1. Kofidezitervall 2. Weg zur Defiitio 3. Kofidezitervall, geähert Erarbeitug 4. Kofidezitervall, geauer Wald/Wilso 5. Wurmstichige Äpfel, 2σ-Umgebug, Wilso 6. Kofidezitervall, geähert, Wald 7. Kofidezitervall, Defiitio, Wilso 8. Kofidezitervall GTR 9. Kofidezitervall, 2σ-Umgebug, Wilso 10. Kofidezitervall, zσ-umgebug, Wilso/Wald, GTR 11. Kofidezitervall, Defiitio, Wilso, zσ-umgebug 12. Aufgabe 13. 95%-Kofidezitervall, Simulatio (GTR) 14. Wilso-Kofidezitervall, Fliegeklatsche 15. Wald-Kofidezitervall, Wilso 16. Notwediger Stichprobeumfag 17. Aufgabe zum Stichprobeumfag 18. Wahr oder falsch? 19. Kofidezitervall, och eimal das Wichtigste 20. Progoseitervall Kofidezitervall 21. Kofidezitervallläge 22. Ahag, Wilso, quadratische Gleichug
Kofidezitervall Zu diesem Thema werde mehrere Eistiege (Wald-, Wilso-Kofidezitervall) skizziert. Mit eiem GeoGebra-Blatt ka die zugrude liegede Idee des Wilso-Kofidezitervalls veraschaulicht werde (Begi auf Seite 5). Das eifachere Wald-Kofidezitervall ka als Näherug, jedoch auch als eigestädiges Kofidezitervall betrachtet werde (Begi auf Seite 3). Mit diesem Kofidezitervall ka auf eifache Weise die Überdeckugs-Häufigkeit reflektiert werde. Für größer werdedes ( Stichprobeumfag 100) schwidet der Uterschied zum Wilso- Kofidezitervall. Mit Hilfe eier Stichprobe möchte ma de wahre Parameter (z. B. Trefferwahrscheilichkeit eier Biomialverteilug, arithmetisches Mittel, Differez zweier Mittelwerte) schätze. I der Schule(Ni) erfolgt dies hauptsächlich ur für die Trefferwahrscheilichkeit eier Biomialverteilug. Ei Kofidez- oder Vertrauesitervall ist ei (errecheter) Wertebereich, der de gesuchte Parameter mit eier gewisse Wahrscheilichkeit (Vertraueswahrscheilichkeit oder Kofideziveau) überdeckt. Häufig wird ei Kofideziveau vo 95% gewählt. Das bedeutet, dass im Schitt i 95 vo 100 durchgeführte Stichprobe das Kofidezitervall de wahre Wert überdecke wird. Die Weite des Vertrauesitervalls hägt vo der Stichprobegröße ud der Stadardabweichug des utersuchte Merkmals ab. Eie große Stichprobe führt zu mehr Vertraue, also zu eiem ege Kofidezitervall. Ei breites Kofidezitervall ka vo eier kleie Stichprobe herrühre. Bei großer Streuug der Werte wird die Aussage usicherer, das heißt, das Kofidezitervall wird breiter. Schließlich trägt die Wahl des Kofideziveaus zur Weite des Kofidezitervalls bei. Ei 99%-Vertrauesitervall ist breiter als ei 95%-Vertrauesitervall (bei gleichem Stichprobeumfag). Je mehr Sicherheit ma garatiere möchte, desto weiter wird das Vertrauesitervall. 1
Kofidezitervall Weg zur Defiitio Wir gehe vo eier Biomialverteilug ( = 80, p = 0,4) ud der zσ-umgebug des Erwartugswerts zur Sicherheitswahrscheilichkeit α = 85% aus. Was ka ei Außesteheder, dem p ubekat ist, aufgrud eies Stichprobeergebisses X = k, z.b. k = 36, über p aussage? 26 µ = 32 36 38 40 µ zσ µ+zσ 26 80 p zσ 32 80 k 36 80 38 80 p+ zσ 40 80 rel. Häufigkeite Zuächst ist die relative Häufigkeit k eie (grobe) Näherug für p. pliegtvermutlichieiemkleieitervallmitdermitte k.diesesitervallmüsstejedochsogroßgewählt werde, damit es bei wiederholter Stichprobeerhebug p überdeckt, ud zwar mit der vorgegebee Wahrscheilichkeit α. Auf de erste Blick ka der utere Grafik die Läge des Itervalls etomme werde. Hierbei besteht leider folgedes Problem: p ist ubekat ud damit auch die Greze des Itervalls [ k zσ k + zσ ]. Ma ka sich behelfe, idem i σ für p die Näherug k eigesetzt wird. Das theoretisch korrekte Vorgehe ist aufwädiger. Zum Stichprobeergebis X = 36 (36 liegt i der zσ-umgebug zu p) sucht ma, da p ubekat ist, alle Wahrscheilichkeite, so dass 36 i der zugehörige z σ-umgebug liegt. I diesem sogeate Kofidezitervall ist p jedefalls ethalte. Für X = 40 würde dies icht gelte. Geau da also, we X i die zσ-umgebug zu p fällt, ud dies geschieht mit der Wahrscheilichkeit α, überdeckt das zugehörige Kofidezitervall zu X = k die zugude liegede Wahrscheilichkeit p. Zur Erierug: z =Φ 1 ( 1+α ) 2 Kofidez, veralt. für Vertraue 2
