MATHEMATIK & WIRTSCHAFT

Timischl Prugger MATHEMATIK & WIRTSCHAFT 1 Kompetenzliste

Inhaltsverzeichnis / Impressum Inhaltsverzeichnis Inhalts- und Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den durchgerechneten Beispielen der Mathematik & Wirtschaft 1 3 Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den Aufgaben der Mathematik & Wirtschaft 1 8 1. Auflage, 2012 Alle Drucke sind im Unterricht parallel verwendbar. Satz, Grafik: imprint, Zusmarshausen Gesamtherstellung: Verlag E. DORNER GmbH, Wien Timischl, Prugger Mathematik & Wirtschaft 1 Kompetenzliste Verlag E. DORNER GmbH Ungargasse 35, 1030 Wien Tel.: 01 533 56 36, Fax: 01 533 56 36-15 E-Mail: office@dorner-verlag.at www.dorner-verlag.at ISBN 978-3-7055-1606-9 2

Inhalts- und Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den durchgerechneten Beispielen der Mathematik & Wirtschaft 1 Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 1 Wiederholung 1.1 Rechnen mit Zahlen und Variablen 5 1,2 4 1.2 Lösung einfacher Gleichungen 6 2 4 1.3 Maßumrechnungen 7 1 4 1.4 Handrechnen mit Dezimalzahlen (Dezimalbrüchen) 7 1 4 1.5 Runden von Dezimalzahlen 8 1 4 1.6 Überschlagsrechnung 8 1 4 1.7 Rechnen mit dem Taschenrechner 8 1 4 2 Zahlen und Variablen 2.1 Aufzählende und beschreibende Mengenangabe 12 1 4 4 2.2 Teilmengenbeziehung 13 1 4 2.3 Vereinigung von Mengen 13 1 4 2.4 Durchschnitt von Mengen 13 1 4 2.5 Differenzmenge 14 1 4 2.6 Mehrfache Verknüpfung von Mengen 14 1 4 2.7 Zeichnen von Mengendiagrammen 15 1 4 4 2.8 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv) 19 1 4 2.9 Umwandlung eines Bruches in eine Dezimalzahl 20 1 4 2.10 Dualzahlen 23 1 4 2.11 Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen 24 1 4 2.12 Dualarithmetik 24 1 4 2.13 Umwandlung zwischen Dual- und Hexadezimal zahlen 25 1 4 2.14 Betrag einer Zahl, Abstand zweier Zahlen 28 1 4 4 2.15 Rundungsintervall 29 1 4 2.16 Wie genau ist sinnvoll? 29 1 4 2.17 Einsetzen in Terme 32 2 4 2.18 Umsetzen in die mathematische Schreibweise 33 2 4 2.19 Summenbildung mit dem Σ-Zeichen 34 2 4 2.20 Arithmetisches Mittel 34 1 4 2.21 UND-Verknüpfung 36 2 4 2.22 ODER-Verknüpfung 37 2 4 2.23 Verneinung 37 2 4 2.24 Wenn-dann-Verknüpfung 38 2 4 2.25 Genau-dann-wenn-Verknüpfung 38 2 4 3 Rechnen mit Termen 3.1 Klammern vor Potenz vor Punkt vor Strich 41 2 4 3.2 Vorzeichenregeln für Addition und Subtraktion 41 2 4 3.3 Vorzeichenregeln für Multiplikation und Division 42 2 4 Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren D Argumentieren und Kommunizieren 3

Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 3.4 Addition und Subtraktion von Brüchen 43 2 4 3.5 Multiplikation und Division von Brüchen 43 2 4 4 3.6 Doppelbrüche 44 2 4 3.7 Assoziativ- und Kommutativgesetz 45 2 4 3.8 Distributivgesetz: Ausmultiplizieren und Herausheben 45 2 4 4 3.9 Auflösen von Klammern 46 2 4 3.10 Geschachtelte Klammern 46 2 4 3.11 Multiplikation von Summen 47 2 4 3.12 Binomische Formeln 49 2 4 3.13 Faktorisieren mit Hilfe der binomischen Formeln 49 2 4 4 3.14 Wiederholung 53 1 4 3.15 Potenzen mit negativen Hochzahlen 53 1 4 3.16 Potenzen mit negativen Hochzahlen (Weiterführung) 54 2 4 3.17 Umwandlung einer Zahl in die Gleitkommadarstellung 55 1 4 3.18 Genauigkeit eines Rechners 57 1 4 3.19 Addition oder Subtraktion von Potenzen 58 2 4 4 Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren 3.20 Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis, 1. Potenzgesetz 60 2 4 4 3.21 Division von Potenzen mit gleicher Basis, 2. Potenzgesetz 60 2 4 4 3.22 Potenz eines Produktes, 3. Potenzgesetz 60 2 4 4 3.23 Potenz eines Bruches, 4. Potenzgesetz 60 2 4 4 3.24 Potenz einer Potenz, 5. Potenzgesetz 61 2 4 4 3.25 Wurzelziehen 64 1 4 4 3.26 Grundlegende Berechnungen 64 2 4 4 3.27 Wurzeln als Potenzen 65 2 4 4 3.28 Wurzelberechnung mit dem Rechner 65 2 4 3.29 Addition und Subtraktion von Wurzeln 66 2 4 4 3.30 Multiplikation und Division von gleichnamigen Wurzeln 66 2 4 4 3.31 Teilweises (oder partielles) Wurzelziehen 67 2 4 4 3.32 Unter die Wurzel bringen 67 2 4 4 3.33 Weitere Rechnungen mit Wurzeln 67 2 4 3.34 Wurzelfreimachen eines Nenners 68 2 4 4 3.35 Zulässige Einsetzungen bei Bruchtermen 71 2 4 3.36 Kürzen eines Bruchterms 72 2 4 4 3.37 Addition (Subtraktion) von Bruchtermen 72 2 4 4 3.38 Multiplikation von Bruchtermen 74 2 4 4 3.39 Division von Bruchtermen 74 2 4 4 3.40 Polynomdivision 1 75 2 4 3.41 Polynomdivision 2 76 2 4 4 Lineare Gleichungen und Ungleichungen 4.1 Grundbegriffe 80 2 4 4 4 D Argumentieren und Kommunizieren 4

Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 4.2 Äquivalenzumformungen 82 2 4 4 4.3 Sonderfälle der Lösung einer linearen Gleichung 84 2 4 4 4.4 Umformen von Formeln 85 2 4 4.5 Erste Vorübung 87 2 4 4.6 Zweite Vorübung 88 2 4 4.7 Teilungsaufgabe 88 2 4 4 4 4.8 Mischungsaufgabe 1 89 2 4 4 4 4.9 Mischungsaufgabe 2 89 2 4 4 4 4.10 Leistungsaufgabe 90 2 4 4 4 4.11 Aufgabe aus der Prozentrechnung 91 2 4 4 4 4.12 Bewegungsaufgabe 91 2 4 4 4 4.13 Einführendes Beispiel 96 1 4 4.14 Vereinfachen von Verhältnissen 97 2 4 4.15 Maßstab 97 1 4 4.16 Steigung 98 1 4 4 4.17 Direkte und indirekte Proportionalität 99 2 4 4 4 4.18 Zusammengesetzte Schlussrechnung 100 2 4 4 4 4.19 Einfache und fortlaufende Proportion 1 102 2 4 4 4.20 Einfache und fortlaufende Proportion 2 103 2 4 4.21 Einführendes Beispiel 107 2 4 4 4 4.22 Vergleich von Zahlen auf der Zahlengeraden 107 1 4 4.23 Äquivalenzumformungen 108 2 4 4 5 Funktionen 5.1 Grundbegriffe 110 3 4 5.2 Nullstellen und Monotonie von Funktionen 113 3 4 4 5.3 Empirische Funktion 115 3 4 5.4 Graph einer linearen Funktion 119 3 4 4 5.5 Punkt auf Gerade 120 3 4 4 5.6 Bedeutung von k und d 120 3 4 4 5.7 Grundeigenschaft einer linearen Funktion 123 3 4 5.8 Zeichnen einer Geraden mit Hilfe von k und d 123 3 4 4 5.9 Zueinander normale Geraden 123 3 4 4 5.10 Gerade gegeben durch einen Punkt und die Steigung 124 2, 3 4 4 5.11 Gerade durch zwei Punkte 125 2, 3 4 4 5.12 Nullstelle einer linearen Funktion 125 2, 3 4 4 5.13 Stückweise lineare Funktion 126 3 4 5.14 Proportionalität 126 3 4 4 4 5.15 Mobiltelefon-Tarifvergleich 130 3 4 4 4 5.16 Mobiles Breitband 131 3 4 4 4 5.17 Lineare Gesamtkostenfunktion 133 3 4 4 4 5.18 Weg-Zeit-Funktion 134 3 4 4 4 Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren D Argumentieren und Kommunizieren 5

Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 5.19 Lineare Abschreibung 135 3 4 4 4 5.20 Fahrenheit-Temperaturskala 141 3 4 4 4 5.21 Ermittlung der Umkehrfunktion 143 3 4 4 6 Lineare Gleichungssysteme 6.1 Einführendes Beispiel 145 2 4 4 4 6.2 Einführendes Beispiel 147 2 4 4 4 6.3 Lösungsfälle eines linearen Gleichungssystems 148 2 4 4 6.4 Einsetzungsverfahren 149 2 4 4 6.5 Additionsverfahren 150 2 4 4 6.6 Determinantenmethode 151 2 4 6.7 Einführen von neuen Variablen 152 2 4 6.8 Keine Lösung oder unendliche viele Lösungen 152 2 4 6.9 Gerade durch zwei Punkte 153 2, 3 4 4 Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren 6.10 Genauigkeitsprobleme bei linearen Gleichungssystemen 154 2 4 4 6.11 Mischungsaufgabe 154 2 4 4 4 6.12 Leistungsaufgabe 1 155 2 4 4 4 6.13 Leistungsaufgabe 2 156 2 4 4 4 6.14 Bewegungsaufgabe 157 2 4 4 4 6.15 Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen 164 2 4 4 6.16 Mischungsaufgabe 165 2 4 4 4 6.17 Gauss scher Algorithmus 167 2 4 4 7 Lineare Optimierung 7.1 Lösungsmenge einer linearen Ungleichung in zwei Variablen 171 2 4 4 7.2 Lineares Ungleichungssystem in zwei Variablen (1) 172 2 4 4 7.3 Lineares Ungleichungssystem in zwei Variablen (2) 172 2 4 4 7.4 Produktionsplan eine Maximumaufgabe 174 2 4 4 4 7.5 Mischungsproblem eine Minimumaufgabe 176 2 4 4 4 8 Polynomfunktionen und Gleichungen höheren Grades 8.1 Parabel 181 3 4 4 8.2 Wurfparabel 183 3 4 4 8.3 Quadratische Erlös- und Gewinnfunktion 183 3 4 4 4 8.4 Eine quadratische Gleichung 186 2 4 4 4 8.5 Hat eine quadratische Gleichung immer zwei Lösungen? 188 2 4 4 4 8.6 Lösung von quadratischen Gleichungen 189 2 4 4 8.7 Sonderformen einer quadratischen Gleichung 189 2 4 4 8.8 Gewinnzone 190 2, 3 4 4 8.9 Anwendungen des Satzes von Vieta 190 2 4 4 4 8.10 Einführendes Beispiel 195 2 4 4 8.11 Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung 196 2 4 D Argumentieren und Kommunizieren 6

Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 8.12 Grundrechnungsarten mit komplexen Zahlen 197 1 4 8.13 Gleichung einer kubischen Funktion 199 3 4 4 8.14 Kostenfunktion als kubische Funktion 200 3 4 4 8.15 Exakte ( symbolische ) Lösung 201 2 4 4 8.16 Regula falsi 204 2 4 4 8.17 Rechnergestützte Lösung 204 2 4 9 Matrizen 9.1 Auftreten von Matrizen 206 2 4 9.2 Gleichheit zweier Matrizen 208 2 4 9.3 Transponieren einer Matrix (eines Vektors) 209 2 4 Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren 9.4 Matrizenaddition (-subtraktion) und Multiplikation mit einer Zahl 209 2 4 9.5 Skalarprodukt zweier Vektoren 210 2 4 9.6 Multiplikation von Matrizen 211 2 4 4 9.7 Inverse einer Matrix 212 2 4 4 9.8 Lineares Gleichungssystem in Matrizenform 214 2 4 4 9.9 Gesamtpreis einer Liste von Produkten 215 2 4 4 9.10 Einstufige Produktion 216 2 4 4 4 9.11 Rohstoffbedarf bei einer zweistufigen Produktion 217 2 4 4 4 9.12 Einzelteilebedarf bei einer zweistufigen Produktion 218 2 4 4 4 9.13 Datenverschlüsselung 220 2 4 4 4 10 Beschreibende Statistik 10.1 Strichliste und Häufigkeitstabelle 225 5 4 4 10.2 Qualitatives Merkmal: Säulendiagramm 226 5 4 10.3 Qualitatives Merkmal: Kreisdiagramm und Streifendiagramm 227 5 4 10.4 Qualitatives Merkmal: Paretodiagramm 227 5 4 10.5 Quantitatives Merkmal: Säulendiagramm 228 5 4 10.6 Quantitatives Merkmal: Histogramm 228 5 4 4 10.7 Histogramm bei ungleichen Klassenbreiten 230 5 4 4 10.8 Zeitreihe / Liniendiagramm 231 5 4 10.9 Quantitatives Merkmal / Arithmetisches Mittel 233 5 4 4 10.10 Arithmetisches Mittel bei einer Klasseneinteilung 234 5 4 4 10.11 Median 234 5 4 4 10.12 Quartile 235 5 4 4 10.13 Modus 236 5 4 10.14 Mittelwert von prozentuellen Preissteigerungen 237 5 4 4 4 10.15 Wie kann man die Streuung messen? 240 5 4 4 4 10.16 Streuungsmaße 242 5 4 10.17 Linearer Trend 243 5 4 10.18 Regressionsgerade 244 5 4 4 4 10.19 Regressionsrechnung 247 5 4 4 D Argumentieren und Kommunizieren 7

Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den Aufgaben der Mathematik & Wirtschaft 1 1 Wiederholung 1.1 B 1.5 B 1.8 B 1.11 B 1.14 B 1.2 B 1.6 B 1.9 B 1.12 B 1.15 B 1.3 B 1.7 B 1.10 B 1.13 B 1.16 B 1.4 B 2 Zahlen und Variablen 2.1 B 2.13 A C 2.25 B 2.37 B 2.48 B 2.2 A B 2.14 A C 2.26 B 2.38 B 2.49 A 2.3 A B 2.15 B 2.27 B D 2.39 B 2.50 B 2.4 D 2.16 B 2.28 B 2.40 B 2.51 D 2.5 B 2.17 A B 2.29 B 2.41 A B 2.52 D 2.6 D 2.18 B 2.30 C 2.42 B 2.53 D 2.7 D 2.19 B 2.31 C 2.43 D 2.54 D 2.8 A 2.20 B 2.32 A C 2.44 A 2.55 D 2.9 D 2.21 B 2.33 B 2.45 A 2.56 D 2.10 A B 2.22 D 2.34 D 2.46 B 2.57 D 2.11 A C 2.23 B 2.35 D 2.47 B 2.58 D 2.12 A C 2.24 B 2.36 B 3 Rechnen mit Termen 3.1 B 3.20 B 3.39 B 3.58 B C 3.76 D 3.2 B 3.21 B 3.40 D 3.59 B 3.77 B 3.3 B 3.22 B 3.41 B 3.60 B C 3.78 B 3.4 B 3.23 B 3.42 B 3.61 B C 3.79 B 3.5 B 3.24 B 3.43 B 3.62 B 3.80 B 3.6 B 3.25 B 3.44 D 3.63 D 3.81 D 3.7 B 3.26 B 3.45 B 3.64 B 3.82 B 3.8 B 3.27 B 3.46 B 3.65 B 3.83 B 3.9 B 3.28 B 3.47 B 3.66 B 3.84 B 3.10 B 3.29 B 3.48 B 3.67 B 3.85 B 3.11 B 3.30 B 3.49 B 3.68 D 3.86 B 3.12 B 3.31 B 3.50 B 3.69 B 3.87 B 3.13 B 3.32 B 3.51 D 3.70 B 3.88 B 3.14 B 3.33 A B 3.52 B 3.71 B 3.89 B 3.15 B 3.34 D 3.53 B C 3.72 B 3.90 B 3.16 B 3.35 B 3.54 B C 3.73 B 3.91 B 3.17 B 3.36 B 3.55 A B C 3.74 B 3.92 B 3.18 B 3.37 B 3.56 B C 3.75 D 3.93 B 3.19 B 3.38 D 3.57 B C 8

4 Lineare Gleichungen und Ungleichungen 4.1 B 4.22 A B C 4.42 A B C 4.62 D 4.82 A B 4.2 B 4.23 A B C 4.43 A B C 4.63 A B C 4.83 B 4.3 B 4.24 A B C 4.44 A B C 4.64 B 4.84 A B 4.4 B D 4.25 A B C 4.45 A B C 4.65 B 4.85 A B 4.5 B 4.26 A B C 4.46 A B C 4.66 B 4.86 A B 4.6 B 4.27 A B C 4.47 A B C 4.67 B 4.87 A B 4.7 B 4.28 A B C 4.48 A B C 4.68 B 4.88 A B 4.8 B 4.29 A B C 4.49 A B C 4.69 D 4.89 A B 4.9 B 4.30 A B C 4.50 A B C 4.70 A B 4.90 B 4.10 B 4.31 A B C 4.51 A B C 4.71 A B 4.91 B 4.11 B 4.32 A B C 4.52 A B C 4.72 A B 4.92 B 4.12 B 4.33 D 4.53 A B C 4.73 A B 4.93 A B C 4.13 B 4.34 A B C 4.54 A B C 4.74 A B 4.94 A B C 4.14 A 4.35 A B C 4.55 A B C 4.75 A B 4.95 A B C 4.15 A 4.36 A B C 4.56 D 4.76 A B 4.96 A B C 4.16 A 4.37 A B C 4.57 B 4.77 A B 4.97 A B C 4.17 A B C 4.38 A B C 4.58 B 4.78 A B 4.98 A B C 4.18 A B C 4.39 A B C 4.59 B 4.79 A B 4.99 A B C 4.19 A B C 4.40 A B C 4.60 A B 4.80 A B 4.100 A B C 4.20 A B C 4.41 A B C 4.61 B 4.81 B 4.101 A B C 4.21 A B C 5 Funktionen 5.1 C 5.11 B 5.21 B 5.31 A B 5.41 B C 5.2 C 5.12 B 5.22 A B 5.32 A B C 5.42 A B 5.3 C 5.13 C 5.23 A B 5.33 A B C 5.43 B C 5.4 B 5.14 B C 5.24 A B 5.34 A B 5.44 A 5.5 C 5.15 B 5.25 A B 5.35 A B 5.45 A B 5.6 C 5.16 B 5.26 B 5.36 A B 5.46 A B 5.7 D 5.17 B 5.27 A B 5.37 B C 5.47 A B C 5.8 B 5.18 A B 5.28 A B 5.38 B C 5.48 A B C 5.9 D 5.19 A B 5.29 A B 5.39 B C 5.49 B 5.10 B 5.20 A B 5.30 A B 5.40 B C 5.50 A B C 9

