Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6.. Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt............................ 6.. Skalarprodukt - Fläche - Winkel.................................. 6.. Abbildungen............................................. 6. Vektor..................................................... 8 6.. Vektor - Abstand - Mittelpunkt.................................. 8 6.. Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit..................... 9 6.. Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität.............. 6. Gerade..................................................... 6.. Gerade aus Punkten........................................ 6. Ebene..................................................... 6.. Parameterform - Normalenform................................... 6.. Ebenengleichung aufstellen..................................... 6.. Parameterform - Koordinatenform................................. 6 6.. Koordinatenform - Parameterform................................. 7 6.. Koordinatenform - Hessesche Normalenform............................ 8 6. Kugel..................................................... 9 6.. Kugelgleichung............................................ 9 6.6 Lagebeziehung................................................ 6.6. Punkt - Gerade............................................ 6.6. Gerade - Gerade........................................... 6.6. Punkt - Ebene Koordinatenform................................. 6.6. Gerade - Ebene Koordinatenform................................. 6.6. Ebene - Ebene............................................
Analytische Geometrie 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene 6.. Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt v - A-/ v v M v v B/ 6 Vektor - Ortsvektor Vektor v - Menge aller parallelgleicher Pfeile x v y Ortsvektor v - Vektor zwischen einem Punkt und dem Koordinatenursprung Ax a /y a A OA x a y a Gegenvektor v - gleiche Länge und Richtung aber entgegengesetzte Orientierung x v y Vektoren: AB v v v Ortsvektor: A v Ortsvektor: B v Gegenvektor zu v Vektor zwischen Punkten Punkte: Ax a /y a Bx b /y b AB x b x a x c y b y a y c Punkte: A / B/ Vektor zwischen zwei Punkten AB + Länge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten AB x c + yc AB AB + AB xb x a + y b y a AB 9 AB, 9 www.fersch.de
Vektorrechung in der Ebene Steigung der Graden AB AB x y Steigung der Graden AB Steigng der Geraden AB m m y x Winkel des Vektors mit der x-achse tan α m Mittelpunkt der Strecke AB M A + B M x a y a M xa+x b / ya+y b + x b y b Mittelpunkt der Strecke AB M A + B M + M M / Vektorkette Punkt: Ax a /y a x Vektor : v y OB OA + v B A + v x B x A x + y y B y A A / v xb + y B xb y B B/ Interaktive Inhalte: hier klicken 6.. Skalarprodukt - Fläche - Winkel b a a x a y a b x b y b a b Steigung der Vektoren m a y a m a y b x a x b m a m b Vektoren sind parallel Steigung m s ya x a m b y b x b www.fersch.de
Vektorrechung in der Ebene Skalarprodukt a b x a y a x b Senkrechte Vektoren: a b a b y b x a x b + y a y b a b + Fläche aus Vektoren Fläche des Parallelogramms aus a, b x a x b A x a y b y a x b y a y b Fläche des Dreiecks aus a, b A x a x b x a y b y a x b y a y b Fläche des Parallelogramms aus a, b A 7 Fläche des Dreiecks aus a, b A Winkel zwischen Vektoren cos α a b a b x a x b + y a y b cos α x a + ya x b + y b Schnittwinkel: cos α a b a b + cos α + + cos α, 6, cos α, α 8, 9 Interaktive Inhalte: hier klicken 6.. Abbildungen Lineare Abbildung in Matrixform - Koordinatenform Matrixform x x y a b x e + c d y f y x y [ [ ] ] [ ] [ + + ] Koordinatenform a x + b y e + c x + d y f x a x + b y + e y c x + d y + f x y x a x + b y + e y c x + d y + f www.fersch.de
