Untersucht wird die ewegung eines Punktes P in ezug auf zwei ezugssysteme: ezugssystem Oxyz ist ruhend: Ursprung O Einheitsvektoren e x, e y, e z Koordinaten x, y, z ezugssystem ξηζ bewegt sich: Ursprung Einheitsvektoren b ξ (t), b η (t), b ζ (t) Koordinaten ξ, η, ζ 1.1-1
ζ P z r P b ζ b e z η b ξ r P η e x O e y y r ξ x 1.1-2
eispiel: Eisenbahnwaggon in der Kurve Das ezugssystem Oxyz ist fest mit der Erde verbunden. Es hat seinen Ursprung z.. in einem ahnhof. Zur eschreibung von Vorgängen im Waggon wird ein ezugssystem ξηζ verwendet, das fest mit dem Waggon verbunden ist. Sein Ursprung liegt in einem festen Punkt des Waggons. Der Ursprung bewegt sich mit der Geschwindigkeit des Waggons. In einer Kurve ändern gleichzeitig die Einheitsvektoren b ξ, b η und b ζ laufend ihre Richtung. 1.1-3
Zusammenhang der Koordinatensysteme: Der Zusammenhang zwischen den Einheitsvektoren e x, e y, e z und b ξ (t), b η (t), b ζ (t) wird durch den Drehtensor R(t) beschrieben: b t =R t e x, b t =R t e y, b t =R t e z Der Drehtensor ist ein orthogonaler Tensor: R T t R t =R t R T t =I Damit gilt auch: e x =R T t b t, e y =R T t b t, e z =R T t b t 1.1-4
Zeitliche Ableitung von Vektoren: Sei V(t) ein beliebiger Vektor. Er lässt sich schreiben als V (t)=v ξ (t )b ξ (t)+v η (t)b η (t )+V ζ (t )b ζ (t ) Seine zeitliche Ableitung ist V (t)= V ξ (t )b ξ (t)+ V η (t)b η (t )+ V ζ (t )b ζ (t ) +V ξ (t)ḃ ξ (t )+V η (t )ḃ η (t)+v ζ (t)ḃ ζ (t) Ein mitbewegter eobachter sieht nur den ersten Anteil: d V dt = V ξ b ξ + V η b η + V ζ b ζ 1.1-5
Dieser Anteil ist die zeitliche Änderung des Vektors relativ zum ezugssystem ξηζ. eispiel: ζ P Q r PQ η 1.1-6
eim Öffnen der Schiebetür in einem Eisenbahnwaggon ändert sich der Vektor r PQ t = Q t P b Ein eobachter im Waggon beobachtet die zeitliche Änderung d r PQ = Q b dt relativ zum Waggon. Ein ruhender eobachter sieht die gesamte, absolute zeitliche Änderung. Im angeführten eispiel ist das ein eobachter, der außerhalb des Waggons steht. 1.1-7
Die zeitlichen Ableitungen der Einheitsvektoren berechnen sich zu ḃ t =Ṙ t e x =Ṙ t R T t b t ḃ t =Ṙ t e y =Ṙ t R T t b t ḃ t =Ṙ t e z =Ṙ t R T t b t Damit folgt: V = d V dt +Ṙ R T (V ξ b ξ +V η b η +V ζ b ζ )= d V dt +Ṙ R T V 1.1-8
Aus R t R T t =I folgt: 1. Kinematik d dt ( R RT )=Ṙ R T +R Ṙ T =0 Ṙ R T = R Ṙ T = ( Ṙ R T ) T Der Tensor Ṙ R T = ist also antimetrisch. Daher gibt es einen Vektor ω, so dass für jeden beliebigen Vektor V gilt: ΩV =ω V Der Vektor ω ist der Vektor der Winkelgeschwindigkeit, mit der sich das bewegte Koordinatensystem dreht. Seine Richtung entspricht der momentanen Drehachse und sein etrag der momentanen zeitlichen Änderung des Winkels. 1.1-9
Zwischen der absoluten zeitlichen Änderung eines Vektors und seiner zeitlichen Änderung relativ zu einem Koordinatensystem, das sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω dreht, besteht also der Zusammenhang: V = d V dt +ω V 1.1-10
