Lösungen zum 3. Aufgabenblock 3. Aufgabenblock ewerber haben n enem Test zur sozalen Kompetenz folgende ntervallskalerte Werte erhalten: 96 131 11 1 85 113 91 73 7 a) Zegen Se für desen Datensatz, dass der Medan nach dem Krterum der klensten Absolutabwechungen en besserer Schätzwert st als das arthmetsche Mttel, und dass nach dem Krterum der klensten Quadrate de umgekehrte ezehung glt! b) We lauten de z-standardserten Werte n der Merkmalsvertelung deser Stchprobe? c) Angenommen, man weß, dass das oben verwendete Messnstrument so konstruert st, dass be sehr großen Stchproben bzw. n der Populaton aller möglchen ewerber das arthmetsche Mttel 0 und de Streuung 15 beträgt. We lauten dann de z-standardserten Werte n bezug auf de Populaton? d) We groß st de Effektstärke des Stchprobenmttelwertes n ezug auf ene Stchprobe mt N 0 und enem arthmetsche Mttel von 98,4 und σ ˆ 11? Nun wssen Se, dass en anderes Messnstrument exstert, das de gleche Art von sozaler Kompetenz msst. Her legt der Mttelwert der Populaton aber be 50 und de Streuung be. Welche Werte hätten de ewerber dann be glecher Lestung n desem Testverfahren erhalten? We lauten der Mttelwert und de Streuung der Stchprobe auf desem Messnstrument? Da deser Tel der Aufgabe etwas Transfer erfordert, soll her der Lösungsansatz kurz skzzert werden: 85 115 1. Test z (x 1-0)/15-40 -1 0 + X z * +50 e dem Datensatz n desem Aufgabenblock st das Arthmetsche Mttel glech. Der Medan ergbt sch wegen der geraden Anzahl von Messwetten (n ) als Mttelwert des 5. und 6. Messwertes der geordneten Messrehe (s. Sete 7, zwetletzter Abschntt): (1+)/ 1,5. Wenn der Medan auf dese Wese ermttelt werden muss, so glt folgende Egenschaft, de m uch ncht erwähnt wurde: De Summe der etragsbwechungen st für alle Werte nnerhalb des Intervalls [((N+1)/)-ter Wert, ((N+)/)-ter Wert] dentsch. Also für alle Werte nnerhalb des Intervalls [1, ] n unserem espel st de Summe der etragsabwechung glech 18 und für alle Werte außerhalb des
Intervalls würde sch en größerer Wert ergeben (Krterum der mnmalen etragsabwechung, s. S. 73, oben). Ungeschckterwese wurde der Datensatz so ausgewählt, dass auch das arthmetsche Mttel mt gerade eben noch nnerhalb deses Intervalls legt: Demzufolge ergbt sch für das arthmetsche Mttel mt 18 deselbe Summe der etragsbwechungen we für den Medan. Um dese Problematk zu umgehen und auch de grafsche Lösung für den Datensatz (we se auf S. 76 für enen anderen Datensatz gezegt wurde) besser veranschaulchen zu können, soll folgender lecht modfzerter Datensatz (der Wert x 8 73 soll durch den Wert x 8 93 ersetzt werden) verwendet werden. 96 131 11 1 85 113 91 93 7 (Durch das Austauschen des Wertes 73 gegen den Wert 93 unterscheden sch das arthmetsche Mttel mt 4 und der Medan mt 1,5 deutlcher und das arthmetsche Mttel legt ncht mehr nnerhalb des Intervalls [1,]) zu Aufgabe a) Um de durchschnttlchen etrags- (s. Spalte 4 5) und quadrerten Abwechungen (s. Spalte 6-7) zu berechnen erstellen wr folgende Tabelle, de derjengen auf Sete 75 entsprcht. x (x -4) (x -1,5) x -4 x -1,5 (x -4) (x -1,5) 96-8 -5,5 8 5,5 64 30,5 131 +7 +9,5 7 9,5 79 8,5 11 +17 +19,5 17 19,5 89 380,5 1-3 -0,5 3 0,5 9,5 85-19 -16,5 19 16,5 361 7,5 113 +9 +11,5 9 11,5 81 13,5 91-13 -,5 13,5 169 1,5 93-11 -8,5 11 8,5 11 7,5 - +0,5 0,5 4,5 7 +3 +5,5 3 5,5 9 30,5 Σ 0 5 11 8 1836,0 1898,5 AM 0 0 11,4,8 187,60 189,85 Es zegt sch also, we auf S. 76 und 77 beschreben wurde, dass für den Medan ene gerngere Summe der etragsabwechungen resultert (Σ Medan 8 < Σ AM 114) und für de Summe der quadrerten Abwechung de umgekehrte ezehung glt (Σ Medan 1898,5 > Σ AM 1876). Obwohl des n der Aufgabenstellung ncht gefordert war, zegt de folgende Grafk entsprechend der Grafk auf Sete 76 de Datenpunkte und n Abhänggket von x de Summe der quadrerten Abwechungen QS 1 (x x) (96 x) + (131 x) +... + (7 x)
