Themenbereich : Proportionalitätszuordnungen Benzinmenge in Abhängigkeit von dem Preis: Proportionale Zuordnungen Wenn eine Größe verdoppelt wird, führt dies zur Verdoppelung der Anderen Die Zuordnungsvorschrift lautet: a q Benzinmenge Preis 60 l 78 : : 30 l 39 3 3 90 l 7 Quotient des Literpreises q,30 l Proportionalitätsfaktor: q y bzw. Alle Punkte der proportionalen Zuordnung bilden eine Ursprungsgerade Umgekehrt proportionale Zuordnungen Wird eine Größe verdoppelt, so wird die andere halbiert. Die Zuordnungsvorschrift lautet: p a Nahrungsvorrat in Abhängigkeit von der Anzahl an Portionen: Vorrat Anzahl an Portionen 300 g 0 :3 3 00 g 60 0 :0 000 g 6 Produkt P y 6000 g Es ergibt sich ein konstanter Wert p y Zuordnungsvorschrift: 6000g
Alle Punkte des Graphen liegen auf einer Hyperbel. a p Themenbereich : Funktionen Funktionsbegriff Funktionsgraph Die Zuordnung a y heißt Funktion. Jeder -Wert hat genau einen y-wert. Daraus folgt: f() y Kein Funktionsgraph
Funktionen und Term f : a f ( ) mit D f Alle Zahlen, für die bei einer Funktion f ein Funktionswert berechnet werden kann, bilden die Definitionsmenge D f. Ist keine Definitionsmenge angegeben, so ist die maimale Definitionsmenge gemeint. Auf dem Graphen G f liegen alle Punkte P( y), wenn und y von P die Funktionsgleichung y f() erfüllen. Nullstellen einer Funktion Nullstelle der Funktion f() sind Schnittpunkte des Graphen mit der - Achse. Es kann dabei keine, eine oder mehrere geben. f() - D f Q \ {0} 4 Wegen f() 4 - - 4 3 Gilt: P( - 4 3 ) G f f() + 4 Nullstelle: f() 0 +4 0-4 - f() hat an der Stelle - eine Nullstelle. Proportionale Funktionen Die proportionale Funktion f : a m hat eine konstante Steigung m und verläuft durch den Punkt P ( m) und den Ursprung. Dabei gibt der Faktor m die Steigung an. Der Graph steigt, wenn (m > 0) oder fällt für (m > 0). 3
Umfang und Flächeninhalt eines Kreises Kreise mit Radius r haben den Umfang den Flächeninhalt A π U π r und r Für einen Kreis mit dem Durchmesser d 3,4m und damit dem Radius r,7m gilt: Umfang: U π r π d Flächeninhalt : A π 3,4 3,4 m 0,7 m r π 3,4,89 (,7m) m 9, m π 3,4 ist dabei die Kreiszahl. Themenbereich 3: Lineare Funktionen Lineare Funktionen Eine Funktion ist dann linear, wenn f : a m + t. Dabei gilt:. Die Funktion f() ist eine Gerade und schneidet die y-achse im Punkt (0 t).. Der Graph von f besitzt die Steigung m 3. Zur Berechnung von m braucht man zwei Punkte P ) und ( y P ( y ). Dabei gilt: m y y f ( ) f ( ) 4. Der y-achsenabschnitt ist der Punkt P(0 y), an dem der Graph die y-achse schneidet. f: 4 ist linear 4
Bestimmung des Funktionsterms für lineare Funktionen Fall : Ein Punkt P( P y P ) und m sind bekannt.. Schritt: da f linear ist: f() m +t. Schritt: Lösen der Gleichung f( P ) m P +t y p nach t. P(4 5) liegt auf dem Graphen der linearen Funktion f mit der Steigung.. f() + t. f(4) 4 + t 5, > t -3 Also: f() 3 Fall : Es sind zwei Punkte P ( y ) und P ( y ) auf. Schritt: da f linear ist: f() m +t.. Schritt: Es gilt m y y 3. Schritt: Lösen der Gleichung f( ) m +t y nach t.. G f bekannt. P (3 4) und P (5 ) liegen auf dem Graphen der linearen Funktion f.. f() m + t. m f (5) f (3) 5 3 4 3-3 7 3. f(3) - 3 3 + t 4, > t 3 7 Also: f() - + Fall 3: Man kann durch einfaches Ablesen sowohl die Steigung m als auch t herauslesen. 5
Lineare Funktionen und lineare Gleichungen Die Gleichung m +t c kann sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch gelöst werden. Zur rechnerischen Lösung sind Äquivalenzumformungen nötig. Bei der zeichnerischen Lösung muss zunächst der Graph der linearen Funktion f: m + t gezeichnet werden. Nun kann man anhand des Graphen ablesen, für welchen -Wert man den vorgegebenen y-wert erhält. Die Nullstelle der Funktion erhält man durch Lösen der Gleichung m +t 0 - +3 > 4 f : a 0.5 + 3 6 ist Nullstelle der Funktion f. Lineare Ungleichungen Ungleichungen sind genauso zu behandeln wie Gleichungen nur mit der Ausnahme, dass bei der Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl auf beiden Seiten das Ungleichheitszeichen umgedreht werden muss. (-) 7 < - Vereinfachen 4 7 < - -4-7<-35 :(-7) > 5 L { > 5} ]5; [ Die Lösung einer Ungleichung kann sowohl als Menge als auch als Intervall angegeben werden. 6
