KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I N. Reibung Teil Die veschiedenen en de Reibung sind fü uneschiedliche Bewegungsvogänge zu besimmen.. Nowendiges Basiswissen Einfache Bewegungsvogänge; Newon sche eseze, Kennnis übe Begiffe wie: asse, Kaf, Beschleunigung, eschwindigkei, O und Zei; Hafeibung, leieibung, Rolleibung, laminae Sömung, Viskosiä, Hagen-Poiseuille sches esez, Sokes sche Reibung, Reynolds sche Zahl.. ufgabensellungen a) Besimme die Hafeibung fü veschiede aeialien (luminium auf luminium, Teflon auf luminium, Sahl auf luminium, Kunssoff auf luminium). b) Besimme die leieibung fü veschiedene aeialien (luminium auf luminium, Teflon auf luminium, Sahl auf luminium, Kunssoff auf luminium). c) Besimme die Viskosiä eine zähen lüssigkei (lycein) mihilfe de Kugelfallmehode mi Koeku fü den endlichen Duchmesse des efäßes. d) Besimme die Viskosiä eine lüssigkei (Wasse) mihilfe des Hagen-Poiseuille schen esezes (Oswald-Viskosimee). e) Besimme die Tempeauabhängigkei de Viskosiä und selle diese in einem Diagamm da. f) Besimme die Reynolds sche Zahl fü die bewege Kugel in eine zähen lüssigkei. Tage diese in bhängigkei des Kugelduchmesses auf. Vogangsweise ad a) Die veschiedenen Pobeköpe (Klöze aus lu, Sahl, Teflon, Kunssoff) sind nacheinande in die V-fömige Schiene zu legen. Die Neigung de Schiene wid solange ehöh, bis de Pobeköpe hinunegleie. De enzwinkel α, bei dem Bewegung des Pobeköpes einsez, is zu besimmen. us diesem Winkel is fü den all eine 9 V-fömigen Schiene (β 45 ) de Hafeibungskoeffizien fü diesen Pobeköpe zu besimmen. Das Expeimen is an veschiedenen Sellen (ca. 3) de Schiene zu wiedeholen und aus den veschiedenen Egebnissen des Hafeibungskoeffizienen ielwe und Sandadabweichung zu besimmen. Das Expeimen is fü die veschiedenen aeialien (lu, Sahl, Teflon, Kunssoff) duchzufühen. ad b) Die veschiedenen Pobeköpe (Klöze aus lu, Sahl, Teflon, Kunssoff) weden in de V-fömigen Schiene, welche um den Winkel ϕ gegenübe de Hoizonalen geneig is, zum Ruschen gebach. Die dafü benöige Zei wid elekonisch efass. ü veschiedene Neigungswinkel ϕ is de leieibungskoeffizien zu besimmen und ielwe und Sandadabweichung anzugeben. Das Expeimen is fü die veschiedenen aeialien (lu, Sahl, Teflon, Kunssoff) duchzufühen. ad c) Die konsane eschwindigkei eine fallenden Sahlkugel in eine zähen lüssigkei is zu besimmen. Dazu wid die Zei zwischen Wegmaken mihilfe de elekonischen Soppuh gemessen. De Beeich konsane eschwindigkei P.Knoll, Reibung, Innee Reibung
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I zwischen den Wegmaken wid daduch eeich, dass die allhöhe übe de lüssigkeisobefläche enspechend gewähl wid. Dies kann ieaiv efolgen: Nach dem esen Vesuch wude die konsane eschwindigkei mi v emiel; die v benöige. bschäzung de allhöhe egib sich aus: s. i diese allhöhe g wid de nächse Vesuch gesae. ü den i-en Vesuch egib sich die allhöhe vi zu: si. Nach wenigen Vesuchen is beeis die geeignee allhöhe besimm. g (g 9,8m/s ). Das Expeimen is mi Sahlkugeln mi veschiedenen Radien duchzufühen. ü jeden Kugeladius sind aus ca. Vesuchen de ielwe de ( ρ K ρ l ) eschwindigkei zu emieln. Täg man gegen auf, so kann mi 9v R lim R die Viskosiä η besimm weden. leichzeiig ehäl man die Koekufunkion f, welche mi + C linea appoximie weden kann. R R ρ K, Diche de Kugel; wid duch asse und Volumen besimm. ρ l, Diche de lüssigkei; wid mi äomee besimm ode aus Tabelle (lycein) ennommen., Radius de Kugel; wid aus Duchmesse, welche mi Schiebelehe besimm wid, emiel. R, Radius des efäßes; wid aus Duchmesse, welche mi Schiebelehe besimm wid, emiel. v, eschwindigkei de Kugel mi Radius ; wid wie oben beschieben gemessen. Die Sahlkugeln können mi Hilfe eines Siebes, das an einem Schube befesig is, aus de