Messfehler Welche Störeiflüsse köe auftrete? Wie lasse sich Fehler klassifiziere? Wie lasse sich Fehler abschätze? Wie werde Messergebisse agegebe? Ihalt Messfehler... 1 Repräsetativitätsfehler... 2 Störeiflüsse im Messsystem... 3 Systematischer Fehler E s... 6 Gerätefehler... 7 Zufälliger (aleatorischer) Fehler... 12 Statistik ud Wahrscheilichkeitstheorie... 20 Normalverteilug... 21 Studetsche t-verteilug... 26 Dyamischer ud statischer Fehler... 27 1
Repräsetativitätsfehler Wo misst ma eie Temperatur i eiem Luftkaal? Hier? Oder hier? Hier? We ma sich etscheide muss, am beste i der Mitte. Das Temperaturprofil köte aber auch so aussehe: Da ist der Temperaturwert i der Mitte icht repräsetativ für die Temperatur im Luftkaal. Nimmt ma mehrere Messpukte, lässt sich das Profil besser erkee ud die Kaaltemperatur als Mittelwert bestimme. Was hilft die Geauigkeit des Messgeräts, we der Messwert icht repräsetativ für die Messgröße sei ka? Repräsetativitätsfehler köe größer als alle adere Fehler sei. Um sie zu vermeide, muss ma sich mit dem Messobjekt itesiv beschäftige. 2
Störeiflüsse im Messsystem äußerer Störeifluss als Überlagerug des Messigals äußerer Störeifluss als Deformierug des Übertragugsverhaltes Messgröße Ausgabe Messobjekt Rückwirkug ierer Störeifluss Gerätefehler Messeirichtug Rückwirkug Der Refleiosgrad eies Messobjekts (Messgröße) soll durch eie Messeirichtug mit Strahler ( ) ud Sesor ( ) ermittelt ud zur Azeige ( ) gebracht werde. Dabei köe Fehler a verschiedee Orte des Messsystems auftrete. Rückwirkug der Messeirichtug Im Beispiel ka die Messeirichtug de Refleiosgrad veräder, we das Messobjekt ifolge der Bestrahlug achdukelt (Rückwirkug der Messeirichtug). Weiger a de Haare herbeigezoge sid folgede Fälle: Ei Temperaturfühler ( ) bildet eie Wärmebrücke ud verfälscht dadurch die Temperatur am Messort. Ei Pradtlrohr ( )verfälscht die Geschwidigkeitsmessug, idem es de Querschitt veregt. 3
Rückwirkug der Azeige Azeige verbrauche Eergie aus dem Azeigesigal. Die Azeige eies Flüssigkeitsthermometers, z. B., verbraucht thermische Eergie, die dem Flüssigkeitsfade etzoge wird. Eie elektrische Azeige verbraucht aus dem Sigal, das sie azeigt, elektrische Eergie. Iere Störeiflüsse Im Beispiel köte ei Teil der Messstrahlug ohe Refleio durch das Messobjekt umittelbar auf de Sesor gelage. Realistischere iere Störeiflüsse sid Spiel ud Reibug i Lager ud Durchführuge Hysterese oder ei falscher Nullpukt. Das Messsigal überlagerde äußere Störeiflüsse Im Beispiel wird vom Messobjekt auch Tageslicht auf die Messeirichtug reflektiert. Bei elektrische Messwertaufehmer ka das Messsigal durch eie vo äußere Felder iduzierte Störspaug überlagert werde. Auch die Strahlug auf eie Temperaturfühler ka, we sie icht erwüscht ist, ei äußerer Störeifluss sei. Das Übertragugsverhalte der Messeirichtug deformierede äußere Störeiflüsse Im Beispiel köte das Tageslicht das Übertragugsverhalte der Messeirichtug veräder. Besseres Beispiel: Ei Arm eier Hebelwaage wird erwärmt ud deht sich aus, dadurch verädertes 4
