2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für alle x R gibt affin-linear, wenn a, b R existieren, so dass f (x) = ax + b für alle a, b R gilt

Theorem Seien (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2 zwei vorgegebene Punkte, wobei x 1 x 2 gilt. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Funktion f : R R mit f (x 1 ) = y 1 und f (x 2 ) = y 2. Beweis: Die gesuchte Funktion hat die Form f (x) = ax + b mit a, b R. Es soll f (x 1 ) = y 1 und f (x 2 ) = y 2 gelten, also ax 1 + b = y 1 und ax 2 + b = y 2. Subtraktion der beiden Gleichungen liefert a(x 2 x 1 ) = y 2 y 1, also a = y 2 y 1 x 2 x 1. Durch Umstellen der Gleichung ax 1 + b = y 1 erhält man b = y 1 ax 1. Also gibt es für a und b nur eine Möglichkeit ( Eindeutigkeit).

Zum Nachweis der Existenz überprüfen wir noch, dass die Funktion f (x) = ax + b mit den so gewählten Parametern a und b tatsächlich durch die beiden Punkte läuft. Wegen a = y 2 y 1 x 2 x 1 und b = y 1 ax 1 = y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 erhalten wir f (x 1 ) = ax 1 + b = ax 1 + (y 1 ax 1 ) = y 1 und f (x 2 ) = ax 2 + b = y 2 y 1 x 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x 2 x 1 ) + y 1 = (y 2 y 1 ) + y 1 = y 2.

Lineare Regression In vielen Anwendungen möchte man einen Datensatz lediglich durch eine affin-lineare Funktion approximieren. Dies bedeutet folgendes: Gegeben eine Punktmenge {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n )} R 2. Gesucht ist eine affin-lineare Funktion f (x) = ax + b mit der Eigenschaft, dass die Summe der Fehlerquadrate n (y i f (x i )) 2 möglichst klein wird. i=1

Sei x = 1 n (x 1 +... + x n ) der Durchschnitt der x-werte, ebenso ȳ = 1 n (y 1 +... + y n ) der Durchschnitt der y-werte. Satz Wählt man die Parameter a und b der affin-linearen Funktion mit Hilfe der Formeln a = n i=1 (x i x)(y i ȳ) n i=1 (x i x) 2 = n i=1 x iy i n xȳ n i=1 x 2 i n x 2 und b = ȳ a x, dann ist die Summe der Fehlerquadrate minimal. Den Beweis des Satzes müssen wir auf später verschieben, weil wir dafür Methoden zur Extremwertberechnung brauchen. Wir zeigen hier lediglich, dass die beiden Ausdrücke für a denselben Wert liefern.

Es gilt n (x i x)(y i ȳ) = i=1 n x i y i x i=1 n (x i y i xy i x i ȳ + xȳ) = i=1 n y i ȳ i=1 n x i + i=1 n x i y i n xȳ n xȳ + n xȳ = i=1 n xȳ = i=1 n x i y i n xȳ. Dies zeigt, dass in der Gleichung die beiden Ausdrücke in den Zählern übereinstimmen. Setzt man in der soeben bewiesenen Gleichung y i = x i für 1 i n, dann sieht man, dass auch die Ausdrücke in den beiden Nennern gleich sind. i=1

Beispiel für die Anwendung der Linearen Regression Gegeben sei die folgende Wertetabelle. x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 y 1.2 0.8 2.1 3.2 3.5 4.7 4.3 5.1 6.1 y 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x

Berechnung der Durchschnittswerte x = 1 9 (1.0 + 1.5 + 2.0 + 2.5 + 3.0 + 3.5 + 4.0 + 4.5 + 5.0) = 3 ȳ = 1 9 (1.2 + 0.8 + 2.1 + 3.2 + 3.5 + 4.7 + 4.3 + 5.1 + 6.1) 3, 44 Bestimmung der Geradenparameter 9 x i y i = 1.0 1.2 + 1.5 0.8 +... + 5.0 6.1 = 112, 2 i=1 9 xi 2 = 1.0 2 + 1.5 2 +... + 5.0 2 = 96 i=1 a = n i=1 x iy i n xȳ n i=1 x 2 i n x 2 19, 32 15 b = ȳ a x 0.43 1, 29

Die gesuchte Regressionsgerade ist also gegeben durch f (x) = 1, 29x 0, 43 y 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x

(2) Polynomfunktionen Definition Eine Polynomfunktion ist eine Funktion f : R R der Form f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 mit n N 0 und a 0,..., a n R. Ist a n 0, dann nennt man n den Grad des Polynoms f. Die Zahlen a 0,..., a n R sind die Koeffizienten von f. Die Ausdrücke a k x k sind die Terme des Polynoms. Im Fall a n 0 ist a n x n der Leitterm und a n der Leitkoeffizient des Polynoms. Konstante Funktionen sind Polynomfunktionen vom Grad 0. Affin-lineare Funktionen sind Polynomfunktionen vom Grad 1.

