2.2. ELEKTRISCHES FELD 9 2.2 Elektrisches Fel Coulomb Gesetz: F i Q i F i = Q i 1 Q j Rij 2 R i R j R ij 4π ɛ j+i 0 }{{} elektrisches Fel am Ort R i Das elektrische Fel, as ie Laung am Ort R i spürt - also as Fel, as von allen aneren Laungen erzeugt wir - ist leiglich eine Funktion es Ortes R i er Laung, aber nicht er Laung selbst an iesem Punkt. Elektrisches Fel, as eine iniviuelle Laung Q j am Ort R erzeugt: (2.6) E(R) = Q j 4π ɛ 0 R R j R R j 3 (2.7) Man kann sehen, ass an jeer Stelle im Raum ie Komponenten es E-Feles kontinuierliche Funktionen sin un ifferenzierbar, außer an er Stelle, an er eine Punktlaung Q j sitzt - ort ivergiert as elektrische Fel - er Nenner er rechten Seite von Gleichung (2.7) ist null. Q j ist positiv Q j ist negativ positive Laungen sin ie Quellen es elektrischen Feles negative Laungen sin ie Senken es elektrischen Feles Wie man aus Gleichung (2.6) ablesen kann, ist ie Richtung es elektrischen Feles so efi-
10 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK niert, ass es in Richtung er Kraft zeigt, ie es auf eine positive Laung ausübt. Damit laufen ie Fellinien raialsymmetrisch aus einer positiven Punktlaung heraus (Quelle) un in eine negative Punktlaung (Senke) hinein. Allgemeine Eigenschaften von Fellinien: Fellinien haben keine Start- oer Enpunkte ausser in Laungen. Fellinien kreuzen sich nicht, a as E-Fel an jeem Punkt im Raum (in em keine Punktlaung sitzt) einen eineutigen Wert hat un ifferenzierbar ist. Dipole un Dipolfeler Ein Dipol ist eine Laungsverteilung, ie aus zwei (oer auch mehreren) Laungen besteht, ie in er Summe neutral ist (un kein verschwinenes erstes Moment hat, siehe unten), also im Falle zweier Laungen wiefolgt argestellt weren kann: Das Dipolfel ergibt sich aus er Überlagerung er Feler er involvierten Laungen. Es kann wiefolgt skizziert weren:
2.2. ELEKTRISCHES FELD 11 Als iealen Dipol bezeichnet man en (hypothetischen) Grenzfall, in em er Abstan zwischen en Laungen 0 geht un Q, soass p = Q konstant bleibt. In vielen Situationen kann man Dipole als ieal nähern, was eren mathematische Beschreibung ungemein vereinfacht, z.b. ie Wechselwirkung von Wassermolekülen in er Gasphase. Eigenschaften von Dipolen: Die Kraft, ie ein Dipol auf eine Probelaung ausübt, ist in er Regel nicht in Richtung es Dipols gerichtet,.h. er Dipol übt keine Zentralkraft aus. Das Fel eines Dipols hängt offensichtlich von seiner Orientierung bzw. Richtung ab Daher ist er ein Vektor, er wiefolgt efiniert ist (warum iese Definition sinnvoll ist sehen wir später): p = n Q n R n z.b. bei H 2 O y x R O = 0; R H = (x 0, ±y 0, 0) ; p = Q O 0 H ((x 0, y 0, 0) + (x 0, y 0, 0)) = 2Q H x 0 (1, 0, 0) Der Dipol liegt also auf er x-achse un entspricht em Dipol, en man hätte wenn beie H-Atome auf er x-achse lägen. Einheit es Dipols: [p] = C m typische molekulare Dipolmomente: 1, 6 10 29 Cm Angabe sehr unpraktisch Einführung er Einheit Debye D
12 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK in er Gasphase: [p] = 1 D = 3, 336 10 30 Cm p CO = 0, 11 D p H2 O = 1, 8 D (gas)/ 2, 3 D (liq) p NaCl = 8, 5 D }{{} Wir sehen, ass für ie konensierten Phasen (fest, flüssig) ieser Moleküle (ie jeweils eine abgeschlossene Elektronenschale haben un aher miteinaner weer eine kovalente noch eine metallische Binung miteinaner eingehen) ie Schmelztemperatur un Sieetemperatur stark mit em Dipol ansteigen. Der Dipol ist amit eine wichtige Größe zum Verstännis er Materialeigenschaften ieser un vieler anerer Substanzen. Da er Dipol ie Einheit C m (statt [Q]=C) hat muss sein E-Fel für große Abstäne wie 1/R 3 abfallen - statt 1/R 3 wie bei einer Punktlaung. Anmerkung für Fortgeschrittene: Eine Laungsverteilung, ie sich aus zwei ientischen aber entgegengesetz gerichteten Dipolen zusammensetzt, hat keinen (enlichen) Dipol. Die Laungsverteilung wir ann in führener Ornung als Quarupol beschrieben, er ie Einheit C m 2 hat un ähnlich wie as Trägheitsmoment in er Mechanik ein 2. Moment arstellt. Ein Quarupol wir - wie as Trägheitsmoment auch - über eine Matrix (genau genommen einen Tensor zweiter Stufe) beschrieben. Das Fel eines Quarupols muss aus Einheitengrünen mit 1/R 4 abfallen. Elektrisches Fel einer homogen gelaenen Platte In Übungsaufgabe 1.3 haben wir as Fel eines gelaenen Rings auf seiner Symmetrieachse berechnet: E(Achse) = E x e x E x = 1 Q x ( 4π ɛ 0 R2 + x 2) 3 Wir betrachten nun einen Ring enlicher Breite R als Teil einer Ebene. Diese Ebene habe eine konstante (Flächen-)Laungsichte. σ = Q A = const.
