Biostatistik, Winter 2011/12 Summen, Exponentialfunktion, Ableitung Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 2. Vorlesung: 04.11.2011 1/46 Inhalt 1 Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen 2 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Logarithmus Lambert-Beer Gesetz 3 Differentialrechnung Definition der Ableitung Ableitungen einiger Funktionen Rechenregeln für die Ableitung Höhere Ableitungen 2/46
Summenzeichen Summen und Produkte Summenzeichen Wir definieren n a i = a 1 + a 2 +... + a n. i=1 3/46 Summen und Produkte Summenzeichen Beispiel: Arithmetische Summe 10 i=1 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. 100 i = 1 + 2 + 3 +... + 99 + 100 i=1 = (1 + 100) + (2 + 99) +... + (50 + 51) = 50 101 = 5050. Allgemein für n = 1, 2, 3,... n i = i=1 n(n + 1). 2 4/46
Summen und Produkte Summenzeichen Beispiel: Geometrische Summe/Reihe 9 2 i = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 i=0 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 = 2 10 1. Allgemein ist Für 1 < a < 1 ist n i=0 i=0 a i = an+1 1 a 1. a i = 1 1 a. 5/46 Produktzeichen Summen und Produkte Produktzeichen Wir definieren n a i = a 1 a 2 a n. i=1 Beispiel 5 1 (2 + i) = 3 4 5 6 7 = 2520. i=1 2 n! = n i = 1 2 3 n (sprich: n Fakultät ). i=1 6/46
Summen und Produkte Produktzeichen Beispiel: Geburtstagsproblem Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass von 23 Leuten mindestens zwei am selben Tag Geburtstag feiern? Also ist Taschenrechner: 1 p = 1 364 365 363 365 p = 1 22 i=0 p = 0.5073. 365 22. 365 365 i 365. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag feiern, beträgt 50.73%. 7/46 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Definition der Exponentialfunktionen Für a > 0 sei f a (x) = a x für x R. Nach den Regeln für Potenzen ist f a (0) = 1 f a (1) = a f a (x + y) = f a (x) f a (y) für alle x, y R. Diese drei Eigenschaften legen die Funktion f a eindeutig fest. 8/46
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Asymptotik der Exponentialfunktionen Für a > 1 gilt a < a 2 < a 3 <... und Also lim n an =. lim f a(x) = falls a > 1. x Wegen f a ( x) f a (x) = f a ( x + x) = f a (0) = 1 ist f a ( x) = 1/f a (x). Also gilt lim f a(x) = 0 falls a > 1. x 9/46 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen f a mit a > 1 0 2 4 6 8 10 1.5 x 2 x 3 x 3 2 1 0 1 2 3 10/46
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Asymptotik der Exponentialfunktionen Für a < 1 gilt a > a 2 > a 3 >... und lim n an = 0. Also Wie oben gilt lim f a(x) = 0 falls a < 1. x lim f a(x) = falls a < 1. x Dies folgt auch aus f a (x) = a x = (1/a) x = f 1/a ( x). 11/46 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen f a mit a < 1 0 2 4 6 8 10 0.2 x 0.5 x 0.8 x 3 2 1 0 1 2 3 12/46
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Zusammenfassung Exponentialfunktionen f a (x) = a x für a > 0 und x R. Satz (Rechenregeln) f a (0) = 1, f a (1) = a, f a (x + y) = f a (x) f a (y) f a (x) = f 1/a ( x). Satz (Asymptotik) Für a > 1 ist f a monoton wachsend und lim f a(x) = und lim f a(x) = 0. x x Für a < 1 ist f a monoton fallend und lim f a(x) = 0 und lim f a(x) =. x x 13/46 Euler sche Zahl Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Die Euler sche Zahl e ist e = n=0 1 n! = 2.718... Man prüft z.b. leicht mit dem Taschenrechner, dass 5 n=0 1 n! = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 = 2.7167. 14/46