Vektorrechung in der Ebene Verschiebung Punkt: P x p /y p x v Vektor : v y v x P y P x P y P x p y p OP OP + v OP x P y P + + x y x v y v x p y p + x v y v - - - - P-/- v 6 - P / - P / v OP OP OP P / OP + v 6 6 + Spiegelung an den Koordinatenachsen Spiegelung an der x Achse x y x y x x y y x y P -/ P/ Spiegelung an der y Achse x y x y x y - - - - - x x y y P -/- - P /- Spiegelung am Ursprung - x y x y x x y y x y - Spiegelung an der x-achse P / P / Spiegelung an der y-achse P / P / Spiegelung am Ursprung P / P / www.fersch.de
Vektorrechung in der Ebene Spiegelung an der Urspungsgerade x y x y y m x tan α m cos α sin α x sin α cos α y x x cos α + y sin α y x sin α y cos α P/ P / x x cos α + y sin α y x sin α y cos α - - - - - - - - y x m P / tanα α x x cos α + y sin α x cos + sin x y x sin α y cos α y sin cos y P / P / www.fersch.de 6
Vektorrechung in der Ebene Zentrische Streckung Streckzentrum: Z/ Streckungsfaktor :k Urpunkt: P x P /y P Bildpunkt: P x P /y P x P k x p + y P k y p x P k x y P k y Streckzentrum: Zx z /y z Streckungsfaktor:k Urpunkt: P x P /y P Bildpunkt: P x P /y P Vektorform ZP k ZP x P x Z x P x Z k y P y Z y P y Z OP k ZP + OZ x P x P x Z k + y P y P y Z x Z y Z P / P / P -/ - - - - Streckzentrum: Z/ Streckungsfaktor: Urpunkt: P /, Bildpunkt: P x P /y P - - P/. OP k ZP + OZ xp + y P, xp + y P, xp 6 + y P xp y P P / Z/- Drehung um den Ursprung x cos α sin α x y sin α cos α y x x x cos α y sin α y y x sin α + y cos α x x cos α y sin α y x sin α + y cos α Orthogonale Affinität mit der x-achse als Affinitätsachse x y k x y x k y x x y k y www.fersch.de 7
Vektor 6. Vektor 6.. Vektor - Abstand - Mittelpunkt x B/-/ v v v v v - A-// x - x Vektor - Ortsvektor Vektor v - Menge aller parallelgleicher Pfeile v x x x Ortsvektor v - Vektor zwischen einem Punkt und dem Koordinatenursprung Ax a /y a A OA a a a Gegenvektor v - gleiche Länge und Richtung aber entgegengesetzte Orientierung x v x Vektoren: AB v v Ortsvektor: A v Ortsvektor: B v Gegenvektor zu v x Vektor zwischen Punkten Punkte: Aa /a /a Bb /b /b b a c AB b a c b a c Punkte: A // B/ / Vektor zwischen zwei Punkten + AB www.fersch.de 8
Vektor Länge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten AB c + c + c AB c + c + c AB b a + b a + b a AB + + AB AB 6, Mittelpunkt der Strecke AB M A + B a b M a + b a M a+b / a+b / a+b b Mittelpunkt der Strecke AB M A + B M + M M/ / Interaktive Inhalte: hier klicken 6.. Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit a b α b a A b a a a a a b b b b a b Länge der Vektoren a a + a + a b b + b + b Länge der Vektoren: a a + a + a a + + a b b + b + b b + + b Skalarprodukt a b a a a b b b Skalarprodukt: a b + + 7 a b + a b + a b Senkrechte Vektoren: a b a b www.fersch.de 9
Vektor Vektorprodukt - Fläche des Parallelogramms c a und c b a b a b c a b a b b a a b a b c a b c c c Fläche des Parallelogramms: A a b Vektorprodukt: a b c a b Fläche des Parallelogramms: c + + c, 67 A c c + c + c Fläche des Dreiecks aus a, b A a b Winkel zwischen Vektoren cos α a b a b a b + a b + a b cos α a + a + a b + b + b Schnittwinkel: cos α a b a b cos α 7 cos α 7 9 α 8, 9 Lineare Abhängigkeit von Vektoren a b k / : b k a b k / : b k a b k / : b k k k k Vekoren sind linear abhängig - parallel nicht alle k gleich Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Lineare Abhängigkeit von Vektoren k k / : k k / : k k / : k Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Interaktive Inhalte: hier klicken 6.. Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität a b V c b a c b a www.fersch.de