lüssigkei enfen weden. Bie auf Saubekei des beisplazes achen. ad d) ad e) Im U-fömig gebogenen Roh des Oswald-Viskosimees (Hagen-Poiseuille sches esez) wid mihilfe eine Ballonpumpe eine Duckdiffeenz ezeug, welche die lüssigkei (Wasse) in dem Schenkel des U-Rohes mi de kapillaen Veengung übe die ake seigen läss. Nach bnehmen de Ballonpumpe söm die lüssigkei (Wasse) mi konsane eschwindigkei duch die veenge Röhe. Die eschwindigkei des bekannen Volumens zwischen den akieungen wid duch essen de Zei, welche de lüssigkeismeniskus von de ake zu ake benöig, mi de elekonischen Soppuh besimm. Daaus wid die Viskosiä beechne. Die Duckdiffeenz wid aus dem Höhenuneschied de Wassesäulen emiel, welche duch eine milee konsane Höhe genähe wid. Vewendung finde das Viskosimee mi de oen akieung. ihilfe des Kugelfallviskosimees nach Höpple wid die Viskosiä une Beücksichigung de eäekonsanen K besimm. Duch Spülen mi aufgeheizem Wasse wid die Tempeau ehöh. Die essung is im Beeich C bis 7 C fü mindesens veschiedene Tempeauen duchzufühen. In einem Diagamm is die Viskosiä gegen die Tempeau aufzuagen. Dabei wid fü diesen Tempeaubeeich von konsane Diche ausgegangen (ehle kleine als,5%). P.Knoll, Reibung, Innee Reibung
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I ad f) ü die Sokes sche Reibung (ufgabe c) is fü die veschiedenen Kugeladien die Reynolds sche Zahl zu besimmen und zu übepüfen, ob man sich noch im üligkeisbeeich laminae Sömung befinde. 3. Zu usweung nowendige Zusammenhänge ad a) R + cos β sinα H µ H anα cosα ad b) ad c) ad d) N s sinϕ g µ cosϕ R R s sinϕ + cos β g cosϕ β 45 β 45 ( ) π η v f ( ρ l ρ K ) ρ K ρ l 6 VK g, ηf η + C R 9v R R 4 8η l V p hρ l g hρ l g π hρ l g 8π η l v p, η 8πlv 8πlv 8πlv 8lV ad e) η K( ρ K ρ ) mi de eäekonsanen K aus dem Daenbla ad f) ρ Re v l η l π P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 3
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I N. Reibung Teil B 4. Bescheibung de eäe 4.. eäelise. V-fömige Schiene aus luminium. Öffnungswinkel de beiden Schenkelflächen 9 (β45 ). Endkonake fü elekonische Soppuh. Sände fü Höhenvesellung.. alloh mi lüssigkei (lycein), essmaken und einem Sieb mi Schiebe, Kugeln mi veschiedenen Duchmessen und Diche. 3. Oswald Viskosimee (Hagen-Poiseuille). 4. Kugelfallviskosimee nach Höpple 5. Schiebelehe, aßband, äomee und veschiedene Quade fü lei- und Hafeibungsbesimmung 6. elekonische Soppuh 4.. Deailbescheibungen V-Schiene Compue alloh Oswald Viskosimee Soppuh Kugelfall Viskosimee P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 4
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I d ) Die V-fömige lu-schiene wid mi dem enspechenden Kabel fü die Endkonake mi de elekonischen Soppuh vebunden. Duch Veändeung de Höhe am Sände kann de Winkel de Schiene veände weden. Die Höhe de Lageung de Schiene am Sände enspich de blesung des aßsabes an de uneen Kane des luminiumblockes plus mm (mi aßband übepüfen!). Da die Schiene vom Lage bis zu uflage auf de Tischfläche cm lang is egib sich de Winkel α acsin h[ cm]. d ) Schiebe mi Sieb ake Kugeln ake d 3) ake ake Wee: milee Höhe: h + h h, 5cm Kapillae: l mm,,35mm(o)/,mm(blau) Volumen zwischen den aken: V,5ml P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 5