Ortsvektoren: Für den Ortsvektor des Punktes P im System Oxyz gilt r P =r r P Dabei ist r P = b t b t b t der Ortsvektor des Punktes P im System ξηζ. 1.1-11
Geschwindigkeiten: Ein mit dem System ξηζ bewegter eobachter misst die Relativgeschwindigkeit v P = d r P dt = b b b Ein im System Oxyz ruhender eobachter misst die Absolutgeschwindigkeit v P =ṙ P =ṙ ṙ P =v r P v P 1.1-12
Für die Absolutgeschwindigkeit gilt also: Dabei ist v =ṙ die Geschwindigkeit des Punktes, die ein eobachter im System Oxyz misst, v P v P =v r P v P die Geschwindigkeit des Punktes P, die ein mitbewegter eobachter im System ξηζ misst, r P der Ortsvektor des Punkts P im System ξηζ, und die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich das System ξηζ dreht. 1.1-13
Die Absolutgeschwindigkeit setzt sich zusammen aus der Führungsgeschwindigkeit v f =v r P und der Relativgeschwindigkeit v r = v P Die Führungsgeschwindigkeit v f ist die Geschwindigkeit, die der Punkt P hätte, wenn er im System ξηζ ruhen würde. Die Relativgeschwindigkeit v r ist die Geschwindigkeit, die ein im System ξηζ mitbewegter eobachter misst. 1.1-14
eschleunigungen: Die Absolutbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Absolutgeschwindigkeit: a P = v P = v d dt r P v P v =a ist die eschleunigung des Punktes im System Oxyz. Die eschleunigung v P berechnet sich zu v P = d dt b b b = d v P dt v P 1.1-15
Die eschleunigung 1. Kinematik a P = d v P dt = b b b ist die eschleunigung, die ein mit dem System ξηζ bewegter eobachter misst. Der zweite Summand berechnet sich zu d dt r P = r P ṙ P = r P d dt = r P v P r P r P r P 1.1-16
Damit gilt für die Absolutbeschleunigung: a P =a r P r P a P 2 v P Führungsbeschleunigung a f Relativbeschleunigung a r Coriolisbeschleunigung a c 1.1-17
Die Führungsbeschleunigung a f ist die eschleunigung, die der Punkt P hätte, wenn er im System ξηζ ruhen würde. Sie setzt sich zusammen aus der eschleunigung a des ezugspunktes, der eschleunigung r P infolge der Drehbeschleunigung, und der Zentripetalbeschleunigung r P Die Relativbeschleunigung a r ist die eschleunigung, die ein im System ξηζ mitbewegter eobachter misst. 1.1-18
Die Coriolisbeschleunigung a c steht senkrecht auf ω und v P. Sie verschwindet für ω = 0 oder v P = 0 oder wenn ω und v P parallel sind. 1.1-19
Veranschaulichung der Coriolisbeschleunigung: Der Punkt P bewege sich auf der mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Scheibe mit der konstanten Relativgeschwindigkeit v P nach außen. 1. Kinematik u v P P r P ω 1.1-20
Während der Zeit Δt vergrößert sich der Abstand des Punktes P vom Drehpunkt um r= v P t. Dazu muss sich die Umfangsgeschwindigkeit um u= r= v P t vergrößern. Das entspricht einer eschleunigung von a 1 = v P. Gleichzeitig ändert sich infolge der Drehung die Richtung des Vektors v P. Daraus resultiert eine eschleunigung von a 2 = v P Die gesamte eschleunigung ist daher a c =a 1 a 2 =2 v P 1.1-21