Kofidezitervall, geähert Erarbeitug Eie Maschie produziert Werkstücke. Diese sid mit der Wahrscheilichkeit p verfärbt.... Der Produktio wird eie Stichprobe vom Umfag = 80 etomme. X sei die Azahl verfärbter Werkstücke i der Stichprobe. Sei z.b. X = 38. (X ka mit radbi(, p) simuliert werde.) Was sagt das Stichprobeergebis über p aus? Die Sicherheitswahrscheilichkeit sei α = 95%. verborge sichtbar p = 0,4 = 80, k = 38 24 26 28 30 µ 34 36 38 40 µ zσ µ+zσ rel. Häufigkeite p 38 80 p zσ p+ zσ p [ k zσ k + zσ ] Die Itervallläge ädert sich kaum, we für p die relative Häufigkeit k eigesetzt wird. zσ heißt Stadardfehler vo k. Er besagt, dass ma um diese Stadardfehler ach obe ud ute vo der vorliegede relative Häufigkeit abweiche muss, um das ubekate p zu überdecke(mit eier gewisse Sicherheit). Das geäherte oder Wald-Kofidezitervall erhalte wir auch, idem zu k (statt p) die Greze des Schwakugsitervalls bestimmt ud diese durch dividiert werde. Das Stichprobeergebis X = k liegt mit der Sicherheitswahrscheilichkeit α i der zσ-umgebug vo µ. Dasselbe gilt für die relative Häufigkeite ud dem zugehörige Itervall I rel. Das Kofidezitervall überdeckt geau da p, we k i I rel fällt (beachte die Läge), also mit der Wahrscheilichkeit α. Mit 1-PropZIt ka dieses Kofidezitervall direkt ermittelt werde (GTR, STAT-Tests-Meü, oe-proportio z-itervall, z-itervall für eie Ateil, der Vergleich zweier Ateile wäre auch möglich). Zur Erierug: z =Φ 1 ( 1+α ) 2 Kofidez, veralt. für Vertraue 3
Kofidezitervall, geauer Erarbeitug Eie Maschie produziert Werkstücke. Diese sid mit der Wahrscheilichkeit p verfärbt.... Der Produktio wird eie Stichprobe vom Umfag = 80 etomme. X sei die Azahl verfärbter Werkstücke i der Stichprobe. Sei z.b. k = 38. (X ka mit radbi(, p) simuliert werde.) Was sagt das Stichprobeergebis über p aus? Die Sicherheitswahrscheilichkeit sei α = 95%. verborge sichtbar p = 0,4 = 80, k = 38 24 26 28 30 µ 34 36 38 40 µ zσ µ+zσ rel. Häufigkeite p 38 80 p zσ p+ zσ Wirsucheei (möglichst kleies) Itervall um 38 80,dassp beihaltet. Welche Wahrscheilichkeite gehöre u i dieses Itervall? k = 38 liegt i der zu p gehörede zσ- Umgebug vo µ. Wir ehme daher alle Wahrscheilichkeite i user Itervall auf, für die das gilt. Diese Wahrscheilichkeite wäre mit k verträglich, sie würde k wahrscheilich mache, d. h. für sie gilt: µ zσ k µ+zσ Wird i σ die Näherug k eigesetzt, so führt das zum Wald-Kofidezitervall. Wie erhalte wir u alle Wahrscheilichkeite, die diese Bedigug erfülle? Begrüde: Das Kofidezitervall (Wilso) lautet: [p mi, p max ] p mi ist Lösug der Gleichug k = µ+zσ, p max löst k = µ zσ. Tipp: Variiere i Gedake p. k = 38 Kofidezitervall [ 0,3692 0,5830] Wald-Kofidezitervall [ 0,3656 0,5844] Zur Erierug: z =Φ 1 ( 1+α ) 2 k = 40 Kofidezitervall [ 0,3930 0,6070] Wald-Kofidezitervall [ 0,3904 0,6096] Kofidez, veralt. für Vertraue 4
Kofidezitervall Der Ateil der wurmstichige Äpfel (defekte Werkstücke, ifizierte Persoe, usw.) i eier umfagreiche Lieferug soll ermittelt werde. Hierzu wird eie Stichprobe vom Umfag = 100 etomme. I ihr seie X = 15 wurmstichige Äpfel. Welche (statistisch relevate) Aussage ist u möglich? 15 µ 2σ µ+2σ 2σ-Umgebug p [ ] p Eie Puktschätzug ergibt: p = 15 100 = 15% Es erscheit plausibel, dass der wahre Ateil (mit eier gewisse Wahrscheilichkeit) i eier Umgebug vo p liegt. Welche Ateile sollte das Itervall ethalte? µ 2σ µ+2σ 15 p 1 µ 2σ µ+2σ 15 p 2 5
Kofidezitervall p max µ 2σ µ+2σ p mi µ 2σ µ+2σ [p mi, p max ] heißt Kofidez- oder Vertrauesitervall (Wilso 1927). Es besteht aus alle Wahrscheilichkeite, dere 2σ-Umgebug X ethält, oder ugeauer formuliert: Das Kofidezitervall ethält alle Wahrscheilichkeite, die dem Zufallsversuch zugrude liege köte. p max ist eie Lösug der Gleichug X = µ 2σ, p mi löst X = µ+2σ. Wir werde och begrüde, dass das Kofidezitervall mit 95%-iger Wahrscheilichkeit das ubekate p überdeckt, d. h. dass bei wiederholter Stichprobeetahme vo de zugehörige Kofidezitervalle 95% p ethalte. Ermittle das Kofidezitervall. a) = 100, X = 15 b) = 1000, X = 150 6
