Teil 1: Fragen und Kurzaufgaben (Bitte geben Sie bei der Beantwortung von Fragen eine Begründung bzw. bei der Lösung von Kurzaufgaben eine kurze Berechnung an!) Frage 1 (6 Punkte) Es wird ein analoges Signal x(t) betrachtet, dessen Betragsspektrum im nachfolgenden Bild dargestellt ist. X(f) 1 0 f/khz 0 1 3 4 5 Das analoge Signal wird zu diskreten Zeitpunkten mit einer Frequenz von 8 khz abgetastet. Skizzieren Sie das Spektrum des abgetasteten Signals im Bereich von 16 khz bis +16 khz in der nachstehenden, zweiseitigen spektralen Darstellung. X abgetastet (f) f/khz -16-14 -1-10 -8-6 -4-0 4 6 8 10 1 14 16 Das abgetastete Signal wird mit einem zeitdiskreten Cosinussignal, das eine Frequenz von 4 khz besitzt, multipliziert. Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das Spektrum des abgetasteten Cosinussignals im Bereich von 16 khz bis +16 khz. X Cosinus (f) f/khz -16-14 -1-10 -8-6 -4-0 4 6 8 10 1 14 16 Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm im Bereich von 4 bis +4 khz das Betragsspektrum des aus der Multiplikation mit dem Cosinussignal resultierenden Signals. X mult (f) -4-3 - -1 0 1 3 4 f/khz H.G. Hirsch 1 Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07
Das aus der Multiplikation resultierende Signal wird mit einem idealen, digitalen Tiefpass, der eine Grenzfrequenz von khz besitzt, gefiltert. Skizzieren Sie das Betragsspektrum des gefilterten Signals im Bereich von 16 khz bis +16 khz in der nachstehenden, zweiseitigen spektralen Darstellung. X gefiltert (f) f/khz -16-14 -1-10 -8-6 -4-0 4 6 8 10 1 14 16 Frage (8 Punkte) Eine Periode eines periodischen Signals, das mit einer Frequenz von 880 Hz abgetastet wurde, besteht aus Abtastwerten. Die Abtastwerte werden zur Spektralanalyse mit Hilfe einer DFT (Diskreten Fourier Transformation) transformiert. a) In welchem spektralen Abstand f werden die Linien des Spektrums bei Anwendung der DFT bestimmt? Als Ergebnis der DFT ergibt sich, dass alle Werte des Imaginärteils gleich Null sind. Für die Werte des Realteils werden für die DFT Indices von 0 bis 11 die in der folgenden Darstellung skizzierten Werte bestimmt. Re{X(k)} A 0 1 3 7 11 5 9 13 15 17 19 1 -A/3 Index k b) Vervollständigen Sie die Darstellung des Realteils für die DFT Indices von 1 bis 1. c) Besteht das analoge Signale aus Cosinusanteilen oder aus Sinusanteilen oder aus Cosinus- und Sinusanteilen? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Beschreiben Sie das analoge Signal x(t) in mathematischer Form mit Angabe der Frequenzwerte. Hinweis: Die Amplituden der Cosinus- oder Sinusanteile, wie zuvor bestimmt, nehmen die im folgenden auszugsweise angegebenen Werte an: k 0 1 3 4 5 6 Amplitude 0 A 0 -A/3 0 A/5 0 H.G. Hirsch Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07
Nachstehend sind die Fourier-Reihen als mathematische Beschreibung einiger periodischer Signale angegeben: 1) Sägezahn (punktsymmetrisch zum Ursprung): sin ( ) ( π f0 t) sin( π 3 f0 t) x( t) = const sin π f0 t + + + 3 ) Rechteck (achsensymmetrisch zur Ordinate ): cos ( ) ( π 3 f0 t) cos( π 5 f0 t) x( t) = const cos π f0 t + + 3 5 3) Dreieck (punktsymmetrisch zum Ursprung): sin( π f0 t) sin( π 3 f0 t) sin( π 5 f0 t) x( t) = const + + 1 3 5 e) Welches der aufgelisteten periodischen Signale entspricht dem analysierten Signal? Skizzieren Sie in der nachfolgenden Darstellung die Abtastwerte des