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Natürliche Exponentialfunktion Mit exp(x) = e x bezeichnen wir die natürliche Exponentialfunktion oder kurz die Exponentialfunktion. Wir werden noch sehen, was and dieser Wahl natürlich ist. 15/46 Exponentialfunktion Logarithmus Definition des Logarithmus Sei a > 1 und y > 0. Wir wollen f a (x) = a x = y ( ) nach x auflösen. Wir wissen: a x 0, falls x und a x, falls x. Also gibt es eine Lösung von ( ). Wir nennen x den Logarithmus von y zur Basis a und schreiben x = log a (y). Es gilt also Andererseits ist a log a (y) = y für jedes y > 0. log a (a x ) = log a (y) = x für jedes x R. Wir sagen, dass log a die Umkehrfunktion von f a ist. 16/46
Exponentialfunktion Logarithmus Charakteristische Gleichung Für a x = y und a x = y ist log a (y y ) = log a (a x a x ) = log a (a x+x ) = x + x = log a (y) + log a (y ). Analog wird log a für 0 < a < 1 definiert. 17/46 Exponentialfunktion Natürlicher Logarithmus Logarithmus Für a = e = 2.718... die Euler sche Zahl nennen wir ln = log = log e den natürlichen Logarithmus. Dies ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion exp. 18/46
Exponentialfunktion Logarithmus Rechenregeln des Logarithmus Satz Für x R und y, z > 0 sowie 0 < a < 1 oder a > 1 gilt log a (a x ) = x, a log a (y) = y für x R und y > 0. log a (yz) = log a (y) + log a (z). log a (y) = log(y) log(a) = ln(y) ln(a). log a (1) = 0, log a (a) = 1. Für y 0 gilt ln(y). Für y gilt ln(y). 19/46 Exponentialfunktion Logarithmus Natürlicher Logarithmus ln ln(y) 4 2 0 2 4 1 0 1 2 3 4 y 20/46
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Lambert-Beer Gesetz I 0 L Küvette mit Konzentration c, Breite L. Einfallendes Licht I 0 (Lux). Ausfallendes Licht I 1 = I 1 (c, L). Anteil: α(c, L) = I 1 (c, L)/I 0. Wie groß ist α(c, L)? I 1 21/46 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Breite I 0 L/2 L/2 Einfallendes Licht I 0 (Lux). Ausfallendes Licht I 1 = I 0 α(c, L/2) α(c, L/2). Anteil: α(c, L) = α(c, L/2) 2. I 1 22/46
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Breite I 0 Einfallendes Licht I 0 (Lux). Ausfallendes Licht Anteil: 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 L/4 L/4 L/4 L/4 I 1 = I 0 α(c, L/4) α(c, L/4) α(c, L/4) α(c, L/4) α(c, L) = α(c, L/4) 4. I 1 23/46 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Breite Allgemein für x > 0: α(c, L) = α(c, L/x) x. Für x = L α(c, L) = α(c, 1) L. 24/46
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Konzentration I 0 L I 1 I 0 Küvette mit Konzentration c, Breite L. Anteil: α(c, L) = I 1 /I 0. Linke Küvette mit Konzentration 2c, Breite L/2. Rechte Küvette mit Konzentration 0, Breite L/2. L I 1 25/46 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Konzentration I 0 L/2 L/2 Linke Küvette mit Konzentration 2c, Breite L/2. Rechte Küvette mit Konzentration 0, Breite L/2. Also I 1 = I 0 α(2c, L/2) α(0, L/2) = I 0 α(c, L). α(2c, L/2) = α(c, L). I 1 26/46