6 Lineare Gleichungssysteme 6.1 B 6.14 B 6.27 A B C 6.40 A B C 6.53 A B 6.2 B D 6.15 A B 6.28 A B C 6.41 A B C 6.54 A B 6.3 B 6.16 A B 6.29 A B C 6.42 A B C 6.55 A B 6.4 B 6.17 A B 6.30 A B C 6.43 A B C 6.56 A B 6.5 B 6.18 A B 6.31 A B C 6.44 A B C 6.57 A B C 6.6 B 6.19 A B C 6.32 A B C 6.45 A B C 6.58 A B C 6.7 B 6.20 A B C 6.33 A B C 6.46 A B C 6.59 A B C 6.8 B 6.21 A B C 6.34 A B C 6.47 A B C 6.60 A B C 6.9 B 6.22 A B C 6.35 A B C 6.48 B 6.61 A B C 6.10 B 6.23 A B C 6.36 A B C 6.49 B 6.62 A B C 6.11 B 6.24 A B C 6.37 A B C 6.50 B 6.63 A B C 6.12 B 6.25 A B C 6.38 A B C 6.51 B 6.64 A B C 6.13 B 6.26 A B C 6.39 A B C 6.52 B 7 Lineare Optimierung 7.1 B 7.4 A B 7.7 B 7.10 A B C 7.13 A B C 7.2 B 7.5 A B 7.8 A B C 7.11 A B C 7.14 A B C 7.3 C D 7.6 B 7.9 A B C 7.12 A B C 7.15 A B C 8 Polynomfunktionen und Gleichungen höheren Grades 8.1 D 8.10 A B C 8.18 A B C 8.26 A B C 8.34 A B 8.2 A B C 8.11 A B C 8.19 B 8.27 B 8.35 B 8.3 B 8.12 A B C 8.20 A B 8.28 B 8.36 B D 8.4 B 8.13 A B C 8.21 A B 8.29 B 8.37 B 8.5 B 8.14 A B C 8.22 A B C 8.30 B 8.38 B 8.6 B 8.15 A B C 8.23 A B C 8.31 B 8.39 A B C 8.7 B D 8.16 A B C 8.24 A B C 8.32 B 8.40 A B C 8.8 B D 8.17 A B C 8.25 A B C 8.33 A B 8.41 A B C 8.9 B C 9 Matrizen 9.1 B D 9.6 B D 9.11 B 9.15 A B 9.19 A B C 9.2 B 9.7 B D 9.12 B 9.16 A B C 9.20 B D 9.3 B D 9.8 B 9.13 A B 9.17 A B C 9.21 B D 9.4 B D 9.9 B 9.14 A B 9.18 A B C 9.22 B D 9.5 B D 9.10 B D 10

10 Beschreibende Statistik 10.1 C 10.8 A B 10.15 B 10.22 B C 10.29 A B C 10.2 D 10.9 A 10.16 B 10.23 B C 10.30 A B 10.3 A 10.10 B 10.17 A B 10.24 B C 10.31 B D 10.4 A 10.11 A B 10.18 A B 10.25 B C 10.32 A B 10.5 A 10.12 B 10.19 A B 10.26 A B 10.33 A B 10.6 A B 10.13 A B 10.20 A B 10.27 A B C 10.34 A B 10.7 A B 10.14 A B 10.21 B C 10.28 A B 11

Timischl, Prugger Mathematik & Wirtschaft 1 Kompetenzliste Verlag E. DORNER GmbH, Wien ISBN 978-3-7055-1606-9