Kofidezitervall, geähert Ermittle das Kofidezitervall, Ergebis: Nullstelle vo f 1/2 (p) = X p ± 2 p(1 p) a) = 100, X = 15 [0,092; 0,235] b) = 1000, X = 150 [0,129; 0,174] p max löst X = µ 2σ p mi löst X = µ+2σ Für die Greze des Itervalls gilt also p = X ±2σ Das Itervall ädert sich kaum (die Rechug vereifacht sich erheblich), we für p auf der rechte Seite die relative Häufigkeit X GTR 1-PropZIt im STAT-Tests-Meü = 100, X = 15 Kofidezitervall [0,079; 0,221] = 1000, X = 150 Kofidezitervall [0,127; 0,173] Beachte, dass sich die Läge um de Faktor eigesetzt wird (Wald-Kofidezitervall). 1 10 uterscheide. Der folgede Verteilug soll der wahre aber ubekate Ateil p zugrude liege. Das Stichprobeergebis X liegt mit der Sicherheitswahrscheilichkeit α = 95,4% i der 2σ-Umgebug. Für die relative Häufigkeite gilt Etsprechedes. µ µ 2σ µ+2σ rel. Häufigkeite p X p 2σ p+ 2σ Welche Aussage hisichtlich der Überdeckug vo p ist möglich, we ageomme werde ka, dass die Kofidezitervalle ugefähr gleichlag sid? 7
Kofidezitervall, Defiitio X 2σ-Umgebug vo p p Kofidezitervall d. h. das Kofidezitervall überdeckt mit (ugefähr) 95%-iger Wahrscheilichkeit p. Das Wilso-Kofidezitervall (gegebe, X = k) zur Sicherheitswahrscheilichkeit α besteht aus alle p, für die das Stichprobeergebis k i der zσ-umgebug liegt. µ zσ k µ + zσ beachte: µ = p, σ = p (1 p) p z σ k p + z σ z σ k p z σ k p σ z z =Φ 1 ( 1+α 2 ) 8
Kofidezitervall GTR 0,1 ( ) 5% ( ) 90% ( ) 5% = 50 10 20 30 40 50 Vo 50 zufällig ausgesuchte Patiete gesude währed eier Therapie 22. Wir wolle utersuche, welche Erfolgswahrscheilichkeite p dieser Biomialverteilug zugrude liege köte. Die Sicherheitswahrscheilichkeit sei 90%, d. h. wir suche Erfolgswahrscheilichkeite p, so dass 22 i eiem Itervall [a, b] liegt, desse Wahrscheilichkeit 90% beträgt ud die Itervalle der seltee Ereigisse rechts ud liks des Itervalls [a, b] jeweils die Wahrscheilichkeit 5% habe. 0,1 p = 0,44 10 20 30 40 50 Möglich wäre p = 22 50 = 0,44. X = 22 wäre da am wahrscheilichste. 0,1 p = 0,55 10 20 30 40 50 Die Bestimmug des maximale Werts für p ist aus der Grafik zu ersehe. Für och größeres p rutscht 22 i de like 5%-Bereich. p max ist also eie Lösug der Gleichug biomcdf(50,x,21) = 0,05 (äherugsweise mit GTR). 0,1 p = 0,33 10 20 30 40 50 Die Bestimmug des miimale Werts für p erfolgt etspreched. Für och kleieres p gelagt 22 i de rechte 5%-Bereich. p mi ist also Lösug der Gleichug biomcdf(50,x,22) = 0,95. [p mi, p max ] heißt Kofidezitervall. Kofidez, veralt. für Vertraue 9
Kofidezitervall mit 2σ-Umgebuge Vo 50 zufällig ausgesuchte Patiete gesude währed eier Therapie 22. Wir wolle utersuche, welche Erfolgswahrscheilichkeite p dieser Biomialverteilug zugrude liege köte. Die Sicherheitswahrscheilichkeit sei 95,4%, d. h. wir suche Erfolgswahrscheilichkeite p, so dass 22 i dere 2σ-Umgebug liegt. 0,1 p = 0,44 10 20 µ 30 40 50 µ 2σ µ+2σ Möglich wäre p = 22 50 = 0,44. X = 22 wäre da am wahrscheilichste. 0,1 p = 0,58 10 20 µ 30 40 50 µ 2σ µ+2σ Die Bestimmug des maximale Werts für p ist aus der Grafik zu ersehe. Für och größeres p rutscht 22 liks außerhalb der 2σ-Umgebug. p max ist also eie Lösug der Gleichug X = µ 2σ 0,1 p = 0,31 10 µ 20 30 40 50 µ 2σ µ+2σ Die Bestimmug des miimale Werts für p erfolgt etspreched. Für och kleieres p gelagt 22 rechts außerhalb der 2σ-Umgebug. p mi ist also eie Lösug der Gleichug X = µ+2σ [p mi, p max ] heißt Wilso-Kofidez- oder Vertrauesitervall. Beispiel = 200, X = 170 Wilso-Kofidezitervall [0,79; 0,89] 10
Kofidezitervall Vo 50 zufällig ausgesuchte Patiete gesude währed eier Therapie 22. Wir wolle utersuche, welche Erfolgswahrscheilichkeite p dieser Biomialverteilug zugrude liege köte. Die Sicherheitswahrscheilichkeit sei α = 90%, d. h. wir suche Erfolgswahrscheilichkeite p, so dass 22 i eiem Itervall [a, b] liegt, desse Wahrscheilichkeit 90% beträgt ud die Itervalle der seltee Ereigisse rechts ud liks des Itervalls [a, b] jeweils die Wahrscheilichkeit 5% habe. Für die Bestimmug vo z siehe das Arbeitsblatt Sigma-Umgebuge. z =Φ 1 ( 1+α 2 ) 0,1 p = 0,44 10 20 µ 30 40 50 µ zσ µ+zσ Möglich wäre p = 22 50 = 0,44. X = 22 wäre da am wahrscheilichste. 0,1 p = 0,55 10 20 µ 30 40 50 µ zσ µ+zσ Die Bestimmug des maximale Werts für p ist aus der Grafik zu ersehe. Für och größeres p rutscht 22 i de like 5%-Bereich. p max ist also eie Lösug der Gleichug X = µ zσ. 0,1 p = 0,33 10 µ 20 30 40 50 µ zσ µ+zσ Die Bestimmug des miimale Werts für p erfolgt etspreched. Für och kleieres p gelagt 22 i de rechte 5%-Bereich. p mi ist also eie Lösug der Gleichug X = µ+zσ. [p mi, p max ] heißt Wilso-Kofidezitervall. Es wird durch das Wald-Kofidezitervall geähert, welches mit 1-PropZIt direkt ermittelt werde ka (GTR, STAT-Tests-Meü, oe-proportio z-itervall, z-itervall für eie Ateil). 11