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I d 4) Heizung mi Themosa und Pumpe alloh Heizflüssigkei Die Kalibieung des eäes is fü waageche ufsellung mi Heizflüssigkeisanschluss unen. Dezei is Kugel N. 4 eingesez. Die allzei wid zwischen ake und B besimm. Wee des eäes: Kugel Diche ρ K [g/cm 3 ] Duchmesse [mm] Konsane K 3 mpa s cm g s essbeeich fü η [Pa s], 5,8,673,,5, 5,66,59, 3 8, 5,6,757 5 4 8, 5,5,58 5 7,7 4,9 4,5 8 6 7,7, 33, 6 75 Bei diesem Kugelfallviskosimee is de allzylinde um gegenübe de Senkechen geneig. Daduch oll die Kugel auf de Innenseie des Zylindes und ha dahe eine definiee Dehichung. De esskolben des eäes kann um 8 geschwenk weden (Rücklauf de Kugel) und ase in diesen Sellungen ein. Duch eine angebache Libelle kann das eä waagech einjusie weden (Kalibieung!). Die Tempeau kann am Themosaen eingesell weden. Nach einige Zei wid Tempeaugleichgewich eeich (ekennba am Ein- und usschalen de Heizung) und die Tempeau des Wassebades kann abgelesen weden. Zu besseen Duchmischung und Tempeauveeilung vo eigenliche essung einen Pobelauf duchfühen. P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 6
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I d 5) d 6) Duch Dücken de ode-tase wid de Clock-modus akivie. Duch die Rese-Tase wid die Soppuh auf Null gesell. Duch dücken de Sa Tase wid Zeinehmung ausgelös, nochmaliges Dücken unebich, bei jedem weieen Dücken wid abwechselnd gesae und gesopp. Es mi Rese wid Soppuh auf Null gesez. Duch nschließen des Kabels an die Remoe-Buchse, kann Sa und Sop von exenen Schalen übenommen weden. Rese wid nach wie vo duch die Rese-Tase vogenommen. 5. Besondee Hinweise zum Umgang mi dem eä, Sicheheishinweise Unbeding den beisplaz saube halen! Die dazu vohandene Küchenolle vewenden. P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 7
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I N. Reibung Teil C 6. Lieau Siehe z.b. Begmann-Schäfe Bd. 7. Konollfagen Wie efolg die idealisiee Bewegung ohne Reibung? Welche Reibung is geschwindigkeisunabhängig? Welche Reibung is abhängig von de eschwindigkei? Woduch enseh Reibung? Was is de Uneschied zwischen Haf- und lei-reibung? Waum is leieibung meis kleine als die Hafeibung? Waum difen Ralley-ahe duch die Kuven und nich omel Piloen? Was is die Einhei de Viskosiä? Was is das Besondee de laminaen Sömung? Was is die Reynolds sche Zahl und was bedeue sie? P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 8
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I 8. undlagen 8. Einfache Bewegungen Die Bewegungen von Köpen ensehen duch das Zusammenspiel von folgenden physikalischen ößen: Käfen ( ), assen (), O ( x )und Zei (). Weiee ößen wie x zum Beispiel de Impuls ( p x& v ) ode de Enegieinhal (poenielle und kineische) können daaus abgeleie weden. Die physikalischen esezmäßigkeien, die nun zwischen diesen ößen wiken, wuden von Newon duch Beobachung heausgefunden. Insbesondee is dabei die Kaf als die Ändeung des Bewegungszusandes eine asse ekann woden. Die Newon'schen xiome lauen:. Jede assepunk veha im Zusand de Ruhe ode de gleichfömigen Bewegung auf geadlinige Bahn solange keine Käfe auf ihn einwiken.. Definiion de Kaf: Kaf is die Usache eine Impulsändeung (Beschleunigung (b )). 3. acio eacio: Jede Kaf ezeug eine gleich goße egenkaf. Diese mi Woen definieen eseze lassen sich ewas kompake mahemaisch fomulieen. Die beiden esen eseze egeben die bekanne Beziehung: p x p& b v & + + & x x & + x & &. Dabei wude gleich von de Vekoscheibweise ebauch gemach. Bei konsane asse äg nu meh de Tem mi de Beschleunigung bei. Das 3. Newon'sche xiom, dass es zu jede Kaf auch eine egenkaf gib, also i j, füh zu wichigen Beziehung, dass bei Beücksichigung sämliche Käfe offenba gil: i. i Solche Syseme, wo es keine meh nach außen geicheen Käfe gib, nenn man abgeschlossene Syseme. Diese beiden mahemaischen usdücke bilden die undlagen fü die Behandlung sämliche Bewegungspobleme. Wählen wi als einfachen all eine konsane asse auf die eine zeilich und ölich konsane Kaf in Richung x wiken soll. Da hie ein seng eindimensionales Poblem volieg, können wi auf die Vekoscheibweise vezichen. us i folg, dass es eine gleich goße egenkaf i geben muss. Dies is die sogenanne Tägheiskaf, welche nach & x fü die Ändeung des Bewegungszusandes veanwolich is. Wi ehalen diek die Bewegungsgleichung: & x. Duch Lösen diese Diffeenialgleichung ehalen wi sämliche Zusammenhänge zwischen P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 9
