Graph der linearen Funktion

Ähnliche Dokumente
Lineare Funktionen und Funktionenscharen

Lineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen:

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag,

Lineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt.

t = 1 x- und y-werte sind direkt proportional zueinander mit dem Prortionalitätsfaktor m = y. x

4. Mathematikschulaufgabe

11 Üben X Affine Funktionen 1.01

TK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten

Aufgabe 5: Analytische Geometrie (WTR)

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV.

2. Mathematikschulaufgabe

7.1.2 Lineare Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen - Lösungen

Funktionsgraphen (Aufgaben)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes dieser beiden Geraden und erklären Sie Ihre Vorgehensweise!

1. Selbsttest Heron-Verfahren Gleichungen

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind.

Gegeben ist die Funktion mit 2 4. Bestimme die Punkte des Graphen von, dessen Tangenten durch den Punkt 1 2 verlaufen.

Analytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

1993 III Aufgabe. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade

m und schneidet die y-achse im Punkt P(0/3).

Download. Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1

1. Mathematikschulaufgabe

4.1. Aufgaben zu linearen Funktionen

Abitur 2017 Mathematik Geometrie VI

Lineare Funktionen Arbeitsblatt 1

Vektoren, Skalarprodukt, Ortslinien

20.0 Gegeben sind die Skizzen von Parallelogrammen. Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf. Benutze dabei nur die angegebenen Bezeichnungen.

Klasse 9 (Pluszweig) Lösungen

Analytische Geometrie

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln

m2l 60.odt Klausur 12/I B 1. Gegeben seien zwei Geraden. Wie gehen Sie vor, um über deren Lagebeziehung eine Aussage zu treffen.

Mathematik - 1. Semester. folgenden Zahlenpaare die gegebene Gleichung erfüllen:

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.9 Algebra Grafische Darstellungen und Lösungen REPETITIONEN

Neue Aufgaben, Oktober

Erreichte Punkte ALLGEMEINE MATHEMATISCHE KOMPETENZEN:

Ü b u n g s a r b e i t

Lineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen

4. Mathematikschulaufgabe

Arbeitsblätter Förderplan EF

Bestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle.

MATHEMATIK G10. (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte

1. Mathematikschulaufgabe

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis

Aufgabe W2a/2005 Eine Parabel hat die Gleichung 4 1. Durch den Scheitelpunkt der Parabel und durch den Punkt %6 5 geht die Gerade. Berechnen Sie die G

und schneidet die -Achse im Punkt 0 3. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von und. Lösung: 4 1;2 4

Klasse Dozent. Musteraufgaben. Gegeben sind die folgenden Graphen. Gib jeweils die zugehörige Funktionsgleichung an! f(x) = g(x) = h(x) = k(x) =

Mathematik - Arbeitsblatt Lineare Funktionen

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010

Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung

Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern

Themenerläuterung. Die wichtigsten benötigten Formeln 1. Der Umgang mit der Mitternachtsformel

Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Klausuren Jahrgangsstufe 11, 1. Halbjahr

1. Mathematikschulaufgabe

Demo für

f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5

Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung

Übungsaufgaben zu linearen Gleichungen und Funktionen117

3. Mathematikschulaufgabe

Geometrie. in 15 Minuten. Geometrie. Klasse

(Tip zu g): Die Ziffern bestehen aus aufeinanderfolgenden Quadratzahlen).

Grundwissen Jahrgangsstufe 9. Lösungen. 144c 6 + = ( d)² 144c6 + = ( d)². Berechne ohne Taschenrechner: a) 2,

Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

Abitur 2016 Mathematik Geometrie V

Aufgaben e-funktion. Gegeben sind die Funktionen f k (x) = x+k e x. a) Leite g(x) = 1 x k e x. ab.

E : y=0. g : x= ) +s ( 1 1. d = 17. Partnerquiz Punkte, Geraden und Ebenen im Raum Ausschneidebogen

Mathematik I Nachtermin Aufgabe P 1. Name: Vorname: Klasse: Platzziffer: Punkte: O 1

f(x) 1,71 1,92 0,33-0,96 3,75

Analysis 2. f(x) = x2 6x + 8 x 2 6x + 5 a) Ermitteln Sie den Definitionsbereich der Funktion f. Weisen Sie nach, dass gilt:

Bin ich in Mathe fit für die Oberstufe? Lösungen der Checkliste der Kompetenzen der Sekundarstufe I

Klasse Schulaufgabe Mathematik (Thema: Raumgeometrie)

Grundwissen Jahrgangsstufe 9. Lösungen. Berechne ohne Taschenrechner: a) 2, a) = -1, b) = = = 4000

Lösungen zum Arbeitsblatt: y = mx + b Alles klar???

