Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 8 10. November 2009
Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
Definition 27. Eine (reelle bzw. komplexe) Zahlenfolge ist eine R- bzw. C-wertige Funktion definiert auf der Menge N, d.h. eine Abbildung f : N R (bzw.) C n f (n) Man benutzt dann die Schreibweisen a n = f (n) für die Folge {a n } n N. Die a n heißen dann Glieder der Zahlenfolge.
Häufig definiert man eine Folge nur durch die Angabe der Vorschrift zur Bestimmung der Folgenglieder, und schreibt a n =... oder {... }.
Bemerkung Oft als Definitionsbereich auch N 0 statt N, oder für ein m 0 Z. {m Z : m m 0 } Entscheidend ist, dass die Indexmenge eine abzählbar unendliche geordnete Menge mit kleinstem Element ist.
Häufig werden Folgen rekursiv definiert. Definition 28. Bei der rekursiven Definition einer Folge {a n } n N (bzw. {a n } n N0 ) legt man die ersten k Glider a 1, a 2,..., a k (bzw. a 0, a 1,..., a k 1 ) fest, und gibt eine feste Vorschrift an, nach der das n-te Folgenglied a n mit n > k (bzw. n k) aus seinen Vorgängern a n 1, a n 2,..., a 1 (bzw. a n 1, a n 2,..., a 0 ) zu berechnen ist. Häufig gehen in die Berechnung nur die letzen k Vorgänger a n 1, a n 2,..., a n k ein.
Analog dazu werden mathematische Ausdrücke, die für alle n N (bzw. n N 0 ) definiert werden sollen, rekursiv definiert.
Beispiel. (Fibonacci-Folgen in der Natur) Ein Kaninchenpaar befinde sich in einem geschlossenen Gehege. Man überlege sich, wie viele Kaninchenpaare es nach einem Jahr gibt, wenn jedes Paar jeden Monat zwei Junge zeugt, welche sich ihrerseits vom zweiten Monat an vermehren. ( Liber abbacci, 1202)
Definition 29. Eine Folge {a n } n Z heißt konvergent, wenn es a C gibt mit der Eigenschaft: Zu jedem - noch so kleinen - ε > 0 gibt es (mindestens) ein n 0 N, so dass gilt a n a < ε für alle n N mit n n 0. Man nennt a den Grenzwert der Folge {a n.
Schreibweise: a n a n Die Folge {a n } n N konvergiert für n gegen unendlich gegen a. lim a n = a n Limes von a n für n gegen unendlich ist a.
Definition 30. Ist lim n a n = 0, so nennt man {a n } n N eine Nullfolge. Bemerkung Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert. Definition 31. Besitzt eine Folge keinen Grenzwert, so heißt sie divergent.
Definition 32. Die Folge {a kn } n N heißt Teilfolge von {a n } n N, wenn für die Folge {k n } n N gilt k n N und n < m k n < k m. Satz 4. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent mit demselben Grenzwert.
Satz 5. Es seien {a n } n N und {b n } n N zwei konvergente Zahlenfolge und r eine reelle Zahl. Dann sind die Folgen {a n ± b n } n N, {a n b n } n N und {r a n } n N konvergent, und es gilt lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim n n lim (a n b n ) = lim a n lim n n lim (r a n) = r lim a n. n n n b n n b n
Satz 5 (Fortsetzung) Ist {b n } n N keine Nullfolge (d.h. b n 0 und ist b n 0 für alle { } n an n N. so konvergiert auch, und es gilt { an lim n b n b n } lim a n n = lim b. n n
Folgerung Zwei konvergente Folgen {a n } n N und {b n } n N haben denselben Grenzwert {a n b n } n N eine Nullfolge ist. Die obigen Rechenregeln erlauben es, die Grenzwerte komplizierter Folgen zu bestimmen.