Kofidezitervall, Defiitio Das Kofidezitervall (Vertrauesitervall) zum Stichprobeergebis X = k ethält alle Wahrscheilichkeite p, dere zσ-umgebug das k ethält (Sicherheitswahrscheilichkeit α). 20 k µ 30 µ zσ µ+zσ X p max ist eie Lösug der Gleichug k = µ zσ. 10 µ 20 k µ zσ µ+zσ p mi ist eie Lösug der Gleichug k = µ+zσ. Das Wilso-Kofidezitervall lautet: [p mi, p max ] Begrüde: Das Kofidezitervall zum Stichprobeergebis X = k besteht aus alle p für die gilt (Sicherheitswahrscheilichkeit α): k p z σ σ = p (1 p), z =Φ 1 ( 1+α ) 2 = 38 = 150 = 600 f(p) = zσ = 2400 p mi p max p Tipp: a = ±b (b > 0) ka zu a = b zusammegefasst werde. k Das Wald-Kofidezitervall mit de Greze k ± zσ (k i σ für p eigesetzt) ist hier auch erkebar. 12
Aufgabe 1. Vo 300 überprüfte Autofahrer müsse 75 ei Bußgeld vo 50 e wege fehleder Umweltplakette bezahle. 2500 Autofahrer köte überprüft werde. Welche Eiahme erhofft sich die Stadtverwaltug aufgrud eier Überschlagsrechug? Zu welcher optimistische (pessimistische) Schätzug (Sicherheitswahrscheilichkeit 90%) gelagt eie mathematisch versierte Stadtagestellte mit dem GTR? 2. Die Wahrscheilichkeit für eie Fehldiagose bei der Krebsfrüherkeug beträgt 20%. Mit wie viele Irrtümer ist bei 500 Diagose (Sicherheitswahrscheilichkeit 90%) zu reche? 3. Um die Gesamtazahl der Fische i eiem Teich zu schätze werde 250 Fische gefage, markiert ud wieder ausgesetzt. Zwei Tage später werde 175 Fische gefage, uter dee sich 49 markierte befide. Wie groß ist die gesamte Fischpopulatio, we ma eie Aussage auf eiem Sicherheitsiveau vo 95% treffe will? 4. Elektroische Bauteile werde mit eier Ausschussquote (statistischer Mittelwert) vo 2,6% produziert. Utersuche Sie, ob es für eie der agegebee Tage eie sigifikate Abweichug (Sicherheitsiveau 95,4%) gab. Mo Di Mi Azahl 2000 2200 2600 davo defekt 54 40 84 5. Ei Hersteller beliefert seie Kude mit Kiste, i dee jeweils 300 Produkte abgepackt sid, dere Ausschussquote (statistischer Mittelwert) 4% beträgt. Welche Garatie ka er gebe, um Reklamatioe wege zu vieler ubrauchbarer Produkte praktisch ausschließe zu köe (Sicherheitswahrscheilichkeit 97%)? 13
Aufgabe 1. Vo 300 überprüfte Autofahrer müsse 75 ei Bußgeld vo 50 e wege fehleder Umweltplakette bezahle. 2500 Autofahrer köte überprüft werde. Welche Eiahme erhofft sich die Stadtverwaltug aufgrud eier Überschlagsrechug? Zu welcher optimistische (pessimistische) Schätzug (Sicherheitswahrscheilichkeit 90%) gelagt eie mathematisch versierte Stadtagestellte mit dem GTR? 2. Die Wahrscheilichkeit für eie Fehldiagose bei der Krebsfrüherkeug beträgt 20%. Mit wie viele Irrtümer ist bei 500 Diagose (Sicherheitswahrscheilichkeit 90%) zu reche? 3. Um die Gesamtazahl der Fische i eiem Teich zu schätze werde 250 Fische gefage, markiert ud wieder ausgesetzt. Zwei Tage später werde 175 Fische gefage, uter dee sich 49 markierte befide. Wie groß ist die gesamte Fischpopulatio, we ma eie Aussage auf eiem Sicherheitsiveau vo 95% treffe will? 4. Elektroische Bauteile werde mit eier Ausschussquote (statistischer Mittelwert) vo 2,6% produziert. Utersuche Sie, ob es für eie der agegebee Tage eie sigifikate Abweichug (Sicherheitsiveau 95,4%) gab. Mo Di Mi Azahl 2000 2200 2600 davo defekt 54 40 84 5. Ei Hersteller beliefert seie Kude mit Kiste, i dee jeweils 300 Produkte abgepackt sid, dere Ausschussquote (statistischer Mittelwert) 4% beträgt. Welche Garatie ka er gebe, um Reklamatioe wege zu vieler ubrauchbarer Produkte praktisch ausschließe zu köe (Sicherheitswahrscheilichkeit 97%)? 1. Stadtverwaltug: 31250 e 0,211 p 0,293 (Wilso-Kofidezitervall), GTR: 0,209 p 0,291 damit optimistische (pessimistische) Schätzug: 36375 e (26125 e) 2. [86;114] 3. Wald-Kofidezitervall [0,2135; 0,3465] Azahl der Fische im Itervall [722, 1171] 4. Es köe die 2σ-Umgebuge oder die Kofidezitervalle ermittelt werde. Ei Vergleich mit de Agabe beatwortet die Frage. 5. Garatie: I der Kiste sid höchstes 19 defekte Produkte (zσ-umgebug). 14