3. Mathematikschulaufgabe

Zusammengesetzte Übungsaufgaben lineare Funktionen

Abitur 2013 Mathematik Geometrie V

a, b und c aus. Linearkombination der Vektoren b) Für einen Punkt P gilt: AP = a

4. Mathematikschulaufgabe

P 0 f (0) schneidet die Gerade mit der Gleichung x Ermitteln Sie die Koordinaten von S.

ABITURPRÜFUNG 2001 GRUNDFACH MATHEMATIK

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.

Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie V

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)

Algebra Für welche reellen Zahlen m hat das folgende Gleichungssystem nur die triviale

Lernkontrolle Relationen, Funktionen, lineare Funktionen

Die nach oben geöffnete Normalparabel verläuft durch die Punkte 1 5 und Die Parabel hat die Gleichung 2. Besitzen die beiden Parabeln

Mathematik 9/E1 oder 10/E1 Test zu den Übungsaufgaben Übergang in die Einführungsphase E1

Lk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1

Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI

Alle zu orthogonalen Tangenten müssen die Steigung 4,32 1 haben. 0, ,2723* 1,2** 6 Punktprobe mit %&1,2'1,2( 2* 3,6* 64,272 4,272 2* 3,6* 1,7280

1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13

m= und schneidet die y-achse im Punkt P(0/3).

Zentrale schriftliche Abiturprüfung Mathematik. Leistungskurs

Geraden. Somit scheiden die Gerade im Punkt N(-b/m; 0) die x-achse.

Transkript:

Graph der linearen Funktion Im unten stehenden Diagramm sind die Grafen der Funktionen f und g gezeichnet (a) Stelle die Gleichungen von f und g auf und berechne die Nullstellen der beiden Funktionen (b) Berechne die Nullstelle der Funktion h mit der Gleichung h() = +2 und 7 zeichne den Grafen von h in das Diagramm ein Berechne h(4) y f g Lösung: (a) f() = 2, g() = 2 +7 0f = 6 =,2, 0g = 7, (b) 0h = 4 = 4,6, h(4) = 8

y f h g 2 Der Graf der Funktion f ist eine Gerade durch die Punkte A( 2,) und B( ), der Graf der Funktion g ist eine Gerade durch den Punkt C(0,) mit der Steigung a g = und der Graf der Funktion h ist eine Gerade durch die Punkte D( 2 ) 4 und B (a) Zeichne die Grafen der Funktionen f, g und h in ein Koordinatensystem mit der Einheit cm Begründe kurz, wie du den Grafen von g zeichnest (b) Ermittle die Gleichungen der Funktionen f, g und h (c) Beweise, dass ( 2 ) g S ist der Schnittpunkt der Grafen von f und g Berechne die Koordinaten von S und den Flächeninhalt des Dreiecks DSB Lösung: (a) g : = 4 = y = a g = (b) Steigung von f: a f = ( 2,) = 8 =,87 g D y C h +4 S B f f() = 2,+ 8 ( ) = 0 6 = 8 + 8 = 4,7+,87 2 A g() =, 0,7, h() = (c) g( 2) =, ( 2) =,+, =, 4 S 2 : 8 + 8 = 7 2 4

2 8 = 6 8 = = = y = 7 2 4 = 4 =,2 = S(,2) A = 2 DB (,2) = 7,7 =,2[FE] 2 DerGrafderFunktionf isteinegeradedurchdenpunktea( 2 )mitder Steigung a = 4 7 Die Gleichung der Funktion g ist g() = 4 (a) Zeichne die Grafen der Funktionen f und g in ein Koordinatensystem mit der Einheit cm Begründe kurz, wie du den Grafen von f zeichnest (b) Ermittle die Gleichung der Funktionen f und berechne die Nullstellen von f und von g (c) S ist der Schnittpunkt der Grafen von f und g Berechne die Koordinaten von S und den Flächeninhalt des kleinen Dreiecks, das von den Grafen von f und von g und von der -Achse gebildet wird Lösung: (a) f : = 7 = y = a = 4 y (b) f() = 4 7 +b ( 2 ) f = 4 7 ( 2)+b = A 4 +7 g b = 8 7 = 7 S 4 f() = 4 7 + 7 0 6 f() = 0 = = 4 =,2 g() = 0 = 2 = 2 = 2,4 2 f (c) S : 4 7 + 7 = 4 28 = 4 7 = S = 8 = y S = g ( ) 8 = 8 4 = A = 2 ( 2 ) y S = 2 0,8 = 7 20 = 0,46[FE] ( 8 = S ) 4 (a) Steigung der Geraden 4 2y = 0 (b) 7 ( 24) = 0 (c) Die Gerade h : + y = 0 bildet mit der positiven -Achse einen Winkel von (d) Der Stundenzeiger überstreicht in Stunde einen Winkel der Größe (e) y-abschnitt der Geraden g : y 2 = 0 Quelle: Kreuzzahlrätsel von Ulrike Schätz

