Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung ist es hier notwendig außer dem Betrag auch die Richtung anzugeben. Ein Vektor ist also eine gerichtete Größe und wird durch die Angabe vom Anfangspunkt A und Endpunkt B festgelegt. Die Pfeilspitze legt die Richtung des Vektors fest. Vektoren werden mit einem Kleinbuchstaben und darüber stehendem Pfeil symbolisiert. y Bsp.: B Schreibweisen: = = + A x & sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von a) Der Betrag eines Vektors Der Betrag eines Vektors definiert die Länge des Vektors und wird mit symbolisiert. Die Formel zur Berechnung des Betrags mittels der Vektorkoordinaten lautet: =. b) Gegenvektor Ein Vektor mit gleichem Betrag aber entgegengesetzter Richtung eines anderen Vektors heißt Gegenvektor. c) freier Vektor Alle parallelen Pfeile einer gegebenen Richtung und Länge repräsentieren den gleichen Vektor. Betrachtet man dazu einmal die Geschwindigkeit als Vektor. Seine Länge ist die gewöhnliche skalare Geschwindigkeit (zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit) und seine Richtung ist die, in die sich der Körper bewegt. Allerdings kann der Körper nun durchaus an verschiedenen Orten dieselbe skalare Geschwindigkeit und dieselbe Bewegungsrichtung haben. Somit ist es sinnvoll ihm dann auch denselben Geschwindigkeitsvektor zuzuordnen. Allgemein beschreibt die Definition eines freien Vektors also die Gesamtheit aller parallel verschobenen Pfeile. y x
d) linienflüchtiger Vektor Ein linienflüchtiger Vektor ist die Gesamtheit aller Pfeile gegebener Richtung, Länge und Wirkungslinie. Eine Verschiebung ist nur entlang der Wirkungslinie möglich. Freie Vektoren dürfen beliebig im Raum parallel verschoben werden, dagegen sind Kraftvektoren (um ihre Wirkung, bzw. das Drehmoment, nicht zu verändern) an ihre Wirklinie gebunden. e) gebundener Vektor Ein gebundener Vektor ist ein Pfeil gegebener Richtung, Länge und Angriffspunkt. Eine Verschiebung ist nicht möglich. Beispielsweise kann der End- und Anfangspunkt eines Vektors festgelegt sein. Dann bestimmt man den Vektor aus zwei gegebenen Punkten P1 = (2; 4) und P2 = (-4; 1) wie folgt: = = = = d) Spezielle Vektoren: i) Der Nullvektor besitzt die Länge Null und hat keine Richtung. ii) Ein Vektor mit der Länge 1 heißt Einheitsvektor. Jeder Vektor kann zum Einheitsvektor normiert werden. D.h. man teilt ihn durch seinen Betrag und kürzt ihn so auf die Länge 1. Bsp.: = = = iii) Der Ortsvektor führt vom Koordinatenursprung O zum Punkt A. Rechenoperationen a) Addition von Vektoren Zwei Vektoren und werden geometrisch addiert, wenn der Anfangspunkt von Vektor an den Endpunkt von Vektor gelegt wird. Der gerichtete Vektor vom Anfangspunkt des Vektors zum Endpunkt des Vektors ist der Summenvektor +. b) Subtraktion von Vektoren Die Differenz zweier Vektoren ergibt sich aus der Summenbildung. Unter dem Differenzvektor - versteht man den Summenvektor aus und, wobei der Gegenvektor von ist.
Bemerkung: Vektorparallelogramm Der Summenvektor und Differenzenvektor lässt sich geometrisch als gerichtete Diagonale eines Vektorparallelogramms konstruieren. Wenn in Richtung und Kräfte wirken, so wirkt die Kraft insgesamt in Richtung +, wie vom Kräfteparallelogramm aus der Physik bekannt. Mithilfe der Vektorkoordinaten addiert bzw. subtrahiert man Spaltenvektoren, indem man jeweils die einzelnen Komponenten addiert bzw. subtrahiert. Bsp.: = = = = = = c) Multiplikation mit einem Skalar Man multipliziert einen Vektor mit einem Skalar, indem man jede Koordinate des Vektors mit dem Skalar multipliziert, d.h. λ = λ =. Hierbei entsteht ein Vektor dessen Länge das λ-fache der Länge vom Vektor beträgt und je nach dem Vorzeichen von λ in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung wie zeigt. Bsp.: d) Linearkombination von zwei Vektoren Ein Vektor soll als Linearkombination von zwei Vektoren und dargestellt werden. Es sind dafür Zahlen und zu bestimmen, sodass = + gilt. Bsp.: =, =, = = = 5, = 2 y = x (lässt sich beispielsweise mit der Cramerschen Regel lösen.)
