Siegfried Völkel u.a. Mathematik für Techniker 7., neu bearbeitete und erweiterte Auflage
=, = + 4 6 4 = + = =, = 0 0 = = 4 0 4 = 4 6 0, 4 0 0 0 4 = = = = 4 = = = 4 0 4 0 = = = 4 7 = 6 4 4 0 4 = + + 0 = + 4 0 0 = + = 8 = F H G I K J F = H G I K J 0 9 8 7 6 =0 = =e = 4 0 0 0 4 = 6 = 6 0 4 4 0 4
=0 =e 7 6 = = 4 =lb =ln =lg = cos 0 4 6 π/ 0 π/ π π/ π = sin π/ 0 π/ π π/ π 6 = = tan 4 = π/ 0 π/ π π/ 0 4 6 π = arctan 0 π / 0 π / π π / π =sin F = = sin( ) sin H G I K J π = sin( )
Mathematik für Techniker
Mathematik für Techniker 7., neu bearbeitete und erweiterte Auflage Mit 47 Bildern, Tabellen, 647 durchgerechneten Beispielen und 79 Aufgaben mit Lösungen!"#$%&#$'()*"+,-(./0.+!"#$%&'#(%)*+&#,+&'%-
Autoren und Bearbeiter Dr. Horst Bach, Eisleben (Kap. 6 bis 8) Dr. Manfred Bannach (Kap. und 4) Berufsbildende Schule Gutjahr Halle Dipl.-Päd. Elke Katz (Kap. 9 und 0) Arwed-Rossbach-Schule / Berufsschulzentrum der Stadt Leipzig Oberstudienrat Ingo Mees (Kap., und ) Staatliche Technikerschule Berlin Dipl.-Ing.-Päd. Annette Thon (Kap. und ) Fachschule für Technik Mühlhausen Dr. Heinz Nickel, Dresden Dipl.-Math. Jürgen Schäfer, Altenburg Dr. Siegfried Völkel, Dresden Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. ISBN 978--446-4968-9 E-Book-ISBN 978--446-49- Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den, 4 URG genannten Sonderfälle, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Ssteme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 04 Carl Hanser Verlag München www.hanser-fachbuch.de Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Einbandrealisierung: Stephan Rönigk Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Brand-Erbisdorf Druck und Bindung: Friedrich Pustet KG, Regensburg Printed in German
»Der Weltuntergang steht bevor, aber nicht so, wie Sie denken. Dieser Krieg jagt nicht alles in die Luft, sondern schaltet alles ab.«tom DeMarco Als auf der Welt das Licht ausging ca. 60 Seiten. Hardcover ca. 9,99 [D]/ 0,60 [A]/ sfr 8,90 ISBN 978--446-4960- Erscheint im November 04 Hier klicken zur Leseprobe Sie möchten mehr über Tom DeMarco und seine Bücher erfahren. Einfach reinklicken unter www.hanser-fachbuch.de/special/demarco
Vorwort Die vorliegende 7., neubearbeitete und erweiterte Auflage stellt eine umfangreiche Überarbeitung des in der Mathematikausbildung angehender Techniker bewährten Lehrbuches dar. Der Inhalt orientiert sich an den Lehrplänen für die Technikerausbildung. Aus didaktischen Gründen folgt das Kapitel Gleichungen und Ungleichungen nun direkt dem Kapitel Rechenoperationen. Der Abschnitt, der das Lösen von linearen Gleichungssstemen mit Determinanten behandelt, wurde im Umfang erhöht, dafür entfallen Rechenoperationen mit Matrizen. Die Kapitel Geometrie und Trigonometrie sind entsprechend den Lehrplananforderungen umfassend bearbeitet worden. Das Kapitel Funktionen wurde neu strukturiert. Es schließen sich Zahlenfolgen und Grenzwerte an. Der Differenzial- und der Integralrechnung ist nun je ein eigenes Kapitel gewidmet, um die verschiedenen Grundanliegen dieser Teilgebiete der Infinitesimalrechnung hervorzuheben. Im Kapitel Differenzialrechnung wird auch die geometrische Bedeutung der. Ableitung einer Funktion mit allen Konsequenzen zur Bestimmung von Maima und Minima von Funktionen betrachtet. Der Abschnitt Kurvendiskussion wurde vollständig überarbeitet. Neu aufgenommen wurde ein Abschnitt über das Aufstellen von Funktionsgleichungen mittels Ableitungen. Im Kapitel Integralrechnung wurden Abschnitte über die Integration durch Substitution sowie die Berechnung des Rauminhalts von Rotationskörpern ergänzt. Anschließend folgen die Kapitel Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Einführung in die Statistik. Neu ist hier ein Bezug im Bereich der Anwendungsaufgaben auf Taschenrechner mit Computeralgebrasstem und auf Tabellenkalkulationssoftware. Die Inhalte zu kompleen Zahlen waren bisher auf verschiedene Abschnitte verteilt. In die Neuauflage wurde ein separates Kapitel Komplee Zahlen aufgenommen. Auf vielfachen Wunsch der Leser dieses Buches wurde die Vektorrechnung als neues Kapitel hinzugefügt. Die Bilder und Grafiken zur Illustration der dargestellten