Fehlerrechnung 1
Messungen => quantitative Aussagen Messungen müssen zu jeder Zeit und an jedem Ort zu den gleichen Ergebnissen führen Messungen sind immer mit Fehler behaftet. => Angabe des Fehlers! Bespiel (Medizin): Bestimmung der Körpertemperatur mittels eines Thermometers.
Ziele: Fehler möglichst klein halten korrekte Angabe des Fehlers Was für Fehler gibt es? systematische Fehler zufällige Fehler 3
Systematische Fehler: treten bei wiederholter Messung immer in bestimmter Richtung auf, z.b. falscher Nullpunkt am Messgerät, Abhängigkeit von der Raumtemperatur, Thermometer, Blutdruck Zufällig (statistisch): bei wiederholter Messung streuen die Messwerte zufällig um den wahren Wert. => N-malige Wiederholung der Messung (Stichprobe) und anschließende Mittelwertbildung Nüsse, Blutdruck (arithmetischer) Mittelwert:
Messungen Wie kann ich Fehler klein halten? mehrfaches Messen (eventuell auch durch verschiedene Personen) & Mittelwertbildung über die Messmethode/verfahren nachdenken regelmäßige Eichung der Messgeräte (z.b. ph-meter) 5
Messungen Ist der absolute Fehler Δx der Messung abgeschätzt, so wird das Messergebnis angegeben: x = x ± Δx Sehr häufig wird auch der relative Fehler angegeben: Die Angabe des relativen Fehlers erfolgt üblicherweise in % des Messergebnisses.
Fehlerrechnung Bei der Vermessung eines Grundstücks ergibt sich eine Fläche von: = A ΔA Absoluter Fehler: Relativer Fehler: Relativer prozentualer Fehler:
Fehlerrechnung Gesunder Mensch Blutbilder Kranker Mensch Krebszellen http://www.vitalblutbild.de/3.html http://www.sciencephoto.com/images/download_lo_res.html?id=771320892
Fehlerrechnung Wie kann ich den Fehler bestimmen? 1. Mittelwert mit i = 1... N N: Anzahl Messungen x i : Wert der Stichprobe Andere Notationen: x = <x>
Häufigkeit Kapitel 2 Fehlerrechnung Wie kann ich den Fehler bestimmen? Häufigkeit: Anzahl Messwerte mit Wert x zwischen x i und x i+1 (z.b.: Anzahl Zellen mit Durchmesser zwischen 9.0 µm und 10.0 µm) 6 5 4 3 2 1 0 Histogramm 2.0 2.5 3.0
Häufigkeit Kapitel 2 Fehlerrechnung 1. Mittelwert mit i = 1... N s 2. Varianz 3. Standardabweichung Reaktionszeiten
Zur Übung 10) Zur Untersuchung des Stresses von Medizinstudenten vor der Physikklausur wird der mittlere systolische Blutdruck von fünf Studenten zu Beginn der Klausur gemessen. Gemessen werden folgende Werte: Bestimmen Sie den mittleren systolischen Blutdruck und seine Standardabweichung. Lösung: Mittelwert: p = 1 5 125 + 129 + 140 + 121 + 127 mmhg = 128,4 mmhg Standardabweichung: 1 s = ( 125 128.4 2 + 129 128.4 2 + 140 128.4 2 + 121 128.4 2 + 127 128.4 2 ) mmhg 4 = 7,1 mmhg Aus Klausur SS2011
Häufigkeit Kapitel 2 Fehlerrechnung 1. Mittelwert s 3. Standardabweichung (Anmerkung: oft wird nur der Betrag angegeben, d.h. das weggelassen.) 4. Standardfehler (Standardabweichung des Mittelwerts. Wie sicher ist der Mittelwert) 5. absoluter Messfehler Dx = m + w systematische Fehler