Dese Funkton nmmt genau be dem Wert x 4 den klensten Wert an. de Summe etragsabwechungen 1 x x 96 x + 131 x +... + 7 x Dese Funkton nmmt genau be dem Wert Medan 1,5 den klensten Wert an. 000 Medan 1,5 AM 4 8000 6000 4000 000 50 00 150 0 50 Summe der quadrerten Abwechungen Mnmum be Summe der etragsabwechungen Mnmum be 1,5 0 80 90 0 1 130 Messwerte zu Aufgabe b) De Stchprobenstandardabwechung ergbt sch als Wurzel des arthmetschen Mttels der zwetletzten Spalte n der obgen Tabelle : ( x x) ( x s n 1 1 4) 187,60 13, Durch z-transformaton erhält man de standardserten Werte, mt Mttelwert 0 und Streuung 1: z x x s x 4 13, x 96 131 11 1 85 113 91 93 7 z -,58 1,97 1,4 -, -1,39,66 -,95 -,80 -,15,
zu Aufgabe c) De Formel zur z-transformaton n ezug auf de Populaton lautet z µ, s x µ σ x 0 15 Wäre nur der Mttelwert der Populaton aber ncht de Streuung n der Populaton bekannt, so müsste de entsprechende Schätzung der Standardabwechung verwendet werden (s. Sete 85): ( x x) ( x ˆ σ n 1 1 1 4) 9 08,44 14,44 Der Wert ˆ σ 14, 44 könnte anders als s als erwartungstreue Schätzung von σ verwendet werden. z µ, sˆ x µ ˆ σ x 0 14.44 AM σˆ x 96 131 11 1 85 113 91 93 7 4 14,44 z µ,σ -,7,07 1,4 -, -1,39,66 -,95 -,80 -,15,,7,95 z µ,σ-dach -,8,15 1,45,07-1,04,90 -,95 -,6 -,48,14,8,99 Man beachte herbe, dass de n ezug auf de Populaton standardserten ncht mehr genau den Mttelwert 0 und de Standardabwechung 1 bestzen, da de Populatonskennwerte ncht mehr optmal an de Stchprobenverhältnsse angepasst snd. Der Stchprobenmttelwert (zwetletzte Spalte) legt mt 4 bespelswese,7 bzw.,8 Standardabwechungen oberhalb des theoretschen Mttelwertes µ. Aufgabe d) De Formel für de Effektstärke d lautet (s. Sete 91) x A x d, mt σˆ pooled ˆ σ pooled ( n A 1) σ A + ( n ( n 1) + ( n A 1) σ 1) ( 1) 14,44 + (0 1) 11 ( 1) + (0 1) 1876,6 + 99 8 1,1 4 98,4 Es ergbt sch dann ene Effektstärke von d 0.46. Deser Effekt kann 1,1 nach der Klassfkaton von Cohen (s. S. 9) als en mttlerer Effekt engestuft werden.
Zusatzfrage : Da wr wssen, dass das Populatonsmttel für den Ausgangstest (Test A) µ 0 und σ 15 beträgt, glt bespelwese für den ersten Wert x 1 96, dass deser z -,7 Standardabwechungen σ unterhalb von µ legt (s. Defnton der z-werte S. 88). Entsprechend muss der Wert deser Person auch m neuen Test -,7 Standardabwechungen σ unterhalb des Populatonsmttels µ 50 legen. Test A (96 0) / 15 -,7 Test (? 50) / -,7? (-,7 ) + 50 47,33 (s. S. 88 erste Formel) (s. S. 88 letzte Formel) Kennen wr den z-wert und de Standardabwechung und den Mttelwert enes belebgen Instrumentes, so brauchen wr nur n de Formel x, µ σ z σ + µ enzusetzen und wr wssen, welchem Wert auf desem Instrument der z-wert entsprcht. x 96 131 11 1 85 113 91 93 7 z 0,15 -,7,07 1,4 -, -1,39,66 -,95 -,80 -,15, x µ,σ 47,33,67 64 50,67 40 58,67 44 45,33 51,33 54,67 85 0 115 130 Test A: µ 5; σ 150 - -1 0 +1 + z-werte: µ 0; σ 1 30 40 50 60 Test : µ 50; σ µ - σ µ-σ µ µ+σ µ + σ allgemen Der Mttelwert n Test erhalten nutzen wr de Informaton der Tabelle zu Aufgabe c, dass der Mttelwert n Test A enen z-wert von,7 bestzt : Also muss der Mttelwert n Test ebenfalls,7 σ postv vom Mttelwert abwechen : x z σ + µ, 7 + 50 5, xa Um de Varanz n Test enfach ermtteln zu können (Formel s. S. 87), müssen wr de Lneartransformaton, de de Werte von Test A nach Test überführt. Dese können wr z.. folgendermaßen dentfzeren :
50 a 0 + b 40 a 85 + b 50 (0 a) 40 (85 a) 15 a a 0,67 sowe 50,67 0 + b b -17 Also glt : Test,67 Test A 17 Dann glt (s. S. 85) : s.67 s A 9,18 De Werte n Test hätten also enen Mttelwert von 5,7 und ene Stchprobenstreuung von s 9,18.