eispiel: Roboterarm 1. Kinematik L 1 v L ω 2 C L 2 H ω 1 φ 2 D O 1.1-22
Gegeben: 1. Kinematik Der Roboter dreht sich um die Achse O mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω 1. Der Arm C wird mit einer konstanten Geschwindigkeit v L ausgefahren. Der Arm CD wird mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω 2 geschwenkt. Gesucht: Geschwindigkeiten und eschleunigungen des Punktes D 1.1-23
Koordinatensysteme: ζ 1. Kinematik b ζ b ξ ξ C z φ 2 D e z O x e x 1.1-24
Koordinatensystem Oxyz ist ruhend: Ursprung O Einheitsvektoren e x, e y, e z Koordinaten x, y, z Koordinatensystem ξηζ rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 um die Achse O: Ursprung Einheitsvektoren b ξ, b η, b ζ Koordinaten ξ, η, ζ Alle Ergebnisse werden im Koordinatensystem ξηζ angegeben. 1.1-25
Ortsvektor von Punkt D: Für den Ortsvektor von Punkt D im Koordinatensystem ξηζ gilt: r D =r C r CD Mit r C =L 1 (t)b ξ und r CD =L 2 sin 2 b cos 2 b =L 2 sin 2 t b cos 2 t b folgt: Relativgeschwindigkeit von Punkt D: Mit berechnet sich die Relativgeschwindigkeit zu v D r D =( L 1 (t)+l 2 sin(ω 2 t)) b ξ L 2 cos(ω 2 t )b ζ L 1 =v L = d r D dt = v L 2 L 2 cos 2 t b 2 L 2 sin 2 t b 1.1-26
Das gleiche Ergebnis folgt auch aus der Überlegung, dass sich für einen mit dem System ξηζ bewegten eobachter der Punkt D mit der Winkelgeschwindigkeit ω 2 um Punkt C dreht, der sich mit der konstanten Geschwindigkeit v L bewegt: Führungsgeschwindigkeit von Punkt D: Wegen v = 0 gilt: v D =v L 2 r CD v f = 1 r D = 1 b [ L 1 L 2 sin 2 b L 2 cos 2 b ] = 1 L 1 L 2 sin 2 b Diese Geschwindigkeit hätte der Punkt D, wenn er im System ξηζ in der momentanen Lage in Ruhe wäre. 1.1-27
Absolutgeschwindigkeit von Punkt D: Die Absolutgeschwindigkeit berechnet sich zu v D =v f + v D =( v L +ω 2 L 2 cos(ω 2 t)) b ξ +ω 1 ( L 1 (t )+L 2 sin (ω 2 t)) b η +ω 2 L 2 sin (ω 2 t)b ζ Relativbeschleunigung von Punkt D: Die Relativbeschleunigung berechnet sich zu a D = d v D dt = 2 2 L 2 sin 2 t b 2 2 L 2 cos 2 t b = 2 2 r CD Die Relativbeschleunigung ist gleich der Zentripetalbeschleunigung infolge der Kreisbewegung um Punkt C. 1.1-28
Führungsbeschleunigung von Punkt D: a =0 1 =0 a f = 1 1 r D = 1 b [ 1 b L 1 L 2 sin 2 b L 2 cos 2 b ] Mit und folgt für die Führungsbeschleunigung: = 2 2 1 b L 1 L 2 sin 2 b = 1 L 1 L 2 sin 2 b Die Führungsbeschleunigung ist gleich der Zentripetalbeschleunigung infolge der Drehung um die Achse O, wenn Punkt D im System ξηζ in der momentanen Lage in Ruhe wäre. 1.1-29
Coriolisbeschleunigung von Punkt D: Die Coriolisbeschleunigung berechnet sich zu a c =2 1 v D =2 1 b [ v L 2 L 2 cos 2 t b 2 L 2 sin 2 t b ] =2 1 v L 2 L 2 cos 2 t b Absolutbeschleunigung von Punkt D: Die Absolutbeschleunigung berechnet sich zu a D =a f a D a c = [ 2 1 L 1 2 1 22 L 2 sin 2 t ]b 2 1 v L 2 L 2 cos 2 t b 2 2 L 2 cos 2 t b 1.1-30