Vektor a a a a b b b b c Spatprodukt: a, b, c a b c a a a b b b c c c c c c Vektorprodukt von a, b skalar multipliziert mit c a b 7 7 7 7 7 c 7 7 7 Spatprodukt Wert der Determinante Spatprodukt: a, b, c a b c a b c a b c a b c a b c a b c + b c a + c a b c b a a c b b a c a b 7 c 7 D 7 7 D 7 + + 7 7 7 D 7 Spatprodukt - Volumen Volumen von Prisma oder Spat V a b c Volumen einer Pyramide mit den Grundflächen: Quadrat,Rechteck,Parallelogramm V a b c Volumen ein dreiseitigen Pyramide V 6 a b c a b 7 c 7 V 7 7 V 7 + + 7 7 7 V 7 Eigenschaften von Vektoren a b c die drei Vektoren a, b, c - sind linear abhängig - liegen in einer Ebene komplanar - sind keine Basisvektoren a b c die drei Vektoren a, b, c - sind linear unabhängig - liegen nicht in einer Ebene - sind Basisvektoren a b 7 c a b c a b c die drei Vektoren a, b, c - sind linear unabhängig - liegen nicht in einer Ebene - sind Basisvektoren 7 Interaktive Inhalte: hier klicken www.fersch.de
Analytische Geometrie Gerade 6. Gerade 6.. Gerade aus Punkten x g B// A/-/ x x Punkte: Aa /a /a Bb /b /b Richtungsvektor b a c AB b a c b a c Punkt A oder B als Aufpunkt wählen x a a + λ c c Punkte: A/ / B// Gerade aus zwei Punkten: AB + x + λ a c Besondere Geraden x Achse x Achse x Achse x λ x λ x λ Interaktive Inhalte: hier klicken www.fersch.de
Ebene 6. Ebene 6.. Parameterform - Normalenform x x n Parameterform u X α 9 Normalenform X P v x P X x x x Parameterform x - Ortsvektor zu einem Punkt X in der Ebene P - Aufpunkt Stützvektor,Ortsvektor u, v - Richtungsvektoren λ, σ-parameter x P + λ u + σ v x p p + λ u u + σ v v p u v Normalenform - Koordinatenform x - Ortsvektor zu einem Punkt X in der Ebene n - Normalenvektor P - Aufpunkt Stützvektor,Ortsvektor n x p n n n x x x Koordinatenform: p p p n x p + n x p + n x p n x np + n x n p + n x n p c n p + n p + n p n x + n x + n x + c Normalenvektor: n Punkt in der Ebene P / / Nomalenform: n x p x x x Koordinatenform: x + x + + x x + x + x www.fersch.de
Analytische Geometrie Ebene Besondere Ebenen Ebene Parameterform Koordinatenform x x x λ + σ x x x x λ + σ x x x x λ + σ x 6.. Ebenengleichung aufstellen x B// Ebene E A/-/ C// x x Ebene aus Punkten Punkte: Aa /a /a Bb /b /b Cc /c /c Die Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen. Ebene aus drei Punkten: b a d Richtungsvektor: AB b a d b a d c a e Richtungsvektor: AC c a e c a e Ebenengleichung aus Aufpunkt und den Richtungsvektoren. x a a + λ d d + σ e e Punkte: A/ / B// C// Ebene aus drei Punkten: AB + AC x + + λ + σ a d e www.fersch.de
Ebene Ebene aus Gerade und Punkt Der Punkte darf nicht auf der Geraden liegen. x a a a + λ b b b Punkt: Cc /c /c Richtungsvektor zwischen Aufpunkt A und dem Punkt C AC c a c a e e Gerade: x + λ Punkt: C// AC + x + λ + σ x a a c a + λ b b e + σ e e a b e Ebene aus zwei parallelen Geraden Gerade : x Gerade : x a a a c c c + λ + σ b b b d d d Bei parallelen Geraden sind Richtungsvektoren linear abhängig. Für die Ebenengleichung muß ein. Richtungsvektor erstellt werden.. Richtungsvektor zwischen den Aufpunkten A und C. Ebenengleichung in Parameterform c a e AC c a e c a e x a a a + λ b b b + σ e e e Gerade : x Gerade : x Richtungsvektoren: k + λ + σ +k / : k +k / : k beliebig k / : k Geraden sind parallel Aufpunkt von Gerade in Gerade x + λ Punkt: A// +λ / +λ / λ / λ / : λ λ falsch λ / : λ Geraden sind echt parallel. Richtungsvektor zwischen den Aufpunkten A und C AC Ebenengleichung in Parameterform x + λ + σ www.fersch.de