95%-Kofidezitervall Wir gehe vo eier Biomialverteilug ( = 60, p = 0,5 ( )) aus mit der 2σ-Umgebug des Erwartugswerts µ ud betrachte für verschiedee Stichprobe X das Kofidezitervall. Eie Simulatio (GTR) erfolgt mit 1-PropZIt(radBi(, p),, α), zu fide uter CATALOG P. X = 27 23 µ 37 0,324 0,576 X = 32 23 µ 37 0,407 0,660 X = 36 23 µ 37 0,476 0,724 X = 28 23 µ 37 0,340 0,593 X = 34 23 µ 37 0,441 0,692 X = 21 23 µ 37 0,229 0,471 Erläutere: X 2σ-Umgebug p Kofidezitervall d. h. das Kofidezitervall überdeckt mit 95%-iger Wahrscheilichkeit p. 15 p = 0,5
95%-Kofidezitervall, Simulatio = 60, p = 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 16
Wilso-Kofidezitervall Ei (Stichprobe-)Ergebis X = k eies Zufallsversuchs liegt vor. Die dem Zufallsversuch zugrude liegede Wahrscheilichkeit sei p. k liegt da mit vorgegebeer (Sicherheits-)Wahrscheilichkeit α i der zugehörige zσ-umgebug. Die Wahrscheilichkeit p ist im Allgemeie ubekat. [ ] p } {{ } } {{ } zσ µ zσ µ zσ µ+zσ α Wir frage daher ach alle Wahrscheilichkeite, die dem Zufallsversuch zugrude liege köte, d. h. wir frage ach alle Wahrscheilichkeite, dere zσ-umgebug k ethält. Diese Wahrscheilichkeite bilde das (icht gaz symmetrische) Wilso-Kofidezitervall. Die Wahrscheilichkeit, die dem Zufallsversuch zugrude liegt, ist mit der (Sicherheits-)Wahrscheilichkeit α im Kofidezitervall ethalte. (Zu beachte ist hierbei, dass p keie Zufallsvariable ist.) Umissverstädlicher ausgedrückt: Das Kofidezitervall überdeckt mit der (Sicherheits-)Wahrscheilichkeit α die dem Zufallsversuch zugrude liegede Wahrscheilichkeit p. Ugefährer Mittelpukt des Wilso-Kofidezitervalls [p mi, p max ] ist h = k. p mi ist Lösug der Gleichug X = µ+zσ, p max istlösugdergleichug X = µ zσ mit z =Φ 1 ( 1+α ) 2 Das Kofidezitervall zur Sicherheitswahrscheilichkeit α besteht aus alle p für die gilt: h p z σ σ = p (1 p) Beispiele: 1. = 1000, X = 480, α = 95% [0,449; 0,511] 2. = 800, X = 750, α = 90% [0,922; 0,950] 3. = 5000, X = 650, α = 99,9% [0,115; 0,146] Um abzuschätze, mit welcher Wahrscheilichkeit p eie Reißzwecke i die Lage ( ) fällt, werfe wir sie -mal. Die relative Häufigkeit h wird vermutlich icht die geaue Wahrscheilichkeit agebe, sie wird i der Nähe vo h liege. Mit Kofidezitervalle wird diese Überlegug präzisiert. Die Methode eriert a das Jage mit eier Fliegeklatsche. Zufallsbedigt trifft sie mittig die rel. Häufigkeit h i der Hoffug, das p zu erwische. Wie ka die Fliegeklatsche vergrößert werde? 17
Wald-Kofidezitervall Ei (Stichprobe-)Ergebis X = k eies Zufallsversuchs liegt vor. Die dem Zufallsversuch zugrude liegede mögliche Wahrscheilichkeite sid gesucht. k liegt mit vorgegebeer (Sicherheits-)Wahrscheilichkeit α i der zugehörige zσ-umgebug. } {{ } } {{ } zσ µ zσ µ zσ µ+zσ α Der Mittelpukt des Wilso-Kofidezitervalls [p mi, p max ] ist (geähert) h = k. p mi ist Lösug der Gleichug X = µ+zσ, p max istlösugdergleichug X = µ zσ mit z =Φ 1 ( 1+α ) 2 Um die Wald-Näherug für das Wilso-Kofidezitervall [p mi, p max ] zu erhalte, ka h = k für p i σ eigesetzt werde, d.h. die Greze des zσ-itervalls für h werde lediglich durch geteilt. [h z z h (1 h) h+ h (1 h)] Alterativ köe i der allgemeie Lösug der letztlich quadratische Gleichug X = µ±zσ die Terme z2 Beispiele: durch 0 ersetzt werde. Für größer werdedes verwischt sich daher der Uterschied. 1. = 1000, X = 480, α = 95% [0,449; 0,511] 2. = 800, X = 750, α = 90% [0,924; 0,952] 3. = 5000, X = 650, α = 99,9% [0,114; 0,146] Die Schätzug der zugrude liegede Wahrscheilichkeit p aufgrud eies (Stichprobe-)Ergebisses X = k (hier bei ageommeer Biomialverteilug) ist ei fudametales statistisches Problem. Vo eiem Vertrauesitervall ist lediglich zu erwarte, dass es möglichst klei ist ud mit (midestes) vorgegebeer Sicherheits-Wahrscheilichkeit α die Trefferwahrscheilichkeit p überdeckt. Die eifachste Möglichkeit hierzu ist das (symmetrische) Wald-Kofidezitervall. Dieses wird auch vom GTR ausgegebe (1-PropZIt im STAT-Tests-Meü, oe-proportio z-itervall, z-itervall für eie Ateil). Es gibt weitere Möglichkeite, Vertrauesitervalle zu defiiere. Um das Jahr 2000 wurde die Überdeckugswahrscheilichkeite ud die Kofidezitervallläge der eizele Itervall-Arte geauer utersucht (siehe Verschiedees, Überdeckugswahrscheilichkeit). Vertrauesitervalle sollte zur sichere Seite gerudet werde (like Greze ab-, rechte aufrude). Damit wird eie mögliche Verkleierug der Überdeckugswahrscheilichkeit ausgeschlosse (siehe Excel- Blatt uter Verschiedees). Je kleier umso weiger Dezimalstelle sollte berücksichtigt werde. 18
