Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden 9. Gundlegendes zu Magnetfelden 9.1. Die LORENTZ-Kaft Ladungen weden nicht nu von elektischen Felden beeinflusst (COULOMB- Kaft, Gl. (5-4)), sonden auch von magnetischen Felden. Expeimente zeigen: Kaft wikt nu auf bewegte Ladungen F ~ v Kaft wikt imme senkecht zu v, also keine Ändeung des Betages von v bzw. de kinetischen Enegie E kin, sonden nu Richtungsändeung Bei homogenen Magnetfelden sieht man, dass die Kaft von de Richtung von v elativ zum Magnetfeld B abhängt positive und negative Ladungen q/-q weden entgegengesetzt abgelenkt Letztlich zeigt sich, dass fü die LORENTZ-Kaft gilt: F = q v B B... magnetische Feldstäke (1) Es gilt die Rechte-Hand-Regel: Mit Gl. (1) ist eine Päzisieung de expeimentellen Egebnisse möglich: F = q v B sin(v,b) F wid minimal (F = ) fü v B. F wid maximal fü v B. Damit ist B analog zu E übe die Kaftwikung auf elektische Ladungen definiet. Maßeinheit: [B] [F] N = = [q] [v] C m s 1 = Nm J = 1 C m s m = J Am SI mit: P = I U (6-14) 43
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden [P] J = A V SI s J V =, damit egibt sich fü B As Maßeinheit: Vs [ B] = T m... Tesla SI Eine vealtete Nicht-SI-Einheit ist das Gauß (1 Tesla = 1 4 Gauß). 9.. Käfte auf Stöme im Magnetfeld Stom in einem Leite I = q n v A n... Zahl de Ladungstäge po Volumen q... Ladung po Ladungstäge v... mittlee Diftgeschwindigkeit () vgl. hiezu auch Gl. (6-1), alledings ist in Gl. () noch die koekte Richtungsbeziehung enthalten mit: N n = wobei N die Zahl de Ladungstäge im Dahtstück ist, A l folgt aus Gl. () I I B N = q v A A l = 1 N q v B N F l = T 1 l B (3) F T bescheibt die LORENTZ-Kaft auf einen Ladungstäge. Die gesamte Gl. (3) hingegen dückt die Kaft auf alle Ladungstäge po Längeneinheit im Dahtstück aus. Die esultieende Kaft auf alle Ladungstäge im Dahtstück egibt sich zu F = l I B bzw. F = I l B (4a) (4b) dabei gilt: l I = I l I l e e... Einheitsvekto in Daht-/Stomichtung l... Dahtlänge mit Vektochaakte I 44
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Kommenta: Die Kaft ist unabhängig davon, wie de Stom zu Stande kommt (viele/wenige Ladungstäge, viel/wenig Ladung po Ladungstäge, goße/kleine Diftgeschwindigkeit) Entscheidend ist nu de Stom, also Ladung po Zeit. Einschub zu Richtungskonvention fü positive Ladungstäge (q > ) gilt: I E ~ v ~ I ~ j A v... Diftgeschwindigkeit de Ladungstäge In Metallen sind die fei beweglichen Ladungstäge die Elektonen (q = -e), sie bewegen sich natülich entgegengesetzt. Die Fomeln gelten natülich auch dot, wi müssen nu q = -e einsetzen. Wi betachten eine stomduchflossene Leiteschleife im Magnetfeld: Nu die Leitestücke AB und CD fühen zu eine Dehung. Die Käfte auf BC und D/A kompensieen einande Nun untesuchen wi den Schnitt duch diese Leiteschleife: Zu Dehung tagen nu die Kaftkomponenten senkecht zu Leiteschleife bei ( F n ). Die Kaftkomponenten tangential dazu ( F t ) kompensieen sich. Letztendlich zeigt sich, dass fü das Dehmoment M gilt: M = I A sin ϑ B (5) 45
