 TAYLORREIHE UND POTENZREIHENENTWICKLUNG 197 7.0 Vorbemerkung 197 7.1 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe 199 7.2 Gültigkeitsbereich der Taylorentwicklung (Konvergenzbereich) 204 7.3 Das Näherungspolynom 205 7.3.1 Abschätzung des Fehlers 207 7.4 Entwicklung der Funktion f(x) an einer beliebigen Stelle, allgemeine Taylorentwicklung 208 7.5 Nutzen der Reihenentwicklung 209 7.5.1 Polynome als Näherungsfunktionen 209 7.5.2 Tabelle gebräuchlicher Näherungspolynome 211 7.5.3 Integration über Potenzreihenentwicklung 213 Ubungsaufgaben 215 Lösungen 216 8 KOMPLEXE ZAHLEN 8.1 Definition und Eigenschaften der komplexen Zahlen 8.1.1 Die imaginäre Zahl 8.1.2 Komplexe Zahlen 8.1.3 Anwendungsgebiete 8.1.4 Rechenregeln 219 219 219 220 220 221 8.2 Komplexe Zahlen in der Gaußsehen Zahlenebene 222 8.2.1 Die Gaußsehe Zahlenebene 222 8.2.2 Komplexe Zahlen in der Schreibweise mit Winkelfunktionen 223

- 11-8.3 Die Exponentialform einer komplexen Zahl 8.3.1 Eulersche Formel 8.3.2 Umkehrformeln zur Eulerschen Formel 8.3.3 Komplexe Zahlen als Exponenten 8.3.4 Multiplikation und Division 8.3.5 Potenzieren und Wurzelziehen 8.3.6 Periodizität von r.eia 8.3.7 Beispiel Definition und Formeln Ubungsaufgaben Lösungen 9 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9.1 Begriff der Differentialgleichung, Einteilung der Differentialgleichungen 9.2 Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 242 9.2.1 Der Exponentialansatz 245 9.2.2 Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 255 9.3 Variation der Konstanten 256 9.3.1 Variation der Konstanten für den Fall einer Doppelwurzel 256 9.3.2 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Dgl. 258 9.4 Randwertprobleme 259 9.4.1 Randwertprobleme bei Dgl. 1. Ordnung 9.4.2 Randwertprobleme bei Dgl. 2. Ordnung 9.5 Anwendungen in der Physik 9.5.1 Der radioaktive Zerfall 9.5.2 Der harmonische Oszillator Ubungsaufgaben Lösungen 225 225 226 226 229 229 230 230 231 232 235 10 FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER, SKALARE FELDER UND VEKTORFELDER 278 10.0 Einleitung 278 237 237 259 260 263 263 264 273 275 10.1 Der Begriff der Funktion mehrerer Veränderlicher 279 10.2 Das skalare Feld 285 10.3 Das Vektorfeld 10.4 Spezielle Vektorfelder 10.4.1 Das homogene Vektorfeld 10.4.2 Das radialsymmetrische Feld 10.4.3 Ringförmiges Vektorfeld Ubungsaufgaben Lösungen 287 291 291 292 294 295 297

- 12-11 PARTIELLE ABLEITUNG, TOTALES DIFFERENTIAL UND GRADIENT 11.1 Die partielle Ableitung 11.1.1 Mehrfache partielle Ableitung 11.2 Das totale Differential 11.3 Der Gradient 11.3.1 Gradient bei Funktionenzweier Veränderlicher 11.3.2 Gradient bei Funktionendreier Veränderlicher Ubungsaufgaben Lösungen ANHANG I: Grundbegriffe der Mengenlehre ANHANG II: ANHANG III: ANHANG REGISTER IV: Funktionsbegriff Quadratische Gleichungen Funktionstabelle 300 300 303 304 308 308 311 315 316 319 321 322 323 326 INHALT BAND II 12 MEHRFACHINTEGRALE, KOORDINATENSYSTEME 13 PARAMETERDARSTELLUNG VON KURVEN, DIFFERENTIATION NACH EINEM PARAMETER, LINIENINTEGRALE 14 OBERFLÄCHENINTEGRALE 15 DIVERGENZ UND ROTATION 16 KOORDINATENTRANSFORMATIONEN UND MATRIZEN 17 DETERMINANTEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 18 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 19 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 20 FEHLERRECHNUNG 21 DIE WELLENGLEICHUNGEN 22 FOURIERREIHEN