Notwediger Stichprobeumfag Welcher Stichprobeumfag ist erforderlich, um eie ubekate Wahrscheilichkeit p mit der durch die Läge des Kofidezitervalls vorgegebee Geauigkeit d zu ermittel? Die Sicherheitswahrscheilichkeit sei α. Erier wir us zuächst a die Defiitio des Wilso- Kofidezitervalls zum Stichprobeergebis X = k. z =Φ 1 ( 1+α ) 2 } {{ } } {{ } zσ µ zσ µ zσ µ+zσ α µ zσ k µ + zσ beachte: µ = p, h = k p z σ h p + z σ z σ h p z σ oder h p z σ oder p max/mi = h± z σ }{{} Stadardfehler Die Läge des Wilso-Kofidezitervalls soll also höchstes d betrage (die geäherte Läge des Wald-Kofidezitervalls beträgt offesichtlich 2 Stadardfehler), d. h. 2 zσ d quadriere 4z 2 pq d 2 4( z d )2 pq y p p(1 p) Hierbei ist das miimale zu bestimme. Falls eie Näherug für p bekat ist, ka sie verwedet (eigesetzt) werde, asoste ist vom ugüstigste Fall p = 1 2 auszugehe. Mit p(1 p) 1 4 ergibt dies: ( z d )2 mi Mit der halbe Itervallläge e (d = 2e) lautet die Bedigug: ( z e )2 pq mi 0,1 0,5 1 p Falls eie (kleiere) Vorstichprobe ei (grobes) Kofidezitervall liefert, dass 0,5 icht ethält, wird als Näherug diejeige Greze geomme, der 0,5 am ächste liegt. Warum? 19
Stichprobeumfag 1. Um die zugrudeliegede Wahrscheilichkeit p eier biomialverteilte Zufallsvariable X zu ermittel (eizugreze), soll eie Stichprobe vom Umfag erhobe werde. Wie groß ist der Stichprobeumfag (Sicherheitswahrscheilichkeit 90%) midestes zu wähle, damit das Kofidezitervall die Läge 0,05 icht überschreitet, ud we a) die Wahrscheilichkeit p = 0,2 als aäherd richtig agesehe wird, b) die Durchführug eier kleie Umfrage für p de Bereich 0,6 bis 0,7 ergebe hat, c) keie Iformatioe über p vorliege. 2. Variatio der 1. Aufgabe Wie äder sich die Stichprobeumfäge, falls die Kofidezitervallläge halbiert wird? Stelle Sie eie Vermutug über de allgemeie Zusammehag auf ud begrüde Sie sie. 3. Zur Feststellug des Bekatheitsgrades eies pharmazeutische Produkts soll eie Repräsetativbefragug vorgeomme werde. Wie umfagreich muss die Stichprobe sei, we die Abweichug des durch die Befragug ermittelte Schätzwertes p vom wahre Bekatheitsgrad p mit eier Sicherheit vo 95% de Wert 0,02 icht überschreite soll? 20
Stichprobeumfag 1. Um die zugrudeliegede Wahrscheilichkeit p eier biomialverteilte Zufallsvariable X zu ermittel (eizugreze), soll eie Stichprobe vom Umfag erhobe werde. Wie groß ist der Stichprobeumfag (Sicherheitswahrscheilichkeit 90%) midestes zu wähle, damit das Kofidezitervall die Läge 0,05 icht überschreitet, ud we a) die Wahrscheilichkeit p = 0,2 als aäherd richtig agesehe wird, = 693 b) die Durchführug eier kleie Umfrage für p de Bereich 0,6 bis 0,7 ergebe hat, 1039 c) keie Iformatioe über p vorliege. 1083 2. Variatio der 1. Aufgabe Wie äder sich die Stichprobeumfäge, falls die Kofidezitervallläge halbiert wird? 4 Stelle Sie eie Vermutug über de allgemeie Zusammehag auf ud begrüde Sie sie. ( z d ) 2 = ( z d )2 k2 k Mit ( z d )2 mi folgt (Multiplikatio mit k 2 ) ( z d ) 2 mi k 2 k 3. Zur Feststellug des Bekatheitsgrades eies pharmazeutische Produkts soll eie Repräsetativbefragug vorgeomme werde. Wie umfagreich muss die Stichprobe sei, we die Abweichug des durch die Befragug ermittelte Schätzwertes p vom wahre Bekatheitsgrad p mit eier Sicherheit vo 95% de Wert 0,02 icht überschreite soll? d = 0,04, = 2401 21
1. Eie Partei A will wisse, ob ihr i eier bevorstehede Wahl die Mehrheit sicher ist. Dazu lässt sie eie Meiugsumfrage uter 800 Wahlberechtigte durchführe. 54% der Befragte gebe a, die Partei A zu wähle. Welche Erfolgswahrscheilichkeite köe mit 95,4%-iger Sicherheit dem Stichprobeergebis zugrudeliege? 2. I eier Stichprobe vom Umfag 600 fad ma 257 Persoe mit der Blutgruppe A. Wie viele mögliche Blutspeder für diese Blutgruppe wird ma fide, we i der betreffede Bevölkerugsgruppe 450000 Erwachsee lebe? (95,4%-iger Sicherheitswahrscheilichkeit) 3. Eiem Elektrohädler werde Glühlampe zweiter Wahl agebote. Für de Hädler wäre der Kauf vorteilhaft, we mehr als 80% der Glühlampe i Ordug wäre. Er prüft 60 Glühlampe. a) Bei welcher Midestazahl itakter Glühlampe sollte der Hädler kaufe? b) I eier Stichprobe sid 50 Glühlampe i Ordug. Der Hädler immt das Agebot icht a. Hätte es sei köe, dass der Kauf für ih güstig gewese wäre? 4. Um die Azahl abzuschätze, mit der Tiere eier bestimmte Art i eiem Gebiet vorhade sid, fägt ma Tiere dieser Art ei, markiert sie ud setzt sie wieder aus. Nach eiiger Zeit fägt ma ereut Tiere dieser Art ud zählt, wie viele davo markiert sid. a) I eiem abgegrezte Waldstück werde 70 Hase markiert ud ach eiige Tage werde isgesamt 50 Hase beobachtet, vo dee 17 markiert sid. b) Vo 100 markierte Fische eies Teichs werde 27 beim zweite Mal gefage, 108 Fische sid umarkiert. 22