zeitdiskreten Signals x(n) im Bereich von 0 n 3. (Hinweis: Benutzen Sie als Maximum bzw. Minimum der Amplitude die gestrichelten Linien) x(n) 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 3 Index n Frage 3 (6 Punkte) Zur JPEG Codierung von Bildern wird die Anzahl nicht zu berücksichtigender DCT Koeffizienten (nach dem Zick-zack Scan) mit Hilfe einer Optimalcodierung der entsprechenden Anzahl zu Null gesetzter DCT Koeffizienten codiert. Bei der Analyse eines Bildes wurden die folgenden Wahrscheinlichkeiten für die jeweilige Anzahl nicht zu berücksichtigender Koeffizienten bestimmt: Anzahl p(x i ) 4 0,5 3 0,5 5 0,15 1 0,065 0,065 H.G. Hirsch 3 Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07
a) Bestimmen Sie den mittleren Informationsgehalt (=Entropie H(X)), der sich für das Auftreten 1 der Anzahl nicht zu berücksichtigender Koeffizienten als Erwartungswert E ld p( x i ) bestimmen lässt. (Hinweis: 0,065 = 1/16, ld()=1, ld(4)=, ) b) Nehmen Sie für die angegebenen Werte eine Codierung mit dem Verfahren von Huffman vor. Geben Sie für die jeweilige Anzahl den resultierenden Code an. Welche mittlere Wortlänge stellt sich bei dieser Codierung ein? Frage 4 (9 Punkte) Bei einem der Filter eines DPCM Systems werden die im nachstehenden Pol-/Nullstellendiagramm dargestellten Null- und Polstellen ermittelt: j Im(z) 0,5j zweifache Polstelle im Ursprung -1 1-0,5j 0,5 Nullstellen Re(z) a) Geben Sie die Übertragungsfunktion des Filters an. b) Handelt es sich um das senderseitige oder das empfängerseitige Filter des DPCM Systems? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Skizzieren Sie die prinzipielle Struktur des Filters in allgemeiner Form (ohne Angabe von Werten für die Filter-Koeffizienten). d) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des unter c) in allgemeiner Form skizzierten Filters. e) Ermitteln Sie durch Vergleich der unter a) und d) bestimmten Übertragungsfunktionen die konkreten Zahlenwerte der Filter-Koeffizienten. Frage 5 (5 Punkte) Ein aus 160 mal 160 Bildpunkten bestehendes, digitalisiertes Grauwertbild wird mit einer Codierung, bei der Blöcke von 8 mal 8 Bildpunkten mit Hilfe einer DCT (Diskreten Cosinus Transformation) transformiert werden, codiert. H.G. Hirsch 4 Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07
a) Wie viele Bits werden zur Speicherung des Bildes ohne Verwendung der Transformations- Codierung benötigt, wenn jeder Grauwert mit 8 Bit quantisiert wird. (Hinweis: 4 160 = 10, 8 = 56, 10 = 104, ) b) Aus wie vielen Blöcken besteht das Bild? c) Wie viele DCT Koeffizienten resultieren aus der Transformation eines Blocks? Bei diesem Bild ist es möglich, eine recht gute Rekonstruktion zu erzielen, wenn man zur Beschreibung der Hälfte aller Bildblöcke nur ein Viertel der DCT Koeffizienten eines Viertels aller Bildblöcke nur ein Achtel der DCT Koeffizienten eines Viertels aller Bildblöcke nur ein Sechzehntel der DCT Koeffizienten verwendet. d) Wie viele Bits werden zur Speicherung der zu codierenden DCT Koeffizienten benötigt, wenn jeder DCT Koeffizient mit 8 Bit codiert wird. (Hinweis: Die Codierung der Indices der DCT- Koeffizienten, die ungleich Null sind, wird dabei nicht berücksichtigt.) Frage 6 (6 Punkte) Zur gesicherten Datenübertragung wird im Bereich des Mobilfunks der nachstehend dargestellte (,1,4)-Faltungscodierer eingesetzt. y i (1) Eingangsbits Ausgangsbits y i () a) Wie viele Bits treten am Ausgang des Codiers auf, wenn 96 Bits auf den Eingang gegeben werden? (Hinweis: Berücksichtigen Sie, dass den Eingangsbits eine entsprechende Anzahl von Nullbits folgt, um den Codierer wieder zurückzusetzen) b) Wie viele innere Zustände besitzt der Faltungscodierer? Nachstehend ist ein kleiner Teil des zur Beschreibung des Codierers benötigten Trellis-Diagramms dargestellt. H.G. Hirsch 5 Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07
