Zahlensysteme Dezimal-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:10 Basis: 10 Kennzeichnung: Index 10 oder D (dezimal) Wertigkeit 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 Wert 100 000 10 000 1 000 100 10 1 Beispiel 5 4 0 1 9 8 Rechnung 5x10 5 + 4x10 4 + 0x10 3 + 1x10 2 + 9x10 1 + 8x10 0 = 540 198 (D) Dual-System Zahlenvorrat: 0,1, Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:2 Basis: 2 Kennzeichnung: Index 2 oder B (binär) Wertigkeit 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 Wert 32 16 8 4 2 1 Beispiel 1 1 0 0 1 0 Rechnung 1x2 5 + 1x2 4 + 0x2 3 + 0x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 = 50 (D) 4er-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3 Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:4 Basis: 4 Kennzeichnung: Index 4 Wertigkeit 4 5 4 4 4 3 4 2 4 1 4 0 Wert 1024 256 64 16 4 1 Beispiel 0 2 1 2 3 1 Rechnung 0x4 5 + 2x4 4 + 1x4 3 + 2x4 2 + 3x4 1 + 1x4 0 = 621 (D) 5er-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4 Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:5 Basis: 5 Kennzeichnung: Index 5 Wertigkeit 5 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 0 Wert 3125 625 125 25 5 1 Beispiel 0 3 3 4 4 1 Rechnung 0x5 5 + 3x5 4 + 3x5 3 + 4x5 2 + 4x5 1 + 1x5 0 = 2371 (D) S e i t e 1 8
8er-Oktal-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4,5,6,7 Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:8 Basis: 8 Kennzeichnung: Index 8 oder o (Oktal) Wertigkeit 8 5 8 4 8 3 8 2 8 1 8 0 Wert 32768 4096 512 64 8 1 Beispiel 0 0 1 6 5 7 Rechnung 0x8 5 + 0x8 4 + 1x8 3 + 6x8 2 + 5x8 1 + 7x8 0 = 943 (D) 16er- Hexadezimalimal-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:16 Basis: 16 Kennzeichnung: Index 16 oder H (hexadezimal) Wertigkeit 16 5 16 4 16 3 16 2 16 1 16 0 Wert 1048576 65536 4096 256 16 1 Beispiel 0 1 A 0 9 B Rechnung 0x16 5 + 1x16 4 + 10x16 3 + 0x16 2 + 9x16 1 + 11x16 0 = Hilfezeile 0 65536 40960 0 144 11 106651 (D) S e i t e 2 8
Divisionsverfahren: Anwendung: 10er System in jedes andere Zahlensystem Beispiel: Umwandlung in Binärsystem 1. Teile die Zahl mit Rest durch 2. 2. Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). 3. Falls der (ganzzahlige) Quotient = 0 ist, bist du fertig, 4. andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl und wiederhole ab (1) 1234 : 2 = 617 Rest 0 617 : 2 = 308 Rest 1 308 : 2 = 154 Rest 0 154 : 2 = 77 Rest 0 77 : 2 = 38 Rest 1 38 : 2 = 19 Rest 0 19 : 2 = 9 Rest 1 9 : 2 = 4 Rest 1 4 : 2 = 2 Rest 0 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 1234 (10)=10011010010(2) Beispiel: Umwandlung in Hexadezimalsystem 1. Teile die Zahl mit Rest durch 16. 2. Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). 3. Falls der (ganzzahlige) Quotient = 0 ist, bist du fertig, 4. andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl und wiederhole ab (1) 5116 : 16 = 319 Rest 12 =C 319 : 16 = 19 Rest 15 =F 19 : 16 = 1 Rest 3 1 : 16 = 0 Rest 1 5116(10)=13FC(16) S e i t e 3 8
Potenzwertverfahren: Anwendung: Jedes andere Zahlensystem ins 10er System Beispiel:2-er System in 10er System 1. Wir schreiben eine Tabelle mit den 2er Potenzen und ihrem entsprechenden Wert. 2. Nun tragen wir die Binärzahl in die entsprechende Tabelle. 3. Wir Multiplizieren den Binärwert mit dem Dezimalwert. z.b. 2048x1=2048 4. Wir Summieren die erhaltenen Werte Stelle 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Wertigkeit 2 11 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 Dezimal 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 Wert Binärwert 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 110001110101 (b) Rechnung 2048+ 1024+ 0+ 0+ 0+ 64+ 32+ 16+ 0+ 4+ 0+ 1= 3189 (D) Beispiel: 16-er System in 10er System 1. Wir schreiben eine Tabelle mit den 16er Potenzen und ihrem entsprechenden Wert. 2. Nun tragen wir die Binärzahl in die entsprechende Tabelle. 3. Wir Multiplizieren den Hexadezimalwert mit dem Dezimalwert. z.b. 9x16=144 4. Wir Summieren die erhaltenen Werte Wertigkeit 16 5 16 4 16 3 16 2 16 1 16 0 Wert 1048576 65536 4096 256 16 1 Beispiel 0 1 A 0 9 B 01A09B (h) Rechnung 0x16 5 + 1x16 4 + 10x16 3 + 0x16 2 + 9x16 1 + 11x16 0 = Hilfezeile 0 65536 40960 0 144 11 106651 (D) S e i t e 4 8