mathematischen Sachverhalte wurden teilweise neu erstellt, an der großen Anzahl von Beispielen wurde festgehalten. Die Autoren, die sämtlich über ein hohes Maß an Erfahrung in der Technikerausbildung verfügen, haben sich um größtmögliche Verständlichkeit und Anschaulichkeit bemüht. Durch die Art der Stoffdarbietung eignet sich das Buch sowohl für den Gebrauch im Unterricht als auch zum Selbststudium. Zu diesem Zweck wurden die Kontrollfragen, die sich jedem Abschnitt anschließen, beibehalten und die Anzahl der Aufgaben, die weitgehend anwendungsorientiert und praisnah sind, erhöht. Am Kapitelende sind zur Selbstkontrolle die Lösungen der Aufgaben eingefügt. Für Kritik, Korrekturen, Anregungen und Hinweise inhaltlicher und didaktischer Art ist das Autorenteam dankbar, soll dieses Buch doch aus der Unterrichtsprais zur Prais, d. h. zum Gelingen des Mathematikunterrichts und zum Lernerfolg der Studierenden, beitragen. Ein besonderer Dank gilt der Lektorin Frau Christine Fritzsch vom Fachbuchverlag Leipzig, der es gelungen ist, das fünfköpfige Autorenteam mit großer Geduld zu koordinieren und dafür zu sorgen, dass dieses Unterrichtswerk in einer neuen Auflage vorliegt. Auch Frau Katrin
6 Vorwort Wulst gebührt Dank für die technische Unterstützung und die Herstellung dieses Buches. Die Zusammenarbeit mit beiden Fachfrauen war stets sehr angenehm. Möge dieses Buch dazu beitragen, dass die Vermittlung mathematischer Sachverhalte und Zusammenhänge im Rahmen der Technikerausbildung gelingt! Leipzig, im Mai 04 Die Verfasser
Inhalt Rechenoperationen................................... Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik...............................0 Vorbemerkung................................................... Begriff der Menge................................................ Relationen zwischen Mengen................................... 6.. Operationen mit Mengen...................................... 9. Zahlenbereiche.........................................................0 Vorbemerkung................................................... Bereich der reellen Zahlen und seine Teilbereiche................. Zahlenssteme.................................................. Intervalle, Absoluter Betrag, Runden von Zahlen................. 7. Rechenoperationen erster und zweiter Stufe..............................0 Vorbemerkung................................................... Grundbegriffe................................................... Rechenoperationen mit Zahlen................................. 4.. Algebraische Summen...........................................4 Bruchrechnung................................................ 9.. Proportionen.................................................. 44..6 Summenzeichen............................................... 49.4 Rechenoperationen dritter Stufe........................................4.0 Vorbemerkung..................................................4. Rechnen mit Potenzen und Wurzeln.............................4. Rechnen mit Logarithmen...................................... 6.4. Potenz eines Binoms........................................... 68. Aufgaben............................................................. 7.6 Lösungen............................................................. 80 Gleichungen und Ungleichungen....................... 86. Gleichungen mit einer Variablen....................................... 86..0 Vorbemerkung................................................. 86.. Grundbegriffe................................................. 86.. Lösen von algebraischen Gleichungen.......................... 90.. Lösen von transzendenten Gleichungen........................ 99..4 Lösen von Gleichungen durch Näherungsverfahren............. 04. Ungleichungen........................................................ 0..0 Vorbemerkung................................................. 0.. Grundbegriffe................................................. 0.. Einfache Tpen linearer Ungleichungen.......................... Lineare Gleichungsssteme..............................................0 Vorbemerkung.................................................
