Aufgaben zu Vobeeitung Technik Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite
Test Anhand des ausgegebenen Tests können Sie selbständig emitteln, wo Ihe Schwächen und Lücken liegen. Die Aufgaben sollen soweit wie möglich ohne Taschenechne gelöst weden. Insbesondee sollen Sie quadatische Gleichungen mit de Lösungsfomel lösen, die Gleichungssysteme ohne Taschenechne lösen, kein Gafikdisplay vewenden und keinen Solve. Die Püfungen in Mathematik weden ohne Taschenechne ode mit einem einfachen Taschenechne (ohne Gafikdisplay, nicht pogammieba) geschieben!. Pozentechnung: Ihnen liegt eine Bestellung von.900 Büoleuchten vo. Efahungsgemäß entsteht bei de Hestellung ein Ausschuss von 5%. Wie viel Büoleuchten müssen gefetigt weden, um die volle Bestellmenge liefen zu können?. Buchechnung: Fassen Sie zu einem Buch zusammen, und küzen Sie soweit wie möglich. a) + 5 6 b) a b (Hinweis: Wenden Sie eine binomische Fomel an.) a(a + b) c) abc b a a b ( b)c a. Potenzgesetze: Veeinfachen Sie ( ) y a) ( y ). Wuzelgesetze: Veeinfachen Sie y b) y c) ( y ) a b 5 a b a b 6 5 5. Veeinfachen Sie a) a + + b c b) ( p + q p q ) Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite
6. Taschenechne: Beechnen Sie die folgenden Ausdücke mit Hilfe des Taschenechnes auf Nachkommastellen genau. b) ( 5 ) ( 5 + ) a) c) 6 d) sin,5 e) ln e + f) e ) ln( + g) ln9 e + Gleichungsumstellung: 7. Lösen Sie die Gleichungen nach de angegebenen Vaiablen auf: a) 0 = 0.000q.500 (q ) nach q a + b b) y = F nach b c) k y y = b y + a nach y 8. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach auf: a) = 0 + + b) 00 = + 0 + 50 9. Bestimmen Sie die Nullstellen de Funktion f() = (-)(+). 0. Logaithmengesetze: Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach auf: a) 00 50 0, = e b) e e = 0 c). Folgen und Logaithmus: e + e y =, 0 Ein Waldbestand wid auf Mill. m, sein jähliche Zuwachs (bezogen aufs Vojah) auf % geschätzt. a) Wie goß ist gemäß diese Schätzung de Holzbestand nach 0 Jahen, wenn in de Zwischenzeit kein Einschlag efolgt? b) Nach welchem Zeitaum ist de Waldbestand auf, Mill. m angewachsen? Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite
Gleichungssysteme:. Geben Sie alle Lösungen de Gleichungssysteme an: a) - y = + y = b) - y = - y =. Bestimmen Sie die Lösungen des Gleichungssystems + + + = = 6 =. Diffeenzialechnung, Anstieg, Tangente: Gegeben sei die Funktion f() = - + 5. a) Beechnen Sie die Koodinaten desjenigen Punktes, in dem die Funktion den Anstieg hat. b) Bestimmen Sie fü diesen Punkt die Gleichung de Tangente an den Gafen von f(). c) Welchen Winkel bildet die Tangente mit de - Achse? 5. Diffeenzialechnung, Kuvendiskussion: Gegeben sei die Funktion Bestimmen Sie von diese Funktion f() = + 6 +,. 0 a) alle Nullstellen, b) alle Etemwete und c) alle Wendepunkte. 6. Integalechnung: Gegeben ist die Funktion f() = ( - ) ( + ). Gesucht ist die Fläche, die von f(), de - Achse und den Senkechten = und = 6 begenzt wid. Tigonometische Funktionen: 7. Lösen Sie sin tan = 0, 0 < π (Hinweis: Esetzen Sie tan duch die Funktionen sin und cos.) 8. Fü welche mit 0 <π gilt a ) sin = b) tan + tan = 0 Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite
9. Betäge, Ungleichungen: a) + b) + 8 < 0 Aufgaben Gleichungen. Logaithmus- und Eponentialgleichungen. Scheiben Sie zuest das Egebnis mit Hilfe des Logaithmus, veeinfachen Sie, und dann echnen Sie es aus. a) e u = 5 b) 0 = 0,0000 c) = 000 Veeinfachen Sie die folgenden Ausdücke:.. log/ b b + logb b b a a log log 8 b (b > 0,b ) (b 0) Lösen Sie die folgenden Gleichungen:. e cos = 5. lg ( - 5) =,5 ( >,5) 6. ln +, 5 ln = ln( ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen. Hinweis: Die Gleichungen gleich zu potenzieen bzw. zu logaithmieen füht bei 7. und 9. zum Ziel. Im Allgemeinen müssen Sie die Gleichung est nach eine geeigneten Vaiablen umstellen (0..). So ehalten Sie bei diesen Aufgaben eine quadatische Gleichung, deen Lösungen potenziet bzw. logaithmiet weden kann. 7. e = 8. (lg ) lg = 9. ln ( - ) = ln + ( >) 0. + - - 5 = 0. e + e - = 0 lg lg,. 5 = Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 5
. Tigonometische Funktionen. Fü welche mit 0 <π gilt a) sin = b) cos = c) sin( + ) + cos = π 0 d) cos + sin = e) tan + tan = 0 f) cos sin =. Bestimmen Sie alle eellen Lösungen de tigonometischen Gleichungen: a) tan ( + ) = b) cos( ) = c) sin = sin Lineae Gleichungssysteme Lösen sie die folgenden lineaen Gleichungssysteme bevozugt mit dem Additions- bzw. Gaußvefahen.. + + =. + - = 6. + + = + 5 + = + + = + + = - - = 5 - - = + + = + + =. + - + = - 5. + + = + + + = - + = + - 5 + 8 = - + + = - + - 5 + = -7 + + + = 5 6. - + = 7. + y - z = - 8. + - = -9 + - = + y + z = - - + = 7 - + 7 = 6 + y - 5z = - - + + = 0 9. + y - z - u = -7 - + y + z + u = + y + z - u = 5 - y - z - u = -9 Diffeenzialechnung. Ableitungsegeln Diffeenzieen Sie die folgenden Funktionen: Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 6
. a) f () = sin, 0 b) f() = sin( + ) c) f() = + sin( ) n d) f() = sin( + ), n n IN e) f() = sin ( + ), n IN f) g(t)=a cos (α t + β).. a) + f () = b) 6 + sin + cos f() = c) a + b f() = c + d d) f()= e + ln sin e) + f () = f) f() = tan. a) d) f () = sin b) f () = ( + ) c) f () = f () = cot e) f() = ln tan f) f () = ( a + b + c) 5 e. a) y = ( +5) 7 b) y = + c) f () = + d) y = - 5. a) y = sin - cos b) f (t) = sin (5 t - ) c) y = ( - tan ) sin + d) y = cos 6. a) y = ln b) y = ln sin c) y = (ln ) d) f (t) = ln t t e) y = e f) y = g) y = e 5 + + e 7. a) y = ln - b) y = h) y = e sin ln e c) f (t) = e cos ω t d) y = ln ( e ). Einfache Anwendungen. Bestimmen Sie die Winkel, unte denen die Kuven de Funktionen die - Achse schneiden: a) f () = ( - ) b) f () =. An welchen Stellen de Kuve mit de Gleichung f () = - 9 - + bildet die Tangente mit de - Achse einen Winkel von 5? Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 7
. Unte welchem Winkel schneiden die Kuven de Funktionen y = und y = einande? Es ist de spitze Schnittwinkel anzugeben.. An welchen Stellen de Kuve mit de Gleichung y = 0, +, + 0,8 - bildet die Tangente mit de Achse einen Winkel von 5? 5. Wo haben die folgenden Kuven f() waageechte Tangenten? a) f() = = 6,6 +, -,8 b) f() = ln (,5 cos ) 6. Die Tangentengleichung fü den Punkt 0 ist aufzustellen. a) y = -; 0 = ½ b) y = - + ; 0 = - ½ c) y = e - cos ( + π); 0 = 0. Etemwetaufgaben. Bestimmen Sie das Rechteck, das bei gegebenem Umfang U seinen gößten Flächeninhalt hat.. Einem Kegel mit Gundkeisadius und Höhe h soll ein Zylinde mit maimalen Volumen einbeschieben weden. Bestimmen Sie die Abmessungen und das Volumen dieses Zylindes.. Fü welche Punkte (,y) de Paabel y = wid de Abstand d () vom Punkt P (;) etemal (Falluntescheidung!)