Direkte Umwandlungen: 2-er System in 16er System Jeweils 4 Binärstellen entsprechen einer Hexadezimalstelle, denn 16 = 2 4. Daher lässt sich dieses System ohne Umweg direkt und stellenweise umwandeln: Unterteile die Binärzahl von rechts nach links in 4er- Päckchen, und wandle jedes Päckchen nach nebenstehender Tabelle in die entsprechende Hexadezimalziffer um. 0100 1001 1010 0000 0010( 2)= 49A02( 16) 0100 1001 1010 0000 0010 4 9 A 0 2 16-er System in 2er System Wandle die Hexadezimalziffern der Reihe nach gemäss nebenstehender Tabelle in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um. 4 9 A 0 2 0100 1001 1010 0000 0010 2-er System in 8 er System Jeweils 3 Binärstellen entsprechen einer Oktal Stelle, denn 8 = 2 3. Daher lässt sich dieses System ohne Umweg direkt und stellenweise umwandeln: Unterteile die Binärzahl von rechts nach links in 3er-Päckchen, und wandle jedes Päckchen nach nebenstehender Tabelle in die entsprechende Hexadezimalziffer um. (Das ganz links stehende Packet kann allenfalls mit Nullen aufgefüllt werden) 01 001 001 101 000 000 010( 2)= 1115002( 8) 001 001 001 101 000 000 010 1 1 1 5 0 0 2 8-er System in 2er System Wandle die Oktal Ziffern der Reihe nach gemäss nebenstehender Tabelle in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um. 1 1 1 5 0 0 2 001 001 001 101 000 000 010 Binär Oktal 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 S e i t e 5 8
2er System in 4 er System Jeweils 2 Binärstellen entsprechen einer Oktal Stelle, denn 4 = 2 2. Daher lässt sich dieses System ohne Umweg direkt und stellenweise umwandeln: Unterteile die Binärzahl von rechts nach links in 2er-Päckchen, und wandle jedes Päckchen nach nebenstehender Tabelle in die entsprechende Hexadezimalziffer um. (Das ganz links stehende Packet kann allenfalls mit Nullen aufgefüllt werden) 11 01 00 10( 2)= 1115002( 4) 11 01 00 10 3 1 0 2 Binär 4er 00 0 01 1 10 2 11 3 4-er System in 2er System Wandle die Oktal Ziffern der Reihe nach gemäss nebenstehender Tabelle in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um. 3 1 0 2 11 01 00 10 S e i t e 6 8
Zahlensystem Umwandlungsmöglichkeiten Wertigkeit im 2er Zahlensystem 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X X^16 X^15 X^14 X^13 X^12 X^11 X^10 X^9 X^8 X^7 X^6 X^5 X^4 X^3 X^2 X^1 X^0 2 65536 32768 16384 8192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 Wertigkeiten anderer Zahlensysteme Wertigkeit Stelle 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X X^9 X^8 X^7 X^6 X^5 X^4 X^3 X^2 X^1 X^0 2 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 3 19683 6561 2187 729 243 81 27 9 3 1 4 262144 65536 16384 4096 1024 256 64 16 4 1 5 1953125 390625 78125 15625 3125 625 125 25 5 1 6 10077696 1679616 279936 46656 7776 1296 216 36 6 1 7 40353607 5764801 823543 117649 16807 2401 343 49 7 1 8 134217728 16777216 2097152 262144 32768 4096 512 64 8 1 9 387420489 43046721 4782969 531441 59049 6561 729 81 9 1 10 1000000000 100000000 10000000 1000000 100000 10000 1000 100 10 1 16 68719476736 4294967296 268435456 16777216 1048576 65536 4096 256 16 1 S e i t e 7 8
Rechnen mit Anderen Zahlensystemen Addition von Dualzahlen Bei der Addition von Dualzahlen gelten im Prinzip die gleichen Regeln, wie bei der Addition von Dezimalzahlen. Übersteigt die Addition an einem Stellenwert den höchstmöglichen Stellenwert, dann erfolgt ein Übertrag in der nächsten Stelle. Rechenregeln 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 + 1 Übertrag 1 + 1 + 1 = 1 + 1 Übertrag Beispiel 1 1 0 1 1 1 1 0 0 = 444 + 1 0 0 1 1 0 1 0 = 154 Ü 1 1 1 1 1 --------------------- 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 = 512 + 64 + 16 + 4 + 2 = 598 Addition von Hexadezimalzahlen Am besten nimmt man eine Tabelle mit dem Hexadezimalsystem daneben. z.b. Haben viel ASCI- Tabellen auch eine Hex-Tabelle integriert. 1 2 A B C + 3 8 C B A Ü 1 1 1 ----------- 4 B 7 7 6 1. Schritt: C + A => C=12+A=10 =>22(d)=16(h) 2. Schritt: B+B+1 =>11+11+1=23(d)=17(h) 3. Schritt: A+C+1 =>10+12+1=23(d)=17(h) 4. Schritt: 2+8+1=>11(d)=B 5. Schritt: 1+3=>4 S e i t e 8 8