Drehmomet. Ebeso ka die Strömugsgeschwidigkeit das Übertragugsverhalte eies Temperaturfühlers deformiere. Auswirkuge auf die Messeirichtug Störeiflüsse Messgröße... Messeirichtug Gerätefehler Azeigegröße A Kalibrierug/ Justierug Messgröße : Physikalische Messgröße mit tatsächliche Werte Azeigegröße A : agezeigte Messgröße mit (fehlerbehaftete) Werte Gerätefehler verfälsche das Übertragugsverhalte der Messeirichtug (z. B. zu lager oder zu kurzer Hebelarm a Balkewaage) Störeiflüsse Störeiflüsse überlager auch die Messgröße selbst (z. B.) Ausdehug eies Hebelarms uter Soebestrahlug Kalibrierug/Justierug kompesiert gleichbleibede Gerätefehler 5
Systematischer Fehler E s Kalibierkurve Vergleich vo Azeigegröße A mit tatsächlicher Messgröße Aufahme vo Kalibrierkurve A () X A X A mit Fehler (Eichkurve) Es ohe Fehler X Kalibrierkurve als Diagramm, Tabelle oder Iterpolatiosfuktio Aus Kalibrierkurve (auch Eichkurve geat) folge Systematischer Fehler: Korrektio: korrigierter Messwert: E s = A B = A = A E s = A + B Voraussetzug: zufälliger Fehler E a wird verachlässigt 6
Gerätefehler A : agezeigte Messgröße, : tatsächliche Messgröße, ideal: A = Falsche Steigug A Falscher Nullpukt A X a X mit Fehler ideal X Nichtliearität Hysterese A A Falsche Steigug, falscher Nullpukt, Nichtliearität: gleichbleibeder systematischer Fehler E s, ka durch Kalibrierug kompesiert werde Hysterese (abh. vom Verlauf der Messgröße): icht gleichbleibeder Fehler, muss bekate Fehlergreze habe 7
Güteklasse G maimaler proz. Fehler bezoge auf de Messbereichsedwert ma Bspl.: Waage mit G = 1.0 ud Messbereichsedwert ma = 100 kg maimaler absoluter Fehler Δ = G ma = 1% 100 kg = 1 kg (Für Feimessgeräte gibt es die Güteklasse 0.1, 0.2 ud 0.5, für Betriebsmessgeräte die Güteklasse 1, 1.5, 2.5 ud 5.) Fehlergreze Maimaler absoluter Fehler Δ ist eie Fehlergreze, die vom Hersteller bei Eihaltug der Betriebsbediguge garatiert wird. Messwert ergibt sich aus dem Azeigewert A zu = A ± Δ Fehlerfortpflazug Betrachtug für zwei Messgeräte: Messgerät 1 liefert Messwert 1 = A1 + Δ 1 Messgerät 2 liefert Messwert 2 = A2 + Δ 2 Messergebis y = y A + Δy mit y 0 als Recheergebis aus A1 ud A2 ud Gesamtfehler Δy aus de Fehler Δ 1 ud Δ 2 Additio: y = 1 + 2, y 0 = A1 + A2 y 0 + Δy = A1 + Δ 1 + A2 + Δ 2 - y 0 Δy = Δ 1 + Δ 2 (absolute Fehler addiere sich) Multiplikatio: y = 1 2, y 0 = A1 A2 y 0 + Δy =( A1 + Δ 1 ) ( A2 + Δ 2 ) = A1 A2 + A2 Δ 1 + A1 Δ 2 +Δ 1 Δ 2 1/ y 0 Δy/y 0 = Δ 1 / A1 + Δ 2 / A2 (relative Fehler addiere sich) 8
Lieare Regressio wird eigesetzt, we eie lieare Keliie ageomme wird, aber die aufgeomme Messwerte keie Gerade bilde. Sei y() ei als liear ageommeer Zusammehag, z. B. eie Keliie. Seie ( i, y i ) Pukte, die icht auf eier Gerade liege, aber auf eie Gerade regrediert werde solle. Da muss die Gerade so gelegt werde, dass die Pukte ( i, y i ) eie möglichst gerige Abweichug vo der Gerade habe. y y9 y8 y7 y6 y5 y4 y3 y2 y1 1 2 3 4 56 7 8 9 Gesucht: y() = b + a Methode: Miimiere der Fehlerquadrate (y y i ) 2 Fehlerquadratfuktio f(a, b) = (y i y) 2 = [y i (a i + b)] 2 2 = y i 2 a i y i 2 b y i + a 2 2 i + 2 a b i + b 2 9