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Konzentration Allgemein für x > 0: Mit x = 1/c folgt α(cx, L/x) = α(c, L). α(c, L) = α(cx, L/x) = α(1, cl) = α(1, 1) c L. α(1, 1) =Anteil des Lichtes, der bei einer Dicke von L = 1m und einer Konzentration c = 1mol/l durchkommt. Setze ε := log 10 α(1, 1) dekadischer Extinktionskoeffizient. Dann ist α(1, 1) = 10 ε, also α(c, L) = α(1, 1) c L = 10 ε c L. 27/46 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz I 0 = Stärke einfallendes Licht I 1 = Stärke ausfallendes Licht L = Breite der Küvette c = Konzentration der Lösung ε = dekadischer Extinktionskoeffizient (Tabelle). Satz (Lambert-Beer sches Gesetz) Es gilt Oft wird mit I 1 = I 0 10 εcl. E = log 10 I 0 I 1 die Extinktion bezeichnet. Es gilt also E = εcl. 28/46
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Photometrie, Beispiel: Tryptophan Bei einer Wellenlänge von 280 nm (UV) absorbiert die aromatische Aminosäuren Tryptophan (Trp). Wir messen die Extinktion E = log 10 I 0 I 1 = 0.05 gemessen. Küvettenbreite: L = 1cm. Wie hoch ist die Trp-Konzentration? 29/46 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Photometrie, Beispiel: Tryptophan Bei einer Wellenlänge von 280 nm (grün) wird eine Extinktion gemessen. Tabelle: Also ist E = log 10 I 0 I 1 = 0.05 ε = 5600 l mol cm. c = E εl = 0.05 mol cm 6 mol = 8.93 10 = 8.93µmol/l. 5600 1cm l l 30/46
Differentialrechnung Definition der Ableitung Geometrische Definition der Ableitung f(x) 1 f (x ) 0 0 Ableitung f (x 0 )=Steigung der Tangente in (x 0, f (x 0 )). x x 31/46 Differentialrechnung Ableitungen einiger Funktionen Ableitungen von Potenzfunktionen f (x) f (x) Definitionsbereich von x c (konstant) 0 R x n, n N n x n 1 R x k, k Z k x k 1 R \ {0} x r, r R r x r 1 (0, ) 1 x 2 (0, ) x 32/46
Differentialrechnung Ableitungen einiger Funktionen Exponential- und Logarithmusfunktion Sei a > 0 und a 1. f (x) f (x) Definitionsbereich a x ln(a) a x R exp(x) = e x exp(x) = e x R log a (x) 1 ln(a) x (0, ) ln(x) 1 x (0, ) 33/46 Winkelfunktionen Differentialrechnung 2 Ableitungen einiger Funktionen 1 8 6 4 2 0 2 4 6 8 x 1 2 sin(x) cos(x) tan(x) 34/46
Winkelfunktionen Differentialrechnung Ableitungen einiger Funktionen 2 1 8 6 4 2 0 2 4 6 8 x 1 2 f (x) f (x) Definitionsbereich sin(x) cos(x) R cos(x) sin(x) R tan(x) 1 + tan(x) 2 = 1/cos(x) 2 R \ { ± π, ± 3π, ± 5π,... } 2 2 2 arcsin(x) 1 1 x 2 ( 1, 1) sin(x) cos(x) tan(x) arccos(x) 1 ( 1, 1) 1 x 2 arctan(x) 1 1+x 2 R 35/46 Differentialrechnung Rechenregeln für die Ableitung Satz (Ableitung: Summe, Produkt, Quotient) Seien f und g differenzierbar, a R. Dann gelten Speziell gilt: (f + g) = f + g (f g) = f g (af ) = af (fg) = f g + fg ( ) f (x) = f g fg (x), falls g(x) 0. g g 2 ( ) 1 (x) = g (x) g g 2 (x) falls g(x) 0 und (f 2 ) = 2f f. 36/46