8 Inhalt.. Herkömmliche Lösungsverfahren............................... 4.. Lösbarkeitsbetrachtungen...................................... 7.. Gaußscher Algorithmus........................................ 0..4 Determinantenverfahren........................................4 Aufgaben.............................................................. Lösungen............................................................. 8 Geometrie.......................................... 4. Planimetrie........................................................... 4..0 Vorbemerkung................................................. 4.. Grundbegriffe................................................. 4.. Winkel an sich schneidenden Geraden.......................... 46.. Bewegungen in der Ebene, Kongruenz, Smmetrie.............. 47..4 Grundkonstruktionen............................................ Ähnlichkeit.................................................... 4..6 Allgemeines Dreieck........................................... 6..7 Rechtwinkliges, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck.... 6..8 Viereck........................................................ 66..9 Regelmäßiges n-eck........................................... 68..0 Kreis.......................................................... 70.. Flächeninhalte................................................. 74. Stereometrie.......................................................... 80..0 Vorbemerkung................................................. 80.. Quader........................................................ 8.. Prisma und Pramide.......................................... 8.. Prismatoid.................................................... 88..4 Zlinder und Kegel............................................. 90.. Cavalierisches Prinzip.......................................... 9..6 Kugel und Kugelteile........................................... 9. Aufgaben............................................................. 00.4 Lösungen............................................................. 08 4 Trigonometrie....................................... 4. Goniometrie.......................................................... 4..0 Vorbemerkung................................................. 4.. Winkelmessung................................................ 4.. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck................... 6 4.. Winkelfunktionen für beliebige Winkel.......................... 4..4 Quadrantenrelationen......................................... 4.. Zusammenhang zwischen den Funktionswerten eines Winkels.. 4..6 Additionstheoreme............................................ 4. Dreiecksberechnung.................................................. 7 4.. Allgemeines................................................... 7 4.. Sinus- und Kosinussatz........................................ 8 4.. Grundaufgaben der Dreiecksberechnung....................... 44 4..4 Weitere Anwendungen......................................... 46 4. Aufgaben............................................................. 4.4 Lösungen............................................................. 8
Inhalt 9 Funktionen......................................... 6.0 Vorbemerkung........................................................ 6. Der Funktionsbegriff.................................................. 6.. Die Definition einer Funktion.................................. 6.. Darstellungsformen von Funktionen............................ 64.. Eigenschaften von Funktionen................................. 69..4 Die Umkehrfunktion........................................... 7. Lineare Funktionen (Geraden)......................................... 74.. Die analtischen Darstellungsarten linearer Funktionen......... 74.. Die lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion.................. 77.. Lagebeziehungen zwischen Geraden............................ 79. Quadratische Funktionen (Parabeln)................................... 8.. Die Darstellungsarten quadratischer Funktionen................ 8.. Die Umwandlung zwischen den Darstellungsarten quadratischer Funktionen.................................................... 88.. Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion............... 9.4 Potenz- und Wurzelfunktionen......................................... 9.4. Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften....................... 9.4. Wurzelfunktionen und ihre Eigenschaften....................... 9. Ganzrationale Funktionen............................................. 96.6 Gebrochenrationale Funktionen....................................... 00.7 Eponential- und Logarithmusfunktionen.............................. 0.7. Eponentialfunktionen und ihre Eigenschaften.................. 0.7. Logarithmusfunktionen und ihre Eigenschaften................. 06.8 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen............. 07.9 Der Einfluss von Funktionsparametern auf Funktionsgraphen............0 Bestimmung von Funktionsgleichungen................................. Aufgaben............................................................. 6. Lösungen............................................................. 6 Zahlenfolgen........................................ 4 6.0 Vorbemerkung........................................................ 4 6. Grundbegriffe......................................................... 4 6. Arithmetische Folgen.................................................. 44 6. Geometrische Folgen.................................................. 48 6.4 Anwendungsbeispiele der geometrischen Folge......................... 0 6. Grenzwert einer Zahlenfolge........................................... 6.6 Grenzwert einer Funktion.............................................. 8 6.6. Grenzwert einer Funktion an der Stelle = a.................... 8 6.6. Grenzwert einer Funktion für ±.......................... 6 6.7 Aufgaben............................................................. 6 6.8 Lösungen............................................................. 66