Das Verhalten der Polynomfunktion für x und x + hängt vom Leitterm ab. Ist der Grad von f ungerade und der Leitkoeffizient positiv, dann gilt lim f (x) = und lim f (x) = + x x + (d.h. f wird für x stark negativ und für x + stark positiv). Ist der Grad von f gerade, ungleich Null, und der Leitkoeffizient positiv, dann gilt lim f (x) = + und lim f (x) = + x x +

Beispiele für Polynomfunktionen f (x) = x 2 2x 1 = (x 1) 2 2 y 3 2 1 2 1 1 2 3 x 1 2

f (x) = x 3 4 y 3 2 1 2 1 1 2 x 1 2 3 4

f (x) = x 3 4 y 3 2 1 2 1 1 2 x 1 2 3 4

f (x) = x 3 3x + 1 4 y 3 2 1 3 2 1 1 2 3 x 1 2 3 4

Wichtige Eigenschaften von Polynomfunktionen Satz (Approximationssatz von Weierstrass) Sei f : [a, b] R eine beliebige stetige Funktion (d.h. eine Funktion ohne Sprungstellen ). Dann gibt es für jedes ε R + eine Polynomfunktion p, so dass f (x) p(x) < ε für alle x [a, b] gilt. Jede stetige Funktion auf einem endlichen Intervall [a, b] kann also durch eine Polynomfunktion beliebig gut approximiert werden. In vielen Anwendungen können deshalb kompliziertere Funktionen durch Polynomfunktionen ersetzt werden.

Satz (Interpolationssatz) Sei n N. Gibt man n + 1 Punkte (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) R 2 mit verschiedenen x-koordinaten x k vor, dann gibt es eine eindeutig bestimmte Polynomfunktion p vom Grad n, welche diese Punkte durchläuft. Die Funktion p erfüllt also p(x k ) = y k für 0 k n. Beispielsweise gibt es genau eine Polynomfunktion vom Grad 3 durch die Punkte ( 1, 3), (0, 1), (1, 2) und (2, 1). Wie findet man ein solches Polynom?

Das gesuchte Polynom hat die Form p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mit unbekannten Koeffizienten a, b, c, d R. Weil p durch den Punkt ( 1, 3) laufen soll, muss p( 1) = 3 gelten, also a( 1) 3 + b( 1) 2 + c( 1) + d = 3 a + b c + d = 3. Ebenso liefern die Forderungen p(0) = 1, p(1) = 2, p(2) = 1 jeweils eine Gleichung für a, b, c, d. Insgesamt erhalten wir somit ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten, und zwar a + b c + d = 3 d = 1 a + b + c + d = 2 8a + 4b + 2c + d = 1

Einsetzen des bereits bekannten Wertes d = 1 in die übrigen drei Gleichungen liefert a + b c + ( 1) = 3 a + b + c + ( 1) = 2 8a + 4b + 2c + ( 1) = 1 was umgeformt werden kann zu a + b c = 4 a + b + c = 3 8a + 4b + 2c = 2 Für die Lösung solcher Systeme gibt es ein einfaches Verfahren.

Exkurs: Das Gaußsche Eliminationsverfahren Gesucht ist ein Lösungsvektor x = (x 1,..., x n ) für ein lineares Gleichungssystem (LGS) der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2.... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m mit vorgegebenen Koeffizienten a ij R, 1 i m, 1 i n und b i R, 1 i m. Wir beschränken uns auf den Fall, dass das LGS eindeutig lösbar ist. Im allgemeinen Fall kann das System unendlich viele verschiedene Lösungen haben oder auch unlösbar sein.

Ablauf: (1) Tausche eine Gleichung nach oben, in der die Variable x 1 vorkommt. (2) Multipliziere die Gleichung mit einem Faktor, so dass der Koeffizient von x 1 zu 1 wird. (3) Für 2 k m, addiere ein Vielfaches der ersten Gleichung zur k-ten Gleichung, wobei das Vielfache so gewählt wird, dass die Variable x 1 aus der k-ten Gleichung verschwindet. (4) Nach Schritt (3) kommen in den unteren m 1 Gleichungen nur noch die Variablen x 2,..., x n vor. Suche aus diesen Gleichungen eine aus, die x 2 enthält, vertausche diese mit der zweiten Zeile. (5) Wende nun Schritt (2) und (3) entsprechend auf die Variable x 2 und die zweite bis m-te Gleichung an. (6) Verfahre entsprechend mit x 3, x 4,..., x m. Anschließend hat das LGS die folgende Dreiecksgestalt.

x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2..... x n 1 + a n 1,n x n = b n 1 x n = b n (7) Setze den gefundenen Wert b n für x n in die vorletzte Gleichung ein, um x n 1 zu erhalten. (8) Setze anschließend x n 1 und x n in die drittletzte Gleichung ein, um x n 2 zu erhalten usw., bis alle Werte einschließlich x 1 gefunden wurden.