Differentialrechnung Beispiel zur Summenregel Rechenregeln für die Ableitung (x 7 + 3 x 4 + 1) = (f + g + h) (x) mit f (x) = x 7, g(x) = 3x 4, h(x)=1. Tabelle: (x n ) = nx n 1 mit n = 7. Also f (x) = 7x 6. Ebenso: (x 4 ) = 4x 3. Produktregel: g (x) = 3 (x 4 ) = 12 x 3. Tabelle: h (x) = 0. Summenregel: (x 7 + 3 x 4 + 1) = f (x) + g (x) + h (x) = 7x 6 + 12x 3. 37/46 Differentialrechnung Beispiel zur Produktregel Rechenregeln für die Ableitung (x 2 sin(x)) = (fg) (x) mit f (x) = x 2, g(x) = sin(x). Tabelle: (x n ) = nx n 1 mit n = 2. Also f (x) = 2x. Tabelle: g (x) = cos(x). Produktregel: (x 2 sin(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) = 2x sin(x) + x 2 cos(x). 38/46
Differentialrechnung Beispiel zur Produktregel Rechenregeln für die Ableitung ( x 4 sin(x) ln(x) ) = (fgh) (x) x > 0. mit f (x) = x 4, g(x) = sin(x), h(x) = ln(x). Produktregel: (fgh) = ((fg)h) = (fg) h + (fg)h = f gh + fg h + fgh. Tabelle: f (x) = 4x 3, g (x) = cos(x), h (x) = 1/x. Also ( x 4 sin(x) ln(x) ) = 4x 3 sin(x) ln(x) + x 4 cos(x) ln(x) + x 3 sin(x). 39/46 Differentialrechnung Beispiel zur Quotientenregel Rechenregeln für die Ableitung ( x 4 log 2 (x) ) = ( ) f (x) x > 0. g mit f (x) = x 4, g(x) = log 2 (x). Quotientenregel: ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x). g g(x) 2 Tabelle: f (x) = 4x 3, g (x) = 1/(ln(2) x). 40/46
Differentialrechnung Beispiel zur Quotientenregel Rechenregeln für die Ableitung Quotientenregel: ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x). g g(x) 2 Tabelle: f (x) = 4x 3, g (x) = 1/(ln(2) x). Also ( ) x 4 = 4x 3 log 2 (x) x 4 /(ln(2)x) log 2 (x) (log 2 (x)) 2 = 4x 3 log 2 (x) x 3 / ln(2) (log 2 (x)) 2 = 4x 3 ln(x)/ln(2) x 3 / ln(2) (ln(x)/ ln(2)) 2 3 (4 ln(x) 1)x = ln(2) (ln(x)) 2 41/46 Differentialrechnung Rechenregeln für die Ableitung Satz (Kettenregel) (i) Seien f und g differenzierbare Funktionen und h(x) = g(f (x)). Dann ist auch h differenzierbar und h (x) = f (x) g (f (x)). Innere Ableitung mal äußere Ableitung. (ii) Ist speziell h(x) = g(a x) für eine Zahl a R, so ist h (x) = a g (a x). 42/46
Differentialrechnung Beispiel 1 zur Kettenregel Rechenregeln für die Ableitung ( ) 3 (x 2 ) = (g(f (x))) für x R, mit f (x) = x 2 und g(y) = 3 y. Tabelle: f (x) = 2x und g (y) = ln(3) 3 y. Kettenregel: ( ) 3 (x 2 ) = f (x) g (f (x)) = 2x ln(3) 3 (x 2). 43/46 Differentialrechnung Beispiel 2 zur Kettenregel Rechenregeln für die Ableitung h(x) = ln(3x), h (x) =? Satz (ii) mit g(x) = ln(x) und a = 3, also h (x) = ag (a x). Tabelle: g (x) = 1/x. Also h (x) = 3 1 3x = 1 x. Anderer Zugang: h(x) = ln(3x) = ln(3) + ln(x). Also h (x) = (ln(x)) = 1 x. 44/46
Zweite Ableitung Differentialrechnung Höhere Ableitungen Die zweite Ableitung f (x) = (f (x)) ist die Ableitung der ersten Ableitung. Beispiel f (x) = 5x 4. Dann ist f (x) = 20x 3 und f (x) = 60x 2. Geometrische: f (x) ist die Krümmung der Kurve von f an der Stelle x. f (x) > 0 entspricht Krümmung nach links (konvexe Funktion). 45/46 Höhere Ableitung Differentialrechnung Höhere Ableitungen Die dritte Ableitung f (x) = (f (x)) ist die Ableitung der zweiten Ableitung. Beispiel f (x) = 5x 4. Dann ist f (x) = 20x 3, f (x) = 60x 2 und f (x) = 120x. Sukzessive: n-te Ableitung f (n) = (f (n 1) ) ist die Ableitung der (n 1)ten Ableitung. 46/46