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I Weg, Zei, eschwindigkei und Beschleunigung: b & x cons. bzw. duch Inegieen: v( ) x & & xd d ( ) + v. Besondee ugenmek is hie auf die Inegaionsgenzen und die Inegaionskonsane zu legen, da diese die enspechenden Randbedingungen feslegen. In unseem all wude ganz allgemein als Randbedingung fesgeleg, dass zu Zei die eschwindigkei v voliegen soll. Duch weiees Inegieen ehäl man: s( ) s + v( ) d s + ( ) + v d s + ( ) ( ) + v ( ) Im besondeen all de Randbedingungen, dass, s und v sind, ehalen wi die bekanne esezmäßigkei de gleichfömig beschleunigen Bewegung: s ( ) b. Bis jez wuden nu die bhängigkeien gegenübe de Zei angegeben. Von allen andeen möglichen Beziehungen soll lediglich noch die age geklä weden, welche eschwindigkei lieg an welchem O vo. Dies ehäl man duch Eliminaion de Zei, welche duch den Weg ausgedück weden kann. Wi gehen von den einfachen Randbedingungen aus und ehalen: s s v( s) bs. Nacheil de hie vewendeen ehode, aus den Käfegleichungen zu Bewegungsgleichungen zu kommen, is, dass in komplexeen Sysemen nich imme alle Käfe leich zu ekennen sind und daduch leich ehle ensehen. Deswegen wuden weiee Vefahen enwickel, welche von de kineischen und poeniellen Enegie eines Sysems ausgehen, welche of einfache zu ekennen sind. De Vollsändigkei halbe sollen sie hie kuz angefüh weden. Das Lagange Vefahen: us de kineischen esamenegie eines Sysems T und de gesamen poeniellen Enegie V wid die Lagange-unkion L( x, x &) T V gebilde, welche als Vaiablen den genealisieen O und seine zeiliche bleiung beinhale. Die Bewegungsgleichungen L L ehäl man dann nach folgende Voschif:. x& x In unseem voigen Beispiel de einfachen gleichfömigen Beschleunigung laue die P.Knoll, Reibung, Innee Reibung.
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I Lagange-unkion: L ( x, x& ) x& + x und man ehäl als Bewegungsgleichung: & x. Hamilon omulismus: Hie geh man von de esamenegie eines Sysems aus, welche duch genealisieen O und Impuls in om de Hamilonfunkion H ( x, p) T + V angegeben wid. Die Bewegungsgleichung ehäl man dann nach folgende Voschif: p& H zusammen mi x x& H. p In unseem voigen Beispiel de einfachen gleichfömigen Beschleunigung laue die p Hamilon-unkion: H ( x, p) x& x x. ls Bewegungsgleichungen ehäl p man: p & und x &. Daaus ehäl man wiedeum die beeis bekanne Bewegungsgleichung als Diffeenialgleichung. Odnung in x: & x. Diese omalismus leie beeis zu quanenmechanischen Behandlung übe. 8. Schiefe Ebene De einfache all de gleichfömig beschleunigen Bewegung kann am ehesen beim feien all ode, allgemeine, auf eine schiefen Ebene ealisie weden. De in de bbildung dageselle Köpe mi asse solle dabei eibungsfei (keine Tangenialkäfe an de uflagefläche des Köpes) enlang de schiefen Ebene hinunegleien. Diese Richung wid als x-richung angenommen. In diese Richung wik jedoch nich die volle ewichskaf g ( asse des Köpes, g Edbeschleunigung), sonden nu ein Teil davon, welche aus de Komponenenzelegung in die Kaf N nomal zu schiefen Ebene und die Kaf P paallel dazu gewonnen wid. an ehäl: N g cosα und P g sinα. Die senkech zu Ebene wikende Kaf N wid duch eine gleich goße Kaf U kompensie, welche die Unesüzung de Las duch die Ebene dasell. Nu die Paallelkomponene P is mi eine Bewegung vebunden und wid duch eine enspechende Tägheiskaf kompensie. nalog zu voigem Beispiel ehalen wi die Bewegungsgleichung: P.Knoll, Reibung, Innee Reibung