Ebene Ebene aus zwei sich schneidenden Geraden Gerade : x Gerade : x a a a c c c + λ + σ b b b d d d Bei sich schneidenden Geraden sind Richtungsvektoren linear unabhängig. Ebenengleichung in Parameterform x a a + λ b b + σ d d Gerade : x Gerade : x 8 9 + λ + σ 7 8 Die Geraden schneiden sich im Punkt S, 9, Ebenengleichung in Parameterform x 8 + λ 7 8 + σ a b d Interaktive Inhalte: Punkte - Punkt und Gerade - Parallele Geraden - 6.. Parameterform - Koordinatenform. Methode: Determinante x a a a + λ b b b + σ c c c x a b c x a b D x a b c x a b x a b c x a b x a b c + b c x a + c x a b c b x a x a c b b x a c Koordinatenform: n x + n x + n x + k x + λ + σ x x D x + x + x x x + x + x + x x x + x + 6x + x Koordinatenform: x + 6x + x. Methode: Vektorprodukt x a a a + λ b b b + σ c c c Normalenvektor der Ebene mit dem Vektorprodukt b c b c b c n b c b c c b b c b c b c n n n n Normalenvektor der Ebene und Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. n a + n a + n a + k k berechnen n x + n x + n x + k x 7 Vektorprodukt: n b c + λ n + σ Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. x x x + k Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. + k k Koordinatenform x x x Interaktive Inhalte: Determinante - Vektorprodukt - www.fersch.de 6
Ebene 6.. Koordinatenform - Parameterform. Methode n x + n x + n x + k x durch einen Parameter ersetzen x λ x durch einen Parameter σ ersetzen x σ Koordinatenform nach x auflösen x k n n n x n n x Ebene in Punktdarstellung : x + λ + σ x + λ + σ x k n n n λ n n σ Parameterform der Ebene x + λ + σ k n n n n n x + 8x + x x durch einen Parameter ersetzen x λ x durch einen Parameter σ ersetzen x σ Koordinatenform nach x auflösen x x 8 x x x x Ebene in Punktdarstellung : x + λ + σ x + λ + σ x λ σ Parameterform der Ebene x + λ + σ x x durch einen Parameter ersetzen x λ x durch einen Parameter σ ersetzen x σ Koordinatenform nach x auflösen x Ebene in Punktdarstellung : x + λ + σ x + λ + σ x + λ + σ Parameterform der Ebene x + λ + σ. Methode Drei beliebige Punkte, die in der Ebene liegen ermitteln. Die Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein. Ebenengleichung aus Punkten aufstellen. x + 8x + x x x frei wählen und in die Ebenengleichung einsetzen. x und P // weitere Punkte ermitteln: P // P // Die Richtungvektoren sind linear unabhängig: Parameterform der Ebene x + λ + σ www.fersch.de 7
Ebene 6.. Koordinatenform - Hessesche Normalenform Koordinatenform: n x + n x + n x + k Normalenvektor n n n n Länge des Normalenvektors: n n + n + n Hessesche Normalenform: k < HNF: n x + n x + n x + k n + n + n k > HNF: n x + n x + n x + k n + n + n Koordinatenform: x + 6x + x n 6 Länge des Normalenvektors: n x + x + x n + 6 + n 6, Hessesche Normalenform: x + 6x + x HNF: 6, Interaktive Inhalte: hier klicken www.fersch.de 8
Kugel 6. Kugel 6.. Kugelgleichung Mm /m /m - Mittelpunkt der Kugel r - Radius der Kugel Xx /x /x - beliebiger Punkt auf der Kugel Kugelgleichung: x m + x m + x m r M// Mittelpunkt der Kugel r 6 Radius der Kugel Xx /x /x beliebiger Punkt auf der Kugel Kugelgleichung: x + x + x + 6 www.fersch.de 9
Analytische Geometrie Lagebeziehung 6.6 Lagebeziehung 6.6. Punkt - Gerade C d g g C L Ebene E Punkt C liegt auf der Geraden g Abstand d des Punktes C von der Geraden g x a a a + λ Punkt: Cc /c /c b b b c a + b λ λ c a + b λ λ c a + b λ λ λ λ λ Punkt liegt auf der Geraden nicht alle λ gleich Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Die Koordinatenform der Ebenengleichung aufstellen, die senkrecht zur Geraden ist und den Punkt C enthält. Richtungsvektor der Geraden Normalenvektor der Ebene. Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. Abstand des Punktes, ist die Länge des Vektors LC x + λ Punkt: C7, 9, 6 7 λ / 9 λ / 6 +λ / + 6 λ / : λ 6 λ / : λ λ / : λ Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktens berechnen. Richtungsvektor der Geraden Normalenvektor der Ebene. x x + x + k C ist Punkt in der Ebene 7 9 + 7 + k k x x + x + Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x λ x λ x +λ λ λ + + λ + λ + λ λ x Lotfußpunkt: L6, 8, 8 7 CL 9 + 6 Abstand Punkt Gerade CL + + Interaktive Inhalte: hier klicken www.fersch.de