Lösung: (a) 2 (b) = 24 (c) 4 (d) 0 (e) 2 (a) y-achsenabschnitt der Geraden g : y +0 = 0 (b) 6 = 0 2 : 0; = (c) Steigung der Geraden k : y + = 0 (d) 6! 2! (!!) (4! 4) = (e) Größe des Winkels, den die Gerade h : y 6 = 0 mit der positiven -Achse bildet Quelle: Kreuzzahlrätsel von Ulrike Schätz Lösung: (a)6 (b) (c) 0 (d) 20 (e) 4 6 (a) y-abschnitt der Geraden k : 2 0,y+2 = 0 (b) Flächeninhalt des Rechtecks WIEN mit W( ), I(2 ), E(2 7) und N( 7) (c) Steigung jedes Lotes zur Geraden g : 0,0+y = 0 (d) Flächeninhalt des Dreiecks LEA mit L(0 6), E(0 8) und A(8 0) Quelle: Kreuzzahlrätsel von Ulrike Schätz Lösung: (a) 24 (b) (7+) (+2) = 62 (c) 20 (d) 2 (6+8) 8 = 26 7 Gegeben ist die lineare Funktion f() = (a) Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem Zeigen Sie, dass der Punkt P( 9 92) auf dem gegebenen Graphen liegt (b) Beschreiben Sie einen Weg, wie Sie die Gleichung einer weiteren linearen Funktion finden, deren Graph ebenfalls durch den Punkt P( 9 92) geht (c) Gegeben sind lineare Funktionen g m mit g m () = m+2 Unter welchen Bedingungen für m schneiden sich die Fraphen von f und g m im II Quadranten Quelle: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss Lösung: (a) f( 9) = ( 9) = 92 (b) Möglichkeit: beliebigen Punkt Q wählen und Geradengleichung durch P und Q aufstellen 2 Möglichkeit: Beliebigen Steigung m wählen und Geradengleichung durch P mit Steigung m aufstellen (c) f() = g m () Schnittpunkt S( ) für m II Quadrant für m+ < 0 und 2 m m+ m+ 2 m m+ > 0 < m < 2 4

8 Weise durch Rechnung nach, dass die Punkte A( 4 ), B(4 2) und C(7 4 ) auf einer Geraden liegen Lösung: Die Steigungen der beiden Geraden AB und AC stimmen überein (m = 0,7) 9 Weise durch Rechnung nach, dass die Punkte A( 0/27), B(9/0) und C(47/ 27) ein Dreieck bilden! Lösung: Die Steigungen der Geraden AB und AC stimmen nicht überein die Punkte A, B und C liegen nicht auf einer Geraden die Punkte A, B und C bilden ein Dreieck 0 (a) Zeichne das Viereck ABCD mit A( 4), B(4 ), C( ) und D( 2 2) in ein Koordinatensystem (Platzbedarf: 8, 7 y 7) (b) Zeige mit Hilfe geeigneter Geradengleichungen, daß das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist (c) Gib seinen Flächeninhalt an (d) Konstruiere ein flächengleiches Parallelogramm mit a =,cm und b = 8cm Lösung: c) A 8,8cm 2 In einem Koordinatensystem (Längeneinheit cm) sind die Punkte A(7 0) und B( 4) sowie die Gerade g durch die Gleichung 4y +2 = 0 gegeben (a) Zeichne die Punkte A und B sowie (mit Hilfe eines Steigungsdreiecks) die Gerade g in das Koordinatensystem ein! (b) Die Gerade g schneidet die y-achse im Punkt C und die -Achse im Punkt D Berechne die Koordinaten von C und D! (c) Ermittle eine Gleichung der durch die Punkte A und B bestimmten Geraden g 2 in epliziter Form! (d) Berechne ausführlich den Inhalt des Vierecks ABCD! Lösung: (b): C(0 ), D( 4 0); (c) : y = 2+4; (d) : A ABCD = 27,cm 2 2 (a) Zeige, dass der Punkt P( ) auf der Geraden mit der Gleichung y = 2+ liegt (b) Gib die Gleichung irgendeiner weiteren Geraden an, auf welcher der Punkt P( ) liegt Quelle: Bayerischer Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 0 der Gymnasien 2004