soll miimiert werde. Auffide des Miimums ach b f b = 2 y i + 2 a i + 2 b = 0 b = 1 y i b = 1 y i a 1 i a i b = y a Auffide des Miimums ach a f a = 2 i y i + 2 a 2 i + 2 b i = 0 i y i + a 2 i + y i a i = 0 2 a i a i = i y i y i 2 a i a 1 i = i y i y 1 i 2 a i a = i y i y 10
a = ( i y i ) y 2 i 2 Gütemaß der Regressio r r = [( i y i ) y ] 2 i 2 2 y i y 2 r liegt zwische -1 ud 1. Je äher r bei -1 oder 1 liegt, desto besser ist die Näherug durch die Regressiosgerade. Aweduge Gerätefehler werde berücksichtigt, we 1. die Geräte Güteklasse ausweise, 2. keie sigifikate Messwertschwakuge festgestellt werde köe, 3. ageomme werde ka, dass mögliche Störeiflüsse verachlässigbar sid. 11
Zufälliger (aleatorischer) Fehler A A,i μ X Ea,i Es X Bei gleichem phys. Wert X liefer uterschiedliche Messuge uterschiedliche Azeigewerte A,1, A,2, A,3 usw., allg.: A,i theoretische Mittelwert der Azeigewerte: Erwartugswert μ Azeigewerte A,i habe eie zufällige Fehler Zufälliger Fehler: E a,i = A,i μ E a,i hat für jedes A,i adere Wert. Verlauf des Erwartugswerts etspricht Kalibrierkurve. Zum zufällige Fehler kommt der systematische hizu: Azeigewert: A,i = μ + E A,i = X + E s + E A,i Bei gleichem phys. Wert X trete uterschiedliche zufällige Fehler E A,i auf, aber der systematische Fehler E s ist immer der gleiche. Um E A,i abschätze zu köe, muss ma Messreihe durchführe. 12
Vertrauesitervall A μ+u μ μ-u X Bedigt durch E a streue Azeigewerte A,i um μ. Ei bestimmter Ateil vo ihe liegt im sog. Vertrauesitervall [μ - u, μ +u]. Ma vertraut darauf, dass A,i mit eier Wahrscheilichkeit P (statistische Sicherheit) im Vertrauesitervall liege. Z. B. vertraut ma bei P = 95 %, dass 95% aller Azeigewerte im Vertrauesitervall liege. Ei kleier Teil der Messwert, z. B. 50 %, liege da auch i eiem kleiere Itervall. Die Größe des Vertrauesitervalls hägt vo der statistische Sicherheit ab. Je größer die statistische Sicherheit, desto größer das Vertrauesitervall. Etremfälle: P = 100%: Itervall uedlich groß (ethält jede Wert) P = 0%: Itervall ist uedlich klei (kei zufälliger Fehler) 13
Messusicherheit A μ X B X-u X+u Vertrauesitervall wird auf korrigierte Messwert übertrage: = A + B ± u = X ± u (P) u wird als Messusicherheit bezeichet liegt mit der statistische Sicherheit P im Bereich X ± u Zielkoflikt zwische statistischer Sicherheit ud Messusicherheit: P = 50%: P = 99%: u ist klei, aber die stat. Sicherheit ist zu gerig stat. Sicherheit ist sehr hoch, aber auch u (typischerweise 3-mal so hoch wie bei P = 50%) guter Kompromiss: P = 95%: stat. Sicherheit immer och hoch, aber u bleibt besser begrezt (typischerweise 2-mal höher als bei P = 50%) 14