Themenbereich 4: Gleichungen und Gleichungssysteme Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Für eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten gilt:. Die Lösung ist immer ein Zahlenpaar.. Es gibt unendliche viele Lösungen. 3. Alle möglichen Lösungen liegen auf einer Geraden. Lösungen der Gleichung 4 y sind z.b. ( ) und (0 -). Sie liegen auf der Geraden y - Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen (LGS) Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehreren Gleichungen mit Unbekannten: (I) 3 + 7 y 0 (II) 5 y 3 Schnittpunkt: ( ) Falls ein Zahlenpaar jede Bedingung des LGS erfüllt, so ist es die Lösung des Systems. Zeichnerisches Lösen eines LGS mit zwei Variablen Ein LGS kann zeichnerisch gelöst werden, indem die beiden Geraden in ein Koordinatensystem eingetragen werde. Dabei entsteht ein Schnittpunkt, der beide Bedingungen erfüllt und somit als Lösung des LGS gilt. 7
Zwei Rechenverfahren zum Lösen eines LGS. Beim Einsetzverfahren wird eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst. Die erhaltende Bedingung wird anschließend in die zweite Gleichung eingesetzt und diese kann nun aufgelöst werden. Anschließend wird das Ergebnis wieder in die erste Bedingung eingesetzt und die zweite Variable berechnet. Einsetzverfahren: (I) y + (II) 4 + y 7 (I) nach y auflösen: Und in (II) einsetzen: Gleichung lösen: einsetzen: y 4 + 7 6 8 4 3 3 y 4. Beim Additionsverfahren werden die zwei Gleichungen so miteinander addiert bzw. voneinander subtrahiert, dass eine der beiden Variablen wegfällt. Hierfür muss oftmals durch Multiplizieren eine der beiden Gleichungen vorbereitet werden. Anschließend muss die Gleichung nach der verbliebenen Variable aufgelöst werden. Das erhaltene Ergebnis wird anschließend wieder in die Ausgangsgleichung eingesetzt und man erhält das Lösungspaar. Additionsverfahren: (I) 3-4 y 5 (II) - y - (-3) (I) 3 4 y 5 (IIa) -3 + 6 y 3 (I) + (IIa) y 8 > y 4 y 4 in (II) einsetzen: 4 - > 7 8
Aufgabe: Peter ist 6 Jahre älter als sein Bruder. Zusammen sind sie 30 Jahre alt. Wie Lineare Gleichungssysteme in Anwendungssituationen alt ist Peter bzw. sein Bruder?. Peters Alter ; Alter des Bruders y. + y 30 () Folgende Schritte sollten beachtet werden: 6 y (). Variablen einführen. Gleichungen aufstellen 3. Gleichungssystem lösen 3. () in (): + ( - 6) 30 36 8 4. Ergebnis überprüfen und Antwort y formulieren 4. 8 + 30 Peter ist 8 Jahre alt und sein Bruder. Themenbereich 5: Laplace-Wahrscheinlichkeit Ergebnismenge (Ergebnisraum) Ergebnismenge nennt man die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallseperimentes. Sie wird mit Ω bezeichnet. Das einzelne Ergebnis wird mit ω, bzw. ω K bezeichnet. Werfen eines Würfels : Ω {;;3;4;5;6} Werfen einer Münze : Ω {Kopf; Zahl} oder Ω {0;} Teilmenge Ω Wenn jedes Element des Ereignisses A in Ω vorhanden ist, ist A eine Teilmenge von Ω. Man schreibt auch: A Ω A 9
Ereignis Bei einem Zufallseperiment ist jedes Ereignis A der Ergebnismenge Ω eine Teilmenge davon. Wenn bei einer Durchführung des Zufallseperiments ein Ergebnis aus A auftritt, ist das Ereignis A eingetreten. Ergebnis A Augenzahl des Würfels gerade A{;4;6}. Das Ereignis A ist dann eingetreten, wenn, 4 oder 6 gewürfelt wird. Gegenereignis Zu jedem Ereignis A gibt es ein Gegenereignis A, welches aus den Ergebnissen aus Ω besteht, die nicht zu A gehören. Werfen eines Würfels : Ω {;;3;4;5;6} A {;4;6} A {;3;5} Man schreibt auch: A Ω \ A Wahrscheinlichkeit Dem Ereignis A wird bei einem Zufallseperiment eine Wahrscheinlichkeit P(A) zwischen Null und Eins zugeordnet. Die relative Häufigkeit von A, die bei zunehmenden Wiederholungen des Eperimentes auftritt, nähert sich dem Wert von P(A) an. Eine gerade Zahl beim Würfeln : P( gerade Zahl ) 0,5 P( ungerade Zahl ) 0,5 0
Laplace-Eperimente Ein Laplace-Eperiment tritt dann auf, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis bei einem Laplace-Eperiment mit n-ergebnissen beträgt. n Werfen eines Würfels oder einer Münze Laplace-Wahrscheinlichkeit Um bei einem Laplace-Eperiment an die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses zu kommen, muss man die Anzahl der für A zutreffenden Ergebnisse durch die Gesamtzahl der Ergebnisse dividieren. A P(A) Ω Man spricht auch die Mächtigkeit von A durch die Mächtigkeit von Ω. Würfel: Ω {;;3;4;5;6} Ereignis A Augenzahl gerade A {;4;6} A 3 P(A) 0, 5 Ω 6 Zählprinzip Wird aus k verschiedenen Mengen mit m, m,..., m k Elementen gezogen, so gibt es m m Km k verschiedene Möglichkeiten. : Eva hat vier Hosen, drei Pullover und zwei Paar Schuhe. Dann gibt es für sie 4 3 4 Möglichkeiten, sich verschieden zu kleiden. Oft hilft hierbei auch ein Baumdiagramm.