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Kommenta: Das Dehmoment ist popotional zu A, d.h. entscheidend ist die Fläche ( Leitestück AB bingt die Kaft, Leitestück BC bingt den Hebelam ) Außedem ist das Dehmoment winkelabhängig (~ sin θ). Es vesucht, die Schleife senkecht zum Magnetfeld zu stellen ( maximale Wechselwikung zwischen I und B ). So funktionieen Messgeäte und Motoen Tick: Einfühung eines Vektos A mit A = A, Richtung senkecht zu Leiteschleifenfläche und Beücksichtigung de Rechten-Hand-Regel bezüglich des Stomes I: aus Gl. (5) folgt damit M = I A B Mitunte weden I und A zum magnetischen Moment µ de Stomschleife zusammengefasst µ = I A (6) (7) M = µ B (6 ) Kommenta: Das magnetische Moment µ bestimmt, wie wi noch vetiefen weden, die Stäke de magnetischen Wikung de stomduchflossenen Leiteschleife. Es steigt mit de Fläche A und/ode dem Stom I. Die stomduchflossene Leiteschleife ist das magnetische Analogon zum elektischen Dipol, das magnetische Moment entspicht dem (elektischen Dipolmoment). Das Vehalten, d.h. die Wechselwikung mit einem äußeen Feld, ist völlig analog. 46
9.3. Magnetfeld eines geaden Leites Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Wi betachten das Magnetfeld eines stomduchflossenen Leites Eine genaue Untesuchung (z.b. duch Messung de Kaft auf eine bewegte Pobeladung q in Dahtnähe) liefet B µ = π I (8) mit de Richtung von B lt. de Rechten-Hand-Regel. Dabei ist µ die magnetische Feldkonstante ode Induktionskonstante. µ π = 7 1 4 6 Vs 1,6 1 Am Vs Am µ ist uspünglich einmal gemessen woden, inzwischen abe duch die Definition des Ampee in seinem Zahlenwet festgelegt. Multipliziet man die Influenz- und Induktionskonstante, folgt ε µ = 8,85... 1 1 As Vm 1,6... 1 6 Vs Am 11,1 1 18 s m Diese Wet entspicht c - (c...lichtgeschwindigkeit im Vakuum) 1 c = ε µ (9) Dies ist kein Zufall, sonden wid auch duch komplexee Betachtungen bestätigt. 9.4. Einige allgemeine Eigenschaften des Magnetfeldes Wi vegleichen dazu mit dem E -Feld: 1.) Fü das elektische Feld E wa 1 E d = U 1 unabhängig vom Weg, d.h. E d = Dies ist die aus <6.1.> bekannte KIRCHHOFFsche Maschenegel. (5-14) 47
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Wenn wi obigen Ausduck analog fü das magnetische Feld B mittels Integation längs R = const. um den Daht bilden, ehalten wi B d R= const. µ = π = µ I I R πr Es lässt sich leicht zeigen, dass allgemein gilt: B d = µ geschlossene Kuve I ges, innehalb d. Kuve (1).) Fü das elektische Feld E wa außedem div E = ρ ε (5- ) Will man diesen Sachvehalt in integale Scheibweise ausdücken benötigt man die Beziehung da geschl. Fläche E = div E dv Volumen in de Fläche Dies ist de allgemein gültige mathematische Satz von GAUß- OSTROGRADSKI, aus dem mit Gl. (5 - ) folgt E da geschl. Fläche ρ ε 1 = dv = Qges,in de Fläche Vol. in ε (5-1) d. Fläche Fü das magnetische Feld B gilt wegen de selben Mathematik da geschl. Fläche B = div B dv (11) Volumen in de Fläche Da es abe keine magnetischen Ladungen gibt, die Quellen ode Senken von Feldlinien sind, sonden magnetischen Feldlinien imme in sich geschlossen sind, gilt: div B = (1) 48
