Günter Bärwolff Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure unter Mitarbeit von Gottfried Seifert ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG Spekt rum K-/1. AKADEMISCHER VERLAG AKADEMISC
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Logische Grundlagen 2 1.2 Grundlagen der Mengenlehre 8 1.3 Abbildungen 14 1.4 Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion 16 1.5 Ganze, rationale und reelle Zahlen 22 1.6 Ungleichungen und Beträge 28 1.7 Komplexe Zahlen 36 1.8 Aufgaben 54 2 Analysis von Funktionen einer Veränderlichen 57 2.1 Begriff der Funktion 58 2.2 Eigenschaften von Funktionen 64 2.3 Elementare Funktionen 67 2.4 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen 71 2.5 Eigenschaften stetiger Funktionen 91 2.6 Differenzierbarkeit von Funktionen 97 2.7 Lineare Approximation und Differential 104 2.8 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 107 2.9 TAYLORsche Formel und der Satz von TAYLOR 113 2.10 Extremalprobleme 118 2.11 BANACHscher Fixpunktsatz und NEWTON-Verfahren 121 2.12 Kurven im K 2 128 2.13 Integralrechnung 138 2.14 Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern 165 2.15 Parameterintegrale 167 2.16 Uneigentliche Integrale 169 2.17 Numerische Integration 179 2.18 Interpolation 183 2.19 Aufgaben 190 3 Reihen 191 3.1 Zahlenreihen 192 3.2 Funktionenfolgen 201 3.3 Gleichmäßig konvergente Reihen 207 3.4 Potenzreihen 209 3.5 Operationen mit Potenzreihen 212 3.6 Komplexe Potenzreihen, Reihen von exp x, sin x und cos x 213 3.7 Numerische Integralberechnung mit Potenzreihen 226 VII
VIII INHALTSVERZEICHNIS 3.8 Konstruktion von Reihen 228 3.9 FOURIER-Reihen 231 3.10 Aufgaben 257 4 Lineare Algebra 259 4.1 Determinanten 265 4.2 CRAMERsche Regel 278 4.3 Matrizen 281 4.4 Lineare Gleichungssysteme und deren Lösung 300 4.5 Allgemeine Vektorräume 308 4.6 Orthogonalisierungsverfahren nach ERHARD SCHMIDT 322 4.7 Eigenwertprobleme 329 4.8 Vektorrechnung im M. 3 345 4.9 Aufgaben 363 5 Analysis im R" 365 5.1 Eigenschaften von Punktmengen aus dem 1" 366 5.2 Abbildungen und Funktionen mehrerer Veränderlicher 371 5.3 Kurven im K n 372 5.4 Stetigkeit von Abbildungen 380 5.5 Partielle Ableitung einer Funktion 383 5.6 Ableitungsmatrix und HESSE-Matrix 388 5.7 Differenzierbarkeit von Abbildungen 390 5.8 Differentiationsregeln und die Richtungsableitung 391 5.9 Lineare Approximation 394 5.10 Totales Differential 396 5.11 TAYLOR-Formel und Mittelwertsatz 398 5.12 Satz über implizite Funktionen 403 5.13 Extremalaufgaben ohne Nebenbedingungen 405 5.14 Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen 411 5.15 Ausgleichsrechnung 417 5.16 NEWTON-Verfahren für Gleichungssysteme 420 5.17 Aufgaben 422 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen 425 6.1 Einführung 426 6.2 Allgemeine Begriffe 427 6.3 Allgemeines zu Differentialgleichungen erster Ordnung 428 6.4 Differentialgleichungen erster Ordnung mit trennbaren Variablen 431 6.5 Spezielle, durch Transformationen lösbare Differentialgleichungen 437 6.6 Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung 444 6.7 Anmerkungen zum "Rechnen" mit Differentialgleichungen... 480 6.8 Numerische Lösungsmethoden 483 6.9 Potenzreihen zur Lösung von Differentialgleichungen 493 6.10 BESSELsche und LEGENDREsche Differentialgleichungen 496 6.11 Nichtlineare Differentialgleichungen 503