2.2. ELEKTRISCHES FELD 13 y R + R R X x Die Laung auf einem Ring ergibt sich amit zu: Q = σ ( ) πraußen 2 πrinnen 2 = σπ ( (R + R) 2 R 2) = σπ R 2 + 2R R + O ( R 2) R 2 }{{} Ornung 2π R R σ, (2.8) sprich ie Fläche eines Rings in er Ebene ist Umfang mal Breite - von Korrekturen er Orung Breite/Umfang abgesehen. Beitrag zum Fel urch einen Ring mit Raius R un Breite R: E = 1 x R R (2π σ) (2.9) 4π ɛ 0 R2 + x 23 Nun muss über unenlich vieler solcher Ringe aiert weren. Wir führen wie vorher auch schon en Übergang von einer Summation zu einem Integral via R... Ringe 0 R...
14 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK urch. E x = σ x R R 2 ɛ 0 0 R2 + x23 Substitution : r = R x ; r = R macht Integrationsvariable einheitenlos x = σ r 2 ɛ 0 0 1 + r 2 3 r }{{} rein numerischer Ausruck N = 1 = σ 2 ɛ 0 Fel er Platte wir nur über ie Oberflächenlaungsichte efiniert, also E σ [σ] = Q R 2 Feler homogen gelaener Platten: placements A = π L 2
2.2. ELEKTRISCHES FELD 15 An en Ecken es Konensators im Bereich er Ornung wir es zu signifikanten Störfelern. Ist >> L ergibt sich ein Dipol. Feler an Metalloberflächen Metalle haben freie Laungsträger, ie sich so lange bewegen bis kein E-Fel mehr im Metall besteht. E-Fel bewirkt Laungsfluss, soass Fel einer Laung vor Metalloberfläche ag replacements ie transversale Komponente verschwinet. Q E-Fel ag replacements Metall E-Fel Metall im Metall keine Fellinien ABER: Fellinien laufen in ie Laung Metall auf Metallen stehen Fellinien senkrecht Das Fel vor einer Metallplatte sieht also ähnlich aus wie as Fel eines realen Dipols, er aus zwei Laungen besteht. In er Tat sin ie Feler sogar ientisch, was relativ zwanglos mit Hilfe es Gaußschen Gesetzes, einer alternativen Formulierung es Coulombschen Gesetzes, gezeigt weren. Die Punktlaung sitzt also in einem Fel, as genauso groß ist wie as Fel einer entgegengesetzten Spiegellaung im Metall. Daher weren Laungen von Metalloberflächen angezogen.
16 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Bewegung einer Punktlaung in einem externen E-Fel Zwei planparallele Platten sin auch als Plattenkonensatoren bekannt. Diese finen unzählige Anwenung in elektronischen Geräten. Eine ist ie gezielte Ablenkungen von Elektronen oer aneren Laungsträgern auf einen Schirm oer ein Target. Die Grunzüge er Dynamik ieser Laungen weren hier kurz angerissen. Braunsche Röhre, Kathoenstrahlröhre e v Schirm L k L s Die Überlegungen sin analog zum freien Fall oe zum schiefen Wurf in er Mechanik. Typische Fragestellung: Wie hängt ie Position an er ie Laung auf en Schirm trifft von E y, v x, L k, L s ab? Anfangsbeingungen: v = (v x, 0) a = q m (0, E y) Zeit im Konensator : t kon = L k v x Beim Austritt: ( ) 2 Lk y = 1 ( q y) 2 m E }{{} v }{{ x } a t ( ( ) 2 q v y = y) m E Lk v x (2.10) (2.11)