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden dahe ist B = div B dv = da geschl. Fläche Volumen in de Fläche Analog zum elektischen Fluss heißt Φ m magnetische Fluss. Φ m = B da Fläche Fü nicht geschlossene Flächen ist de magnetische Fluss Φ m im Allgemeinen nicht Null (11) (13) 9.5. Die magnetische Feldgöße H Analog zum Pächen E D bildet man mit 1 H = µ B (14) eine zweite Feldstäkegöße 1 fü das Magnetfeld. Maßeinheit: [ H] = A m SI Dies hat wiedeum analog zu Folge, dass sich veschiedene Gleichungen fomal veeinfachen, z.b. Gl. (1) H d = I geschlossene Kuve ges, innehalb d. Kuve (1 ) De eigentliche Unteschied zwischen B H wid alledings est späte deutlich weden, wenn wi Mateie im Magnetfeld vetieft behandeln. Dann egibt sich in weitee Analogie B = µ µ H µ... Pemeabilität des Mateials (15) 9.6. Usachen von Magnetfelden Es gibt zwei scheinba unteschiedliche Usachen fü deen Existenz: a) magnetische Mateialien ( Magnete ) b) elektische Stöme 1 Eine Zusammenstellung de in veschiedenen bekannten Lehbüchen vewendeten Begiffe zu die Bescheibung de elektischen und magnetischen Felde findet sich im Anhang auf S. VI. Dies folgt sofot aus <9.1.> und Gl. (8). Beachte wiede die Analogie zum E -Feld mit [E] = V m -1 49
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Hinte a) steckt die Tatsache, dass die Bausteine de Atome (Elektonen e -, Potonen p +, Neutonen n) kleine magnetische Momente besitzen, die wi uns als winzige Keisstöme vostellen können. magnetische Momente de e -, p +, n Übelageung magnetisches Moment des Atoms µ = µ A A = (Kompensation) Wenn die atomaen µ A beeits von sich aus (ohne äußees Magnetfeld) paallel ausgeichtet sind, liegt ein feomagnetisches Mateial vo (= Magnet ). Richtungskonvention fü B, H : Vom Nod- zum Südpol In diesem Fall sind die atomaen Keisstöme wie in folgende Skizze oientiet: Die Usachen a) und b) sind also ga nicht so veschieden Magnetische Mateialien weden in <31.> vetieft behandelt, in diesem Kapitel beschäftigen wi uns mit den Magnetfelden von Stomanodnungen. Wi betachten im Expeiment: Daht, Leiteschleife, lockee und dichte Spule, Ringspule, HELMHOLTZ-Spulen(paa), Übelageung von Spulenfelden (Vektoaddition). Beispiel: HELMHOLTZ-Spulen Als HELMHOLTZ-Spulen bezeichnet man die Anodnung zweie keisfömige Stomschleifen (mit Radius R) genau im Abstand R. 5
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Das esultieende Magnetfeld ist bei paallelem Stom elativ gut homogen, bei entgegengesetztem Stomfluss hingegen elativ gut linea. Kommenta zu langen Spule: Mit zunehmende Spulenlänge ist das Feld meh und meh auf den Innenaum konzentiet. Beim Genzfall de unendlich langen Spule existiet das Feld nu innen und ist dot homogen (Analogie zum Plattenkondensato). Die Ringspule kann als Näheung fü die lange Spule betachtet weden. Wi untesuchen nun das Feld im Innen eine langen Spule. Zunächst scheiben wi nun Gl. (1) mit Hilfe von Gl. (14) fü H statt fü B µ H d = B d = µ Iges, innehalb d. Kuve geschl. Kuve geschl. Kuve es folgt also H d = I geschl. Kuve ges, innehalb d. Kuve (1 ) Wi wenden nun Gl. (1 ) auf die Kuve K in de Skizze an 51