Analytische Geometrie Lagebeziehung 6.6. Gerade - Gerade g g g g S g g g g Geraden schneiden sich Geraden sind parallel Geraden sind windschief Geraden sind identisch Gerade : x Gerade : x a a a c c c + λ + σ b b b d d d Richtungsvektoren linear abhängig parallel? Ja Aufpunkt von g auf g? Ja identisch Nein echt paralllel Nein keine Lösung Geraden gleichsetzen windschief Lösung schneiden sich Gerade : x Gerade : x 8 9 Richtungsvektoren: 7 8 k + λ + σ 7 8 k / : k 7 k / : k 8 k / : k Geraden sind nicht parallel 8 + λ 7 8 9 + σ +λ 9 σ / / + σ 7λ σ / + / + σ 8 8λ σ / 8 / + σ I λ + σ 8 II 7λ + σ III 8λ σ Aus den Gleichungen I und II λ und σ berechnen σ λ λ und σ in die verbleibende Gleichung einsetzen III 8 + 8 + λ oder σ in die Geradengleichung einsetzen x 8 + 7 8 Schnittpunkt: S, 9, Interaktive Inhalte: hier klicken www.fersch.de
Analytische Geometrie Lagebeziehung 6.6. Punkt - Ebene Koordinatenform P d P L Punkt liegt in der Ebene Punkt liegt nicht in der Ebene Punkt: Aa /a /a Ebene: n x + n x + n x + c n a + n a + n a + c Liegt der Punkt in der Ebene? Punkt in die Ebene einsetzen. Gleichung nach Umformung: Punkt liegt in der Ebene Abstand Punkt - Ebene Punkt in die HNF einsetzen. Punkt: A// Ebene: x x + x + 7 + + 7 Punkt liegt in der Ebene Punkt: A/ / Ebene: x x + x + 7 + + 7 Punkt liegt nicht in der Ebene Abstand des Punktes von der Ebene Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x x + x + 7 n Länge des Normalenvektors: n n + n + n n + + n, HNF: x x +x +7, Punkt in HNF: + + 7 d, d 6, d 6, Interaktive Inhalte: hier klicken 6.6. Gerade - Ebene Koordinatenform g E E E g Gerade schneidet Ebene g Gerade ist parallel zur Ebene Gerade liegt in der Ebene www.fersch.de
Lagebeziehung Gerade: x a a a + λ b b b Ebene: n x + n x + n x + c Gerade in Punktdarstellung x a + b λ x a + b λ x a + b λ x, x, x in die Ebenengleichung einsetzen n a + b λ + n a + b λ + n a + b λ + c Gerade: x 7 + λ Ebene: x x + x + x +λ x +λ x 7 +λ + λ + λ + 7 + λ + 9λ + 8 λ 8 9 λ x 7 Schnittpunkt: S,, Die Gleichung nach der Variablen auflösen. Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene Auflösung nach einer Variablen ist möglich. Variable in die Gerade einsetzen Geraden und Ebene sind parallel Auflösung nach der Variablen ist nicht möglich. λ heben sich auf. Gleichung nach Umformung: Konstante Gerade liegt in der Ebene Auflösung nach der Variablen ist nicht möglich. λ heben sich auf. Gleichung nach Umformung: Interaktive Inhalte: hier klicken 6.6. Ebene - Ebene E E g E E E E Ebenen sind parallel Ebenen sind identisch Ebenen schneiden sich www.fersch.de
Lagebeziehung Parameterform - Koordinatenform Parameterform - Ebene x a a a + λ b b b Koordinatenform - Ebene + σ n x + n x + n x + k Ebene in Punktdarstellung x a + b λ + c σ x a + b λ + c σ x a + b λ + c σ c c c x, x, x in die Ebenengleichung einsetzen n a + b λ + c σ+ n a + b λ + c σ+ n a + b λ + c σ + k Ebene: x + λ + σ Ebene: x + x + x + x +λ +σ x +λ σ x +λ σ + λ + σ + + λ σ + + λ σ + λ σ 6 σ λ+6 σ λ 6 x + λ Schnittgerade: x + λ 6 + λ Die Gleichung nach einer Variablen auflösen Schnittgerade zwischen den Ebenen Auflösung nach einer Variablen ist möglich. λ oder σ in die Parameterform einsetzen Ebenen sind parallel Auflösung nach einer Variablen ist nicht möglich. λ und σ heben sich auf Gleichung nach Umformung: Konstante Ebenen sind identisch Auflösung nach einer Variablen ist nicht möglich. λ und σ heben sich auf Gleichung nach Umformung: Parameterform - Parameterform Eine Ebene in die Koordinatenform umrechnen. Danach die Lösung mit Parameterform - Koordinatenform berechnen. Koordinatenform - Koordinatenform Eine Ebene in die Parameterform umrechnen. Danach die Lösung mit Parameterform - Koordinatenform berechnen. Interaktive Inhalte: hier klicken www.fersch.de