Erwartugswert Mittelwert der Azeigewert A,i, we ma beim gleiche physikalische Wert der Messgröße X uedlich viele Azeigewerte aufehme köte: a µ 1 2 3 4 5... i Erwartugswert: μ = lim 1 A,i Alle zufällige Fehler E A,i gleiche sich bei uedlich viele Messuge aus μ hat ur och eie systematische Fehler E s Weil X ud E s eideutig sid, ist es auch μ. Mittelwert Bei edlicher Zahl vo Azeigewerte A,i ( Messreihe) ist ihr Mittelwert: = 1 A,i Ecel: MITTELWERT() eie geeigete Schätzug für de Erwartugswert. 15
Messreihe Techische Fachhochschule Berli, FB IV Architektur ud Gebäudetechik Aufahme vo Azeigewerte bei gleichem oder als gleichbleibed ageommeem physikalische Wert X. Freiheitsgrade Beispiel: Ei Körper legt eie Weg s i eier Zeit τ zurück. Daraus folgt seie Geschwidigkeit w. Adere Betrachtug: Vo de drei Größe s, τ ud w sid jeweils 2 Größe frei -> der Zusammehag hat zwei Freiheitsgrade Z.B. ergebe w = 1 m/s ud τ = 1 s de gleiche Weg s = 1 m wie w = 0,5 m/s ud τ = 2 s ud beliebig viele adere Paare w ud τ Freiheitsgrade bei bekatem Mittelwert: Bei eiem Mittelwert aus Werte, gilt für die Freiheitgrade f : Freiheitsgrade: f = 1 1. Gegebe: f = 1 Werte a,1.. a, 1, Mittelwert = ( 1 + 2 + + 1 ), also icht frei wählbar. 2. Gegebe: ud Mittelwert Dazu passe uedlich viele Kombiatioe a,1.. a, 1 f = 1 Werte frei wählbar (Statt -te Werts ka auch aderer Wert fest sei.) 16
Stadardabweichug σ ergibt sich aus der Variaz σ 2 a µ 1 2 3 4 5... i Variaz ist mittleres Quadrat des Abstads zum Erwartugswert: Variaz: σ 2 1 = lim A,i μ 2 Wurzel der Variaz ist Stadardabweichug σ. Streuug Bei edlicher Zahl vo Azeigewerte A,i, ist Streuug S: S = 1 1 A,i 2 Ecel: STABW() erwartugstreue Schätzug für die Stadardabweichug (empirische Stadardabweichug) 17
Stadardabweichug des Mittelwerts a a 1 S1 S1 2 S2 S2 1 2 S μ S 1 2... i-1 i i+1... -1 i 1 2... i-1 i i+1... -1 i 1 2... j Seie 1... m Mittelwerte ( ) vo m Messreihe mit jeweils Messpukte ( ), da streue sie um de Erwartugswert μ. Die Streuug der Mittelwerte S ist bedeuted kleier als die Streuuge S 1, S 2 usw. der Messpukte i de Messreihe. Für die Stadardabweichug des Mittelwerts σ gilt σ = σ/. Da ma die Stadardabweichug der Messpukte mit ihrer Streuug abschätzt, also σ = S aimmt, ist auch die Abschätzug für die Stadardabweichug des Mittelwerts seie Streuug: Streuug des Mittelwerts: S = S/ S S S ist bei jeder Messreihe aders auch S variiert. S wird scho mit kleiem stark vermidert, mit großem aber ur och schwach Ausreichede, aber icht übertriebee 1 Zahl vo Messpukte aufehme, um S zu bestimme. 18
Zwischefazit Bisheriges Vorgehe: We Azeigewert zufällige Fehler uterliegt, erlaubt eizeler Azeigewert keie Aufschlüsse über de Erwartugswert. Statt eies eizele Werts wird daher eie Messreihe aufgeomme. Als Abschätzug für de Erwartugswert wird der Mittelwert der Messreihe geomme Als Abschätzug für die Stadardabweichug wird ihre Streuug S geomme. Als Abschätzug für die Stadardabweichug des Mittelwerts wird die Streuug des Mittelwerts S geomme. Offee Frage: Wie lässt sich aus dem Schätzwert S der Stadardabweichug ei Vertrauesitervall mit eier Messusicherheit u bilde? Wie lässt sich das Vertrauesitervall eier statistische Sicherheit P zuorde? Weiteres Vorgehe: Mit Hilfe der Wahrscheilichkeitsrechug soll ei Zusammehag zwische S, u ud P gefude werde. 19