? Hinweis: = -. Rekonstuktion von Funktionen. Die Kuve eine ganzationalen Funktion de Fom f () = a + b + c schneidet die y - Achse bei y = 6 und steigt im Punkt P (-;0) unte dem Winkel - 5 an. Emitteln Sie die Gleichung de Funktion.. Wie heißt die ganzationale Funktion. Gades, deen Kuve die folgenden Bedingungen efüllt? Die Kuve hat im Punkt ( ; -) den Anstieg - und schneidet die Koodinatenachsen in = und y =.. Bestimmen Sie die ganzationale Funktion. Gades, die im Punkt (; 0) ein elatives Maimum besitzt. Außedem hat f() in = eine Wendestelle. Die Wendetangente besitzt an diese Stelle den Anstieg -. (Sekundastufe II Sachsen). Bestimmen Sie die ganzationale Funktion. Gades, die symmetisch zu y Achse liegt, in (0; ) einen Wendepunkt hat und duch (; ) veläuft. (Sekundast. II Sachsen) Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 8
.5 Kuvendiskussion Fühen Sie eine Kuvendiskussion de folgenden Funktionen duch (insbesondee Nullstellen, Etema, Wendepunkte, Skizze):. y = 5 5. f() = ln. y = 9. in Abhängigkeit von µ, σ (Gaußsche Glockenkuve ode Nomalveteilung) ( µ ) f( ) = ϕ ( ; µ, σ) = e σ mit µ, σ > 0 π σ Integalechnung. Beechnen Sie folgende bestimmte Integale: 9 b a) d b) d c) ( + + )d d) d a 0 5 π, e) ( + )d f) (sin + cos )d g) d h) d 0 5 o, +. Beechnen Sie die folgenden unbestimmten Integale: a a a a) + + d (a IR, 0) b) d sin c) d d) d (Hinweis: sin cos ) e d + + + cos + = Beechnen Sie den Flächeninhalt, de von folgenden Kuven eingeschlossen wid:. f() = und g() = Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 9
. f() = - 0,5 + 6 und g() =,5 + 5. f() = cos und g() = sin (Nu eine Fläche beechnen.) 6. y = - + 6 und y = - + 5 + 7. y = - ( - ) und y = -. 5 Vektoechnung. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von den Vektoen a und --> b aufgespannten Paallelogamms a) a = 0 5, b = b) a = - 0, b =. Duch die Punkte A = (,, - ), B = (,,0) und C = (-,,) wid ein Deieck festgelegt. Beechnen Sie die Länge de Seiten, die Winkel im Deieck sowie den Flächeninhalt.. Bestimmen Sie die Koodinaten des Punktes Q, de vom Punkt P = ( ; ;- 5 ) in Richtung des Vektos a = - 5 0 Längeneinheiten entfent ist.. Welchen Winkel schließen die Vektoen a und b mit einande ein? a) a = -, --> b = b) a = 0-5 0 c) a = i j + 5k, a = i 0 k 5. Bestimmen Sie die Lage de Geaden zueinande. a) g : λ = + g : = + λ 6 b ) g : λ = + g : = + λ 7 6 c) g : λ = + g : = 0 + λ d) g : λ = + g : = + λ, --> b = - - 0,5. Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 0
6. In einem katesischen Koodinatensystem sind die Punkte A t (t; t; ), B t (; t + ; -) und C t ( t; 5; t - ) mit t IR gegeben. Bestimmen Sie alle Paamete t, fü die das Deieck ABC gleichseitig ist. (Abitu Sachsen) 7. In einem katesischen Koodinatensystem seien die Punkte A ( ; ; 0) und B ( -; -; 0) gegeben. Beechnen Sie die Koodinaten alle Punkte C i de - y - Ebene, fü die die Deiecke ABC i echtwinklig sind ( AB AC i ) und einen Flächeninhalt von 0 FE haben. (Abitu Sachsen) 0 8. Duch die Gleichung = 0 + t (t IR) a wid fü jedes a R eine Geade g a bestimmt. a) Fü welches a besitzt die zugehöige Geade g a mit de de Geaden h: 0 = + t (t IR) genau einen Schnittpunkt P? Beechnen Sie die Koodinaten von P und den Schnittwinkel zwischen den Geaden g a und h. b) Emitteln Sie alle Wete von a, bei denen sich eine Geade i a mit dem Richtungsvekto a + b = 5 mit de Geaden g a im Punkt Q a ( + a; -; - - a) othogonal schneidet. (Abitu a Sachsen) Lösungen - Test. Beachten:.900 = 95%,.900. 