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I & x p g sinα. i den einfachen Randbedingungen, s und v ehalen wi die enspechenden Beziehungen: b & x g sinα. Die aufeende Beschleunigung is somi duch den ako eschwindigkei ehäl man: sin α geschwäch. ü die v( ) x & & xd g sinα. ü die essung am einfachsen zugänglich is die Besimmung de Zei, die fü eine besimme Wegsecke gebauch wid. an ehäl: s ( ) g sinα. Daaus kann bei bekannem Winkel de schiefen Ebene die Edbeschleunigung besimm weden. Enlang des Weges wid die jeweilige Diffeenz an poenielle Enegie in kineische Enegie umgesez. Is die Bewegung nich eibungsfei, so is die wiksame Kaf um die Reibungskaf veminde und die aufeende Beschleunigung kleine (siehe bschni IV). lledings is es ech aufwendig in diese nodnung eine fas eibungsfeie Bewegung zu ealisieen. Dies wüde z.b. den Einsaz eine Lufkissenanodnung efoden. Viel leiche läß sich fas eibungslose obewegung duch das Rollen eine Kugel eeichen. Das ideale Vehalen von Bewegungsvogängen wid in de Paxis kaum beobachba sein. und dafü is, dass insbesondee imme auch Käfe beobache weden, welche die Relaivgeschwindigkei eines Köpes gegenübe seine unmielbaen Umgebung eduzieen wollen. Diese Käfe weden Reibungskäfe genann. Zunächs sollen die bei einem Bewegungsvogang aufeenden Käfe ewas nähe unesuch weden. 8.3 Haf- lei- und Rolleibung Im weieen sollen einige einfache Beispiele von Reibungsaen bespochen weden. Bewegen sich zwei einande beühende Köpe gegeneinande, so üben sie aufeinande eine Reibungskaf aus. Die Hafeibung is gleich goß und engegengesez geiche jene Kaf, die efodelich is, die beiden Köpe gegeneinande in Bewegung zu sezen. Die leieibung is gleich goß und engegengesez geiche de Kaf, die efodelich is, die Köpe mi konsane eschwindigkei gegeneinande zu bewegen. Ein spezielle all is das bollen eines Köpes auf einem andeen, wo die Beühungspunke zueinande keine eschwindigkeisdiffeenz haben. Die dabei doch geinge Rolleibung wid ewas späe bespochen. ll diese Reibungsaen weden als unabhängig von de eschwindigkei behandel, solange de eschwindigkeisuneschied genügend geing is. uch wid bei diesen Reibungen davon ausgegangen, dass die aufeende Reibungskaf nu in einem lineaen Zusammenhang mi de Belasung (Kaf nomal auf die Beühungsfläche) seh P.Knoll, Reibung, Innee Reibung
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I und keine weieen ößen (z.b. öße de Beühungsfläche) zunächs eingehen. ü die Hafeibung R H definie sich de dimensionslose Hafeibungskoeffizien µ H als Popoionalfako zu Nomalkomponene N de Kaf, die beide Köpe aneinande dück: R µ. H H N E häng von de und Obeflächenbeschaffenhei de beiden Köpe ab. Zu Besimmung dieses Koeffizienen kann ein Köpe auf eine schiefe Ebene geleg und de Neigungswinkel de Ebene solange vegöße weden, bis de Köpe bei einem besimmen Winkel α zu gleien beginn. Die Kafkomponene nomal zu schiefen Ebene egib sich dann aus de ewichskaf und dem Winkel α: N g cosα wobei die asse des Köpes und g die Edbeschleunigung sind. Die Hafeibung is engegengesez gleich de ewichskomponene paallel zu schiefen Ebene: R H g sinα ü den Hafeibungskoeffizienen egib sich somi RH sinα µ H anα cosα N Ha sich de Köpe einmal in Bewegung gesez, gleie e beschleunig die um den Winkel ϕ geneige Ebene nach unen. Dabei i leieibung auf. Die leieibung R is fü die Reibung zwischen fesen Köpen annähend unabhängig von de Relaivgeschwindigkei und popoional zu Nomalkomponene de Kaf: R µ. N Dain is µ de leieibungskoeffizien. Es gil meisens µ < µ H. De Köpe beweg sich beschleunig. Die beschleunigende Kaf is die Diffeenz aus de Paallelkomponene de ewichskaf und de leieibung: g sinϕ R g sinϕ µ g cosϕ De leieibungskoeffizien kann dahe duch essung de wiksamen Beschleunigung b / g(sinϕ µ cosϕ ) emiel weden: µ b (sinϕ ) g. cosϕ P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 3