INHALTSVERZEICHNIS IX 6.12 Aufgaben 517 7 Vektoranalysis und Kurvenintegrale 519 7.1 Die grundlegenden Operatoren der Vektoranalysis 520 7.2 Rechenregeln und Eigenschaften der Operatoren der Vektoranalysis 524 7.3 Potential und Potentialfeld 526 7.4 Skalare Kurvenintegrale 527 7.5 Vektorielles Kurvenintegral - Arbeitsintegral 532 7.6 Stammfunktion eines Gradientenfeldes 535 7.7 Berechnungsmethoden für Stammfunktionen 540 7.8 Vektorpotentiale 542 7.9 Aufgaben 544 8 Flächenintegrale, Volumenintegrale und Integralsätze 547 8.1 Flächeninhalt ebener Bereiche 548 8.2 RlEMANNsches Flächenintegral 550 8.3 Flächenintegralberechnung durch Umwandlung in Doppelintegrale 553 8.4 Satz von GREEN 558 8.5 Transformationsformel für Flächenintegrale 563 8.6 Integration über Oberflächen 568 8.7 Satz von STOKES 582 8.8 Volumen räumlicher Bereiche 587 8.9 Normalbereiche und die konkrete Volumenintegralberechnung. 587 8.10 Transformationsformel für Volumenintegrale 591 8.11 Satz von GAUSS 594 8.12 Aufgaben 603 9 Partielle Differentialgleichungen 605 9.1 Was ist eine partielle Differentialgleichung? 606 9.2 Beispiele von partiellen Differentialgleichungen 608 9.3 Separation der Variablen 609 9.4 Untersuchung der Wellengleichung 615 9.5 Korrektheit von Problemstellungen 629 9.6 Aufgaben 631 10 Funktionentheorie 633 10.1 Komplexe Funktionen 634 10.2 Differentiation komplexer Funktionen 636 10.3 Elementare komplexe Funktionen und Potenzreihen 641 10.4 Konforme Abbildungen 643 10.5 Integration komplexer Funktionen 647 10.6 Reihenentwicklungen komplexer Funktionen 655 10.7 Behandlung von Singularitäten und der Residuensatz 657 10.8 Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes 664 10.9 Harmonische Funktionen 670
X INHALTSVERZEICHNIS 10.10 Aufgaben 675 11 Integraltransformationen 677 11.1 Definition von Integraltransformationen 678 11.2 FOURIER-Transformation 680 11.3 Umkehrung der FOURIER-Transformation 685 11.4 Eigenschaften der FOURIER-Transformation 686 11.5 Anwendung der FOURIER-Transformation auf partielle Differentialgleichungen 688 11.6 LAPLACE-Transformation 690 11.7 Inverse LAPLACE-Transformation 693 11.8 Rechenregeln der LAPLACE-Transformation 697 11.9 Praktische Arbeit mit der LAPLACE-Transformation und der Rücktransformation 704 11.10 Aufgaben 711 12 Variationsrechnung und Optimierung 713 12.1 Einige mathematische Grundlagen 714 12.2 Funktionale auf BANACH-Räumen 717 12.3 Variationsprobleme auf linearen Mannigfaltigkeiten 729 12.4 Klassische Variationsrechnung 734 12.5 Einige Variationsaufgaben 737 12.6 Natürliche Randbedingungen und Transversalität 744 12.7 Isoperimetrische Variationsprobleme 747 12.8 Funktionale mit mehreren Veränderlichen 749 12.9 Aufgaben 750 13 Wahrscheinlichkeitsrechnung 751 13.1 Zufällige Ereignisse 752 13.2 Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse 758 13.3 Zufallsgrößen 767 13.4 Zufällige Vektoren 783 13.5 Aufgaben 805 14 Statistik 809 14.1 Stichproben 810 14.2 Punktschätzung 813 14.3 Intervallschätzung 818 14.4 Statistische Tests 831 14.5 Korrelations- und Regressionsanalyse 841 14.6 Aufgaben 850 A Formelkompendium 853 B Literaturhinweise 863 Index 865