Zur Übung 5) Bei einem Patienten wird 6 mal hintereinander die Körpertemperatur gemessen. Dabei wurden folgende Werte erhalten: T = 37,4 C; 36,9 C; 37,0 C; 37,1 C; 37,4 C; 37,1 C Berechnen Sie a) den Mittelwert, b) die Standardabweichung c) die Standardabweichung des Mittelwerts dieser Messreihe und d) den relativen Fehler dieser Messung der Körpertemperatur. Lösung: a) Mittelwert: T = 1 6 37.4 + 36.9 + 37.0 + 37.1 + 37.4 + 37.1 C =37.15 C b) Standardabweichung: s= 1 5 ( 37.4 37.15 2 + 36.9 37.15 2 + 37.0 37.15 2 + 37.1 37.15 2 + 37.4 37.15 2 + 37.1 37.15 2 ) C = 0.21 C c) Standardabweichung des Mittelwerts: m = s = 0.21 C N 6 d) (prozentualer) relativer Fehler: m = 0.23% T = 0.085 C Aus Klausur SS2006
Zur Übung 3) Die Bestimmung der mittleren Größe von 25 Erythrozythen lieferte einen Mittelwert von 2,3 mm bei einer Standardabweichung von 0,3 mm. Die Größe von wievielen Erythrozythen müssten Sie bestimmen, um einen Fehler des Mittelwertes von 0,02 mm zu erhalten? (Nehmen Sie an, dass die Standardabweichung unabhängig von der Anzahl der Messungen ist.) N = 225 Aus Klausur SS2007 10) Die Reaktionszeit t eines Probanden wurde mehrfach gemessen. Die Ergebnisse sind: [0,6s / 0,3s / 0,4s / 0,3s / 0,4s / 0,5s / 0,4s / 0,3s / 0,4s]. Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung. (Geben Sie den Rechenweg an!) Mittelwert: t mittel = 0,4s Standardabweichung: s = 0,1s Aus Klausur SS2008
Häufigkeit Kapitel 2 Gauß-Verteilung Gauß-Verteilung f(x) bezeichnet die Häufigkeit von x (Messwert) falls die Breite des Intervals [x i, x i+1 ] -> 0 geht.
Gauß-Verteilung Gaußsche Glockenkurve (symmetrisch um den Mittelwert) Standardabweichung
Häufigkeit Kapitel 2 Gauß-Verteilung -2σ σ σ 2σ 2 2 68,3 % statistische Sicherheit 95,5 % statistische Sicherheit Standardabweichung besagt, wie sehr die Messwerte um den Mittelwert streuen.
Fehlerfortpflanzung
Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz Die zu messende Größe ist das Ergebnis anderer zu messenden Größen, z.b. ω: Kreisfrequenz ( ) T: Periode g: Ergbeschleunigung l Fadenlänge => Allgemein: R = R(x, y, z,..) z.b. Mittlerer absoluter Fehler (unabhängige Fehler) partielle Ableitungen der Größe R nach x, y, Pendel 20
Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz Beispiel: Fadenpendel
Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz Beispiel: Fadenpendel = ±
Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz Beispiel: Fadenpendel Beispiel: l = 1 m Δl = 5 10-2 m T = 2 s ΔT = 0.2 s Messung der Erdbeschleunigung weist Fehler von ± 2 m/s 2 auf. => Reduzierung des Fehlers durch wiederholtes Messen der Periode u. Länge
Zur Übung 11) Bei der Bestimmung einer Niederschlagsmenge S=V/A (Volumen pro Fläche) wurde in einem Regenmesser (Größe der Öffnung A = πr 2 ; Radius r = 0,1m) eine Wassermenge von V = 0,5l gesammelt. Der Fehler der Volumenmessung beträgt ΔV = 0,002l ; der Radius ist auf Δr = 0,001m genau bekannt. a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen S/ V und S/ r. b) Berechnen Sie unter Verwendung der partiellen Ableitungen aus a) den absoluten Größtfehler der Niederschlagsmenge ΔS. a) S/ V = 1/(πr 2 ) S/ r = V πr 2 r = (-2V)/(πr3 ) b) ΔS = 0,38l/m2 Aus Klausur SS2008
Zur Übung 3) Der Flächeninhalt A eines Quadrates soll bestimmt werden. Die Strecke h ist 50,0cm 1,0cm, die Strecke s ist 170,0cm 2,0cm lang. a) Wie groß ist der Flächeninhalt A? b) Welchen absoluten Fehler hat A nach Gauß scher Fehlerfortpflanzung? Aus Klausur Lösung: Schreiben sie A als Funktion von h und s auf (a 2 = s 2 + h 2 ). => Berechung der partiellen Ableitungen A/ h und A/ s.