0 Inhalt 7 Differenzialrechnung................................. 68 7.0 Vorbemerkung........................................................ 68 7. Grundbegriffe......................................................... 68 7. Ableitung der Potenzfunktion.......................................... 7 7. Ableitung einer konstanten Funktion und einer Funktion mit konstantem Faktor................................................................ 7 7.4 Ableitung einer Summe von Funktionen................................ 7 7. Differenzial einer Funktion............................................ 76 7.6 Weitere Grundregeln der Differenzialrechnung......................... 80 7.6. Ableitung eines Produktes von Funktionen...................... 80 7.6. Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen.................. 8 7.7 Regeln für die Ableitung weiterer Funktionen........................... 8 7.8 Höhere Ableitungen................................................... 8 7.9 Geometrische Interpretation der ersten und zweiten Ableitung.......... 86 7.0 Kurvendiskussion..................................................... 9 7. Etremwertaufgaben.................................................. 97 7. Aufstellen von Funktionsgleichungen mittels der Ableitungen........... 400 7. Aufgaben............................................................. 40 7.4 Lösungen............................................................. 406 8 Integralrechnung.................................... 4 8.0 Vorbemerkung........................................................ 4 8. Unbestimmtes Integral................................................ 4 8. Bestimmtes Integral................................................... 4 8. Eigenschaften bestimmter Integrale.................................... 40 8.4 Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summenfolge.................. 4 8. Flächeninhalte ebener Flächen zwischen einer Kurve und der -Achse... 4 8.6 Flächen zwischen zwei Kurven......................................... 47 8.7 Integration durch Substitution......................................... 40 8.8 Der Rauminhalt von Rotationskörpern................................. 4 8.9 Numerische Integration............................................... 4 8.0 Aufgaben............................................................. 49 8. Lösungen............................................................. 440 9 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung........... 44 9.0 Vorbemerkung........................................................ 44 9. Zufällige Erscheinungen und Ereignisse................................ 44 9. Wahrscheinlichkeitsbegriff............................................. 44 9. Anzahl von Ergebnissen und Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsversuche.............................................................. 4 9.4 Simulation von Zufallsversuchen....................................... 46 9. Aufgaben............................................................. 470 9.6 Lösungen............................................................. 47
Inhalt 0 Einführung in die Statistik............................. 474 0.0 Vorbemerkung........................................................ 474 0. Statistische Erhebung, Auswertung und Darstellung von Daten.......... 474 0. Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung....................... 494 0. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung..................... 498 0.4 Binomialverteilte Zufallsgrößen........................................ 0 0. Anwendungen zur Binomialverteilung................................. 0 0.6 Aufstellen und Testen von Hpothesen................................. 09 0.7 Anwendungsaufgaben................................................. 0.8 Die Poisson-Verteilung................................................ 0.9 Die Normalverteilung................................................. 8 0.0 Anwendungen der Normalverteilung................................... 0. Eponentialverteilung................................................. 0. Aufgaben............................................................. 6 0. Lösungen............................................................. Komplee Zahlen.................................... 6.0 Vorbemerkung........................................................ 6. Die arithmetische Form der kompleen Zahlen......................... 6.. Imaginäre und komplee Zahlen................................ 6.. Rechnen mit kompleen Zahlen in der arithmetischen Form..... 40.. Die Darstellung kompleer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene......................................................... 4. Die trigonometrische Form der kompleen Zahlen...................... 4. Die Eponentialform der kompleen Zahlen............................ 49.. Die Multiplikation und die Division kompleer Zahlen in der Eponentialform................................................. 49.. Das Potenzieren, das Radizieren und das Logarithmieren kompleer Zahlen...................................................4 Aufgaben............................................................. 4. Lösungen............................................................. Vektorrechnung..................................... 9.0 Vorbemerkung........................................................ 9. Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensstem............... 9.. Punkte im kartesischen Koordinatensstem..................... 9.. Vektoren im kartesischen Koordinatensstem................... 60. Rechnen mit Vektoren................................................. 64.. Addition und Subtraktion von Vektoren......................... 64.. Die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen.............. 67.. Das Skalarprodukt............................................. 69..4 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)............................. 7. Die vektorielle Beschreibung von Geraden.............................. 78.. Die Vektorgleichung einer Geraden............................. 78.. Die Lagebeziehungen zwischen Geraden........................ 80.4 Die vektorielle Beschreibung von Ebenen............................... 8.4. Die Vektorgleichung einer Ebene............................... 8