Statistik ud Wahrscheilichkeitstheorie Statistik utersucht Masseerscheiuge ud leitet daraus Aussage ab. Typische statistische Aussage sid z. B. Umfrageergebisse. Damit wird vo Stichprobe auf Grudgesamtheit geschlosse. Stichprobe sid die Befragte, Grudgesamtheit alle, über die eie Aussage getroffe werde soll. Messreihe bilde Stichprobe aus der Grudgesamtheit aller mögliche Messwerte, das sid uedlich viele. Hier wird z. B. aus dem Mittelwert der Stichprobe auf de Erwartugswert der Grudgesamtheit geschlosse oder aus der Streuug der Stichprobe auf die Stadardabweichug der Grudgesamtheit. Wahrscheilichkeitsrechug berechet die Wahrscheilichkeit vo Ereigisse, z. B. die Wahrscheilichkeit, dass der Mittelwert eier Messreihe i eiem bestimmte Vertrauesitervall liegt. Dazu greift sie auf bekate Gesetzmäßigkeite zurück wie z. B. das Gesetz der große Zahle, demzufolge die Summe aller zufällige Fehler gege ull strebt. Weitere wichtige Ergebisse der Wahrscheilichkeitsrechug sid Wahrscheilichkeitsverteiluge. Z. B. ist die Wahrscheilichkeit, eie Zahl zwische 1 ud 6 zu würfel, gleichverteilt. We u aber eie statistische Erhebug i Form eier Stichprobe vo 100 Würfe ergibt, dass 1 doppelt so häufig wie alle adere Zahle auftritt, ist der Würfel gefälscht. Auch i der Messtechik arbeite Statistik ud Wahrscheilichkeitslehre eg zusamme. 20
Normalverteilug Bei Wurf vo zwei Würfel trete Summe vo 2 bis 12 auf. Mögliche Kombiatioe: 1+1 = 2, 1+5 = 2+4 = 3+3 = 6. Die mögliche Ergebisse sid ugleichverteilt. Bei eier Messreihe ist die Wahrscheilichkeit, dass der Erwartugswert gemesse wird, höher als bei irgedeiem adere Wert. We Messreihe geüged groß sid, folge sie der Gauß sche Normalverteilug: 40% p() 30% 20% 10% µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ Gauß sche Normalverteilug: p() = 1 σ 2 π e 1 2 μ σ 2 Ecel: NORMVERT(, μ, σ,falsch) Maimum bei μ, Wedepukte bei μ σ ud μ + σ steht für A, p() et ma Wahrscheilichkeitsdichte. Beispielswerte: p(μ) = 39,9%, p(μ ± σ) = 24,4%, p(μ ± 3 σ) = 0,4%, Die Wahrscheilichkeit, dass der Erwartugswert agezeigt wird, ist 9000-mal höher, als dass der Wert μ ± 3 σ agezeigt wird. 21
P =50% P = 95% P = 99% Die statistische Sicherheit P, dass der Azeigewert i eiem bestimmte Vertrauesitervall liegt, ergibt sich aus der Fläche. Beispielswerte: P(μ- σ, μ+ σ) = P(μ- σ μ+ σ) = 50% P(μ- 2σ, μ+ 2σ) = 95% P(μ- 3σ, μ+ 3σ) = 99% u ist 2 σ bei P = 95%, das ist der gesuchte Zusammehag! 22