1. Eie Partei A will wisse, ob ihr i eier bevorstehede Wahl die Mehrheit sicher ist. Dazu lässt sie eie Meiugsumfrage uter 800 Wahlberechtigte durchführe. 54% der Befragte gebe a, die Partei A zu wähle. Welche Erfolgswahrscheilichkeite köe mit 95,4%-iger Sicherheit dem Stichprobeergebis zugrudeliege? 0,505 p 0,575 2. I eier Stichprobe vom Umfag 600 fad ma 257 Persoe mit der Blutgruppe A. Wie viele mögliche Blutspeder für diese Blutgruppe wird ma fide, we i der betreffede Bevölkerugsgruppe 450000 Erwachsee lebe? (95,4%-iger Sicherheitswahrscheilichkeit) 0,389 p 0,469 = 175000 N 211000 3. Eiem Elektrohädler werde Glühlampe zweiter Wahl agebote. Für de Hädler wäre der Kauf vorteilhaft, we mehr als 80% der Glühlampe i Ordug wäre. Er prüft 60 Glühlampe. a) Bei welcher Midestazahl itakter Glühlampe sollte der Hädler kaufe? b) I eier Stichprobe sid 50 Glühlampe i Ordug. Der Hädler immt das Agebot icht a. Hätte es sei köe, dass der Kauf für ih güstig gewese wäre? a) p = 0,8 2σ-Umgebug = [42, 54]. Die like Greze ist für dieses Problem ohe Belag. Ab 55 itakter Glühlampe sollte der Hädler die Glühlampe kaufe. b) 95,4%-Kofidezitervall: 0,717 p 0,908 GTR: 0,737 p 0,930 Alle Erfolgswahrscheilichkeite mit 0,8 p 0,908 sid für de Hädler güstig. 4. Um die Azahl abzuschätze, mit der Tiere eier bestimmte Art i eiem Gebiet vorhade sid, fägt ma Tiere dieser Art ei, markiert sie ud setzt sie wieder aus. Nach eiiger Zeit fägt ma ereut Tiere dieser Art ud zählt, wie viele davo markiert sid. a) I eiem abgegrezte Waldstück werde 70 Hase markiert ud ach eiige Tage werde isgesamt 50 Hase beobachtet, vo dee 17 markiert sid. b) Vo 100 markierte Fische eies Teichs werde 27 beim zweite Mal gefage, 108 Fische sid umarkiert. a) X = 17, = 50, 95,4%-Kofidezitervall: 0,222 p 0,481 GTR: 0,206 p 0,474 Diese mit dem Stichprobeergebis verträgliche Ateile p etspreche dem Ateil 70 N, wobei N die Azahl aller Hase ist. Für N erhalte wir: 146 N 314 GTR: 148 N 339 b) X = 27, = 135, 95,4%-Kofidezitervall: 0,140 p 0,277 = 361 N 713 0,131 p 0,269 = 372 N 763 23
Wahr oder falsch? Sid die folgede Aussage wahr oder falsch? Begrüde Sie Ihre Etscheidug. a) Eie Itervallschätzug für eie ubekate Wahrscheilichkeit wird mit wachsedem Stichprobeumfag immer geauer. b) We die Sicherheitswahrscheilichkeit (das Sicherheitsiveau) vergrößert wird, da immt die Größe des Kofidezitervalls ab. c) Der Puktschätzer liegt immer geau i der Mitte des Kofidezitervalls. d) We ma de Stichprobeumfag verdoppelt, wird das Kofidezitervall halb so groß. 24
Wahr oder falsch? Sid die folgede Aussage wahr oder falsch? Begrüde Sie Ihre Etscheidug. a) Eie Itervallschätzug für eie ubekate Wahrscheilichkeit wird mit wachsedem Stichprobeumfag immer geauer. b) We die Sicherheitswahrscheilichkeit (das Sicherheitsiveau) vergrößert wird, da immt die Größe des Kofidezitervalls ab. c) Der Puktschätzer liegt immer geau i der Mitte des Kofidezitervalls. d) We ma de Stichprobeumfag verdoppelt, wird das Kofidezitervall halb so groß. a) Stimmt, da mit wachsedem die Itervallläge kleier wird. Das ist (z. B.) a der Läge des (geäherte) Wald-Kofidezitervalls zu erkee. b) Stimmt icht. Dies erket ma z. B. dara, dass bei eiem Sicherheitsiveau vo 100% die Itervallläge 1 ist, da sämtliche Werte vo 0 bis 1 im Itervall ethalte sei müsse. Für ei größeres Sicherheitsiveau wird der z-wert auch größer, ud damit auch die Itervallläge. c) Das gilt allgemei ur für das (geäherte) Wald-Kofidezitervall. d) Das stimmt icht. Näherugsweise gilt für Kofidezitervalle: We ma de Stichprobeumfag vervierfacht, da ist das Kofidezitervall halb so groß. 25
I der mathematische Literatur wird der z-wert mit z α 1 agegebe. Im Gegesatz zu der hier verwedete Schreibweise beträgt die Sicherheitswahrscheilichkeit da 1 α. 2 26