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden H l H l H Anzahl de Windungen innehalb de Kuve K = = I n I ges n = I l l Windungen po Länge n = I l (16) Kommenta: I ges wüde einem geollten Blech entspechen. Dies geht ebenso, abe technisch wid eben die flächenhafte Stomveteilung übe das Aufwickeln von isolieten Dähten vewiklicht. 9.7. De Satz von BIOT-SAVART Beim elektischen Feld wa q E() = 4πε das Feld eine Ladung q am Punkt P( ) (wenn q am Uspung sitzt). Gibt es noch weitee Ladungen q, q,... müssen wi die Felde de einzelnen Ladungen addieen (vgl. Beispiel des elektischen Dipols in <5.4.>). Es gilt also das Supepositionspinzip (Usache dafü ist die Lineaität de Gl. (5-4)) (5-4) Das Supepositionspinzip gilt auch fü magnetische Felde. elektisches Feld: Übelageung viele kleine Punktladungen dq magnetisches Feld: Übelageung viele kleine Stomelemente di 5
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Das Stomelement di ~ I dl bewikt am Punkt P( ) ein Feld dh mit dh ~ I 1 Dieses Feld zeigt die gleiche Abstandsabhängigkeit wie Gl. (5-4). Man muss abe noch die Richtung beücksichtigen, denn im Gegensatz zum elektischen Feld ist H dl und Es zeigt sich, dass gilt H (nicht ~ ) dh = I dl 4π 3 (17) Dies ist das Gesetz von BIOT-SAVART. Mit dessen Hilfe kann man im Pinzip die Magnetfeldveteilung jede beliebigen Stomanodnung (Spule, etc.) beechnen. 9.8. Bewegte Bezugssysteme Gedankenexpeiment: Eine Ladung q bewege sich mit v im Labosystem. Im Labo hescht ein homogenes Magnetfeld B Beobachte A befindet sich im Labo, Beobachte B fliegt neben de Ladung he, d.h. e befindet sich in einem elativ zum Labo mit v bewegten Bezugssystem. Beobachte A: Die Ladung efäht eine LORENTZ-Kaft F L = q v B 53
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Beobachte B: Auch e mißt B, fü ihn ist abe F ' L =, da die Ladung in seinem System uht. E mekt natülich auch, dass auf q eine Kaft wikt, kann diese abe nu als COULOMB-Kaft intepetieen F' = q E' = F = q v B (18) (Beobachte B) Kaft muss (Beobachte A) ein und dieselbe sein Im bewegten Bezugssystem hescht also ein elektisches Feld E ', das vom Magnetfeld im Labosystem heüht (vgl. b) in Gl. (a)) E' = v B (19) Wenn im Labosystem auße dem B -Feld auch noch ein E -Feld existiet, so spüt dieses de bewegte Beobachte auch (vgl. a) in Gl. (a)). uhendes System mit v bewegtes System elektisches Feld E E' = E + v B (a) a) b) magnetisches Feld B 1 B' = B (v E) c (b) c) d) Nun zum magnetischen Feld im bewegten Bezugssystem: Wenn es im Labosystem ein Magnetfeld B gibt, spüt das de Beobachte B auch (vgl. c) in Gl. (b)). (Dass e keine LORENTZ-Kaft findet, liegt ja an v el = In dem Maße, in dem sich die Ladung duch seine COULOMB-Kaft zu bewegen beginnt, wikt auch fü ihn eine LORENTZ-Kaft auf die Ladung) Es ist jedoch nicht übeaschend, dass nicht nu ein E '-Feld-Anteil aus B ewächst, nämlich, wie schon ewähnt, E' = v B sonden auch ein B '-Feld-Anteil aus dem E -Feld des uhenden Systems. 54
Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Es zeigt sich, dass diese Anteil (Glied d) in Gl. (b)) folgende Gestalt hat 1 B' = (v E) = µ ε (v E) c Also: Im bewegten System heschen E und B des uhenden Systems (Teile a), c)) und dazu noch ein E '-Anteil aus B sowie ein B '-Anteil aus E (Teile b), d) de Gleichungen (a) und (b). Dies gilt fü v << c, ist also keine elativistische Elektodynamik 55