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I s Die Besimmung de wiksamen Beschleunigung b kann aus gemessenen Ween fü den Weg s und die benöige Zei beim Neigungswinkel ϕ efolgen. Daaus egib sich fü den leieibungskoeffizienen: s sinϕ g µ. cosϕ Wid de Vesuch in eine V-fömigen Schiene duchgefüh muss beücksichig weden, dass de Köpe auf lächen auflieg. Wi bezeichnen den Winkel de lanken gegenübe de Hoizonalen mi β. Es eil sich die Nomalkomponene de Kaf auf die beiden lächen zu gleichen Teilen (symmeisches Pofil) auf und man ehäl: N N N. + cos β Ebenso i die leieibungskaf auf beiden lächen auf und wik in Summe engegen de eschwindigkei: N R R µ. + cos β Demnach egib sich die beobachee Beschleunigung: b s g(sinϕ µ cosϕ ) + cosβ und daaus de emiele leieibungskoeffizien zu: µ sin s ϕ g + cos β cosϕ. ü eine 8 - β 9 gewinkele Schiene unescheide sich das Egebnis gegenübe de einfachen schiefen Ebene duch einen ako. leiches gil fü die Hafeibung in eine V-fömigen Schiene. Roll ein Köpe auf einem andeen ab, so haben die beiden Beühungspunke gegeneinande die eschwindigkei null; es solle also keine Reibung aufeen. In de Realiä defomieen sich jedoch beide Köpe inelasisch, sodass Bewegungsenegie in Wäme übefüh wid, woduch eine schwache Reibung volieg. Diese Tasache wid als Rolleibung bezeichne. Senggenommen lieg duch die endliche usdehnung de Beühungsflächen beim bollen auf eine schägen lanke auch leieibung vo, welche jedoch zusammengefass mi de eigenlichen Rolleibung beschieben wid. Die Rolleibung häng wiede vom aeial und de Obeflächenbeschaffenhei des Köpes und de Ebene ab. P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 4
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I Die Rollbewegung eines Köpes wid duch ein Dehmomen T R R µ R N gebems, woin N die nomal auf die schiefe Ebene wikende ewichskomponene is. Daaus folg die Definiion des Rolleibungskoeffizienen µ R zu: µ R R. N Die Rolleibungskaf R is dabei in ese Näheung als geschwindigkeisunabhängig angenommen woden und füh somi zu eine eduzieen, abe dennoch gleichfömigen, beschleunigen Bewegung. ü die Vesuche zu Reibung zwischen fesen Köpen is anzumeken, dass die bhängigkei von de Obeflächenbeschaffenhei seh goß is und daduch enlang eines Bewegungsvoganges kaum epoduziebae Bedingungen zu eeichen sind. Ewas bhilfe kann duch eine goße nzahl von Vesuchen an veschiedenen Sellen de Obefläche eeich weden, woduch übe die vohandenen Inhomogeniäen gemiel wid. leiches gil auch fü den Rollwidesand, wo alledings noch eschweend dazu komm, dass diese seh klein is. 8.4 Bewegungsabläufe mi geschwindigkeisabhängige Reibung Reibungsvehälnisse sind besondes schwieig sowohl expeimenell als auch heoeisch zu efassen. Neben komplizieen bhängigkeien von de eschwindigkei sind auch vielfach bhängigkeien vom O maßgebend, welche a pioi nich bekann sind. In diesem bschni sollen die uswikungen von Reibungskäfen auf Bewegungsvogänge eöe weden, welche nu geschwindigkeisabhängig sind. Im allgemeinen kann davon ausgegangen weden, dass die Reibungskaf in eine Polynomeihe in de eschwindigkei enwickel weden kann: R v + v + +... Seng genommen müsse beücksichig weden, dass sowohl Kaf als auch eschwindigkei Vekoen sind und dahe Tensoen als Koeffizienen aufeen. Wi wollen uns hie abe nu auf jene Kafkomponene konzenieen, welche genau engegen de Richung de eschwindigkei wik und andee Kafkomponenen, wie z.b. Tagflächen mi uf- und bieb, sollen unbeücksichig bleiben. Die Bewegungsgleichung läss sich dann sofo mi Hilfe de aneibenden Kaf und de wikenden assenäghei anscheiben zu: & x v& v v.... R Dies enspich einem Beschleunigungs-eschwindigkeis-Diagamm von: b( v) R v v... Daaus ehäl man duch Inegaion die eschwindigkei als unkion de Zei: P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 5