Kofidezitervall, och eimal das Wichtigste zσ-umgebug für p [ ] p µ zσ k µ+zσ Das Kofidezitervall zum Stichprobeergebis X = k (gegebe, Sicherheitswahrscheilichkeit α) besteht aus alle p, für die das Stichprobeergebis k i der zσ-umgebug liegt. µ zσ k µ + zσ beachte: µ = p, σ = p (1 p), h = k p z σ h p + z σ z σ h p z σ h p z σ z =Φ 1 ( 1+α 2 ) Sei p die (ubekate) Wahrscheilichkeit. Progoseitervall I rel für die relative Häufigkeite: rel. Häufigkeite p [ h zσ h+ zσ ] k p p zσ p+ zσ Die Itervallläge ädert sich kaum, we für p die relative Häufigkeit h eigesetzt wird. Das geäherte oder Wald-Kofidezitervall erhalte wir, idem zu h = k (statt p) die Greze des Schwakugsitervalls bestimmt ud diese durch dividiert werde. Das Stichprobeergebis X = k liegt mit der Sicherheitswahrscheilichkeit α i der zσ-umgebug vo µ. Dasselbe gilt für die relative Häufigkeite ud dem zugehörige Itervall I rel. Das Kofidezitervall überdeckt geau da p, we k i I rel fällt (beachte die Läge), also mit der Wahrscheilichkeit α. Mit 1-PropZIt (GTR, STAT-Tests-Meü) ka dieses Kofidezitervall direkt ermittelt werde. Stichprobeläge Die Läge des Kofidezitervalls soll (höchstes) d betrage, d. h. 2 zσ d quadriere 4z 2 pq d 2 4( z d )2 pq Hierbei ist das miimale zu bestimme. Falls eie Näherug für p bekat ist, ka sie verwedet (eigesetzt) werde, asoste ist vom ugüstigste Fall p = 1 2 auszugehe. 27
Progoseitervall Kofidezitervall Sachlage: Die Wahrscheilichkeit p ist us bekat. µ µ zσ µ+zσ Die Ergebisse eier Stichprobe vom Umfag werde mit der Sicherheitswahrscheilichkeit α i der zσ-umgebug liege. Diese heißt auch Schwakugs- oder Progoseitervall. Die relative Häufigkeite h = k zσ der Stichprobeergebisse liege da i [ p p + zσ ], dem Progoseitervall für die relative Häufigkeite (Divisio durch ). p p zσ p+ zσ rel. Häufigkeite Zu gegebeem p sid also Aussage über die zu erwartede Stichprobeergebisse bzw. über die relative Häufigkeite möglich (ma schließt vo der Gesamtheit auf die Stichprobe). Nehme wir u die umgekehrte Blickrichtug ei. Das p ist us icht bekat, es liegt jedoch ei Stichprobeergebis X = k vor. Die Puktschätzug h = k ist eie Näherug für p. Ei Itervall, das mit eier vorgegebee Sicherheitswahrscheilichkeit die us ubekate Wahrscheilichkeit p überdeckt, heißt Kofidezitervall. Das Wald-Kofidezitervall, das der GTR mit 1-PropZIt ermittelt, hat die Greze h ± zσ (h i σ für p eigesetzt). Mit demselbe GRT-Befehl köe auch (auf eifache Weise, trotz der uterschiedliche Blickrichtuge) die Progoseitervalle für die relative Häufigkeite ud der Stichprobeergebisse ermittelt werde. Mit dem bekate p ist hier lediglich k = p zu wähle. Die mit dem GTR ermittelte Itervallgreze sid für das Progoseitervall der Stichprobeergebisse och mit zu multipliziere. Beispiel = 500, p = 0,5, α = 98% Progoseitervalle (k = 250) [0,448; 0,552] [224; 276] 28
Kofidezitervall Der Ateil der wurmstichige Äpfel (defekte Werkstücke, ifizierte Persoe, usw.) i eier umfagreiche Lieferug soll ermittelt werde. Wie ist vorzugehe? Zuächst sid festzulege: die Sicherheitswahrscheilichkeit, mit der das Kofidezitervall die ubekate Wahrscheilichkeit überdeckt, z.b. α = 95%, z = Φ 1 ( 1+α 2 ) = 1,96 die (maximale) Kofidezitervallläge, z. B. d = 0,05 Aschließed ka die (miimale) Stichprobeläge ermittelt werde, hier = 1537. 2 zσ d quadriere... Nehme wir a, dass i der u etommee Stichprobe k = 123 wurmstichige Äpfel sid, die relative Häufigkeit somit h = k = 0,08 beträgt. Für die Berechug des Kofidezitervalls habe wir zwei Möglichkeite. Wald-Kofidezitervall [ 0,066 0,094] Wilso-Kofidezitervall [0,068 0,095] graphisch mit h p z σ Die Kofidezitervallläge liege weit uter 0,05. Wäre i der Stichprobe jedoch k = 768 wurmstichige Äpfel, so ergäbe sich das Wilso-Kofidezitervall [ 0,4747 0,5246] mit eier Läge vo 0,05. 29
Ahag Die Lösug der letztlich quadratische Gleichug (Wilso) h p = z σ σ = p (1 p) lautet: p 1/2 = p 1/2 = z2 h+ 2 ±z h(1 h)+ z2 4 +z 2 h+ z2 2 ± z h(1 h)+ z2 4 1+ z2 Werde die Terme z2 durch 0 ersetzt, so erhalte wir die Greze des Wald-Kofidezitervalls. p 1/2 = h± z h(1 h) [h z z h (1 h) h+ h (1 h)] [h z h (1 h) h+z h (1 h) ] 30
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