Wir wenden das Verfahren an, um eine Lösung für das LGS von oben zu bestimmen. a + b c = 4 a + b + c = 3 8a + 4b + 2c = 2 a b + c = 4 a + b + c = 3 8a + 4b + 2c = 2 a b + c = 4 2b = 7 12b 6c = 34 a b + c = 4 7 b = 2 12b 6c = 34 a b + c = 4 7 b = 2 6c = 8 a b + c = 4 b = c = Einsetzen von b und c in die obere Gleichung liefert a 7 2 + 4 3 = 4 a = 11 6. Das gesuchte Polynom ist also 7 2 4 3 p(x) = 11 6 x 3 + 7 2 x 2 + 4 3 x 1.

Weitere Anwendung linearer Gleichungssysteme: Mischungsrechnung Ziel ist die Herstellung von 100 ml einer Lösung, in der drei Stoffe A, B und C jeweils mit einer Konzentration von 3 mol/l vorkommen. Zur Verfügung stehen vier Lösungen L 1, L 2, L 3, L 4 mit folgenden Konzentrationen. A B C L 1 9, 5 mol/l 1 mol/l 0, 5 mol/l L 2 0, 5 mol/l 11, 5 mol/l 1, 5 mol/l L 3 2 mol/l 1 mol/l 12, 5 mol/l L 4 0 mol/l 0 mol/l 0 mol/l Welche Volumina v 1, v 2, v 3, v 4 der Lösungen L 1, L 2, L 3, L 4 müssen gemischt werden, damit eine Lösung mit den richtigen Konzentrationen entsteht?

Aufstellen des Linearen Gleichungssystems Die vier Unbekannten v 1, v 2, v 3, v 4 sind die Flüssigkeitsvolumina in Liter. Das Gesamtvolumen soll 100 ml = 0, 1 l betragen. v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0, 1 In den 100 ml sollen sich 0, 3 mol von Stoff A befinden (entspricht einer Konzentration von 3 mol/l). In v 1 Litern von Lösung L 1 befinden sich 9, 5v 1 mol, in den anderen drei Lösungen 0, 5v 2, 2v 3 und 0v 4, es soll also gelten 9, 5v 1 + 0, 5v 2 + 2v 3 = 0, 3 Genauso erhält man für die Stoffe B und C die beiden Gleichungen v 1 + 11, 5v 2 + v 3 = 0, 3 0, 5v 1 + 1, 5v 2 + 12, 5v 3 = 0, 3

Auflösen des LGS mit dem Gaußverfahren v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0, 1 9, 5v 1 + 0, 5v 2 + 2v 3 = 0, 3 v 1 + 11, 5v 2 + v 3 = 0, 3 0, 5v 1 + 1, 5v 2 + 12, 5v 3 = 0, 3 v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0, 1 9v 2 7, 5v 3 9, 5v 4 = 0, 65 10, 5v 2 v 4 = 0, 2 v 2 + 12v 3 0, 5v 4 = 0, 25 v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0, 1 v 2 + 0, 833v 3 + 1, 056v 4 = 0, 0722 10, 5v 2 v 4 = 0, 2 v 2 + 12v 3 0, 5v 4 = 0, 25

v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0, 1 v 2 + 0, 833v 3 + 1, 056v 4 = 0, 0722 8, 747v 3 12, 088v 4 = 0, 5581 11, 167v 3 1, 556v 4 = 0, 1778 v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0, 1 v 2 + 0, 833v 3 + 1, 056v 4 = 0, 0722 v 3 + 1, 382v 4 = 0, 0638 11, 167v 3 1, 556v 4 = 0, 1778 v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0, 1 v 2 + 0, 833v 3 + 1, 056v 4 = 0, 0722 v 3 + 1, 382v 4 = 0, 0638 16, 989v 4 = 0, 5347 Wir erhalten v 4 0, 0315 l = 31, 5 ml. Rückwärtseinsetzen liefert v 3 20, 3 ml, v 2 22, 0 ml und v 1 26, 1 ml.

(3) Wurzelfunktionen Definition Sei f : D R eine Funktion. Eine Funktion g : D R heißt Umkehrfunktion von f, wenn für alle (x, y) R 2 die Äquivalenz Definition y = f (x) g(y) = x gilt. Für jedes k N ist die k-te Wurzelfunktion k die Umkehrfunktion von f k : R + R +, x x k. Für alle x, y R + gilt also y = x k k y = x. Beispiele: Es gilt 2 25 = 5, da 5 2 = 25 Hinweis: Schreibweisen a und 2 a sind gleichbedeutend Es gilt 3 64 = 4, da 4 3 = 64.

Der Funktionsgraph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des Funktionsgraphens der Ausgangsfunktion an der Geraden y = x. Beispiel: Quadrat- und Quadratwurzelfunktion y 4 3 2 1 1 2 3 4 x Die Wurzelfunktionen wachsen langsamer als jede affin-lineare Funktion.

Mit Hilfe der Wurzelfunktionen können beliebige rationale Potenzen einer positiven reellen Zahl definiert werden. Man definiert y a/b = b y a = ( b y) a für y R +, b N, a Z. Beispiele: 25 3/2 = 25 3 = 5 6 = 5 3 = 125 2 2/3 = 3 2 2 = 3 4 27 2/3 = 3 27 2 = 3 2 = 1 9 Es gelten die Rechenregeln y r+s = y r y s, (y r ) s = y rs für alle y R + und r, s Q.