1 Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Geometrie II 2 Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de
2 Aufgabe II 2 In einem Koordinatensystem beschreibt die x 1 x 2 -Ebene die Meeresoberfläche (1 LE entspricht 1 m). Zwei U-Boote U 1 und U 2 bewegen sich geradlinig jeweils mit konstanter Geschwindigkeit. Die Position von U 1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = 140 105 170 (t in Minuten seit Beginn der Beobachtung). U 2 befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt A(68 135 68) und erreicht nach drei Minuten den Punkt B( 202 405 248).
3 a) Wie weit bewegt sich U 1 in einer Minute? Woran erkennen Sie, dass sich U 1 von der Meeresoberfläche weg bewegt? Welchen Winkel bildet die Route von U 1 mit der Meeresoberfläche? (4 VP) b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von U 2 in m. min Begründen Sie, dass sich die Position von U 2 zum Zeitpunkt t beschreiben lässt durch x = 68 135 68 Zu welchem Zeitpunkt befinden sich beide U-Boote in gleicher Tiefe? (4 VP).
4 c) Welchen Abstand haben die beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn? Aus Sicherheitsgründen dürfen sich die beiden U-Boote zu keinem Zeitpunkt näher als 100 m kommen. Wird dieser Sicherheitsabstand eingehalten? (4 VP) d) Die Routen der beiden U-Boote werden von einem Satelliten ohne Berücksichtigung der Tiefe als Strecken aufgezeichnet. Diese beiden Strecken schneiden sich. Wie groß ist der Höhenunterschied der zwei Routen an dieser Stelle? (4 VP)
5 Lösung: a) Wie weit bewegt sich U 1 in einer Minute In einer Minute legt U 1 genau einmal die Länge des Richtungsvektors zurück. Es folgt = 2 + 2 + 2 = 12600 112,25. Ergebnis: U 1 legt in einer Minute etwa 112,25m zurück. Wegbewegung von der Meeresoberfläche U 1 : x = 140 105 170 Die Höhenkoordinate ist für jede Minute t gegeben durch x 3 = 170 30t. Mit größer werdendem t nimmt x 3 immer mehr ab, d.h. U 1 entfernt sich von der Meeresoberfläche (nach unten).
6 Winkel zwischen der Route von U 1 und der Meeresoberfläche E: x 3 = 0 ist eine Gleichung die x 1 x 2 -Ebene (der Meeresoberfläche). Winkelformel Gerade/Ebene: sin α = n u n u der Geraden und n der Normalenvektor der Ebene ist. Es gilt n = 0 0 1 und u = wobei u der Richtungsvektor und somit n = 1, u = 112,25 und n u = 0 + 0 + 1 = 30. Es folgt sin α = 30 112,25 0,267. Mit dem GTR erhält man α 15,5. Ergebnis: Der Winkel zwischen der Route von U 1 und dem Meeresspiegel beträgt etwa 15,5.
7 b) Geschwindigkeit von U 2 Es gilt AB = 202 405 248 68 135 68 = 270 540 = 270 2 + 540 2 + 2 = 630 In 3 Minuten werden 630m zurückgelegt, in einer Minute sind es dann 210m. Ergebnis: U 2 hat eine Geschwindigkeit von 210 m min. A(68 135 68) B( 202 405 248)
8 Begründung für die Geradengleichung von U 2 U 2 : x = 68 135 68 A(68 135 68) In der Geradengleichung ist der Ortsvektor von A der Stützvektor. Einen 270 Richtungsvektor habe wir oben mit AB = 540 bestimmt. Wenn wir durch 3 teilen, ändert sich dadurch lediglich die Länge des Richtungsvektors aber nicht die Richtung. Daher ist u = wie in der Geradengleichung ebenfalls ein möglicher Richtungsvektor.
9 Zeitpunkt für gleiche Tiefe Höhenkoordinaten von U 1 : x 3 = 170 30t Höhenkoordinaten von U 2 : x 3 = 68 60t Gleichsetzen und t bestimmen: U 1 : x = U 2 : x = 140 105 170 68 135 68 170 30t = 68 60t 30t = 102 t = 3,4 Ergebnis: Nach 3,4 Minuten befinden sich U 1 und U 2 in gleicher Tiefe.
10 c) Abstand der beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn Zu Beobachtungsbeginn befindet sich U 1 im Punkt C 140 105 170 und U 2 im Punkt A 68 135 68. Der Abstand dieser beiden Punkte ist U 1 : x = AC = 140 105 170 68 135 68 = 72 102 = 72 2 + 2 + 102 2 128,4 140 105 170 Ergebnis: Bei Beobachtungsbeginn haben die U-Boote einen Abstand von etwa 128,4m.
11 Werden die Sicherheitsbestimmungen eingehalten? Aus der Geradengleichung liest man ab, dass U 1 sich zum Zeitpunkt t im Punkt P t 140 60t 105 90t 170 30t und U 2 im Punkt Q t 68 90t 135 180t 68 60t befindet. Der Abstand ist d t = PQ = 68 90t 135 180t 68 60t 140 60t 105 90t 170 30t = 72 30t 30 90t 102 30t = 72 30t 2 + 30 90t 2 + 102 30t 2 Das Minimum dieses Abstands lässt sich mit dem GTR bestimmen. U 1 : x = 140 105 170 U 2 : x = 68 135 68
12 Geben Sie obigen Ausdruck bei Y 1 im GTR ein uns lassen Sie sich den Graphen im x-intervall 0; 100 und im y-intervall 0; 300 zeichnen. Mit {2ND CALC minimum} bestimmen Sie im Intervall 0; 100 den minimalen Abstand der beiden U-Boote. Sie erhalten bei t = 0,32 den Wert 123,28. Hinweis: Streng genommen ist dies noch kein Beweis dafür, dass die Sicherheitsbestimmungen eingehalten werden, da wir mit dem GTR nur den Zeitabschnitt zwischen 0 und 100 Minuten untersucht haben. Formal müssten wir d t = 0 setzen und damit das Minimum finden. Das Ergebnis ist dasselbe, wir ersparen uns aber hier die Details. Ergebnis: Der minimale Abstand zwischen den beiden U-Booten beträgt 123,28m, d.h. die Sicherheitsbestimmungen werden eingehalten.
13 d) Höhenunterschied Ohne Berücksichtigung der Tiefenkoordinate sind die Geradengleichungen für die U-Boote wie folgt gegeben: U 1 : x = 140 105 + s und U 2: x = 68 135 + t Gleichsetzen liefert: ; s, t R 140 105 + s = 68 135 + t 72 = s 60 90 + t
14 Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem: I. 60s 90t = 72 II. 90s 180t = Lösung: s = 5,8 und t = 3,067 (ermittelt mit dem GTR). Die x 3 -Koordinate von U 1 erhalten Sie, indem Sie den Wert 5,8 in die Geradengleichung einsetzen. Es gilt x 3 = 344. Analog erhalten Sie die x 3 -Koordinate für U 2 mit x 3 = 252. Der Höhenunterschied beträgt dann 252 344 = 92. Ergebnis: Der Höhenunterschied der beiden U-Boote beträgt 92m.