Vektoreigenschaften a) lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn sich einer von ihnen durch Addition beliebiger Vielfacher der anderen Vektoren, d.h. als Linearkombination, darstellen lässt. Bsp.: =, = und = Oder = 2 Hier lässt sich der Vektor als Vielfaches vom Vektor darstellen und ist somit linear abhängig. Genauso lässt sich der Vektor im 2. Beispiel als Linearkombination der Vektoren und darstellen und ist ebenfalls linear abhängig. Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel (kollinear) zueinander liegen. Das heißt also, wenn zwei Vektoren keine Vielfache voneinander sind, bzw. ihre Linearkombination als Lösung nur die Triviallösung besitzt, so sind sie linear unabhängig. b) Dimension und Basis(system) Die Dimension eines Vektorraumes gibt die Anzahl von linear unabhängigen Vektoren an, die nötig sind, um durch ihre Linearkombination alle Elemente des Vektorraumes zu bilden. Die Dimension des ³ ist z.b. 3, die des ² ist 2 usw. Um den ³ aufzuspannen, reichen zwei linear unabhängige Vektoren nicht aus, deren Linearkombinationen ergeben stets nur eine Ebene. Es wird ein dritter linear unabhängiger Vektor benötigt, um den ³ aufzuspannen. Drei derartige linear unabhängige Vektoren aus dem ³ nennt man auch eine Basis des ³. Das einfachste Beispiel sind die drei aufeinander senkrechten Einheitsvektoren. Sie bilden die Basis B{ =, =, = } eines kartesischen oder orthonormalen Basissystems. Dieses entsteht aus der Basis durch geradlinige Verlängerung der Basisvektoren in beiden Richtungen. http://de.wikibooks.org/wiki/datei:sipe_ Vektoralgebra_4.1.PNG Im obigen Beispiel liegt eine orthonormierte Basis vor, d.h. alle Vektoren der Basis liegen paarweise senkrecht aufeinander und besitzen jeweils die Länge 1.
Dagegen gibt es orthogonale Basen, in der alle Vektoren senkrecht aufeinander liegen und normierte Basen, d.h. alle Vektoren besitzen die Länge 1, aber müssen nicht gleichzeitig senkrecht aufeinander liegen. c) Orthogonalitätseigenschaft von zwei Vektoren Zwei Vektoren und sind orthogonal (stehen aufeinander senkrecht), wenn für ihr Skalarprodukt = 0 gilt. c.1.) Skalarprodukt Beim Skalarprodukt werden zwei Vektoren skalar miteinander multipliziert, wobei als Lösung eine Zahl, ein Skalar rauskommt. = ο = = c.2.) Winkel zwischen zwei Vektoren Ausgehend vom Skalarprodukt lässt sich auch der Winkel zwischen zwei Vektoren wie folgt berechnen: =.
Übungsaufgaben 1) Mit den Spaltenvektoren =, = und = soll der Vektor 5 berechnet werden. Welchen Betrag besitzt dieser? 2) Berechne den Vektor = mit P1 = (2; -1,4) und P2 = (7,5; -8). 3) Man bestimme zum Vektor = einen von Null verschiedenen Vektor mit dem Anfangspunkt P(-1; 3; -5), so dass die Richtung von a. gleich b. einander entgegengesetzt ist. und 4) Seien =, =, =. Man berechne: a. b. c. d. 5( ) e. 3( ) f. ( ) ( ) 5) Seien, und wie in Aufgabe 4) gegeben. Man berechne die Skalare c1,c2 und c3 mit =. 6) Man zeige, dass = (a, b) und = (-b, a) orthogonal sind. 7) Welchen Winkel schließen die Vektoren und miteinander ein? a. = und = b. = und = 8) Zeigen Sie: Die Vektoren =, =, = bilden ein orthonormiertes Basissystem.