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 6 ( ) ) (... d v v dv v v. Lieg nu eine lineae bhängigkei de Reibung von de eschwindigkei vo, so egib die Inegaion das einfache Egebnis: ( ) ) ( ln v v. Woaus sich ( ) ) ( e v v egib. Das Beschleunigungs-Zei-Diagamm kann daaus duch Diffeenzieen nach de Zei gewonnen weden: ( ) ( ) ) ( e v e v b. Die Beschleunigung nimm somi mi de Zei exponeniell ab. Die eschwindigkei eeich dabei nach unendlich lange Zei den enzwe: ) ( v. Duch weiee Inegaion ehäl man: ( ) ( ) ( ) + ) ( s s e v d e v ds woduch sich das Weg-Zei-Diagamm egib: ( ) ( ) + + ) ( e v s s. 8.5 Innee Reibung bei laminae Sömung Neben de Reibung zweie esköpe besiz auch die Relaivbewegung eines Köpes in eine lüssigkei ode as Reibung. Ebenso is auch die Bewegung von zwei lüssigkeis- ode asschichen zueinande mi Reibung behafe. Diese de Reibung kann jedoch nich meh als geschwindigkeisunabhängig angesehen weden. Es een lineae bhängigkeien von de eschwindigkei (laminae Sömung), quadaische
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I (Wibelbildung) bis hin zu höheen Poenzen auf. Wi wollen uns hie zunächs de laminaen Sömung widmen, welche eine lineae eschwindigkeisabhängigkei de Reibungskaf aufweis. Beweg sich ein fese Köpe in einem flüssigen ode gasfömigen edium efolg die Reibung meis nich an de enzschich zwischen esköpe und edium, wo die lüssigkeis- ode asmoleküle duch dhäsionskäfe an die Obefläche des esköpes gebunden sind, sonden zwischen benachbaen Schichen des ediums selbs (innee Reibung). Dies is daduch beding, daß die dhäsionskäfe wesenlich säke als die inneen Käfe im edium selbs sind, woduch die Reibung duch die inneen Käfe des ediums veusach wid. Die Reibungskaf, die auf eine mi de eschwindigkei ν duch ein edium bewege ebene läche Α wik, is popoional de öße diese läche und dem eschwindigkeisgefälle im edium: R η d v d s woin s den bsand von de läche bezeichne. Die Popoionaliäskonsane η heiß die Viskosiä ode Zähigkei des ediums. Sie is eine aeialeigenschaf, häng abe von äußeen Einflussgößen (Duck, Tempeau ec.) ab. Die Viskosiä besimm die Reibungseigenschafen des ediums, solange die Sömung lamina bleib, d.h. keine Wibel aufeen. v(s) s v läche In de bbildung is zu Vedeulichung de Definiion de Viskosiä ein lineae eschwindigkeisgadien gezeichne. Dies muss nich imme gegeben sein. Bei de laminaen Sömung eine lüssigkei duch ein Roh bilde sich z.b. ein paabolisches eschwindigkeispofil übe dem Rohqueschni aus. Sellen wi uns ein Roh de Länge l zeleg in Zylinde mi Radius vo, so wik an jedem diese Zylinde eine Reibungskaf enlang seine Obefläche mi R dv dv ( ) η η πl p π, d d welche als Duck übe die Queschnisfläche angeschieben weden kann. Daaus ehäl man duch Inegaion das eschwindigkeispofil une de Randbedingung, dass die eschwindigkei de lüssigkei am Begenzungsand des Rohes Null sein muss: P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 7
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I v( ) p dv d ηl p v( ) ( ). 4 η l Dabei anspoie de Zylinde mi Radius an seine Obefläche mi infiniesimale Dicke d das Volumen v( ) d v( )πd po Zeieinhei. Das gesame duchsöme Volumen po Zei egib sich aus de Inegaion übe alle Zylinde innehalb des Rohqueschnies: V 3 pπ 4 ( ) d v π pπ ηl. 8ηl V Dabei wude noch eine milee Sömungsgeschwindigkei v eingefüh, welche π leiche beobachba is. Die fü diese milee eschwindigkei efodeliche Kaf egib sich aus dem Duckuneschied zu: 8η l V p p π 8πηlv. Diese Kaf is engegengesez gleich de Reibungskaf. Beweg sich eine Kugel mi Radius langsam duch eine unendlich ausgedehne lüssigkei, so wid sie lamina umsöm. ü die auf die Kugel wikende Reibungskaf kann ein ähnliches esez gefunden weden, das