00 / 95 =.000. a) 5 + a + b b). binomische Fomel: c) 6 a. mit den Potenzgesetzen echnen a) y b) y c). Die Wuzeln als Potenzen scheiben und dann mit den Potenzgesetzen abeiten: a b 5. a) Est den Nenne auf einen gemeinsamen Nenne bingen, dann den Kehwet nehmen: abc bc + ac + ab b) ( p p q ) 6. a),80 b) c) 0,5 d) 0,9975 (Bogenmaß) e) f),69 g) 8,58 = (e) 7. a) 5 b) F c) a y 8 y 8. a) b) quadatische Gleichung: 5; 5 a k b Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite
9. sofot ablesba (eine Gleichung wid Null, wenn eine de Faktoen Null wid einpägen!):, - (-fach) 0. a) 0 ln =,869 b). e liefet: e = ½, c) e + e y = e Lösungen ( ) = ± ln = füht auf die quadatische Gleichung e ye + = 0 mit den e y y ; = ln y y entfällt, da y y < und damit, = ln < 0, abe voausgeseztzt wude y 0; y y einzige Lösung = ln + y y. a) geometische Folge: a =.,0 0 = 6.86.795,0 m, ln b).,0 k =,; k = = 8,5 Jahe ln,0. a) =, y = b) unendlich viele Lösungen : = λ +, y = λ mit λ IR. mit Hilfe des Additionsvefahens müssen nu Gleichungen umgefomt weden: =, = -, = -. a) Anstieg eine Funktion = Anstieg de Tangente =. Ableitung in diesem Punkt f () = = = 0 P(0;5) b) Geadengleichung: y = m + n; m = -; P(0;5) einsetzen: 5 = -. 0 + n n =5 y = - + 5 c) tan α = - α = -7,6 + 80 = 08, 5. Nullstellen: 0; 6,98; -,98; Etemwete: P(;.698,) Maimum; P(-;-6,) Minimum Wendepunkte: P(0;.86) 000 500 000 500 000 y 500 000 500 f() = - 0, + 6 +, 0-5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5-500 Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite
6. Nullstellen: ; -; 0 (siehe auch Hinweis unte 9.), im Intevall [, 6] muss nu die Nullstelle beachtet weden, das heißt das Integal muss an diese Stelle geteilt weden: )( + ) d + 6 (...; Bestimmung de Stammfunktion, dazu die Klammen aus- multiplizieen: ( 6) d = ; Genzen einsetzen: 5,08+59,75 = 6,8 FE 7. sin tan =, dann. cos liefet: sin ( cos ) = 0 sin = 0 und cos = ½ cos 0, 80, 60, 00 (ode in Bogenmaß), Beachten: Es gibt mehee Lösungen fü sin und cos. 8. Beachten: Es gibt mehee Lösungen fü tan und sin a) 0, 00 sin( + ) π b) Additionstheoem: = 0 sin() = 0 = kπ = k, k Z cos cos() tan ode alles auf tan bingen, dazu Additionstheoeme fü tan anwenden: tan = tan liefet: tan ( - tan + ) = 0 0, 80, 60, 0, 0, 00 = 60 k, k Z fü 0 8 9. a) Falluntescheidung: = füht auf 0; fü < 0 b) quadatische Gleichung lösen und in Lineafaktoen zelegen: ( )( + ) < 0, ; Falluntescheidung de Faktoen füht auf ( ) Lösungen - Aufgaben Gleichungen. Logaithmus- und Eponentialgleichungen. a) ln 5,609 b) lg 0,0000 = lg (. 0-5 ) lg 5 -,6989 c) lg 000/ lg = / lg 9,966. = b, also log b = und b - = b, also log = b b - - = - b b a. = =, also log = a b a log 8 = a( log + log ) = a b Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite
. Logaithmieen mit ln: cos = ln = 0 = π/ + k π mit k IZ (unendlich viele Lösungen ; IZ = Menge alle ganzen Zahlen) 5. Potenzieen: 5 = 0,5 9,557 6. Est nach ln auflösen: ln + ln = ln + ln ; ln = ln = 7. Logaithmieen füht zu de quadatischen Gleichung: ln = 0 ; zwei Lösungen: =,0 und = -0,0 8. Lösung de quadatischen Gleichung: ( lg ) lg = 0 u = lg ) liefet : lg = und lg = - = 00 ; = 0, ln + (eventuell Substitution: 9. Potenzieen mit e: = e = e ; Lösung de quadatischen Gleichung: e = 0 liefet =,065 ; = 0,8 entfällt, da < 0. Gleichung mal liefet die quadatische Gleichung: 5 + = 0 (eventuell Substitution: u = ) ; Lösungen: = = ; = = 0. Tigonometische Gleichungen. Beachten, dass die tigonometischen Funktionen im entspechenden Intevall mehee Lösungen haben. a) π 5, π b) Wuzel ziehen ( Lösungen), dann nach auflösen: π, 6 5π, 6 7π π, 6 6 c) z.b. nach cos umstellen, liefet quadatische Gleichung fü cos mit de Lösung (- entfällt), dann nach auflösen: = 0 d) z.b. mit Hilfe von cos = ± sin Gleichung duch Quadieen nach sin umstellen, π liefet quadatische Gleichung fü sin mit de Lösung 0 und : = 0, (Pobe ist wegen Quadieen notwendig, daduch entfällt die Lösung π) e) Gleichung mit Hilfe de Additionstheoeme nach tan umstellen, liefet quadatische Gleichung fü tan mit de Lösung ±, dann = 0; π ; π ; π ; π ; ; 5π f) analog d) ode Kuvenbetachtung liefet: keine Lösung Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite
. 0 607 π 07 0 07 a) k =, + k, k Z b) k =, + k π, k =, + k π, k Z π π c) = + k π, = + k π, k Z k k Lineae Gleichungssysteme. L={(; -; )}. L={(; -; -)}. L={(- ; 7 ; ; )}. unendliche viele Lösungen, - dimensionale Lösungsmenge L={( - - s; -5 + - s; ; s, s IR)} 5. unendlich viele Lösungen, L={( - s; s; - s ; s s IR)} 6. keine Lösung 7. keine Lösung 8. L={(, -; )} 9. L={(-; ; ; )} Diffeenzialechnung. Ableitungsegeln. a) cos b) cos ( + ) c) cos ( ) d) n n- cos ( + n n ) e) nsin ( + ) cos(+) f) - α a sin (α t + β). a) b) c) d) 6 8 5 9 + 70 6 ( 6 + ) cos sin sin cos ad bc (c + d) + e (sin cos ) + sin ln cos sin Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 5
6 e) ( ) tan ( tan ) f) tan. a) cos b) ( + ) c) 6 d) e) cot + tan sin f) 5( a + b + c) ( a + b) + e. a) y = ( + 5) 6 b) + c) + + d) + ( - ) 5. a) sin b) 5 cos (5 t - ) c) - ( - tan ) cos d) + sin cos = - sin 6. a) ( ln + ) b) cot c) 7. a) (ln ) d) - ln t t e) e ( - ) f) ln g) 5 e 5 + + e d) + - h) e ( sin + cos ) b) e ( - ln ) c) - ω sin ω t ecos ω t. Einfache Anwendungen. a) = 0, α = 0,0 und = ±, α = 8,87 b) =, α = 70,5 und = -, α = 09,7. = - und =. Schnittpunkte = = 0; = f() =, f () = ; f (0) = 0 = tan α α = 0 Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 6
g() = ; g () = ; g (0) = = tan β β = 5 (0;0): β - α = 5 und (;): actan 5 = 8,. f () = tan 5 = - = -, = - 5. a) f () = 0 -, + 0, = 0 =, = 0, b) kπ/, k Z 6. a) f (0,5) = - = m; y = m + n = - + n, (0,5; -) einsetzen: y = / ode y y0 Tangentengleichung = m = f () 0 b) - + c) y =. Etemwetaufgaben. und y seien die Seiten des Rechtecks, dann = y = U/ und A = U /6, d.h. das Rechteck ist ein Quadat.. ges.: Höhe h z, Radius z des Zylindes; laut Ähnlichkeitssatz gilt: h h z = ; nach h z umstellen und in V des Zylindes einsetzen, V( z ) = π z h - π z h/ ma ; z = /, h z = h/, V = /7 h π. Abstand: d = ( ) + (y ) = ( ) + ( ) ma/ min, füht auf 6 = 0, Minimum: P (-; ) d = 5; Maimum: P(/ - /; - /); d = / + / absolutes Minimum: P (/ + /; + / ) d = / - /. Rekonstuktion von Funktionen. y = + 5 + 6. Ansatz: y = a + b + c + d; (0;) f(0)=d = ; (;0) f() = 6a + 6b + c + = 0 (;-) f() = 8a + b +c + = - f () = a + b + c = - füht auf lineae Gleichungen mit Unbekannten: f() = 0,5,5 - +. Ansatz: f() = a + b + c + d; folgenden Bedingungen müssen efüllt sein: (; 0): f() = a + b+ c + d = 0 Ma: f () = a + b + c = 0 Wendestelle: f () = a + b = 0 Anstieg -: f () = a + b + c = - Lösung de lineaen Gleichungen mit Unbekannten füht auf: a =, b = -6, c = 9; d = - z Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 7
Übepüfen de hineichenden Bedingung nicht vegessen: f () = -6 < 0 und f ()=6 0 efüllt f() = 6 + 9. Ansatz: f() = a + b + c + d + e; folgenden Bedingungen müssen efüllt sein: Symmetie zu y Achse: f() = a + c + e (0; ): f(0) = e = ; (; ): f() = a + e = ; f (0) = c = 0 füht auf f() = + Übepüfen de hineichenden Bedingung nicht vegessen: f (0) = 0, f () (0) = > 0, deshalb liegt an diese Stelle ein Minimum vo und kein Wendepunkt, keine Funktion efüllt diese Eigenschaft!.5 Kuvendiskussion. D = R ungeade, d.h. zentalsymmetisch zum Uspung 0 5 5 Nullstellen: ; ; 6 6 Etempunkte: P ma ( ; 5 ); P min( ; 5 ) Wendepunkte: (0; 0) Sattelpunkt; (-,;,9); (,; -,9). D = ( 0 ; ) Nullstellen: Etempunkte: P min( ; e ) e Wendepunkte: (0,; -0,075). D = R \ { ; } Nullstellen: -, Polstellen: -, 0 Etempunkt: P ma ; 9 Wendepunkte: keine Asymptote: y = (Vehalten fü ± ). Gaußsche Glockenkuve: Velauf siehe 0 DM - Schein keine Nullstellen, symmetisch bei = µ, Etempunkt: P µ,, π σ Wendepunkte: Pµ + σ,, Pµ σ, π e σ π e σ Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 8
Integalechnung 8 8 6. a) b) ( b a ) c), d) e) ln +, π f) g) mit Bogenmaß abeiten: π h) mit Bogenmaß abeiten: a a. a) ausmultiplizieen: aln C + b) ausmultiplizieen und Buch zelegen: ln + + C 8 8 7 c) mit Potenzen abeiten und nach den Potenzgesetzen zusammenfassen: + C d) fü sin tigonometischen Pythagoas einsetzen,. Binomische Fomel anwenden und küzen: sin + C e) Buch mit dem Wuzelausduck + eweiten: ( + ) +C 0.... +... = 8 FE 0 7,.... =,87 FE, 70 5. 5 π... π =,8 FE 6. A = FE (Schnittpunkte: =, =) 7. A = 5/6 FE ( Schnittpunkte: = 0, = 5) 5 Vektoechnung. a) Ia b I = 5 + + = 8,89 FE b) 5,6 FE. I a I= ( 0 ) T = 0, I b I = ( ) T = 9, I c I = ( ) T cos α = bo c = b c - + 9 + 8 9. 7, α = 5,6 ;analog β, β = 77,7, = 7 Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 9
γ = 80 α β = 8,7 ode analog wie oben A = AB AC = 9 FE ode A= I b I I c I sin α = 9 FE. ( Q ) = ( P ) + 0 a =,9 -, a 6,. cos α = a b o a) α = 79,9 b) α = 5, c) α = 57,90 a b 5. a) g II g und g g b) g = g c) S(-5; ; 0) ; 8, (spitze Winkel) d) windschief 6. a b, a c, b c in Abhängigkeit von t bestimmen, gleichsetzen von Abständen und lösen de quadatischen Gleichung: t = 0/ entfällt (da de. Abstand dann andes ist), t = Lösung 7. C i (,y,0), echtwinklig, also Skalapodukt = 0 und A =0, damit und y bestimmen: C (8,-,0), C (-,7,0) 8. a) a = -; P(; ; 0), Skalapodukt 70,5 b) Skalapodukt = 0 a =, a = - ; Schnittpunkt übepüfen: Q (, -; -7) g, d.h. Q ist nicht Schnittpunkt, a = entfällt; Q - (-; -; 8) g - Q - i - a = - Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite 0