Themenbereich 6: Gebrochen rationale Funktionen Gebrochen rationale Funktionen Gebrochen rationale Funktionen nennt man 3 Funktionen wie f() + 4, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist. Die Definitionsmenge besteht aus allen Zahlen, für die der Nenner NICHT Null wird. Asymptoten sind Geraden, denen sich ein Graph immer weiter annähert. Es gibt dabei senkrechte und waagrechte Asymptoten. f() 3 + 4 ; Um die senkrechte Asymptote zu finden, muss der Nenner 0 gesetzt werden: + 4 0-4 Die Funktion f() hat bei - 4 eine senkrechte Asymptote
Rechnen mit Bruchtermen Wird ein Bruch gekürzt bzw. erweitert, so wird sowohl der Zähler als auch der Nenner mit der Zahl/Variablen multipliziert/dividiert. Bruchterme können nur dann addiert/subtrahiert werden, wenn bei allen Brüchen der Nenner gleich ist. Oftmals muss man deshalb sinnvoll erweitern, so dass die beiden Brüche addiert werden können. Der Nenner bleibt dabei erhalten, lediglich die Zähler werden addiert/subtrahiert. + ( 4 + ( + 7 4 ( ) + + ) ) 4 3 4( ) ( 3) 4 4 ( 3) ( ) ( ) ( ) Zum Multiplizieren von Bruchtermen muss Nenner mit Nenner und Zähler mit Zähler multipliziert werden. Zum Dividieren zweier Bruchterme muss der Kehrbruch des Divisors mit dem Dividenden multipliziert werden. 3 + 3( + ) 3 + ( + ) ( + ) : + + ( + )( ) Negative Eponenten F() n Es gilt: n n n m : m n+ m n m 3 4 3 4 ( ) m und n sind beliebige ganze Zahlen. 3
Bruchgleichungen Zum Auflösen von Bruchgleichungen muss mit dem Hauptnenner beider Brüche multipliziert werden. Als Lösung kommen nur Inhalte der Definitionsmenge in Frage. + D 3 6 f Q \ { } 3 + (-)(-3+) HN 3 ( 3 + ) ( 3 + )( ) ( + )( )( 3 + ) ( 3 + ) (3 + ) ( ) + 4 + + 5 5 Themenbereich 7: Ähnlichkeit Zentrische Streckung Bei der zentrischen Streckung gibt es ein Streckungszentrum Z und einen Streckungsfaktor k > 0. Zu einem Punkt A(A Z) gibt es somit einen Punkt A :. A` liegt auf der von Z ausgehenden Halbgeraden durch A,. ZA k ZA Für k> wird so wird die Strecke vergrößert, für 0<k< verkleinert sich die Strecke. 4
V-Figur Strahlensatz b b g h Man benötigt zwei sich schneidende a Geraden a und b. Diese werden von zwei a zueinander parallelen Geraden g und h geschnitten. Dann gilt: - a b a b g - a + a b + b a b a b bzw. a + a b + b a b a - a a + a bzw. g h b b + b g h b h Eigenschaften ähnlicher Figuren Für die Figuren F und G gilt: - Gleiches Längenverhältnis bei E e d D F c b C B` b a A` e entsprechenden Strecken - Entsprechende Winkel sind gleich groß - Der Flächeninhalt von G ist k -mal so groß wie der von F, wenn die A a B a b c a b c C` d e d e c G D` E` d Seiten von G k-mal so lang sind wie die von F. 5
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke Dreiecke sind ähnlich, - Wenn zwei Winkel der beiden Dreiecke übereinstimmen - Wenn das Seitenverhältnis übereinstimmt (S:S:S-Satz) α α ; β β ; γ γ Übungsaufgaben: http://www.abfrager.de/gymnasium/klasse8/mathematik.htm http://www.mathe-physik-aufgaben.de/sch_gm_08_mathe.html 6