Sokes sche esez: R 6π η v. Die Reibungskaf is ebenfalls popoional zu eschwindigkei und wik diese engegen. Wid die Kugel duch eine äußee Kaf beschleunig, so wächs mi de eschwindigkei auch die Reibungskaf. Die Beschleunigung wid daduch veinge. Sie wid gleich null, wenn die Reibungskaf gleich de äußeen Kaf gewoden is. Dann beweg sich die Kugel mi konsane eschwindigkei. Die essung de Viskosiä eine lüssigkei kann nach de sogenannen Kugelfallmehode efolgen. uf eine in eine lüssigkei fallende Kugel wiken dei Käf: die ewichskaf, de ufieb und die Reibungskaf R. Nach eine anfänglichen Beschleunigungsphase beweg sich die Kugel mi konsane eschwindigkei ν, sobald die Summe de Käfe null gewoden is. Es gil dann + + m g ρ V g 6 π η v R l K (m Kugelmasse, g Edbeschleunigung, ρ l Diche de lüssigkei, V K Kugelvolumen). Weden die Kugelmasse, de Kugeladius, die lüssigkeisdiche und die konsane eschwindigkei gemessen, kann daaus die Viskosiä eechne weden. P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 8
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I R In de Paxis kann die Bedingung eine unendlich ausgedehnen lüssigkei nu seh schlech efüll weden, woduch fü den endlichen Radius R des lüssigkeisgefäßes eine Koekufunkion f(/r) beücksichig weden muss. Das fü endlichen lüssigkeisadius R koigiee Sokes'sche esez laue dann: R 6 π η vf. R us eine essseie mi veschiedenen Kugeladien kann die Koekufunkion besimm weden. In den meisen ällen kann mi einem einfachen lineaen nsaz f ( ) + C R R beeis gue Übeeinsimmung mi dem Expeimen eziel weden. Die Viskosiä egib sich daaus zu: η ( ρ ρ ) V g ( ρ ρ ) K l K 6πvf R K l VK g 6πsf R K( ρ ρ ). K Dabei wuden alle fü einen Kugeladius vogegebenen ößen in eine eäekonsanen K zusammengefass. Die Viskosiä egib sich dann diek aus dem Dicheuneschied zwischen Kugel und lüssigkei (ufieb) und de esszei übe de allsecke s. l 8.6 llgemeine Reibung in asen und lüssigkeien De bishe behandele Spezialfall laminae Sömung und die daaus esulieende lineae bhängigkei de Reibungskaf von de eschwindigkei is bei höheen eschwindigkeien nich meh gegeben. Die laminae Sömung bich dann eilweise zusammen und es efolg eine Wibelbildung in de lüssigkei ode as, welche zusäzliche Enegie dem Bewegungsvogang enzieh. an geh davon aus, dass die Reibungskaf popoional zu ρ v kineischen Enegie de lüssigkei und de angesömen läche is: ρv R f. P.Knoll, Reibung, Innee Reibung 9
KU, Ins. f. Expeimenalphysik, Laboübungen aus Expeimenalphysik I De Popoionaliäsfako f wid Widesandsbeiwe genann. an geh soga sowei, dass man fü sämliche Reibungsaen auf diese univeselle Beziehung zuückgeif und nu den Widesandsbeiwe enspechend anpass. ü den all de Sokes'schen Reibung wüde man dann ehalen: ρv πηv η 6πη v f, f. πρv ρv ρv Re η Dabei wude die sogenanne Reynolds'sche Zahl Re ρv eingefüh. Die nalyse η veschiedense Reibungsvogänge in lüssigkeien und asen egib, dass die dabei aufeenden Widesandsbeiwee als unkionen diese Reynolds'schen Zahl geschieben weden können. Demnach kann ganz allgemein die Reibungskaf ausgedück weden: ρv R f (Re). De Voeil lieg dain, dass nun bei Vaiaion de öße eines Objekes (z.b. odell) duch Ändeung von Zähigkei, Diche ode eschwindigkei gleiche Reynolds'sche Zahl und dami gleiche Sömungsbedingungen eeich weden können. In folgende Tabelle sind fü einige Sömungsvogänge die enspechenden Widesandsbeiwee als unkion de Reynolds'schen Zahl angegeben: Sömungsvogang Widesandsbeiwe und üligkeisbeeich laminae Sömung um eine Kugel: (Sokes) f, Re < Re laminae Sömung in einem Roh: (Hagen-Poiseuille) 8 f, Re<6 Re ubulene Sömung in einem Roh: (Blasius),58 f, Re>6 4 Re angesöme ebene Plae (Duckwidesand) f,56 angesöme Zylinde (Duckwidesand) f,9 9. Expeimenpae: P.Knoll P.Knoll, Reibung, Innee Reibung