Lösung: (a) 2 + = P liegt auf der Gerade (b) Z B y = +6 Prüfe durch Rechnung, ob die Punkte A(,), B( 0) und C(0,,) auf einer Geraden liegen (Rechne mit Brüchen) Lösung: Die Gerade AB hat die Gleichung y = 7, C liegt also nicht auf AB 2 + 7 4 Einsetzen von = 0, ergibt y = 24 4 Untersuche rechnerisch, ob die drei Punkte A( 6 4), B( ) C( 7 ) auf einer Geraden liegen Lösung: C / AB Die Punkte A(2 ) und B(7 7) bestimmen den Graphen einer linearen Funktion g (a) Bestimme den Funktionsterm g() (b) Gib den Funktionsterm einer linearen Funktion f an, deren Graph parallel zu dem von g verläuft und durch den Punkt R( 2) geht Lösung: g() = 4 + 7, f() = 4 2 6 Wie lautet die Funktionsgleichung der Parallelen zu y = 7 2 P(8 2)? durch den Punkt Lösung: y = 7 6 7 Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch P( 2) geht und zu der Geraden durch A(0 ) und B( ) parallel ist? Lösung: y = 4 0 + 8 Weise durch Rechnung nach, dass die Punkte A( 7 6 ), B( ) und C( ) auf einer Geraden liegen Lösung: Die Steigungen der beiden Geraden AB und AC stimmen überein (m = 0,8) 6

9 Bestimme das? durch Rechnung so, daß die drei Punkte A( 4), B(? 7) und C( 2 8) auf einer Geraden liegen Lösung:? = 20 Gegeben ist die Funktion f : 2 (a) Begründe ohne Zeichnung, in welchen Quadranten der Graph der Funktion verläuft (b) Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und zeichne den Graphen (c) Zeige durch Rechnung, dass der Punkt P( 9) auf dem Graphen, der Punkt Q( 2 ) jedoch nicht auf dem Graphen liegt (d) Wie lautet die Funktionsvorschrift derjenigen linearen Funktion, auf deren Graphen sowohl P als auch Q liegt Lösung: (b) =,; y = (d) y = 4 9,8 2 Kennzeichne in einem kartesischen Koordinatensystem unter genauer Beachtung der Ränder mit Farbe diejenige Punktmenge, die zugleich alle folgenden Bedingungen erfüllt: 6y +8 > 0 ; 6 0 ; y 4 Lösung: 22 Bestimme durch Zeichnung die Menge aller Punkte (, y), die folgende beide Bedingungen erfüllen: y > und 2y + < 2 Lösung: 7

2 In der nebenstehend abgebildeten Grafik ist das Viereck ABCD ein Quadrat der Seitenlänge und es ist EB =, BF = 2 und DG = 6 D G C 4 H 2 F 0 A E 0 2 4 6 B y (a) Ermittle die Funktionen f und g deren Grafen die Geraden EF und EH sind (b) Formuliere einen algebraischen Zusammenhang zwischen den Zahlen in den Funktionstermen f() und g(), die die Steigung der Grafen wiedergeben (c) Begründe, dass die vier Dreiecke EBF, FCG, GDH und HAE kongruent sind (d) Begründe, dass das Viereck EFGH ein Quadrat ist Welche Aussage kann man daraus für die Lage der Gerade EF bezüglich der Geraden EH ableiten? (e) Formuliere aus den Erkenntnissen der vor stehenden Aufgaben einen mathematischen Satz, der einen Zusammenhang zwischen den Parametern in den Funktionstermen, die die Steigung wiedergeben und der Lagebeziehung der Grafen der zugehörigen Funktionen herstellt 8

(a) f : y = f() = 2,g : y = g() = + 2 2 (b) ( 2 2) = (c) Begründung mit dem SWS Satz (alle vier Dreiecke stimmen in den Längen zwei entsprechender Seiten und dem 90 Winkel, den die zugehörigen Seiten einschließen, überein) (d) Wegen der vorigen Teilaufgabe haben sind die vier Seiten des Vierecks EFGH gleich lang Jeder der vier Innenwinkel bildet zusammen mit je zwei (unterschiedlichen) Innenwinkel der benachbarten Dreiecke einen gestreckten Winkel Da die beiden (verschiedenen) Innenwinkel der benachbarten Dreiecke ein Winkelsumme von 90 haben, ist jeder Innenwinkel von EFGH ein 90 Winkel (e) Das Produkt der Steigungen zweier affinder Funktionen, deren Graphen senkrecht zueinander sind, ist - 9