Verteilugsfuktio Ist das Flächeitegral vo 0 bis zu eiem bestimmte Wert : 99,5% 97,5% 84% Φ() 50% 16% 2,5% 0,5% µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ Es gilt: P( 1, 2 ) = Φ( 2 ) Φ( 1 ) Beispiele: Φ(μ + σ) Φ(μ σ) = 84% - 16% = 68% Φ(μ + 2σ) Φ(μ 2σ) = 97,5% - 2,5 % = 95% Φ(μ + 3σ) Φ(μ 3σ) = 99,5 % - 0,5 % = 99% Ecel: NORMVERT(, μ, σ,wahr) 23
Chi-Quadrat-Test Nicht alle Messreihe sid ormalverteilt. Z. B. ka eie Bohrug icht kleier als der Bohrer sei. Mit eiem χ 2 -Test (Chi-Quadrat) wird überprüft, ob die Werte eier Messreihe ormalverteilt sid: 1. Eiteile der Messwerte i i m = 1.. k Itervalle (mid. 4), 2. Ermittel der Wahrscheilichkeit P m der Normalverteilug i diese Itervalle (P m sollte midestes 5 sei), 3. Ermittel der Azahl h m der Messwerte i de eizele Itervalle, 4. Empirische Testgröße χ 2 ermittel: χ 2 = k (h m P m ) 2 m=1, P m 5. Theoretische Testgröße χ 2 ermittel Ecel: CHIINV(α, k ) mit Irrtumswahrscheilichkeit α (Stadardwert 5%) ud Freiheitsgerade k = k-3 (k: Azahl Itervalle, s.o.) k χ 2 k χ 2 k χ 2 k χ 2 1 3,84 8 15,5 16 26,3 23 35,2 2 5,99 9 16,9 17 27,6 24 36,4 3 7,81 10 18,3 18 28,9 25 37,7 4 9,49 11 19,7 19 30,1 30 43,8 5 11,1 12 21 20 31,4 40 55,8 6 12,6 14 22,4 21 32,7 50 67,5 7 14,1 15 23,7 22 33,9 6. Vergleich bilde χ 2 χ 2 : Messpukte sid ormalverteilt 24
Klasse Techische Fachhochschule Berli, FB IV Architektur ud Gebäudetechik Itervalle beim χ 2 -Test heiße i der Statistik Klasse. Jede Klasse wird durch ihre Mitte repräsetiert. Es gilt: Klasseide: Klassegreze: Klassebreite: Klassemitte: Absolute Häufigkeit: m, läuft vo 1 bis k (Klasseazahl) e m,u (uterer Wert), e m,o (oberer Wert m = e m,o e m,u u m = e m,u+e m,o 2 h m (Azahl Messwerte i m-ter Klasse) Relative Häufigkeit: f m = h m proz. Summehäufigkeit: SP m (Prozetsatz der Messwerte < e m,o ) 25
Studetsche t-verteilug Bei kleie Messreihe ( < 30) sid die Messwerte t-verteilt. Wahrscheilichkeitsdichte: p() 40 % 30 % 20 % 10 % µ-c σ µ µ+c σ Blass ausgezoge: Normalverteilug Dukel ausgezoge: t-verteilug für 6 Messwerte Bei gleicher stat. Sicherheit P hat die t-verteilug ei größeres Vertrauesitervall als die Normalverteilug. Ihr Vertrauesitervall ist [µ-c σ, µ-c σ]. Ecel: c = TINV(1-P, f ), P: statistische Sicherheit, f : Freiheitsgrade Für eie statistische Sicherheit vo 95% gilt: Streufaktor der t-verteilug c 0,95, f = 1,96 + 2,30 + 3,54 + 4,91 f 2 f 4 f Der c-wert ist bei kleie Freiheitsgrade größer als 2 ud läuft bei immer größere Freiheitsgrade gege 2 (Normalvert.: u = 2 σ) Die t-verteilug läuft bei große Messreihe gege die Normalverteilug, bei kleie Messreihe ist ihr Vertrauesitervall größer. 26
Dyamischer ud statischer Fehler ohe Fehler mit Fehler τ: Zeit Dyamischer Fehler abhägig vom zeitliche Verlauf, i der Regel bedigt durch die Trägheit der Messeirichtug, z. B. muss Temperaturfühler sich selber erst aufheize oder abkühle, bevor er richtig misst, Der dyamischer Fehler ka vermiede werde, we Beharrug abgewartet werde ka. Das ist aber icht immer möglich. Statischer Fehler uabhägig vom zeitliche Verlauf. (MRT1 beschräkt sich auf die Utersuchug vo statische Fehler.) 27 τ