Zustände (x i-1 x i- x i-3 x i-4 ) = 0100 0100 x i = 1 x i = 0 (x i-1 x i- x i-3 x i-4 ) = 1011 1011 c) Vervollständigen Sie das Trellis-Diagramm um die Angaben, n n+1 Codierzyklus in welchem Zustand sich der Codierer im Codierzyklus n+1 bei jedem der Übergänge befindet, welche Bits am Ausgang bei jedem der betrachteten Übergänge erzeugt werden. (1) () (Hinweis: Kennzeichnen Sie einmal die Zuordnung der Ausgangsbits mit y i und yi ). Nachstehend ist der gleiche Teil des Trellis-Diagramms mit der jeweils aufakkumulierten Hammingdistanz zum Codierzyklus n dargestellt, wie sie bei der Decodierung einer empfangenen Bitfolge ermittelt wurde. Zustände (1) empfangene Bits (y n y () n ) 01 (x i-1 x i- x i-3 x i-4 ) = 0100 3 aufakkumulierte Hammingdistanz x i = 1 x i = 0 (x i-1 x i- x i-3 x i-4 ) = 1011 19 n n+1 Codierzyklus d) Bestimmen Sie jeweils die aufakkumulierte Hammingdistanz, die sich bei Betrachtung der Übergänge im Codierzyklus n+1 einstellt. H.G. Hirsch 6 Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07
Teil : Aufgaben Aufgabe 1 (0 Punkte) Die Amplitudenwerte eines analogen Signals x(t) treten gemäß der im nachstehenden Bild dargestellten Verteilungsdichtefunktion im Amplitudenbereich von -1 x +1 auf. a) Berechnen Sie den Wert A an, mit dem die Auftrittswahrscheinlichkeit der Amplitudenwerte im Bereich -0,5 x +0,5 beschrieben wird. b) Wie groß ist der prozentuale Anteil von Amplitudenwerten, die im Bereich 0 x +0,5, Bereich +0,5 x +0,5 Bereich +0,5 x +0,75 Bereich +0,75 x +1-1 -0,75-0,5-0,5 auftreten? c) Bestimmen Sie die Leistung S des Signals. p(x) A 3A 4 A 0 0,5 0,5 0,75 1 A 4 x Das analoge Signal wird mit einer Pulscodemodulation (PCM) codiert, wobei jeder Abtastwert mit 5 Bit codiert wird. d) Bestimmen Sie die Leistung N des Quantisierungsrauschens für eine lineare Quantisierung im Amplitudenbereich -1 x +1. e) Welches SNR (in db) stellt sich dabei ein? Im folgenden wird eine abschnittsweise lineare Quantisierung eingesetzt, bei der die Anzahl der Quantisierungsintervalle in den Abschnitten mit positiven Amplitudenwerten der nachstehenden Tabelle entnommen werden können. Die Quantisierung in den Abschnitten mit negativen Amplitudenwerten entspricht der Quantisierung im positiven, betragsmäßig gleichen Wertebereich. H.G. Hirsch 7 Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07
Bereich 0 < x +0,5 +0,5 < x +0,5 +0,5 < x +0,75 +0,75 < x +1 Anzahl der Quantisierungsintervalle 8 4 f) Wie groß sind die Leistungen des Quantisierungsrauschens in den einzelnen Bereichen? g) Bestimmen Sie die bei Quantisierung des Signals x(t) auftretende Gesamtleistung des Quantisierungsrauschens. (Hinweis: Die Gesamtleistung lässt sich als Erwartungswert über die in allen Bereichen bestimmten Werte des Quantisierungsrauschens berechnen. Dazu können die unter b) bestimmten Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte in den einzelnen Bereichen benutzt werden. Beachten Sie, dass im Unterpunkt b) nur positive Amplitudenwerte betrachtet wurden!) h) Welches SNR (in db) ergibt sich damit für die Quantisierung des Signals x(t)? Aufgabe (1 Punkte) Zur Synchronisation beim Empfang eines Datenstroms wird ein Barker Code der Ordnung 3 eingesetzt, dessen Amplitudenwerte im nachstehenden Bild zu sehen sind. x(n) 0 1 +1-1 Zeitindex n Zur Bestimmung der Korrelationswerte bei einem Empfänger wird ein matched Filter eingesetzt, dessen Impulsantwort h(n) = x(-n) ist. a) Skizzieren sie eine Schaltungsanordnung zur Realisierung des matched Filters, dessen Impulsantwort der Folge h(n) entspricht. b) Geben Sie die Differenzengleichung zur Beschreibung des Filters im Zeitbereich an. c) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) dieses Filters. d) Bestimmen Sie eventuell vorhandene Null- und/oder Polstellen und skizzieren Sie deren Lage in einem Pol-/Nullstellendigramm. e) Welche Werte nimmt der Frequenzgang H(f) für f = 0, für f a f = und für 4 f a f = an? H.G. Hirsch 8 Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07
Nach der Übertragung des Barker Codes über einen gestörten Kanal wird die nachstehende Folge y(n) von Amplitudenwerten empfangen (y(n)=0 für n<0 und n>5). 0,3 0,7 1,1 0,4 y(n) 1 4 +1 0 3-0, -0,5 5 6 7-1 Zeitindex n f) Bestimmen Sie die Werte der Kreuzkorrelationsfolge xy () für 0 5. g) In welchem Bereich (n 1 n n n 1 =?, n =?) des Signals y(n) wird der ausgesendete Barker- Code detektiert, wenn zur Detektion des Codes der Wert der Korrelationsfolge einen Schwellwert von,0 überschreiten muss? Aufgabe 3 (19 Punkte) Ein gestörter Übertragungskanal kann als symmetrischer Binärkanal mit einer Bitfehlerwahrscheinlichkeit p=0,01 modelliert werden. a) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass in einem Block mit m=15 Bits kein ein zwei Bitfehler auftreten? Zum Schutz der zu übertragenden Daten wird ein zyklischer Code eingesetzt, mit dem zwei Bitfehler in einem Block von 15 Bits korrigiert werden können. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Empfänger ein Block mit 15 Bits empfangen wird, bei dem eine Korrektur nicht möglich ist (= Wahrscheinlichkeit, dass drei oder mehr Bitfehler auftreten)? Aus der nachfolgenden Tabelle von BCH Codes soll der Code mit den geforderten Korrektureigenschaften ausgewählt werden. H.G. Hirsch 9 Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07
m n e Exponenten von G(z) 7 4 1 0 1 3 15 11 1 0 1 4 15 7 0 4 6 7 8 15 5 3 0 1 4 5 8 10 31 6 1 0 5 31 1 0 3 5 6 8 9 10 31 16 3 0 1 3 5 7 8 9 10 11 15 c) Geben Sie das Generatorpolynom G(z) an, mit dem der zyklische Code definiert ist. Wie viele Bits eines Blocks sind dabei informationstragend und wie viele Bits sind Paritätsbits, die zur Korrektur von Fehlern benötigt werden? d) Geben Sie das Codepolynom Y(z) an, dass aus der Codierung des informationstragenden Polynoms 5 3 X ( z) = z + z + z resultiert. e) Überprüfen Sie, ob das empfange Polynom Z + 14 13 11 10 9 4 ( z) = z + z + z + z + z + z z fehlerfrei übertragen wurde. f) Überprüfen Sie, ob das empfange Polynom Z + 14 13 1 11 9 5 ( z) = z + z + z + z + z z fehlerfrei übertragen wurde. g) Aus wie vielen Zeilen besteht die Syndromtabelle, wenn sie alle korrigierbaren Fehler beinhaltet? H.G. Hirsch 10 Klausur: Digitale Nachrichtentechnik 09.0.07